Циклоидный тип — Психологос
При циклоидном типе акцентуации характера наблюдается наличие двух фаз — гипертимности и субдепрессии. Они не выражаются резко, обычно кратковременны (1—2 недели) и могут перемежаться длительными перерывами. Человек с циклоидной акцентуацией переживает циклические изменения настроения, когда подавленность сменяется повышенным настроением. При спаде настроения такие люди проявляют повышенную чувствительность к укорам, плохо переносят публичные унижения. Однако они инициативны, жизнерадостны и общительны. Их увлечения носят неустойчивый характер, в период спада проявляется склонность забрасывать дела. Сексуальная жизнь сильно зависит от подъёма и спада их общего состояния. В повышенной, гипертимной фазе такие люди крайне похожи на гипертимов.
Подробное описание по А.Е. Личко
Фрагмент из книги «Психопатии и акцентуации характера у подростка»
Как известно, этот тип характера был описан в 1921 Е. Kretschmer и сперва часто упоминался в психиатрических исследованиях.
Между тем существует особая группа случаев, где-циклические изменения эмоционального фона никогда даже не приближаются к психотическому уровню [Michaux L., 1953]. Г. Е. Сухарева (1959) отметила подобные непсихотические циклотимические колебания у подростков, которые с наступлением зрелости могут вообще сгладиться.
Наши с С. Д. Озерецковским [Личко А. Е., Озерецковский С. Д., 1972] исследования позволили выделить в подростковом возрасте два варианта циклоидной акцентуации — типичные и лабильные циклоиды.
Типичные циклоиды в детстве ничем не отличаются от сверстников или производят впечатление гипертимов. С наступлением пубертатного периода (у девочек это может совпасть с менархе), а еще чаще в 16-19 лет, когда половое созревание завершается, возникает первая субдепрессивная фаза. Чаще она проявляется апатией и раздражительностью. С утра ощущается упадок сил, все валится из рук. То, что раньше давалось легко и просто, теперь требует неимоверных усилий. Труднее становится учиться. Людское общество начинает тяготить. Шумные компании сверстников, ранее привлекавшие, теперь избегаются. Приключения и риск теряют всякую привлекательность. Прежде бойкие подростки теперь становятся унылыми домоседами.
Юрий П., 16 лет. Вырос в дружной семье. Хорошо учился в английской школе до последнего класса. Отличался веселым нравом общительностью, живостью, увлекался спортом, охотно участвовав в общественной работе, был председателем школьного клуба.
Последние несколько недель изменился.
Без причины ухудшилось настроение, «напала какая-то хандра», все стало валиться из рук, учиться стал с трудом, забросил общественную работу, занятия спортом, перессорился с товарищами. После занятий сиднем сидел дома. Иногда спорил с отцом, доказывая, что «в жизни нет правды». Ухудшились сон и аппетит В эти дни ему случайно попался под руку научно-популярный журнал со статьей о вреде онанизма. Так как сам тайком занимался мастурбацией, но ранее не придавал этому значения, теперь решил бросить, но обнаружил, что «не хватает воли». Подумал, что его ждут «импотенция, сумасшествие и слабоумие». В эти же дни в школе на общем комсомольском собрании был подвергнут товарищами суровой критике за развал общественной работы, которой ранее руководил. Один из одноклассников назвал его «плесенью общества». На собрании сперва огрызался, потом смолк. Понял, что он — «неполноценный человек». Возникла мысль о самоубийстве. Вернувшись домой из школы выждал ночи и, когда родители уснули, принял 50 таблеток мепробамата Оставил записку, где написал, что он — «духовно нищий человек» виноват перед школой и государством.
