4 закона логики, которые помогут определить ложные суждения
Содержание статьи
В жизни мы часто слышим фразы «это не поддается логике» или «это нелогично». В целом мы понимаем, что речь идет про неверное суждение, ошибочные выводы. Но в чем конкретно нарушена логика — сказать трудно. Существуют 4 закона логики, с помощью которых можно легко отделить ложь от правды. Логика — это древняя наука, появившаяся в 4 веке до н.э., ее основателями были Аристотель, Сократ, Платон и многие другие известные философы, которые усердно изучали законы и формы правильного логического мышления. Давайте разберем на простых примерах значения основных четырех законов логики и как их применить в жизни.
Закон тождества
Любая мысль должна соответствовать самой себе, то есть иметь конкретное значение и быть точной и понятной. Самый известный пример: «ученики прослушали урок». Термин «прослушали» в этом предложение может иметь два определения: то ли ученики ничего не слушали на уроке, то ли, наоборот, внимательно изучали новую тему.
Главное, на что необходимо обращать внимание, так это на неоднозначные слова, которые могут иметь несколько значений. Сложнее всего распознать нарушение тождества в сложных утверждениях:
- Что вы выберите: счастье или конфету? — Счастье.
- Как вы считаете, что лучше счастья? —Ничто!
- Но конфета лучше, чем ничто.
- Поэтому конфета получается лучше счастья.
В примере понятие «ничто» в первом варианте означало «отказ от выбора варианта», во втором, как отсутствие чего-либо.
Закон противоречия
Две отрицающих друг друга мысли не могут быть одинаково верными. Например, когда говорят «черный пес» и «белый пес», имея в виду одного и того же пса в одном промежутке времени, то правильным может быть только одно утверждение. В жизни важно выявлять противоречия, отделять игру слов от лжи.
Закон исключенного третьего
Два противоречащих утверждения не должны быть одинаково ложными. Тут важно отличать противоречащие от противоположных утверждений.
Первые суждения не имеют третьего варианта, например, большая квартира и небольшая квартира. Противоположные суждения допускают, что возможен и другой вариант, например, «маленькая квартира» и «большая квартира», другой вариант — «средняя квартира». На простых примерах принцип понятен, а вот в жизни противоречащие суждения обычно разделены длинным предисловием, который сбивает с мысли.
Закон достаточного основания
Истинная мысль должна быть основана на аргументах, чтобы быть истинной. Важно, что само утверждение должно следовать из этих фактов. Например, «я готовился к экзамену, поэтому я не заслужил двойку». Один факт не подтверждает утверждение, студент мог просто прочесть лекции и не заучивать нужный материал. Данный закон помогает не делать преждевременных выводов и не верить, например, разной желтой прессе.
Проверьте себя прямо сейчас, как хорошо вы разбираетесь в логике, пройдите бесплатный онлайн-тест на логику.
Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики
Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики
ОглавлениеВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТЫ СИСТЕМЫ § 1. Истинная форма аристотелевского силлогизма § 2. Посылки и термины § 3. Почему единичные термины были опущены Аристотелем § 4. Переменные § 5. Силлогистическая необходимость § 6. Что такое формальная логика? § 7. Что такое формализм? ГЛАВА II. ПОЛОЖЕНИЯ СИСТЕМЫ § 8. Положения и правила вывода § 10. Больший, средний и меньший термины § 11. История одной ошибки § 12. Порядок посылок § 13. Ошибки некоторых комментаторов нового времени § 14. Четыре галеновские фигуры ГЛАВА III. СИСТЕМА § 15. Совершенные и несовершенные силлогизмы § 16. Логика терминов и логика предложений § 17. Доказательства посредством обращения § 18. Доказательства посредством reductio ad impossibile § 19. Доказательства посредством выделения § 20.  Отбрасываемые формы§ 21. Некоторые нерешенные проблемы ГЛАВА IV. АРИСТОТЕЛЕВСКАЯ СИСТЕМА В СИМВОЛИЧЕСКОЙ ФОРМЕ § 23. Теория дедукции § 24. Кванторы § 25. Основания силлогистики § 26. Выведение силлогистических положений § 27. Аксиомы и правила для отбрасываемых выражений § 28. Недостаточность наших аксиом и правил ГЛАВА V. ПРОБЛЕМА РАЗРЕШИМОСТИ § 29. Число неразрешимых выражений § 30. Правило отбрасывания Слупецкого § 31. Дедуктивная эквивалентность § 32. Сведение к элементарным выражениям § 33. Элементарные выражения силлогистики § 34. Арифметическая интерпретация силлогистики § 35. Заключение ГЛАВА VI. АРИСТОТЕЛЕВСКАЯ МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА ПРЕДЛОЖЕНИЙ § 37. Модальные функции и их соотношения § 38. Основная модальная логика § 39. Законы экстенсиональности § 40. Аристотелевское доказательство M-закона экстенсиональности § 41. Необходимые связи между предложениями § 42. «Материальная» или «строгая» импликация? § 43.  Аналитические предложения§ 44. Аристотелевский парадокс § 45. Случайность у Аристотеля ГЛАВА VII. СИСТЕМА МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ § 47. C-N-b-p-система § 48. «дельта»-определения § 49. Четырехзначная система модальной логики § 51. Парные возможности § 52. Случайность и четырехзначная система модальной логики § 53. Некоторые дальнейшие проблемы ГЛАВА VIII. МОДАЛЬНАЯ СИЛЛОГИСТИКА АРИСТОТЕЛЯ § 54. Модусы с двумя аподиктическими посылками § 55. Модусы с одной аподиктической и одной ассерторической посылкой § 56. Отбрасываемые модусы с одной аподиктической и одной ассерторической посылкой § 57. Разрешение спора § 58. Модусы с возможными посылками § 59. Законы обращения случайных предложений § 60. Исправление ошибок Аристотеля § 61. Модусы со случайными посылками § 62. Философские выводы из модальной логики ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ РЕДАКЦИОННЫЕ ПРИМЕЧАНИЯ |
Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. Пер. с англ. — М.: Издательство иностранной литературы, 1959. – 313 с.
