Как найти общий: Как найти наибольший общий делитель (НОД) + свойства, формулы

Как найти наибольший общий делитель (НОД) + свойства, формулы

Понятие наибольшего общего делителя

Для начала разберемся, что такое общий делитель. У целого числа может быть несколько делителей. А сейчас нам особенно интересно, как обращаться с делителями сразу нескольких целых чисел.

Делитель натурального числа — это такое целое натуральное число, на которое делится данное число без остатка. Если у натурального числа больше двух делителей, его называют составным.

Общий делитель нескольких целых чисел — это такое число, которое может быть делителем каждого числа из указанного множества. Например, у чисел 12 и 8 общими делителями будут 4 и 1. Чтобы это проверить, напишем верные равенства: 8 = 4 * 2 и 12 = 3 * 4.

Любое число можно разделить на 1 и на само себя. Значит, у любого набора целых чисел будет как минимум два общих делителя.

Наибольшим общим делителем двух чисел

a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка. Для записи может использоваться аббревиатура НОД. Для двух чисел можно записать вот так: НОД (a, b).

Например, для 4 и 16 НОД будет 4. Как мы к этому пришли:

1. Зафиксируем все делители четырех: 4, 2, 1.


2. А теперь все делители шестнадцати: 16, 8, 4 и 1.


3. Выбираем общие: это 4, 2, 1. Самое большое общее число: 4. Вот и ответ.

Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.

Найдем наибольший общий делитель нескольких целых чисел: 12, 6, 42, 18. Он будет равен шести. Ответ можно записать так: НОД (12, 6, 42, 18) = 6. А чтобы проверить правильность ответа, нужно записать все делители и выбрать из них самые большие.

Взаимно простые числа — это натуральные числа, у которых только один общий делитель — единица. Их НОД равен 1.

Еще один пример. Рассчитаем НОД для 28 и 64.

Как находим:

 

1. Распишем простые множители для каждого числа и подчеркнем одинаковые

   Д (28) = 2 * 2 * 7

   Д (64) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2



2. Найдем произведение одинаковых простых множителей и запишем ответ

   НОД (28; 64) = 2 * 2 = 4

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить поиск НОД можно в строчку, как мы сделали выше или в столбик, как на картинке.

Демо урок по математике

Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.

Способы нахождения наибольшего общего делителя

Найти наибольший общий делитель можно двумя способами. Рассмотрим оба, чтобы при решении задач выбирать самую оптимальную последовательность действий.

1. Разложение на множители

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно разложить их на простые множители и перемножить между собой общие множители для всех чисел.

Пример 1. Найти НОД (84, 90).

Как решаем:

 

1. Разложим числа 84 и 90 на простые множители:

    



2. Подчеркнем все общие множители и перемножим их между собой:

   2 * 3 = 6.

 

Ответ: НОД (84, 90) = 6.

Пример 2. Найти НОД (15, 28).

Как решаем:

 

1. Разложим 15 и 28 на простые множители:

    



2. Числа 15 и 28 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель — единица.

 

Ответ: НОД (15, 28) = 1.

Пример 3. Найти НОД для 24 и 18.

Как решаем:

 

1. Разложим оба числа на простые множители:

    



2. Найдем общие множители чисел 24 и 18: 2 и 3. Для удобства общие множители можно подчеркнуть.
    



3. Перемножим общие множители:

   НОД (24, 18) =2 * 3 = 6

 

Ответ: НОД (24, 18) = 6

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

2. Алгоритм Евклида

Способ Евклида помогает найти НОД через последовательное деление. Сначала посмотрим, как работает этот способ с двумя числами, а затем применим его к трем и более.

Алгоритм Евклида заключается в следующем: если большее из двух чисел делится на меньшее — наименьшее число и будет их наибольшим общим делителем. Использовать метод Евклида можно легко по формуле нахождения наибольшего общего делителя.

Формула НОД: НОД (a, b) = НОД (b, с), где с — остаток от деления a на b.

Пример 1. Найти НОД для 24 и 8.

