Где горизонталь где вертикаль: «Что представляют собой понятия вертикаль и горизонталь?» — Яндекс Кью

Горизонталь вертикаль в категории «Спорт и отдых»

Войди и получай выгодные условия доставки

поиск в товарах / по продавцам

• Силовые тренажеры

• Строительные уровни

• Штукатурное правило

• Лазерные нивелиры, уровни, сканеры

• Игровые фигурки, роботы трансформеры

• Ручные труборезы, ножницы для труб

• Эзотерические товары

• Прицелы и мушки

• Заборы и ограждения

• Искусственные деревья и бонсаи

• Вертикализаторы

• Ручной железнодорожный инструмент

• Медицинские тренажеры и модели

• Подарки и сувениры, общее

• Велотренажеры

• Камеры видеонаблюдения

• Точечные светильники

• Такелажные скобы и карабины

• Водонагреватели, бойлеры, колонки

• Ручные торцовочные пилы

Правило-уровень PRO строительное 150 см два глазка горизонтали и вертикали

Готово к отправке

1 125 грн

Купить

Уровень лазерный кросслайнер «Cross 90» красный, (две вертикали + горизонталь) до 10м, +/- Stanley STHT77502-1

Готово к отправке

4 807. 50 грн

6 410 грн

Купить

Держатель удилища на ЛЕЕР (Ø 22 — 25 мм.) из полиамида. Регулировка по горизонтали и вертикали. BORIKA

В наличии

1 632 грн

Купить

Держатель удилища в крепление BORIKA. Полиамид. Регулировка по горизонтали и вертикали

В наличии

989 грн

Купить

Уровень лазерный Cross 90 зеленый Stanley STHT77592-1

Готово к отправке

7 809.29 грн

8 976.20 грн

Купить

Сумка для еды, пиццы, суши с горизонталь + вертикаль перегородками. Рюкзак для доставки еды, пиццы, суши. ПВХ

В наличии

2 220 грн

Купить

Правило-уровень PRO строительное, вертикаль-горизонталь (2 глазка), 200 см

В наличии

1 420 грн

Купить

Правило OLEJNIK вертикаль-горизонталь (2 глазка), 90*18 мм, 150 см

В наличии

786 грн

Купить

Правило-уровень PRO вертикаль-горизонталь (2 глазка), 150 см

В наличии

1 125 грн

Купить

Правило-уровень PRO строительное, вертикаль-горизонталь (2 глазка), 250 см

В наличии

1 707 грн

Купить

2

3

Вперед

Показано 1 — 29 товаров из 200+

Смотрите также

Набор для жима

Водяной уровень 100см

Штукатурне правило

Правило-уровень 1500 мм

Уровень хайзер

Прицел для страйкбола

Силовая скамья для жима

Скамья для силовых тренировок

Универсальная силовая скамья

Универсальная скамья силовая

Жимовая лавка

Лазерный уровень 4d

Скамья для спорта для дома

Уровень будівельний

Коллекционные фигурки и аксессуары

Горизонталь вертикаль со скидкой

Горизонталь вертикаль оптом

Популярные категории

Спорт и отдых

Тренажеры

Силовые тренажеры

Инструмент

Строительный инструмент

Строительный измерительный инструмент

Строительные уровни

Малярно-штукатурный инструмент

Штукатурное правило

Лазерные нивелиры, уровни, сканеры

Товары для детей

Игрушки

Игровые фигурки, роботы трансформеры

Насколько вам
удобно на проме?

Вертикаль и горизонталь в музыке или 2 типа мышления

Сегодня я хотел бы поговорить о базовых концепциях мышления, которые можно встретить в современной музыке и которые непосредственно участвуют в любом процессе создания музыки.

Первая из этих концепций — горизонтальное мышление. Движение по горизонтали это прежде всего модальная музыка, строгое письмо. Так же горизонталь является основой для народной музыки — например, Индийской, Арабской и т.д

Вторая — вертикальное. Оно встречается как в, так и в роке, блюзе, джазе. Данная концепция отлично работает как в композиции, так и в анализе и импровизации.