Аристотелевская логика: Логика категорий
[Обратите внимание: описание, которое я здесь даю, не отражает исторических мотивов Аристотеля и интерпретации разработанной им логической системы, которая очень сильно связана с его более широким философским мировоззрением.
Аристотелевская логика — это логика классов или категорий — поэтому ее часто называют «категориальной логикой».
Вернее, это логика утверждений, которые могут быть представлены в терминах классов вещей, и отношений между этими классами .
Например, высказывание на естественном языке «Все коровы — млекопитающие» будет представлено как отношение между классом коров и классом млекопитающих (а именно, что класс коров является подмножеством класса млекопитающих или, что то же самое, что все представители класса коров также являются членами класса млекопитающих).
Аристотелевская логика дает нам инструменты для представления утверждений следующей формы, которые называются «категориальными высказываниями»:
- Все S есть P
- Некоторые S являются P
- Нет S или P
- Некоторые S не являются P
Они отражают субъектно-предикатную структуру широкого класса высказываний, но, конечно, не всех высказываний.
Категорический силлогизм — это рассуждение, состоящее ровно из трех категорических утверждений (двух посылок и заключения), в которых фигурирует ровно три категорических термина, каждый из которых используется ровно дважды.
Примеры:
1. Все люди — млекопитающие.
2. Некоторые строители — люди.
Следовательно, некоторые млекопитающие являются строителями.
1. Гуси не относятся к кошкам.
2. Некоторые птицы — гуси.
Следовательно, некоторые птицы не относятся к кошачьим.
Аристотель исследовал все логически различные типы силлогизмов, которые могут быть созданы с использованием основных категориальных утверждений, и определил, какие из них являются дедуктивно верными, а какие нет. (В системе Аристотеля есть четырнадцать действительных форм. Средневековые логики дали им всем имена.)
Итак, что представляет собой фрагмент естественного языка, логическую структуру которого способна моделировать аристотелевская логика?
Фрагмент естественного языка, содержащий высказывания с двуместной субъектно-предикатной структурой, где подлежащее и предикатные термы могут быть представлены как классы объектов, а логические отношения между высказываниями определяются отношениями включение, исключение и совпадение между классами.
Вот и все.
Одно из самых увлекательных занятий на уроке символической логики — научиться преобразовывать выражения естественного языка в логический синтаксис конкретной логической системы. Неформально мы называем этот перевод с английского (скажем) на «логический» (по аналогии с «китайским», «японским» и т. д.).
Основное преимущество таких упражнений для студентов-лингвистов состоит в том, что они помогают вам осознать грамматические и логические особенности языка, на которые иначе вы не обратили бы внимания.
Например, легко перевести «Некоторые подростки работают в McDonald’s» , потому что и подлежащее, и сказуемое представляют собой существительных во множественном числе — каждое из которых обозначает класс объектов. Именно для этого была создана категориальная логика.
Существительные во множественном числе могут функционировать как подлежащие или предикатные термины в категориальном утверждении.
«Некоторые сотрудники McDonald’s — подростки » так же грамматически правильно сформированы, как и « Некоторые подростки — сотрудники McDonald’s» .
А теперь рассмотрите это утверждение: «Некоторые подростки дезорганизованы» .
Если поменять местами подлежащее и сказуемое, получится следующее: « Некоторые неорганизованные — подростки» . Это уже не грамматически правильно построенное предложение.
Проблема в том, что слово «дезорганизованный» является прилагательным , а не существительным. Прилагательные используются для изменения существительных, они обычно не могут стоять отдельно.
Чтобы записать это в «логике» аристотелевской логики, вам нужно переписать прилагательное как существительное во множественном числе, например:
«Некоторые неорганизованные люди — подростки».
