Действия с комплексными числами практическая работа – Практические работы по теме»Комплексные числа»

Практические работы по теме»Комплексные числа»

ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«БЕЛГОРОДСКИЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ»

Практические работы по теме «Комплексные числа»

Разработала: преподаватель математики

Н. А. Гроза

Белгород 2018

Практическая работа №1

Тема: «Действия над комплексными числами в алгебраической форме»

Цель работы: научиться выполнять действия над комплексными числами в алгебраической форме, решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом.

Краткие теоретические сведения.

Комплексные числа — числа вида Z = a +

ib, где a,b – вещественные числа, а i = — мнимая единица (i² = −1). Множество комплексных чисел обозначается C.

Действительные числа a и b комплексного числа Z = a + ib, называются действительной и мнимой частью числа z и обозначаются, соответственно, Rez=x и Imz=y.

Два комплексных числа z₁=a + ib и z₂=c + id называются равными в том и только том случае, если a = c, b = d.

Запись Z=a + ib называют алгебраической формой комплексного числа z.

Числа Z=a + ib и =a − ib называют

комплексно сопряженными.

Геометрическое представление комплексного числа

Если рассмотреть плоскость с прямоугольной системой координат, то любому комплексному числу z = a + ib можно сопоставить точку на этой плоскости с соответствующими координатами (a;b), и радиус-вектор R комплексного числа, т.е. вектор, соединяющий начало координат с точкой на плоскости, соответствующей числу (рис. 1). Данная плоскость называется комплексной. Действительные числа располагаются на горизонтальной (вещественной) оси, мнимые части – на вертикальной (мнимой) оси.

— модуль комплексного числа — расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора.

, где — аргумент комплексного числа.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Сложение: Z₁ + Z₂ = (a+ib)+(c+id) = (a+c) + (b+d)i.

Вычитание: Z₁ — Z₂ = (a+ib)-(c+id) = (a—c) + (b—d)i.

Умножение: Z₁ · Z₂ = (a+ib)(c+id)=(ac − bd)+(ad + cb)i.

Деление: .

Умножение на сопряженное: Z · =(a + bi)(a —bi)= a² –b²i²= a² – b²·(-1) = a

² + b² – квадрат суммы

Примеры решения задач:

Пример 1. Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраической форме:

Z₁ = 4+ 5i, Z₂ = 6−9i.

Решение: 1) Z₁ + Z₂ = (4+ 5i) + (6−9i)= 4+6+5i -9i.= 10 – 4i

2) Z₁ — Z₂ = (4+ 5i) — (6−9i)= 4-6+5i +9i.= -2 + 14i

3) Z₁ ·Z₂ = (4+5i)(6− 9i)= 24 −36i + 30i− 45i²= 24 -6i — 45·(-1) = 69 -6i.

4)

Ответ: Z₁ + Z₂ =10 – 4i, Z₁ — Z₂ = -2 + 14i, Z₁ ·Z₂ =69 -6i,

Пример 2. Раскрыть скобки, используя формулы сокращенного умножения:

1) (2+ 3i)² = 2² + 2·2·3i + (3i)² = 4 +12i + 9·(-1) = -5+12i,

2) (5 + 4i)(5 — 4i)= 5² –4²i²= 25 – 16·(-1) = 25 + 16 =4,

3) (3-5i)² = 3² — 2·3·5i + (-5i)² = 9 — 30i + 25(-1) = -16- 30i.

Пример 3. Изобразим на комплексной плоскости числа

Z₁ = 2 + i; Z₂ = 3i;

Z₃ = -3 + 2i; Z₄ = -1 – i. 

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение комплексного числа.

2. Какие числа называются комплексно – сопряженными?

3. Какие комплексные числа называются равными?

4. Как вычислить модуль комплексного числа?

5. Как производятся действия над комплексными числами в алгебраической форме?