Сразу стоит заметить, что каждая из этих концепций представляет собой стройную и логичную систему. При это нельзя сказать, что одно мышление лучше другого. Задача любого музыканта понять различия и сходства между этими системами, и научиться использовать их для реализации своих музыкальных идей.

Начнем с вертикального мышления.

Вертикальное мышление наиболее привычно для западного музыканта. Для него характерны следующие черты:

прежде всего внимание уделяется сочетанию звуков друг с другом, то есть это интервалы, аккорды и т.д.

Образно это можно описать как раскадровку музыки. Мы знаем, что любой фильм это чередование кадров с частотой 25 в секунду. Также и в музыку можно представить как чередование созвучий, например с частотой 4/4 или 7/8 или 16/16.

Конечно мы понимаем, что горизонталь и вертикаль присутствуют в любом многоголосном произведении. Здесь важен сам процесс мышления.

Музыкант опирающийся на горизонталь исходит чаще всего из структуры аккордов, законов гармонии, тональных движений и т.д.

Любую пьесу основанную на вертикальном мышлении можно записать как мелодию с аккордами. Для современной горизонтальной музыки также большое значение будет иметь грув, как ритмически связывающий элемент.

Пример аранжировки струнного квартета в вертикальном мышлении

Как вы можете заметить все голоса за исключением мелодии двигаются в одном ритме и играют аккордовые тона. Их задача здесь создавать гармонический фундамент и не мешать мелодии. Это фундаментальный принцип гомофонно-гармонического склада.

Также обратите внимание на запись аккордов. Это наиболее популярный вариант в современной музыке, когда любой музыкант может взять партитуру и сразу же сыграть импровизированную партию в характерном стиле.

Также в современной музыке в таких аранжировках сплошь и рядом встречаются нарушения законом голосоведения, что не характерно для горизонтального мышления.

С другой стороны горизонтальное мышление предполагает концентрацию на движении каждого голоса без особой их согласованности по вертикали. Как правило, здесь используются лад как единая основа, но это не является обязательным условием.

Главное здесь это мелодичность каждого голоса и сохранение базовых закономерностей мелодики.

Пример аранжировки квартета на тот же верхний голос:

Здесь Вы можете заметить:

• ритмическое разнообразие партий
• самостоятельность голосов
• отсутствие однозначной гармонии

При желании к этим голосам можно добавить несколько различных вариантов гармонического сопровождения.

Важные различия в подходе к гармонии состоят в том, что в горизональном мышлении не важен звуковой состав образующихся созвучий, а большее внимание уделяется сохранению баланса между консонантностью и диссонантностью. По этой причине соблюдение норм голосоведения является более важным чем при вертикальном мышлении.

В роке горизональное мышление очень проявляется в так называемой полифонии остинатных линий, композиционном приеме, которые построен на неслаивании независимых линий риффового характера в одной фактуре.

Попробуйте на слух отличать горизонтальный и вертикальный подход, а также использовать в вашем творчестве.

17.03.2020

Как быть горизонтальным и вертикальным лидером одновременно

(Фото: Shutterstock)

Считаете ли вы руководство своей организацией постоянным балансированием? Иногда вы даете людям гибкость, чтобы они могли общаться и учиться, чтобы «быть лучшими», но затем вы доводите их до предела, требуя результатов. Вы хотите быть взаимосвязанным, горизонтальным и хладнокровно поддерживать людей повсюду — настоящий «лидер сети», — но вы также хотите дисциплины и вертикального уважения. Старомодная иерархия все еще может иметь место.

Устали балансировать между «командой» и «сообществом»? Возможно, пришло время отказаться от горизонтально-вертикальных качелей и по-новому взглянуть на свою организацию.