Из реанимационного центра был доставлен в подростковое отделение психиатрической больницы. Здесь в первые же дни состояние внезапно и резко изменилось, хотя антидепрессантов не получал. Настроение стало слегка повышенным, сделался общительным, активным, легко вступал в контакт, был полон энергии. Не понимал, что с ним было, «без всякой причины нашла какая-то хандра». Теперь же все прошло, настроение исправилось, рад, что остался жив. Суицидную попытку оценивает критически. Чувствует себя хорошо, аппетит даже повышен, сон стал крепким и спокойным. Скучает по родным, по школе и товарищам. Стремится продолжать учебу.
Обследование с помощью ПДО. По шкале объективной оценки диагностирован циклоидный тип. Конформность средняя, реакция эмансипации не выражена. Отмечается отрицательная установка на алкоголизацию. По шкале субъективной оценки самооценка недостаточная: черт какого-либо типа не выступило.
Диагноз. Острая аффективная интрапунитивная реакция с истинным покушением на самоубийство на фоне акцентуации циклоидного типа.
Катамнез через 2 года. Успешно окончил школу, учится в институте. Отмечает, что после выхода из больницы бывали «плохие периоды» длительностью в 1-2 нед и повторявшиеся каждые 1-2 мес. К моменту катамнеза эти колебания сгладились.
У типичных циклоидов фазы обычно непродолжительны, 1-2 нед [Озерецковский С. Д., 1974]. Субдепрессия может смениться обычным состоянием или периодом подъема, когда циклоид снова превращается в гипертима, стремится в компанию, заводит знакомства, претендует на лидерство и обычно наверстывает то, что было упущено в учебе и работе в субдепрессивной фазе. Периоды подъема случаются реже, чем субдепрессивные фазы, и бывают не такими яркими. По наблюдению Ю. А. Строгонова (1972), иногда лишь обычно несвойственные рис кованные шутки над старшими да стремление везде и всюду острить могут бросаться в глаза окружающим.
У циклоидных подростков имеются свои места «наименьшего сопротивления». Они различны в субдепрессивной фазе и в период подъема. В последнем случае выступают те же слабые места, что при гипертимном типе: непереносимость одиночества, однообразной и размеренной жизни, кропотливого труда, неразборчивость в знакомствах и т.
д. В субдепрессивной фазе ахиллесовой пятой становится коренная ломка жизненного стереотипа. Этим, видимо, объясняются присущие циклоидам затяжные субдепрессивные состояния на первых курсах высших учебных заведений [Строгонов Ю. А., 1973] Резкое изменение характера учебного процесс!, обманчивая легкость первых студенческих дней, отсутствие ежедневного контроля со стороны преподавателей, сменяющиеся необходимостью усвоить в короткий срок зачетно-экзаменационной сессии гораздо большего, чем в школе, материала — все это ломает привитый предшествующим десятилетием учебный стереотип. Упущенное приходится наверстывать усиленными занятиями, а в субдепрессивной фазе это не приводит к желаемым результатам. Переутомление и астения затягивают субдепрессивную фазу, появляется отвращение к учебе и умственным занятиям вообще.
В субдепрессивной фазе появляется также избирательная чувствительность к укорам, упрекам, обвинениям в свой адрес — ко всему, что способствует мыслям о собственной неполноценности, никчемности, ненужности.
Лабильные циклоиды в отличие от типичных во многом приближаются к лабильному (эмоционально-лабильному) типу. Фазы здесь гораздо короче — два-три «хороших» дня сменяются несколькими «плохими». «Плохие» дни более отмечены дурным настроением, чем вялостью, упадком сил или неудовлетворительным самочувствием. В пределах одного периода возможны короткие перемены настроения, вызванные соответствующими известиями или событиями. Но в отличие от описываемого далее лабильного типа нет чрезмерной эмоциональной реактивности, постоянной готовности настроения легко и круто меняться от незначительных причин
Валерий Р., 16 лет Вырос в дружной семье, привязан к родителям и старшему брату, который служит в армии С детства был живым, ласковым, общительным, послушным. Учится хорошо. В последние два-три года стал сам замечать, что настроение у него колеблется: два-три хороших дня, когда чувствует подъем, чередуются с днями «хандры», когда легко ссорится, появляется, по его словам, «непереносимость замечаний и начальственного тона», предпочитает одиночество, нехотя идет в школу, которую вообще любит Более двух лет влюблен в одноклассницу, очень к ней привязан.