Задания для самостоятельного решения

Z₁ = 4i Z₂ = 3 + i

Z₃= — 4 +3i Z₄= — 2 -5i

Z₁= -5i Z₂= 4 + i

Z₃= -7 + 2i Z₄= -3 – 6i

Z₁= -5i Z₂= 4 + i

Z₃= -7 + 2i Z₄= -3 – 6i

Z₁= -5i Z₂= 4 + i

Z₃= -7 + 2i Z₄= -3 – 6i

2 . Вычислите модуль комплексного числа

Z = 3 + 4i

Z = 8 + 6i

Z = -1 + i

3. Произведите сложение и вычитание комплексных чисел:

Z₁ = (3 + 5i) , Z₂ = (7 – 2i)

Z₁ = (3 – 2i), Z₂ = (5 + 3i)

Z₁ = (4 + 2i), Z₂ = (– 3 + 2i).

Z₁ = (– 2 + 3i), Z₂ = (7 – 2i)

4. Выполните действие над комплексными числами:

а) (2 + 3i)(5 – 7i),
б) (3 + 2i)(3 – 2i),

в) (3 + 5i)²,

г) .

а) (3 + 2i)(1 + 3i),
б) (7 – 6i)(7 + 6i),

в) (2 – 7i)²,

г) .

а) (– 2 + 3i)(3 + 5i),

б) (4 + 3i)(4 – 3i),

в) (4 + 2

i)²,

г) .

а) (6 + 4i)(5 + 2i),

б) (2 – 5i)(2 + 5i),

в) (3 – 2i)²,

г) .

5. Решите уравнения:

x² – 4x + 13 = 0.

2,5x² + x + 1 = 0..

x² + 3x + 4=0

4x² – 20x + 26 = 0

Практическая работа №2

Тема: «Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной форме»

Цель работы: научиться переводить комплексные числа и выполнять действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах.

Краткие теоретические сведения.

Для всякого комплексного числа z = a + ib справедливо равенство:

z=R(cosφ+ isinφ) называют тригонометрической формой комплексного числа,

z = – называют показательной формой комплексного числа

Здесь — модуль комплексного числа — расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора.

Угол φ между положительной полуосью действительной оси и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке, называется аргументом комплексного числа — .

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

В тригонометрической форме

z₁ =R₁(cosφ₁ + isinφ₁

), z₂ =R₂(cosφ₂ + isinφ₂)

В показательной форме

Z₁ = , Z₂ =

Умножение

Z₁ ∙ Z₂ = R₁∙R₂(cos(φ₁+φ₂) + isin(φ₁+φ₂)).

Z₁·Z₂=

Деление

.

,

Возведение в степень

zⁿ =Rⁿ(cos nφ + isin nφ) — формула Муавра

.

Извлечение корня

, k = 0,1,2…..n-1

,

k = 0,1,2…..n-1

Примеры решения задач:

Пример. А) Представить числа z₁ = , в тригонометрической и показательной форме,

Б) вычислить в тригонометрической форме: 1) z₁∙z₂; 2) ; 3) ; 4)

Решение: А). Получим тригонометрическую и показательную форму z₁ = ,

1) Найдем модуль числа — , 2) Найдем аргумент числа — ,

3) запишем к.ч. в тригонометрической и показательной форме:

z₁ = .

,

1) — модуль числа,

2) — аргумент числа

3) запишем к.ч. в тригонометрической и показательной форме:

.

Б) Произведение:

z₁∙z₂ =

.

Частное:

=

.

Возведение в степень:

.

Извлечение из под знака корня:

.

Пр k=0: ;

Пр k=1: .

Задания для самостоятельного решения

1. Изобразить комплексные числа на комплексной плоскости. 

2. Определить длину и аргумент каждого комплексного числа. 

3. Представить данные комплексные числа в тригонометрической и показательной форме.