Как добраться до обоих/И

Так утверждается в новой книге Криса Фассела « Одна миссия: как лидеры создают команду из команд». Fussell   (при содействии C.W. Goodyear) обрисовывает убедительный подход «и то и другое», призывая руководителей создавать «гибридные организации», сочетающие сети и иерархию на одном предприятии. слияние сетевой иерархии не только выполнимо, но даже критически важно. А почему бы и нет? Современная глобальная экономика заставляет каждого лидера справляться с когнитивным диссонансом предоставления свободы всем вокруг, а также постоянно стремиться к более высокой производительности. One Mission — это схема построения выигрышной гибридной организации для поддержки вашей бизнес-стратегии.

Крис Фассел, автор книги «Одна миссия» и партнер The McChrystal Group (фото: с разрешения The.

.. [+] McChrystal Group)

McChrystal Group

Beyond A Team of Teams

Десять лет назад Фассел был адъютантом Стэна Маккристала, возглавлявшего глобальную оперативную группу по борьбе с терроризмом на Ближнем Востоке. Они работали вместе, разрабатывая то, что Маккристал описал в своей книге как «команду команд» — высокоэффективную разведывательную и диверсионную операцию по всему региону, чтобы противостоять беспрецедентному тогда сетевому терроризму «Аль-Каиды».

Стратегия и мемуары Маккристала 2015 года нарисовали вдохновляющую картину превращения бюрократического динозавра союзных подразделений военной разведки в гибкую и смертоносно эффективную сеть, резко увеличивающую количество успешных ударов по повстанцам. История Маккристала выдвинула на первый план новую организационную модель, сочетающую «общее сознание» объединенных в сеть, но все еще иерархически организованных подразделений с «уполномоченным исполнением» солдатами на передовой.

В книге утверждалось, что это формула, которая также может принести пользу коммерческим организациям, конкурирующим в сегодняшнем взаимосвязанном и нестабильном мире.

Бизнес-лидеры поддержали бестселлер Маккристала New York Times , но многим в книге не хватало практических, невоенных подробностей. Преемник Fussell, созданный на основе двух последующих лет бизнес-приложений, устраняет пробел . One Mission служит ценным скрытым анализом того, что МакКристал впервые применил, что делает концепцию «команды команд» гораздо более действенной для бизнеса сегодня.

Высокоэффективная гибридная организация

One Mission теперь объясняет, почему «команда команд» так хорошо работала на войне, и, что более важно, как ее гибридная организационная модель теперь обеспечивает более высокую эффективность в бизнесе. Фассел объясняет, что волшебство создается за счет использования сильных сторон каждого организационного подхода и одновременного устранения недостатков.

Основная идея состоит в том, что сообразительные гибридные лидеры заквашивают структуру вертикальной бюрократии более уважительной и расширяющей возможности культурой горизонтальных сетей.

Это не первый призыв объединить сеть и иерархию в одном предприятии. Как отмечает Фасселл, «ученые писали об этом в течение многих лет», и, конечно же, печально известная матричная модель организации представляет собой живой музей корпораций, пытающихся достичь как организационной структуры, так и командной гибкости. Более поздние эксперименты, на которые стоит обратить внимание, могут также включать «гипертекстовую организацию» Нонаки, сетевые общественные платформы (например, Uber, Task Rabbit, Airbnb), «открытую организацию» Red Hat, холакратию Zappo и другие.

Но в книге Фассела есть что-то новое и ценное. One Mission  выходит за рамки оригинальной истории Маккристала о команде команд и теперь содержит более подробное обсуждение того, что нужно для создания гибрида. Как объяснил Фасселл, «структура важна, но этот гибрид работает только с правильным типом лидера, постоянно создавая рабочий контекст для людей, чтобы они могли работать вместе, несмотря на разрозненность и границы».

Так как же лидер создает этот контекст?

Понимание организационной динамики

«Все начинается, — пояснил Крис Фасселл, — с понимания положительных и отрицательных сторон обеих частей потенциального гибрида. Вы должны выйти за рамки традиционных рамок «или-или».