В подростковом отделении психиатрической больницы первые три дня оставался угнетенным, говорил о нежелании жить. Его любимая девочка разыскала его через справочную скорой помощи и пришла его навестить — отказался от свидания с ней.
Затем настроение изменилось к лучшему (психотропных средств не получал), встретился со своей возлюбленной, помирился с ней.
Два дня был «подъем» — стал веселым, общительным, стремился домой скучал по школе. В последующем настроение ровное. Критически оценивает свой поступок, считает себя виноватым. В беседе обнаруживает эмоциональную лабильность, ищет сопереживания.
Обследование с помощью ПДО. По шкале объективной оценки диагностирован лабильно-циклоидный тип. Конформность средняя, реакция эмансипации умеренная. Обнаружен высокий В-индекс (В-6), хотя ни в анамнезе, ни при неврологическом обследовании, ни на ЭЭГ данных за наличие резидуального органического поражения головного мозга не установлено. Психологическая склонность к алкоголизации высокая. По шкале субъективной оценки самооценка правильная, выделяются лабильные, циклоидные, гипертимные черты, отвергаются черты сенситивные.
Диагноз. Реактивная депрессия с суицидной попыткой на фоне акцентуации по лабильно-циклоидному типу.
Катамнез через 2 года. Здоров. Учится в вузе. Повторных суицидных попыток не было. По-прежнему отмечает изменчивость настроения.
Как у типичных, так и у лабильных циклоидов реакции эмансипации и группирования со сверстниками усиливаются в периоды подъема. Увлечения отличаются нестойкостью — в субдепрессивные периоды их забрасывают, в период подъема — возвращаются к ним или находят новые. Заметного снижения сексуального влечения в субдепрессивной фазе сами подростки не хотя, по наблюдениям близких, сексуальные интересы в «плохие дни» гаснут. Выраженные нарушения поведения (делинквентность, побеги из дому и т. п.) циклоидам не свойственны. Но в периоды подъема они могут обнаруживать склонность к алкоголизации в компаниях. Суицидальное поведение в виде аффективных (но не демонстративных) попыток или истинных покушений на самоубийство возможно в субдепрессивной фазе, если в это время подросток подвергается психической травматизации, укрепляющей его в мыслях о своей неполноценности.
Самооценка характера у циклоидов формируется постепенно, по мере того, как накапливается опыт «хороших» и «плохих» периодов.
У подростка такого опыта еще может не быть и поэтому самооценка может оказаться несовершенной.
Циклоидная акцентуация, как указывалось, лишь изредка попадает под наблюдение психиатра (обычно это случаи суицидных попыток). Однако у здоровых подростков ее удается выявить в 2—5 % [Иванов Н. Я., 1976], причем из них половина может быть отнесена к типичным, а другая половина — к лабильным циклоидам. В после-подростковом возрасте (18—19 лет) процент циклоидов значительно возрастает, а процент гипертимов уменьшается [Боровик Т. Я., 1976; Перетяка О. П., 1981] Видимо, в силу каких-то эндогенных закономерностей гипертимный тип может трансформироваться в циклоидный — на фоне постоянной до этого гипертимности появляются короткие субдепрессивные фазы.
что значит быть циклоидом — T&P
Человеческие характеры очень разнообразны, но среди них, тем не менее, можно выделить типичные «рисунки». Для описания некоторых подобных паттернов в психологии существует понятие «акцентуация». Так называют сумму наиболее ярко очерченных свойств характера, которые еще находятся в пределах клинической нормы, но делают человека уязвимым к психологическим нагрузкам определенного типа.