4. Вычислить в тригонометрической и показательной формах:

1) z₁∙z₂; 2) ; 3) ; 4)

Z₁= 2- 2i; Z₂=

Z₁= ; Z₂=

Z₁= ; Z₂=

Z₁= ; Z₂=

infourok.ru

Практическая работа по теме «Действия с комплексными числами»

Просмотр содержимого документа
«Практическая работа по теме «Действия с комплексными числами»»

Практическая работа

по теме «Комплексные числа»

Действия с комплексными числами.

Практическая работа № 4.

Цели: формировать умение графического изображения комплексных чисел, выполнения арифметических операций с комплексными числами.

Оборудование: тетрадь для практических работ, ручка, простой карандаш, линейка, методические рекомендации по выполнению работы

Указание. Практическая работа состоит из двух частей – теоретической и практической. После изучения теоретического материала можно приступать к выполнению практической части. Она состоит из одной или более задач для самостоятельного выполнения и контрольных вопросов. Не забывайте о правильном оформлении решения. Каждое правильно выполненное задание оценивается определенным количеством баллов.

Порядок выполнения работы

1. Рассмотрите теоретический материал по теме и примеры решения задач (приведены ниже).

2. Решите самостоятельную работу. Оформите решение письменно в тетради.

3. Ответьте письменно на контрольные вопросы.

Ход работы

1. Теоретический материал.

Изображение комплексных чисел.

 Комплексные числа  записываются в виде:  a+ bi. Здесь  a и  b – действительные числа, а  i – мнимая единица, т.e.  i ² = –1. Число  a называется абсциссой, a  b – ординатой комплексного числа  a+ bi. Комплексное число 0+ bi  называется чисто мнимым числом. Запись bi означает то же самое, что и  0+ bi.

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль

Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат xOy  . Каждому комплексному числу z = a + bi  можно сопоставить точку с координатами (a;b) , и наоборот, каждой точке с координатами (c;d)  можно сопоставить комплексное число w = c + di  . Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплексные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью.

        Пример.    Изобразим на комплексной плоскости числа

Z₁ = 2 + i; z₂ = 3i; z₃ = -3 + 2i; z₄ = -1 – i. 

            

Решение:

а

в

Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, а умножение — по правилу (a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i (здесь как раз используется, что i² = –1). Число  = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi. Равенство z ·  = a² + b² позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:

.

Например, 

Самостоятельная работа

1 вариант	2 вариант	Количество баллов
№ 1. Изобразите на плоскости заданные комплексные числа:
z1= 4i	z1= -5i	1
z2 = 3 + i	z2= 4 + i	1
z3= — 4 +3i	z3 = -7 + 2i	1
z4= — 2 -5i	z 4= -3 – 6i	1
№ 2. Произведите сложение и вычитание комплексных чисел:
А) (3 + 5i) + (7 – 2i). б) (6 + 2i) + (5 + 3i).  в) (– 2 + 3i) — (7 – 2i). г) (5 – 4i) — (6 + 2i).	(3 – 2i) + (5 + i). (4 + 2i) + (– 3 + 2i). (– 5 + 2i) — (5 + 2i). (– 3 – 5i) — (7 – 2i).	2 2 2 2
№ 3. Произведите умножение комплексных чисел:
a) (2 + 3i)(5 – 7i).  б) (6 + 4i)(5 + 2i). в) 11) (3 – 2i)(7 – i).  г) (– 2 + 3i)(3 + 5i).	(1 –i)(1 + i). (3 + 2i)(1 + i). (6 + 4i)3i. (2 – 3i)(– 5i).	2 2 2 2
№ 4. Выполните деление комплексных чисел:
а) б)	a) б)	2 2
№ 5. Выполните действия:
a) (3 + 2i)(3 – 2i).  б) (5 + i)(5 – i).  в) (1 – 3i)(1 + 3i).	а) (7 – 6i)(7 + 6i). б) (4 + i)(4 – i). в) (1 – 5i)(1 + 5i).	2 2 2
№ 6. Решите уравнения:
а) x2 – 4x + 13 = 0. б) x2 + 3x + 4 = 0	а) 2,5x2 + x + 1 = 0. б) 4x2 – 20x + 26 = 0.	3 3
№7. На рисунке показано графическое изображение комплексных чисел. Перерисуйте рисунок в тетрадь. Обозначьте комплексные числа как z1, z2, z3. Запишите соответствующие аналитические формы.
		2