«Нельзя отказываться от того, что работает в бюрократии — оптимизация активов, подотчетность, долгосрочное планирование и развитие талантов, определенные линейные процессы принятия решений. Но мы также знаем, что бюрократия может быть жесткой, медленной и не склонной к риску».

«Команды и небольшие подразделения, напротив, не имеют себе равных по своему духу и быстроте действий; также их способность принимать нелинейные решения и вводить новшества на лету. Но у них есть и недостатки: они закапываются со своими микрокультурами, создавая приходские эхо-камеры, и тогда они не будут сотрудничать с другими подразделениями»

«Иногда небольшая команда будет связываться с другими людьми — это человек — и образуют сети, что хорошо. Но есть и другой минус: когда они это делают, у них нет реального плана или ответственности. Будут возникать флешмобы или свободные сообщества, но они ничего не сделают в долгосрочной перспективе. Просто вспомните, например, «Захвати Уолл-Стрит»: много вовлеченности, но никаких устойчивых изменений».

«Поработав с несколькими бизнес-клиентами, мы поняли, что использование сильных сторон как иерархии, так и сетей — это отчасти дизайн, но в основном это лидерство — демонстрация ожидаемого поведения, создание контекста и поощрение продолжающихся экспериментов — построение культуры, которая чтит и сигнализирует о потребность в структуре и свободе одновременно. Лидер гибридной организации должен отпустить контроль, но и , а не , отпустить слишком много».

Четыре императива

Итак, как это сделать? Книга Фассел предлагает четыре императива для лидеров, каждый из которых сформулирован в рамках культуры «одной миссии»: множество небольших команд, действующих как структурированное, но гибкое сообщество, работающее свободно, но вовлеченное и подотчетное другим; руководство, чтобы продолжать учиться и предпринимать действия для достижения общей цели производительности.

Каждый из четырех императивов демонстрирует синтез горизонтальной свободы и вертикальной структуры, формирующий работу «сетевой иерархии».

1.Создайте «совпадающее повествование ».

Доминирующая миссия начинается с того, что лидеры создают «согласованный нарратив». Этот первый шаг представляет собой объединяющую историю сообщества и долга, которая преодолевает «племенные предрассудки» и направлена ​​на создание общей приверженности между всеми. Повествование обращается как к разуму, так и к эмоциям, чтобы сфокусировать всех на одном и том же значимом результате — классический инструмент иерархического выравнивания. Но повествование должно также по-прежнему учитывать частую потребность отдельных подразделений идти своим путем для решения задач общей миссии — таким образом, качнув маятник в сторону свободы и гибкости сети.

Как прокомментировал Фассел, «лидер должен плести истории таким образом, чтобы каждая из «племенных единиц» видела угрозы и возможности, выходящие за рамки их собственных меньших перспектив, и пришла к осознанию того, что только работая вместе, они могут когда-либо достичь желаемой производительности. ».

2. Способствовать взаимосвязи.

Небольшие группы и «племенные единицы» создают свои собственные реальности, которые молча блокируют слушание других, замедляя совместные инновации (эндемичные для иерархии) — поэтому лидер должен неустанно работать, чтобы способствовать общению и обучению между всеми, выходя за рамки формальных структур ( содействие открытому общеорганизационному обмену; межкомандному решению проблем и размышлениям для формирования социальных сетей и наоборот). Он/она также должен ускорить трансграничную коммуникацию путем разумного «встраивания» ключевых влиятельных лиц в организацию и даже за ее пределы. Эти «посаженные защитники» используют знания и обмениваются идеями по решению проблем с сочувствующими партнерами.

На ближневосточном военном театре Маккристал добился «взаимосвязи», организуя и модерируя открытые брифинги разведки для всего сообщества, а также привлекая знающих союзников в гражданские организации (например, ЦРУ). Теперь Фасселл с выгодой для себя применяет тот же подход в коммерческих организациях, например, организуя брифинги из нескольких подразделений и формируя сети между исторически враждебными группами, работающими над программами технологического обслуживания одной компании.