Циклоидная акцентуация — один из ее вариантов. T&P рассказывают о том, что отличает циклоида от циклотимика, каковы плюсы и минусы этого типа и что делать, если у вас такой характер.Акцентуация характера — это не болезнь. Несмотря на то, что некоторые названия вариантов акцентуации: эпилептоид, истероид, шизоид и другие, — образованы от названий психических заболеваний, любой человек с акцентуацией здоров и нормален. У эпилептоида нет эпилепсии, а шизоид не болеет шизофренией (иначе они стали бы эпилептиком и шизофреником). У людей с акцентуацией лишь обострены определенные черты характера. Создатель этого понятия, немецкий психиатр Карл Леонгард, к примеру, писал, что «население Берлина — это на 50% акцентуированные личности и на 50% — стандартный тип людей». Тем не менее, в некоторых неблагоприятных обстоятельствах акцентуация может превратиться в болезнь, «добрав» патологичности.
Составители Энциклопедического словаря по психологии и педагогике (2013) пишут об этом понятии так: «Акцентуации характера отличаются от психопатий отсутствием одновременного проявления свойственной последним триады признаков: стабильность характера во времени, тотальности его проявлений во всех ситуациях, социальной дезадаптации».
Иначе говоря, эпилептоид не всегда стремится маниакально поддерживать порядок, а истероид не в любой ситуации жаждет оказаться в центре всеобщего внимания.
В российской психологии акцентуация характера остается популярным понятием, однако общепринятой классификации на сегодняшний день не существует. Современные версии типологии опираются на работы Карла Леонгарда, монографию советского психиатра Андрея Личко и другие исследования. Работы Личко позволили глубже понять причины появления и этиологию неврозов, поскольку психиатр выдвинул концепцию так называемого «места наименьшего сопротивления», или «слабого звена» в характере.
«Введение понятия “места наименьшего сопротивления” характера, а также описание этих мест применительно к каждому типу — важный вклад в психологическую теорию характера, — пишет в своей монографии российский психолог, специалист в области экспериментальной психологии и нейро-лингвистического программирования, профессор МГУ Юлия Гиппенрейтер. — Он имеет также неоценимое практическое значение.
Слабые места каждого характера надо знать, чтобы избегать неправильных шагов, излишних нагрузок и осложнений в семье и на работе, при воспитании детей, организации собственной жизни и т. п.»
Вдоль по радуге в грозу: плюсы и минусы циклоидной акцентуации
Название циклоидной акцентуации характера дала геометрическая кривая — циклоида, или рулетта, как называли ее раньше. Эту кривую рисует катящаяся окружность. Паскаль писал о ней так: «Рулетта является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как не рассмотрели ее древние… ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздем колеса».
На плоскости циклоида выглядит как бесконечная последовательность арок, которые упираются своим основанием в горизонталь. Окружность «катится» по этой горизонтали, и точка у нее на боку описывает полукруг, то оказываясь в высшей точке, то падая к подножию.
Именно так повышается и падает настроение у человека с циклоидной акцентуацией характера. У циклоида нет циклотимии — психического аффективного расстройства, при котором эмоциональное состояние человека колеблется между депрессией и гипертимией (или даже гипоманией). Циклотимик страдает от резких скачков настроения и работоспособности, которые мешают ему вести привычный образ жизни, — в то время как циклоид просто живет как на качелях, которые постоянно описывают полукруг, поднимая его высоко над землей и вновь опуская к исходной точке.
«Диаметр» циклоиды, по которой скользит настроение такого человека, может быть разным: от мягких беспричинных перепадов между «не очень» и «в порядке» до настоящих прыжков от счастья до глубокой тоски и обратно. При этом для окружающих такой человек, как правило, остается отличным деловым партнером, внимательным другом и нежным возлюбленным. Он не склонен к конфликтам (исключая моменты самых глубоких падений), ведет себя естественно и добродушно, спокойно относится ко многим обстоятельствам, которые у других людей вызывают массу негативных чувств.