Критерии оценки

Набранное количество баллов	оценка
21 – 28 баллов	3
29 — 34 баллов	4
35 — 38 балла	5

Эталон ответа

Вариант 1	Вариант 2
1.
z1 z2 z3 z4	z1 z2 z3 z4	1 1 1 1
2.
А) 10 + 3i Б) 11 + 5i В) -9 – 6i Г) -1 — 6i	А) 8 – i Б) 1 + 4i В)- 10 Г) -10 – 3i	2 2 2 2
3.
А)10 + 3i Б)22 + 32i В)19 – 17i Г) -21 — i	А) 2 Б) 1 + 5i В)-12 + 18i Г) 10i — 15	2 2 2 2
4.
А)1 + i Б) – i	А)1 – i Б)i	2 2
5.
А)13 Б)26 В)10	А)85 Б)17 В)26	2 2 2
6.
А) 2 + 3i Б)1,5 + i	А) – 0,2 + 0,6i Б)2,5 + 0,5i	3 3
7.
А)z1 = -3 + 5i Б)z2 = 3 + 3i В)z3 = 4 – 7i	А)z1 = -7 + 3i Б)z2 = 2 + -5i В)z3 = -2 -7i	2

Критерии оценки

Набранное количество баллов	Оценка
21-28	3
29-34	4
35-38	5

multiurok.ru

Урок – практическая работа «Действия с комплексными числами»

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока

Дидактические:

• Установление межпредметных связей;
• Повторение выполнения действий с комплексными числами в разных формах записи;
• Повторение перевода записи комплексного числа из одной формы в другую.
• Проверка и углубление знаний по теме;
• Формирование практических умений решения задач;

Развивающие

• Развитие познавательной активности и интереса студентов к изучаемым предметам;
• Развитие логического мышления;
• Развитие абстрактного и наглядно-образного мышления;
• Формирование умений оформления результатов учебной деятельности;

Воспитательные:

• Формирование интереса к изучаемой дисциплине;
• Формирование сознательной дисциплины и норм поведения;
• Формирование умений осуществлять взаимоконтроль учебно-познавательной деятельности, учебно-практической деятельности;
• Формирование умений осуществлять самоконтроль хода и результатов учебной деятельности.

Ход урока

1) Сообщение темы, цели задач практической работы

Во многих разделах математики и ее приложениях невозможно ограничиться рассмотрением лишь действительных чисел. Это заставляет обобщить понятие числа и ввести в рассмотрение множество комплексных чисел, включающее множество действительных чисел: RI C. В истории развития математики комплексные числа возникли первоначально в связи с решением алгебраических уравнений. Действительных чисел оказывается недостаточно для решения алгебраических уравнений, так как во множестве R не имеют решения квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом: x² + 1 = 0, x² + x + 1 = 0. Поэтому множество действительных чисел расширили до множества комплексных чисел, которые часто называют мнимыми.

Сегодня, в ходе практической работы, вы будете решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом, выполнять действия с комплексными числами в разных формах записи.