«Ключ, — отметил Фасселл, — заключается в том, чтобы лидеры способствовали обмену информацией, побуждая людей начать «думать вслух вместе». Хороший лидер вытянет из сообщества правильные ценности и идеи, побуждая людей задуматься о более серьезных проблемах, с которыми сталкивается сам лидер. Это повышает уровень мышления и помогает построить согласующий нарратив».

(фото: Shutterstock)

3. Сформируйте «рабочий ритм» гибридной организации.

Иерархическая организация движется медленно, но действует обдуманно и  защищает от рисков. Сети могут быть быстрыми и плавными, но также и изменчивыми, а иногда и эфемерными. В лучшем случае гибридная организация не только уравновешивает обдумывание и исполнение, но фактически создает самоусиливающийся цикл того и другого.

«Задача лидера, — объяснил Фасселл, — состоит в том, чтобы помочь организации в целом найти правильный ритм, чтобы соответствовать темпам внешних угроз и конкуренции. Лидер должен помочь разбросанным по всему миру командам понять, когда следует отступать, слушать и учиться у других, а когда претворять полученные уроки в жизнь».

В борьбе с «Аль-Каидой» Маккристал хотел, чтобы полевые оперативники постоянно обменивались разведывательными данными по всей сети, а затем в подходящие моменты преобразовывали эти знания в живую стратегию, используя новые, превосходные сведения о враге, чтобы победить террористов в их собственной игре.

Фасселл рассказал о похожем темпе, который он помог установить между групповым обучением и действиями на передовой в крупном производителе спортивной одежды, страдающем от проблем с цепочкой поставок. «Со временем компания выработала эффективный ритм непрерывного совершенствования, когда разные подразделения учились решать проблемы вместе: сначала понимали, что вызывало сбои в доставке; затем быстро перейти к внедрению исправлений; а затем возвращаться к анализу следующего и более высокого уровня проблем, затем снова совместно работать над решениями и так далее».

4. Укрепить «пространство принятия решений» для передовых оперативных подразделений.

«Лучше просить прощения, чем искать разрешения» — гласит старое клише — и освобождающий клич для всех, кто разочаровался в бюрократии. Но слишком много действий «без разрешения» может буквально разрушить компанию, но недостаточная свобода инноваций также может привести к гибели, если конкуренты движутся быстрее, чем вы. Что они, кажется, всегда делают.

Таким образом, еще одно гибридное организационное решение, снова отражающее «и то, и другое» — определить определенные границы (как иерархию), когда действие без разрешения не только разрешено, но и поощряется (как сеть). Работа лидера состоит в том, чтобы дать волю, а также привязать: очертить четко определенные пространства для принятия решений, которые разъясняют, когда действия по своему усмотрению могут поставить под угрозу успех всей миссии, но в то же время, в пределах «красных линий», также поощряют. быстрое предпринимательское действие, когда возникает необходимость или возможность.

Как вспоминал Фассел: «Развитие Маккристалом областей принятия решений в Оперативной группе по борьбе с терроризмом стало крупным прорывом, позволившим собранным оперативным подразделениям значительно усилить свои удары по врагу. В бизнесе мы наблюдаем ту же освобождающую силу пространства для принятия решений, когда лидеры намеренно расширяют возможности передовой, чтобы они могли действовать быстрее и увереннее, чем раньше».

Стать гибридным лидером

Одна миссия богат техническими идеями и примерами, которые воплощают в жизнь создание эффективной гибридной организации. Но когда я расспрашивал Криса Фассела, он продолжал возвращаться к лидерству.

Он завершил наш разговор тихим размышлением о человеке, рядом с которым он так многому научился, — а затем продолжил свои комментарии в более безличных выражениях.