В темпераменте циклоида есть теплота и мягкость, ему присущи юмор и озорство. Он не расстается с этими качествами даже в моменты грусти, хотя становится обходительным одиночкой, не выказывая враждебности к другим.
© Tsto Helsinki
Существенный плюс циклоидной акцентуации характера заключается в том, что она делает человека гибким и адаптивным, способствуя развитию способностей к эмпатии. Циклоид легко настраиватеся на любую волну, поскольку эмоциональные «качели» априори обеспечивают ему широкий психологический диапазон. Такой человек остро чувствует радость жизни и ее печаль. Это помогает в развитии творческих навыков и подчас позволяет «превратить» циклоидную акцентуацию в карьеру писателя, художника или журналиста.
При этом сами скачки настроения, особенно во взрослом возрасте, не ощущаются ярко. Человек с циклоидной акцентуацией характера скорее назовет это «градиентом» — от светлой грусти до развернутой тоски — и от легкого желания улыбнуться до бодрости, радости и склонности к гедонизму.
Разного рода удовольствия, оттенки чувств и нюансы обстоятельств доступны и знакомы таким людям. Они знают о них очень много — и много могут о них рассказать, обеспечив собеседнику, слушателю или читателю с другим складом характера шанс научиться радоваться повседневности.
Эмоциональные градиенты циклоидной акцентуации, с другой стороны, создают специфический ритм жизни: скачет работоспособность, эмоциональность, общительность, самооценка, общий уровень энергии, творческие способности. И в этом случае, конечно, нужно приспособить к акцентуации свой график жизни: например, выбирать проектную работу с ее рывками и паузами, — или свободный график. В последнем случае стоит помнить, что в фазе подъема все обычно получается, складывается и приносит плоды само по себе, — а вот в фазе спада может быть трудно. В нижней точке кривой циклоид становится уязвимым, страдает от недостатка жизненных сил и веры в себя.
И это пройдет: если вы циклоид
Человеку с циклоидной акцентуацией характера необходимо помнить, что спады его настроения возникают сами по себе — и исчезают так же.
Негативное состояние просто «проходит», и главная задача заключается в том, чтобы до начала нового взлета не наделать ошибок, перессорившись с окружающими, бросив институт или недописанную книгу.
Более серьезная опасность для циклоида заключается в том, что в неблагоприятных обстоятельствах такая акцентуация может превратиться в биполярное расстройство, циклотимию или маниакально-депрессивный психоз. Особенно внимательно относиться к своим «перепадам» следует тем, у кого в семье уже были случаи одного из этих психических заболеваний. И все-таки, даже если семейный анамнез налицо, болезни можно избежать, — ведь она развивается как правило не сама по себе, а на фоне длительного и интенсивного стресса. Именно от него циклоиду нужно беречь себя, избегая по-настоящему стрессогенных обстоятельств или смягчая их по мере сил.
Гвоздь колеса: если рядом циклоид
Люди с циклоидной акцентуацией характера хорошо переносят многие неприятные моменты межличностных отношений, однако и у них есть «ахиллесова пята».
Они не терпят монотонных действий в работе и рутинности в личных отношениях. В погоне за разнообразием и приключениями такие люди подчас могут совершать настоящие маленькие безумства, — но, вероятно, будут рады, если их близкие решат поучаствовать в затее.
В негативной фазе самооценку циклоида легко травмировать, поскольку в эти моменты он склонен себя недооценивать. У него мало сил, нет веры в себя, он бросает начатое, отказывается от прошлых целей. Вот почему в фазе падения человеку с циклоидной акцентуацией важно помочь быть последовательным и поддержать его, чтобы он не потерял достижения и бонусы, заработанные на подъеме.