2) Актуализация опорных знаний и умений студентов

Сначала повторите теоретический материал, необходимый для выполнения работы, используя презентацию <Презентация 1>

После этого выполните допуск к практической работе <Презентация 2>

3) Мотивация учебной деятельности студентов

Все вы успешно справились с заданиями и хорошо подготовились к выполнению работы. Каждый выполняет свой вариант задания <Приложение 3> и оформляет отчёт по работе <Приложение 2>, если у вас возникнут вопросы, можете задать их мне или воспользоваться презентациями и справочным материалом <Приложение 1>

4)Выполнение работы студентами

Работа выполняется студентами на листах формата А4

5) Составление отчёта

Работа оформляется на специальных бланках <Приложение 2>

6) Защита работы

Студенты представляют преподавателю отчёты по работе, отвечают на контрольные вопросы.

Литература

1. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. – М.: Наука, 1989.
2. Зайцев И.А. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 1991.
3. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика. — М.: ABF, 2004.
4. Щипачев В.С. Высшая математика.- М.: “Высшая школа”, 2000.

urok.1sept.ru

Практическая работа «Комплексные числа и действия над ними»

Практическая работа

Тема: Комплексные числа и действия над ними.

Цель: закрепить навыки действий над комплексными числами в разных формах.

Теоретическая часть: Комплексным числом называется выражение — действительные числа, — мнимая единица, которая определяется соотношением: .

Число называется действительной частью числа , а — мнимой частью.

Числа

Два комплексных числа и , называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части :

алгебраическая форма комплексного числа

тригонометрическая форма

показательная форма

Действия с комплексными числами в алгебраической форме.

1. Сложение и вычитание комплексных чисел:

2. Произведение комплексных чисел:

3. Деление комплексных чисел:

Тригонометрическая форма комплексного числа

Z = r(

Модуль комплексного числа r можно найти по формуле r =

Величину угла можно найти по формуле

Показательная форма комплексного числа Z = r

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

)

1. Произведение комплексных чисел:

2. Деление комплексных чисел:

3. Возведение в степень:

4. Извлечение корня

Примеры и решения

№1 Решить квадратное уравнение:

Х² – 6х + 13 = 0

Решение: а=1, в=-6, с=13. Найдем D=; D= (-6)²— 4

Корни уравнения находим по формулам х_1,2=

х_1,2=

х₁=3+2i x₂=3 – 2i

Ответ: х₁=3+2i; x₂=3 – 2i.

№2 Найти значения х и у из равенства (2x+3y) + (x—y)i = 7 + 6i

Решение: из условия равенства комплексных чисел следует

Умножив второе уравнение на 3, и сложив результат с первым уравнением, имеем

5х=25,т.е. х=5. Подставим это значение во второе уравнение: 5 – у = 6,откуда

у = -1. Итак, получаем ответ: х = 5,у = -1.

Даны комплексные числа z₁ = 5 + 3i , z₂ = 7 – 4i

Найти

а)

Решение:

а)

б)

в)

г).

№4 Выполнить деление :

Решение:

№5 Записать число Z = 3 – 3i в тригонометрической и показательной формах.

Решение: 1.Так как а=3, в=-3,то r= =

2. Геометрически определяем, что числу z соответствует точка Z,лежащая в 4 четверти

3. Составим отношения .Отсюда следует, что

4. Итак, z = 6( — тригонометрическая форма числа

Z = 6 — показательная форма числа.

№6 Даны комплексные числа

Найти:

а) в)

Решение:

а) (

б)

в)

Используем формулы приведения

г)

Если

Если

Если

Задание для самостоятельного решения:

1.Решить уравнение:

2.Найти действительные числа из условия равенства двух комплексных чисел:

3.Даны комплексные числа:

Найти: а)

4.Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах:

5.Найти:

Действия произвести, предварительно записав комплексные числа в тригонометрической форме.

Критерии оценки

«5»-выполнены правильно все задания

«4»-выполнены правильно любые четыре задания

«3»-выполнены правильно любые три задания

«2»-выполнено правильно только два задания

Рекомендуемая литература

1. В.Т. Лисичкин, И.Л.Соловейчик. Математика: учебное пособие для техникумов

2.Н.В.Богомолов, Л.Ю.Сергеенко. Сборник дидактических заданий по математике: учебное пособие для ссузов.