«Маккристал всегда говорит, что создание «команды команд» навсегда изменило его представление о лидерстве. Он должен был начать с трансформации себя, сменив свою личность на кого-то, кто не столько командует, сколько вместо этого создает условия для успеха других».

«Хорошие лидеры, включая многих наших коммерческих клиентов, становятся скромными. Они не отказываются от контроля, а используют его для создания структуры для непрерывного развития сообщества производительности. И вместо того, чтобы сосредоточиться на себе, они направляют свои усилия на развитие способностей других, давая им знания и свободу действовать, когда того требует миссия. Это позволяет им достигать гораздо большего, чем любой человек или команда».

Генерал в отставке Стэнли А. Маккристал и Крис Фассел на саммите The New York Times New Work Summit,… [+] 1 марта 2016 г. (Фото Джона Медины/Getty Images для New York Times)

 

Горизонтальное и вертикальное растяжение/сжатие

Существует печатная версия этих уроков, если она будет вам полезна.

$y = f(x)$ $y = 2f(x)\,$ Вертикальное растяжение; $y$-значения удваиваются; очков уходят дальше от $x$-ось	$y = f(x)$ $y = \frac{f(x)}{2}\,$ Вертикальная усадка; $y$-значения уменьшаются вдвое; очков становятся ближе к $x$-ось
Вертикальное растяжение/сжатие изменяет $y$-значения баллов. Преобразования, влияющие на $y$-значения интуитивно понятны.

$y = f(x)$ $y = f(2x)\,$ Горизонтальная усадка; $x$-значения делятся пополам; очков становятся ближе к $y$-ось	$y = f(x)$ $y = f(\frac x2)$ Горизонтальное растяжение; $x$-значения дублируются; очков уходят дальше от $y$-ось
Горизонтальное растяжение/сжатие изменяет $x$-значения баллов. Преобразования, влияющие на $x$-значения являются контринтуитивными.

Вертикальное/горизонтальное растяжение/сжатие обычно изменяет форму графика.

Урок Графические инструменты: Вертикальное и горизонтальное масштабирование в Учебная программа по алгебре II дает подробное обсуждение горизонтального и вертикального растяжения и сжатия. Ключевые понятия повторяются здесь.

Упражнения в этом уроке повторяют упражнения в Графические инструменты: Вертикальное и горизонтальное масштабирование .

Идеи относительно вертикального масштабирования (Растягивание/сжатие)

• Точки на графике $\,y=f(x)\,$ имеют вид $\,\bigl(x,f(x)\bigr)\,.$

  Точки на графике $\,y=3f(x)\,$ имеют вид $\,\bigl(x,3f(x)\bigr)\,. $

  Таким образом, график $\,y=3f(x)\,$ находится путем взятия график $\,y=f(x)\,$ и умножение $y$-значения на $\,3\,.$ Это перемещает точки дальше от $x$-ось, что делает график более крутым.

• Точки на графике $\,y=f(x)\,$ имеют вид $\,\bigl(x,f(x)\bigr)\,.$

  Точки на графике $\,y=\frac13f(x)\,$ имеют вид $\,\bigl(x,\frac13f(x)\bigr)\,. $

  Таким образом, график $\,y=\frac13f(x)\,$ найден взяв график $\,y=f(x)\,$ и умножение $y$-значения по $\,\frac13\,.$ Это перемещает точки ближе к $x$-ось, что делает график более плоским.

• Преобразования с участием $\,y\,$ работают так, как вы ожидаете от них — они интуитивно понятны.