Как рассуждаем:

Так как 24 делится на 8 и 8 тоже делится на 8, значит, 8 — общий делитель этих чисел. Этот делитель является наибольшим, потому что 8 не может делиться ни на какое число, большее его самого. Поэтому: НОД (24, 8) = 8.

В остальных случаях для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел нужно соблюдать такой порядок действий:

 

1. Большее число поделить на меньшее.


2. Меньшее число поделить на остаток, который получается после деления.


3. Первый остаток поделить на второй остаток.


4. Второй остаток поделить на третий и т. д.


5. Деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель и есть наибольший общий делитель.

Пример 2. Найти наибольший общий делитель чисел 140 и 96:

Как решаем:

 

1. 140 : 96 = 1 (остаток 44)


2. 96 : 44 = 2 (остаток 8)


3. 44 : 8 = 5 (остаток 4)


4. 8 : 4 = 2

Последний делитель равен 4 — это значит: НОД (140, 96) = 4.

Ответ: НОД (140, 96) = 4

Пошаговое деление можно записать столбиком:

Чтобы найти наибольший общий делитель трех и более чисел, делаем в такой последовательности:

 

1. Найти наибольший общий делитель любых двух чисел из данных.


2. Найти НОД найденного делителя и третьего числа.


3. Найти НОД последнего найденного делителя и четвёртого числа и т. д.

Свойства наибольшего общего делителя

У наибольшего общего делителя есть ряд определенных свойств. Опишем их в виде теорем и сразу приведем доказательства.

Важно! Все свойства НОД будем формулировать для положительных целых чисел, при этом будем рассматривать делители только больше нуля.

Свойство 1. Наибольший общий делитель чисел а и b равен наибольшему общему делителю чисел b и а, то есть НОД (a, b) = НОД (b, a). Перемена мест чисел не влияет на конечный результат.

Доказывать свойство не имеет смысла, так как оно напрямую исходит из самого определения НОД.

Свойство 2. Если а делится на b, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством делителей числа b, поэтому НОД (a, b) = b.

Доказательство   Любой общий делитель чисел а и b является делителем каждого из этих чисел, в том числе и числа b. Так как а кратно b, то любой делитель числа b является делителем и числа а, благодаря свойствам делимости. Из этого следует, что любой делитель числа b является общим делителем чисел а и b.   Значит, если а делится на b, то совокупность делителей чисел а и b совпадает с совокупностью делителей одного числа b. А так как наибольшим делителем числа b является само число b, то наибольший общий делитель чисела и b также равен b, то есть НОД (а, b) = b.   В частности, если a = b, то НОД (a, b) = НОД (a, a) = НОД (b, b) = a = b. Например, НОД (25, 25) = 25.

Доказанное свойство наибольшего делителя можно использовать, чтобы найти НОД двух чисел, когда одно из них делится на другое. При этом НОД равен одному из этих чисел, на которое делится другое число.

• Например, НОД (4, 40) = 4, так как 40 кратно 4.

Свойство 3. Если a = bq + c, где а, b, с и q — целые числа, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством общих делителей чисел b и с. Равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) справедливо.

Доказательство   Существует равенство a = bq + c, значит всякий общий делитель чисел а и b делит также и с, исходя из свойств делимости. По этой же причине, всякий общий делитель чисел b и с делит а. Поэтому совокупность общих делителей чисел а и b совпадает с совокупностью общих делителей чисел b и c.   Поэтому должны совпадать и наибольшие из этих общих делителей, и равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) можно считать справедливым.

Свойство 4. Если m — любое натуральное число, то НОД (mа, mb) = m * НОД(а, b).

Доказательство Если умножить на m обе стороны каждого из равенств алгоритма Евклида, то получим, что НОД (mа, mb)= mr, где r — это НОД (а, b). На этом свойстве наибольшего общего делителя основан поиск НОД с помощью разложения на простые множители.

Свойство 5. Пусть р — любой общий делитель чисел а и b, тогда НОД (а : p, b : p) = НОД (а, b) : p. А именно, если p = НОД (a, b) имеем НОД (a : НОД (a, b), b: НОД (a, b)) = 1, то есть, числа a : НОД (a, b) и b : НОД (a, b) — взаимно простые.