3. Алгебра и начала анализа под ред. Г.Н.Яковлева «Математика для техникумов».

infourok.ru

Инструкция к практической работе № 1 по теме «Комплексные числа»

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение

«Орский машиностроительный колледж» г. Орска Оренбургской области

ИНСТРУКЦИЯ

К ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ №1

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

1 КУРС

Преподаватель: О.В. Марченко

Практическая работа № 1

Тема: «Комплексные числа»

Цель: научиться осуществлять действия над комплексными числами в алгебраической форме, изображать комплексные числа на плоскости, решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом.

Ход работы:

1) Ознакомьтесь с теорией по теме:

Мнимой единицей называется число , обладающее свойством .

Числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, – мнимая единица, называют комплексными. Число a называют действительной частью комплексного числа, bi – мнимой частью комплексного числа, b – коэффициентом при мнимой части.

Запись комплексного числа в виде z=a+bi называется алгебраической формой комплексного числа.

Любое комплексное число z = a + bi можно изобразить на комплексной плоскости в виде вектора с началом в точке О (0,0) и концом в точке М (а; b) .

Пример1. Построить геометрическую модель комплексного числа .

Два комплексных числа называют сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаком перед мнимой частью. Сопряженные комплексные числа обозначают: и . Например, и ;

Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме

Пусть даны комплексные числа: и .

1. Сложение .

2. Вычитание

3. Умножение

4. Возведение в степень производят по правилу возведения двучлена в соответствующую степень.

5. При делении двух комплексных чисел в алгебраической форме, необходимо умножить делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю.

Пример 2.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. , так как , , то получим

6. .

Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом

Квадратное уравнение , для которого дискриминант отрицателен, в множестве R действительных чисел не имеет решения, так как корень из отрицательного числа в этом множестве не имеет действительного значения. Рассмотрим решение этого уравнения в множестве С комплексных чисел.

Пример 3.

Решим квадратное уравнение: .

Найдем дискриминант по формуле: . Учитывая, что , получим: . Тогда . Корни уравнения находим по формулам^ ;

; .

Ответ: , .

Контрольные вопросы:

1. Какое число называют мнимой единицей?

2. Какие числа называются комплексными, из каких частей они состоят?

3. Какая форма записи комплексных чисел называется алгебраической?

4. Как изображаются комплексные числа на плоскости (рисунок)?

5. Какие комплексные числа называются сопряженными?

6. Перечислите все арифметические действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

2) Выполните индивидуальные практические задания, указав вариант:

1 вариант

2 вариант

Критерии оценивания

Ответы на контрольные вопросы

2 балла

1. Построите геометрическую модель комплексных чисел:

2 балла

1. 1. ;

   2. ;

   3. ;

   4. 

1. ;

2. ;

3. ;

4. 

_{0,5 б.}

_{0,5 б.}

_{0,5 б.}

_{0,5 б.}

2. Решите квадратные уравнения:

3 балла

1. x² – 2x + 8 = 0;

2. x² – 4x + 5 = 0;

3. x² + 6x + 69 = 0;

1. x² + 6x + 25 =0;

2. x²-2x+2=0;

3. x² -4x +16 = 0;

_{1 б.}

_{1 б.}

_{1 б.}

3. Для данных комплексных чисел найдите:

3 балла

а) ,

,

Сложение – 0,5 б.

Вычитание – 0,5б

Умножение — 1 б.

Деление – 1 б.

4. Выполните действия:

3,5 баллов

1. 1. ;

1. 2. ;

1. ;

2. ;

_{1 б.}

_{2,5 б.}

5. Найдите действительную часть квадрата комплексного числа

1,5 баллов

.

Максимальное количество баллов – 15.