Циклоид | математика | Британика
- Развлечения и поп-культура
- География и путешествия
- Здоровье и медицина
- Образ жизни и социальные вопросы
- Литература
- Философия и религия
- Политика, право и правительство
- Наука
- Спорт и отдых
- Технология
- Изобразительное искусство
- Всемирная история
- Этот день в истории
- Викторины
- Подкасты
- Словарь
- Биографии
- Резюме
- Популярные вопросы
- Обзор недели
- Инфографика
- Демистификация
- Списки
- #WTFact
- Товарищи
- Галереи изображений
- Прожектор
- Форум
- Один хороший факт
- Развлечения и поп-культура
- География и путешествия
- Здоровье и медицина
- Образ жизни и социальные вопросы
- Литература
- Философия и религия
- Политика, право и правительство
- Наука
- Спорт и отдых
- Технология
- Изобразительное искусство
- Всемирная история
- Britannica объясняет
В этих видеороликах Britannica объясняет различные темы и отвечает на часто задаваемые вопросы.
- Britannica Classics
Посмотрите эти ретро-видео из архивов Encyclopedia Britannica. - Demystified Videos
В Demystified у Britannica есть все ответы на ваши животрепещущие вопросы. - #WTFact Видео
В #WTFact Britannica делится некоторыми из самых странных фактов, которые мы можем найти. - На этот раз в истории
В этих видеороликах узнайте, что произошло в этом месяце (или любом другом месяце!) в истории.
- Студенческий портал
Britannica — это главный ресурс для учащихся по ключевым школьным предметам, таким как история, государственное управление, литература и т. д. - Портал COVID-19
Хотя этот глобальный кризис в области здравоохранения продолжает развиваться, может быть полезно обратиться к прошлым пандемиям, чтобы лучше понять, как реагировать сегодня. - 100 женщин
Britannica празднует столетие Девятнадцатой поправки, выделяя суфражисток и политиков, творящих историю. - Спасение Земли
Британника представляет список дел Земли на 21 век. Узнайте об основных экологических проблемах, стоящих перед нашей планетой, и о том, что с ними можно сделать! - SpaceNext50
Britannica представляет SpaceNext50. От полёта на Луну до управления космосом — мы изучаем широкий спектр тем, которые подпитывают наше любопытство к космосу!
Содержание
- Введение
Краткие факты
- Связанный контент
Циклоида и ее свойства Связанные кривые
Циклоида — это кривая, описываемая точкой на окружности, когда она катится по линии.
Циклоида, образованная окружностью радиусом r , катящейся по оси x , представлена параметрическим уравнением:
$\left\{\begin{matrix} x(t)= rt — r\sin(t )\\ y(t)= r-r\cos(t)\\ \end{matrix}\right.$.
Если точка лежит с коэффициентом f , где 0 ≤ f ≤ 1, вдоль радиуса окружности, то уравнение кривой имеет вид:
$\left\{\begin{matrix} x(t)= rt — fr\sin(t)\\ y(t)= r-fr\cos(t)\\ \end{matrix}\right.$.
Взаимодействие Geogebra выше показывает окружность с радиусом 1, катящуюся вдоль оси x . Другие показанные точки — это середина радиуса, четверть и восьмая часть радиуса. Вы можете перетаскивать ползунок угла влево и вправо, чтобы вращать круг и видеть, как точки отслеживают соответствующие кривые. Вы можете увеличивать или уменьшать масштаб и перемещать холст, чтобы увидеть полную кривую. 9{2\pi} = -4r(-1-1) = 8r$
Длина дуги одной арки циклоиды равна 8 r или в 8 раз больше радиуса окружности, которая ее создала.
Интересно, что формула площади имеет множитель π , как площадь круга, но формула длины дуги не имеет множителя π , как длина окружности.
Объем
Объем V твердого тела, образованного вращением дуги циклоиды вокруг x 93$.
Чашка циклоиды
Каков объем циклоиды, вращающейся вокруг своей оси симметрии и имеющей форму чаши? Я придумал следующий объем, используя дисковый метод. Осью симметрии является линия х = π.