Так как a = p(a : p) и b = p(b : p), и в силу предыдущего свойства, мы можем записать цепочку равенств вида НОД (a, b) = НОД (p(a : p), p(b : p)) = p * НОД (a : p, b : p), откуда и следует доказываемое равенство.

Знакомство с темой наибольшего общего делителя начинается в 5 классе с теории и закрепляется в 6 классе на практике. В этой статье мы узнали все основные определения, свойства и их доказательства, а также как найти НОД.

Общий знаменатель дробей онлайн | umath.ru

Калькулятор приводит несколько дробей к общему знаменателю. Просто введите дроби и получите подробное решение и ответ. Можно вводить две, три дроби и более. Числители и знаменатели дробей должны быть натуральными числами.

Как привести дроби к общему знаменателю?

Чтобы выполнить с дробями такие операции, как сравнение, сложение и вычитание, дроби нужно привести к общему знаменателю.

Рассмотрим алгоритм приведения дробей к общему знаменателю. Пусть даны две дроби и Чтобы привести их к общему знаменателю, надо:

1. Найти наименьшее общее кратное знаменателей дробей. Пусть оно равно .
2. Числитель и знаменатель первой дроби умножить на число
3. Числитель и знаменатель второй дроби умножить на число

В результате мы получим две дроби со знаменателем, равным

Пример. Привести к общему знаменателю дроби и

Решение. Находим наименьшее общее кратное знаменателей дробей. НОК(12, 8) = 24. Это число и будет новым знаменателем.

Чтобы знаменатели обеих дробей стали равны 24, числитель и знаменатель первой дроби нужно домножить на 2 = 24:12, а числитель и знаменатель второй дроби — на 3 = 24:8.

Приводим к общему знаменателю первую дробь:

   

Приводим к общему знаменателю вторую дробь:

   

Общий знаменатель трёх дробей

Если к общему знаменателю требуется привести три дроби и более, то алгоритм действий в таком случае аналогичен алгоритму для двух дробей.

1. Находим наименьшее число , которое делится на знаменатели всех дробей (наименьшее общее кратное знаменателей всех дробей). Найденное число будет новым знаменателем.
2. Домножаем числитель и знаменатель каждой дроби на частное

В результате знаменатели всех дробей будут равны .

Чтобы разобраться лучше, рассмотрим пример.

Пример. Привести к общему знаменателю три дроби и

Решение. Сначала найдём наименьшее общее кратное знаменателей дробей. Число 12 делится на знаменатели всех дробей, и это наименьшее такое число. Поэтому НОК(3, 4, 6) = 12. Число 12 будет новым знаменателем.

Чтобы знаменатели дробей стали равны 12, числитель и знаменатель первой дроби нужно домножить на 4 = 12:3, числитель и знаменатель второй дроби — на 3 = 12:4, а числитель и знаменатель третьей дроби — на 2 = 12:6.

Приводим дроби к общему знаменателю и получаем:

   

   

   

Всё — дроби приведены! Пожалуй, самая большая сложность — правильно найти (или угадать) число, которое будет новым знаменателем.

Поиск общих факторов – объяснение и примеры

Что такое общий фактор?

Прежде чем перейти к общим факторам, давайте напомним себе, что такое факторы. Факторы — это целые числа, которые перемножаются, чтобы получить другое число. Множитель числа делит данное число без остатка.

У каждого числа есть множитель, который меньше или равен самому числу. Например, делители числа 12 сами по себе равны 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Мы можем заключить, что все числа имеют делитель 1, и каждое число само по себе является делителем.

В математике общий множитель определяется как число, которое можно разделить на два или более различных числа без остатка.

Как найти общие факторы?

Чтобы найти общие делители двух или более чисел, выполняется следующая процедура:

• Выпишите отдельно все делители каждого числа.
• Определите факторы, которые являются общими для чисел.
• Вы можете сделать это, обведя или нарисовав отрезок линии между факторами, чтобы выделиться.
• Факторы, которые разделяют эти числа, относятся к общим факторам

Давайте решим здесь пару примеров.