• Вот мыслительный процесс, который вы должны использовать когда вам дан график $\,у=е(х)\,$ и спросил о графике $\,y=3f(x)\,$:

$$ \начать{выравнивать} \text{исходное уравнение:} &\quad y=f(x)\cr \text{новое уравнение:} &\quad y=3f(x) \end{выравнивание} $$

Интерпретация нового уравнения:

$$ \начать{собирать} \overset{\text{новые значения y}}{\overbrace{ \стойка\ \ у\ \ }} \overset{\text{являются}}{\overbrace{ \стойка\ \ =\ \ }} \overset{\text{три раза}\ \ }{\overbrace{ \ стойка \ \ 3 \ \ }} \overset{\text{предыдущие значения y}}{\overbrace{ \стойка\ \ f(x)\ \ }} \конец{собрать} $$

Резюме вертикального масштабирования

Пусть $\,k \gt 1\,. $ Начните с уравнения $\,y=f(x)\,.$ Умножьте предыдущее $y$-значения на $\,k\,$, что дает новое уравнение $\,y=kf(x)\,.$ $y$-значения умножаются на число больше $\,1\,$ чтобы они отошли подальше от $x$-ось. Это делает график более крутым, и называется вертикальным растяжением.

Пусть $\,0 \lt k \lt 1\,.$ Начните с уравнения $\,y=f(x)\,.$ Умножьте предыдущее $y$-значения на $\,k\,$, что дает новое уравнение $\,y=kf(x)\,. $ $y$-значения умножаются на число между $\,0\,$ и $\,1\,$ поэтому они приближаются к $x$-ось. Это делает график более плоским, и называется вертикальной усадкой.

В обоих случаях точка $\,(a,b)\,$ на графике $\,y=f(x)\,$ перемещается в точку $\,(a,kb)\,$ на графике $\,y=kf(x)\,.$

Этот тип преобразования формально называется вертикальное масштабирование (растяжение/сжатие) .

Идеи относительно горизонтального масштабирования (Растягивание/сжатие)

• Точки на графике $\,y=f(x)\,$ имеют вид $\,\bigl(x,f(x)\bigr)\,. $

  Точки на графике $\,y=f(3x)\,$ имеют вид $\,\bigl(x,f(3x)\bigr)\,.$

• Как мы можем найти эти искомые точки $\,\bigl(x,f(3x)\bigr)\,$?

  Во-первых, перейти к делу $\,\цвет{красный}{\bigl(3x\,\,f(3x)\bigr)}\,$ на графике $\,\color{red}{y=f(x)}\,.$

  Эта точка имеет $y$-значение что мы хотим, но это неправильно $x$-значение. Значение $x$ этой точки $\,3x\,$ но желаемое $x$-значение просто $\,x\,.$

  Таким образом, текущий $\color{purple}{x}$-значение необходимо разделить на $\,\color{фиолетовый}{3}\,$. $\color{purple}{y}$-значение остается такой же. Это дает желаемую точку $\,\color{green}{\bigl(x,f(3x)\bigr)}\,. $

  Таким образом, график $\,y=f(3x)\,$ совпадает с графиком $\,y=f(x)\,$ за исключением того, что $x$-значения были разделены на $\,3\,$ (, а не , умноженное на $\,3\,$, как вы могли ожидать).

  Обратите внимание, что разделение $x$-значения на $\,3\,$ перемещает их ближе к $y$-ось. Это называется горизонтальной усадкой.

• Преобразования с участием $\,x\,$ НЕ работают так, как вы ожидаете, что они будут работать! Они противоречат интуиции — они противоречат вашей интуиции.

• Вот мыслительный процесс, который вы должны использовать когда вам дан график $\,y=f(x)\,$ и спросил о графике $\,y=f(3x)\,$:

  $$ \начать{выравнивать} \text{исходное уравнение:} &\quad y=f(x)\cr \text{новое уравнение:} &\quad y=f(3x) \end{выравнивание} $$

  $$ \начать{собирать} \text{Интерпретация нового уравнения:}\cr\cr у = е( \overset{\text{заменить $x$ на $3x$}}{\overbrace{ \ \ 3x\ \ }} ) \конец{собрать} $$

  Замена каждого $\,x\,$ на $\,3x\,$ в уравнении вызывает $x$-значения в графе ДЕЛИТЬСЯ на $\,3\,. $