Критерии оценивания: оценка «5» — 15-14 баллов,

оценка «4» — 13,5-10,5 баллов,

оценка «3» — 10-6,5 баллов,

оценка «2» — 6 баллов и менее.

infourok.ru

Практическая работа Тема: Действия над комплексными числами

Практическая работа №2

Цель: формирование умения выполнения арифметических операций с комплексными числами, вычисление степени мнимой единицы.

Оборудование: тетрадь для практических работ, ручка, раздаточный материал, рабочая тетрадь с теоретическим материалом.

Вариант – 1

1.Даны два комплексных числа Z₁= (10 + 2i) и Z₂=(1 – 6i). Найдите их сумму, разность, произведение и частное.

2.Проверьте правильность следующих утверждений:

а)Сумма и разность чисто мнимых чисел есть чисто мнимое число.

Для проверки возьмите числа: Z₁=2i, Z₂=-3i

б)Произведение двух чисто мнимых чисел равно действительному числу.

Для проверки возьмите числа: Z₁=-5i, Z₂=3i

в)Квадрат чисто мнимого числа равен действительному отрицательному числу.

Для проверки возьмите числа: Z₁=10i

г)Произведение чисто мнимого числа на действительное равно чисто мнимому числу.

Для проверки возьмите числа: Z₁=7i, Z₂=3

3.Вычислить:

Практическая работа №2

Цель: формирование умения выполнения арифметических операций с комплексными числами, вычисление степени мнимой единицы.

Оборудование: тетрадь для практических работ, ручка, раздаточный материал, рабочая тетрадь с теоретическим материалом.

Вариант – 2

1.Даны два комплексных числа z₁= (12 + 2i) и z₂=(3 – 4i). Найдите их сумму, разность, произведение и частное.

2.Проверьте правильность следующих утверждений:

а)Сумма и разность чисто мнимых чисел есть чисто мнимое число.

Для проверки возьмите числа: Z₁=2i, Z₂=-3i

б)Произведение двух чисто мнимых чисел равно действительному числу.

Для проверки возьмите числа: Z₁=-5i, Z₂=3i

в)Квадрат чисто мнимого числа равен действительному отрицательному числу.

Для проверки возьмите числа: Z₁=10i

г)Произведение чисто мнимого числа на действительное равно чисто мнимому числу.

Для проверки возьмите числа: Z₁=7i, Z₂=3

3. Вычислить:

videouroki.net

Практическая работа по теме «Действия с комплексными числами»

Просмотр содержимого документа
«Практическая работа по теме «Действия с комплексными числами»»

Практическая работа

по теме «Комплексные числа»

Действия с комплексными числами.

Практическая работа № 4.

Цели: формировать умение графического изображения комплексных чисел, выполнения арифметических операций с комплексными числами.

Оборудование: тетрадь для практических работ, ручка, простой карандаш, линейка, методические рекомендации по выполнению работы

Указание. Практическая работа состоит из двух частей – теоретической и практической. После изучения теоретического материала можно приступать к выполнению практической части. Она состоит из одной или более задач для самостоятельного выполнения и контрольных вопросов. Не забывайте о правильном оформлении решения. Каждое правильно выполненное задание оценивается определенным количеством баллов.

Порядок выполнения работы

1. Рассмотрите теоретический материал по теме и примеры решения задач (приведены ниже).

2. Решите самостоятельную работу. Оформите решение письменно в тетради.

3. Ответьте письменно на контрольные вопросы.

Ход работы

1. Теоретический материал.

Изображение комплексных чисел.

 Комплексные числа  записываются в виде:  a+ bi. Здесь  a и  b – действительные числа, а  i – мнимая единица, т.e.  i ² = –1. Число  a называется абсциссой, a  b – ординатой комплексного числа  a+ bi. Комплексное число 0+ bi  называется чисто мнимым числом. Запись bi означает то же самое, что и  0+ bi.

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль

Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат xOy  . Каждому комплексному числу z = a + bi  можно сопоставить точку с координатами (a;b) , и наоборот, каждой точке с координатами (c;d)  можно сопоставить комплексное число w = c + di  . Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплексные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью.