Пример 1

Найдите общие делители чисел 20 и 36.

Решение

Нам нужно перечислить делители чисел 20 и 36 отдельно;

Множители 20 = 1, 2, 4, 5, 10 и 20.

Множители 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 и 36.

Следовательно, мы можем наблюдать общие делители чисел 20 и 36 равны 1, 2 и 4

Пример 2

Определить общие коэффициенты 18 и 48

Решение

Факторы 18 = 1, 2, 3, 6, 9 и 18.

Факторы 48 = 1, 1, 3, 3, 9, 9 и 18. 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 и 48.

Следовательно, общие делители чисел 18 и 48 равны 1, 2, 3 и 6.

Пример 3

Найдите общие делители чисел 28, 45 и 80.

Решение

Делители числа 28 = 1, 2, 4, 7, 14 и 28

Множители 45 = 1, 3, 5, 9, 15 и 45

Множители 80 = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40 и 80

Мы можем ясно видеть, что только номер 1 является общим в приведенных выше списках. Таким образом, 1 является общим делителем в этом случае.

Пример 4

Каковы общие делители 36 и 63?

Решение

Перечислите множители каждого числа.

Коэффициенты 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 и 36

Множители 63 = 1, 3, 7, 9, 21 и 63

Поскольку числа 1, 3 и 9 присутствуют в обоих списках, эти числа являются общими делителями 36 и 63.

Пример 5

Найдите общие делители чисел 60, 90 и 150.
Решение

Перечислите делители каждого числа;

60 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60.

90 = 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45 и 90.

150 = 1,2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75 и 150.

Из приведенных списков можно сделать вывод, что общие делители 60, 90 и 150 равны 1, 2, 3,5, 6, 10, 15 и 30.

Пример 6

числа 70 и 315.

Решение

Множители числа 70 равны 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35 и 70

Множители числа 315 равны 1, 3, 5, 7, 9 , 15, 21, 35, 45, 63, 105 и 315.

Следовательно, 1,5, 7 и 35 являются общими делителями 70 и 315.

Теперь, когда мы научились находить общие делители различных чисел, давайте посмотрим, как мы можем применить их для решения математических задач. Навык факторизации чисел необходим в реальных жизненных ситуациях, таких как упрощение дробей и сравнение цен на товары. Другие факторы применения включают понимание времени, обмен денег и расчеты, а также деление количества на равные части.

 

Как найти общий знаменатель

Быстро, сколько будет 1/4 + 3/4? Если вы помните свою математику из школы, вы, вероятно, знаете, что ответ равен 1. Как насчет 1/5 + 3/4? На этот раз не так просто, правда? Прибавление 1/4 к 3/4 довольно просто, потому что знаменатели обеих дробей одинаковы. Но прибавить 1/5 к 3/4 не так просто, и все потому, что знаменатели разные. Итак, как мы решаем такие проблемы? Начнем с того, что найдем то, что называется общим знаменателем. Что именно мы и научимся делать сегодня.

Числители и знаменатели

Прежде чем мы научимся складывать и вычитать дроби, нам нужно научиться находить общий знаменатель. И прежде чем мы это сделаем, нам нужно убедиться, что мы в курсе некоторых основных принципов дроби. В частности, когда мы впервые заговорили о числителях и знаменателях, мы узнали, что знаменатель дроби говорит вам, сколько равных частей в целом — и это может быть целый пирог, целый год, целый iPhone или что-то еще. — разбивается на части, и числитель дроби говорит вам, сколько таких равных частей содержит дробь.

Таким образом, 4 в дроби, такой как 3/4, означает, что мы разбиваем целое число на 4 равные части. Таким образом, 3 из 3/4 говорит нам, что эта дробь представляет собой сумму, которую мы получим, если возьмем 3 из этих 4 равных частей чего-либо. Хорошо, достаточно легко. Теперь давайте посмотрим, что все это означает при простом сложении и вычитании дробей.