Возьмите горизонтальное поперечное сечение от 0 до π для площади круга, который будет образован вращением. Вычтите значение x из π, чтобы получить радиус этого цикла. Радиус r будет равен $R\pi — R(t-\sin(t))$, где 92}{2}-\frac{8}{3}\right)$ ≈ 38,13 R 3 . Я не смог проверить эту формулу, так как не видел циклоидного вращения в чаше. Однако эта формула, кажется, подтверждается, когда мы находим объем, используя уравнения перевернутой циклоиды, имеющей ось y в качестве линии симметрии:
$\left\{\begin{matrix} x(t)= Rt + R\sin(t)\\ y(t)= R-R\cos(t)\\ \end{matrix}\right.
2\cdot R\sin(t)dt$. Это соответствует тому же объему, что и выше. Этот объем казался бы разумным, если бы он был меньше объема цилиндра, созданного радиусом 93$. Объем циклоидной чашки больше половины объема цилиндра, и это кажется разумным.
Прямоугольный треугольник
Прямой угол спрятан в циклоиде. Угол возникает на пересечении циклоиды и окружности. Диаметр окружности — это гипотенуза.
На изображении выше APC — прямоугольный треугольник. Чтобы доказать это, мы можем доказать, что ортогональная касательная к циклоиде проходит через окружность, где она касается х — ось. Во-первых, давайте найдем наклон касательной к циклоиде в точке t .
(i) $ \ frac {dy} {dx} = \ frac {\ frac {dy} {dt} (r-r \ cos t)} {\ frac {dx} {dt} (rt-r \ sin t) } = $ $\frac{r\sin t}{r — r\cos t} =$ $\frac{r\sin t}{1 — \cos t}$
Наклон ортогоналя будет отрицательным обратным : $-\frac{dx}{dy} = -\frac{1-\cos t}{\sin t}$. В точке t точка на циклоиде равна $(rt — r\sin t, r — r\cos t)$.
Следовательно, уравнение ортогонала:
(ii) $y — (r — r\cos t) = \frac{\cos t — 1}{\sin t}[x — (rt — r\sin t)]$
Точка, в которой Окружность, касающаяся оси x , равна rt , потому что t на самом деле является углом, под которым окружность движется вдоль оси x . Следовательно, мы можем найти значение y , когда x равно rt , подставив x = rt в уравнение ортогонала. (Нет необходимости упрощать уравнение прямой в (ii).)
(iii) $y — (r — r\cos t) = \frac{\cos t — 1}{\sin t}[rt — (rt — r\sin t)]$
(iv) $ y — (r — r\cos t) = \frac{\cos t — 1}{\sin t}(r\sin t)$
(v) $y — (r — r\cos t) = r \cos t — r$
(vi) $y = 0$
Следовательно, для любых t ортогональная ось всегда будет пересекать окружность в точке касания с осью x . А поскольку ортогональный угол по определению является прямым, отрезок PA должен пересечь окружность в точке A, что делает AC диаметром окружности.
Если мы позволим y = 0 и решить для x , мы получим x = rt .
Циклоида и синусоида
Синусоида имеет особое отношение к циклоиде. Если мы построим график переведенной синусоиды $y = r\sin(x — \frac{\pi}{2}) + r$. Это точная синусоида только в масштабе r . Форма такая же, как если бы мы начертили y = sin x . Циклоида и синусоида показаны ниже.
Если мы возьмем точку P на циклоиде и проведем параллель в P, то она пересечет синусоиду в D и E и снова циклоиду в G. Отрезки PD и EG конгруэнтны в силу симметрии и равны r грех т .
Мы можем показать, что DO перпендикулярен оси x . Следовательно, сумма отрезков PD и EG равна длине хорды окружности PK для всех t . Или PK в два раза длиннее PD. Это означает, что площадь, ограниченная циклоидой и синусоидой, равна площади круга. А площадь под синусоиды равна удвоенной площади круга, так как площадь под циклоидой в 3 раза больше окружности.