Краткий обзор горизонтального масштабирования

Пусть $\,k\gt 1\,.$ Начните с уравнения $\,y=f(x)\,.$ Замените каждый $\,x\,$ на $\,kx\,$, чтобы дают новое уравнение $\,y=f(kx)\,.$ Это вызывает $x$-значения на графе, подлежащем ДЕЛЕНИЮ на $\,k\,$ который перемещает точки ближе к $y$-ось. Это называется горизонтальной усадкой. Точка $\,(a,b)\,$ на графике $\,y=f(x)\,$ перемещается в точку $\,(\frac{a}{k},b)\,$ на графике $\,y=f(kx)\,. $

Кроме того:

Пусть $\,k\gt 1\,.$ Начните с уравнения $\,y=f(x)\,.$ Замените каждый $\,x\,$ на $\,\frac{x}{k}\,$, чтобы задайте новое уравнение $\,y=f(\frac{x}{k})\,.$ Это вызывает $x$-значения на графе, который нужно УМНОЖИТЬ на $\,k\,$ который перемещает точки дальше от $y$-ось. Это называется горизонтальной растяжкой. Точка $\,(a,b)\,$ на графике $\,y=f(x)\,$ перемещается в точку $\,(ka,b)\,$ на графике $\,y=f(\frac{x}{k})\,. $

Этот тип преобразования формально называется горизонтальное масштабирование (растяжение/сжатие) .

Различные слова, используемые для разговора Преобразования с участием $\,y\,$ и $\,x\,$

Обратите внимание, что разных слов используются, когда речь идет о преобразованиях с участием $\,y\,$ и преобразования с участием $\,x\,.$

Для преобразований с участием $\,у\,$ (то есть преобразования, которые изменяют $y$-значения точек), мы говорим:

СДЕЛАЙТЕ ЭТО к предыдущему $y$-значение

Для преобразований с участием $\,х\,$ (то есть преобразования, которые изменяют $x$-значения точек), мы говорим:

ЗАМЕНИТЬ предыдущий $x$-значения по $\ldots$

Убедитесь, что вы видите разницу!

Вертикальное масштабирование:
Переход от $\,у=е(х)\,$ к $\,y = kf(x)\,$  для  $\,k\gt 0$

Горизонтальное масштабирование:
Переход от $\,у = f(x)\,$ к $\,y = f(kx)\,$  для  $\,k\gt 0$

Убедитесь, что вы видите разницу между (скажем) $\,у = 3f(x)\,$ и $\,y = f(3x)\,$!

В случае $\,y = 3f(x)\,$ $\,3\,$ находится «снаружи»: мы опускаем $\,x\,$ в ячейку $\,f\,$, получение соответствующего вывода, и , затем , умноженное на $\,3\,. $ Это вертикальная растяжка.

В случае $\,y = f(3x)\,$ $\,3\,$ находится «внутри»: мы умножаем $\,x\,$ на $\,3\,$ перед , опуская его в поле $\,f\,$. Это горизонтальная усадка.

Примеры

Вопрос: Начните с $\,y = f(x)\,.$ Сделайте вертикальную растяжку: $y$-значения на графике следует умножить на $\,2\,.$ Что такое новое уравнение?

Решение: Это трансформация, включающая $\,у\,$; это интуитивно понятно. Вы должны умножить предыдущее $y$-значения на $\,2\,.$ Новое уравнение: $\,y = 2f(x)\,$

Вопрос: Начните с $\,y = f(x)\,.$ Сделайте горизонтальную растяжку: $x$-значения на графике должно быть умножено на $\,2\,.$ Что такое новое уравнение?

Решение: Это трансформация, включающая $\,х\,$; это нелогично. Вы должны заменить каждый $\,x\,$ в уравнении через $\,\frac{x}{2}\,.$ Новое уравнение: $\,y = f(\frac{x}{2})\,$ 93\,.