Сложение и вычитание дробей

Для начала, что произойдет, если мы захотим взять эти 3/4 чего-то из предыдущего и добавить к 1/4 этого чего-то? Что ж, здравый смысл — и, как мы, к счастью, увидим, математика — подсказывает нам, что в итоге мы получим что-то целое. Как насчет того, чтобы начать с 1 целого чего-то и вычесть из него 1/4 этого чего-то? Конечно, в итоге мы получаем 3/4 того, с чего начали.

Эти основные факты, по сути, стали для нас здравым смыслом после многих часов, которые мы провели, разбираясь и думая о таких вещах, как пицца, пироги и все остальное в мире, которое можно разбить на части. Как многие из нас узнали в свое время, если мы начнем с целого пирога и удалим 1/4 его (предположительно, ртом), у нас останется 3/4 пирога. Если вместо этого мы начнем с 3/4 пирога, а затем каким-то образом (я не уверен, что хочу знать, как) добавим к нему 1/4 пирога, то неудивительно, что мы получим обратно весь наш пирог.

Что такое общие знаменатели?

Что делает такие задачи довольно интуитивными и даже легкими для размышления, так это тот факт, что все дроби записываются в терминах так называемого общего знаменателя. Другими словами, они написаны в терминах одного и того же типа «чего-то» — будь то равные порции яблок, пирогов или чего-то еще. В подобных ситуациях все, что вам нужно сделать, чтобы сложить или вычесть дроби, — это добавить или вычесть их числители (поскольку это говорит нам об общем количестве вещей, которые у вас есть), а затем записать это поверх исходного знаменателя (чтобы вернуть ответ в термины тех самых).

Например, поскольку обе дроби в 3/4 + 1/4 имеют общий знаменатель 4, мы находим ответ, складывая числители 3 + 1 = 4, а затем записывая это поверх исходного знаменателя 4, чтобы найти, что 3/4 + 1/4 = 4/4. Как мы узнали, говоря об упрощении дробей, эта дробь 4/4 равна 1. Для задачи 2/3 – 1/3, поскольку обе дроби записаны в терминах одного и того же общего знаменателя, мы можем вычесть числители чтобы получить 2 — 1 = 1, и, следовательно, найти, что 2/3 — 1/3 = 1/3.

Ключевой момент здесь (поэтому я повторяю это!) заключается в том, что дроби легко складывать, если они записаны в терминах одного и того же общего знаменателя. Естественно возникает вопрос: как привести дроби к общему знаменателю?

Как найти общий знаменатель

Самый простой способ найти общий знаменатель пары дробей — умножить числитель и знаменатель каждой дроби на знаменатель другой. Итак, если вы пытаетесь переписать 1/3 и 1/6 с точки зрения одного и того же общего знаменателя, все, что вам нужно сделать, это умножить верхнюю и нижнюю часть 1/3 на 6 (что является знаменателем 1/6). ) и верхнюю и нижнюю части 1/6 на 3 (что является знаменателем 1/3), чтобы найти, что 1/3 = (1 x 6) / (3 x 6) = 6/18 и 1/6 = ( 1 х 3) / (6 х 3) = 3/18.

Почему это работает? Потому что, как мы знаем из нашего опыта с упрощением дробей, 1/3 и 6/18 эквивалентны, как и 1/6 и 3/18. Таким образом, изученный нами прием — не более чем метод быстрого нахождения эквивалентных форм дробей, записанных в терминах одного и того же общего знаменателя. Как обычно, обратите внимание, что после того, как мы переписали эти дроби в терминах общего знаменателя, мы можем легко складывать или вычитать их. Таким образом, 1/3 + 1/6 = 6/18 + 3/18 = 9/18 (что можно упростить до 1/2), 1/3 – 1/6 = 6/18 – 3/18 = 3/18. (которое можно упростить до 1/6) и так далее.

Хотя этот метод нахождения общего знаменателя всегда будет работать, это не обязательно лучший метод для решения каждой задачи. Почему? Ну, краткий ответ заключается в том, что это часто оставляет вас с большим количеством упрощений. И, как мы узнаем в следующий раз, большей части этого упрощения можно полностью избежать, если быть немного умнее в выборе общего знаменателя.

Подведение итогов

Итак, это все расчеты, на которые у нас есть время на сегодня.