        Пример.    Изобразим на комплексной плоскости числа

Z₁ = 2 + i; z₂ = 3i; z₃ = -3 + 2i; z₄ = -1 – i. 

            

Решение:

а

в

Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, а умножение — по правилу (a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i (здесь как раз используется, что i² = –1). Число  = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi. Равенство z ·  = a² + b² позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:

.

Например, 

Самостоятельная работа

1 вариант	2 вариант	Количество баллов
№ 1. Изобразите на плоскости заданные комплексные числа:
z1= 4i	z1= -5i	1
z2 = 3 + i	z2= 4 + i	1
z3= — 4 +3i	z3 = -7 + 2i	1
z4= — 2 -5i	z 4= -3 – 6i	1
№ 2. Произведите сложение и вычитание комплексных чисел:
А) (3 + 5i) + (7 – 2i). б) (6 + 2i) + (5 + 3i).  в) (– 2 + 3i) — (7 – 2i). г) (5 – 4i) — (6 + 2i).	(3 – 2i) + (5 + i). (4 + 2i) + (– 3 + 2i). (– 5 + 2i) — (5 + 2i). (– 3 – 5i) — (7 – 2i).	2 2 2 2
№ 3. Произведите умножение комплексных чисел:
a) (2 + 3i)(5 – 7i).  б) (6 + 4i)(5 + 2i). в) 11) (3 – 2i)(7 – i).  г) (– 2 + 3i)(3 + 5i).	(1 –i)(1 + i). (3 + 2i)(1 + i). (6 + 4i)3i. (2 – 3i)(– 5i).	2 2 2 2
№ 4. Выполните деление комплексных чисел:
а) б)	a) б)	2 2
№ 5. Выполните действия:
a) (3 + 2i)(3 – 2i).  б) (5 + i)(5 – i).  в) (1 – 3i)(1 + 3i).	а) (7 – 6i)(7 + 6i). б) (4 + i)(4 – i). в) (1 – 5i)(1 + 5i).	2 2 2
№ 6. Решите уравнения:
а) x2 – 4x + 13 = 0. б) x2 + 3x + 4 = 0	а) 2,5x2 + x + 1 = 0. б) 4x2 – 20x + 26 = 0.	3 3
№7. На рисунке показано графическое изображение комплексных чисел. Перерисуйте рисунок в тетрадь. Обозначьте комплексные числа как z1, z2, z3. Запишите соответствующие аналитические формы.
		2

Критерии оценки

Набранное количество баллов	оценка
21 – 28 баллов	3
29 — 34 баллов	4
35 — 38 балла	5

Эталон ответа

Вариант 1	Вариант 2
1.
z1 z2 z3 z4	z1 z2 z3 z4	1 1 1 1
2.
А) 10 + 3i Б) 11 + 5i В) -9 – 6i Г) -1 — 6i	А) 8 – i Б) 1 + 4i В)- 10 Г) -10 – 3i	2 2 2 2
3.
А)10 + 3i Б)22 + 32i В)19 – 17i Г) -21 — i	А) 2 Б) 1 + 5i В)-12 + 18i Г) 10i — 15	2 2 2 2
4.
А)1 + i Б) – i	А)1 – i Б)i	2 2
5.
А)13 Б)26 В)10	А)85 Б)17 В)26	2 2 2
6.
А) 2 + 3i Б)1,5 + i	А) – 0,2 + 0,6i Б)2,5 + 0,5i	3 3
7.
А)z1 = -3 + 5i Б)z2 = 3 + 3i В)z3 = 4 – 7i	А)z1 = -7 + 3i Б)z2 = 2 + -5i В)z3 = -2 -7i	2

Критерии оценки

Набранное количество баллов	Оценка
21-28	3
29-34	4
35-38	5

multiurok.ru