Теперь предметный термин обозначает класс людей, а не просто голое прилагательное.
Еще примеры упражнений по переводу с английского на логический синтаксис аристотелевской логики:
- «Нарушители будут привлечены к ответственности».
- = «Все нарушители — это люди, которые будут привлечены к ответственности».
- «Требуется сборка».
- = «Некоторые части этого предмета нуждаются в сборке».
- «Нет боли, нет выгоды».
- = «Упражнения без физической боли — это упражнения, приносящие физическую пользу».
Весело, правда? Конечно, они могут быть неуклюжими и роботизированными, но эти переводы вносят определенную ясность в то, что на самом деле утверждается.
Аристотелевская логика была разработана таким образом, что позволяет нам переводить многие виды утверждений естественного языка в утверждения об отношениях между классами. Полный модуль по этой теме покажет вам, как переводить утверждения, подобные следующим:
- «Сократ — человек».
- (Термин относится к физическому лицу)
- «Где дым, там и огонь».
- (В предметном термине используется наречие)
- «В местном аквариуме есть акулы».
- (Термин предмета имеет подразумеваемый квантификатор — некоторые акул, не все акулы)
- «Не каждый любовный роман интересен».
- (нестандартный квантификатор)
- «На арену допускаются только лица с билетами».
- (Эксклюзивное предложение)
- «Пицца — это здоровое блюдо, если в ней есть овощная начинка».
- (условные отношения)
Аристотелевская логика сильна и оставалась доминирующей системой логики, преподаваемой в университетах в течение 2400 лет. Но как теория дедуктивного рассуждения она имеет важные ограничения. Аристотель рассматривает некоторые формы аргументов как действительные, которых мы сегодня не считаем, и он не включает формы аргументов, которые мы признали бы действительными.
Одна из ироний интеллектуальной истории заключается в том, что, хотя евклидова геометрия является величайшим достижением греческой дедуктивной науки, а теория силлогизма Аристотеля задумывалась как теория дедуктивного доказательства , , теория силлогизма не может объяснить даже простейшие доказательства в евклидовой геометрии.
Этому есть несколько причин, но главная причина в том, что не все предложения геометрии имеют простую субъектно-предикатную форму. На самом деле их довольно мало. Вместо этого геометрические доказательства имеют дело с отношений между объектами, а система Аристотеля не предназначена для моделирования отношений. Кроме того, не все предложения геометрии имеют только один квантор; они могут по существу включать повторных использований слов «все» и «существует».
Есть и другие причины, но получается так, что даже простые математические выражения и математические доказательства не могут быть представлены в логике Аристотеля, и это связано с выразительными ограничениями системы — она только моделирует 0015 фрагмент естественного языка и рассуждений на естественном языке.
Формальная логика и структура музыки — Журнал текущих исследований, том. 3
Загрузить документ в формате pdf
Divinevictory Amayo, Howard Community College, 2019, UMBC
Под руководством доктора Майка Лонга , Общественный колледж Говарда
Реферат
Формальная логика обеспечивает основу для формального математического доказательства в математике более высокого уровня. С другой стороны, музыка, одно из изобразительных искусств, где вокальные и инструментальные звуки сочетаются таким образом, чтобы развлекать публику и бросать вызов исполнителям. В течение некоторого времени музыка и математика были связаны, в частности, посредством анализа звуковых волн, который требует тригонометрии. Оказывается, музыка и формальная логика тоже могут быть связаны. Это привело к вопросу: когда музыкальные пассажи эквивалентны так же, как логически эквивалентны математические утверждения? С помощью музыкального анализа и использования основных формальных логических понятий обратного, обратного и контрапозитивного мы исследуем, когда существуют эквивалентности.
Оказывается, в некоторых случаях эквивалентности действительно существуют, и поэтому музыкальные отрывки эквивалентны в том смысле, в каком эквивалентны логические высказывания. Но есть много случаев, когда музыкальные пассажи, которые могут показаться логически эквивалентными, таковыми не являются, и мы исследуем и математически объясняем, почему они не эквивалентны.
« Математика» — слово, которое вселяет страх в сердца многих студентов. Гитара – инструмент с богатой историей и еще более насыщенным звучанием, любимый миллионами людей по всему миру. Что общего у этих двух вещей? Весной 2018 года я не знал, и мне было все равно. Я был студентом, пытающимся избавиться от всей ужасной математики, необходимой для его специальности, и начинающим гитаристом. Итак, когда я открыл рот, чтобы сказать моему профессору дискретной математики (который является моим наставником в этом проекте) о моей неприязни к его области, я не предвидел, что он заставит меня принять вызов, который попытается изменить мое мнение о математика.
Задача приняла форму исследовательского проекта, который должен был углубиться в темы формальной логики, затронутые на моем уроке дискретной математики, и объединить эти темы с моими растущими знаниями и пониманием мира музыки через гитару.
Есть некоторые общие структуры формальной логики, которые необходимо ввести, чтобы начать обсуждение этого исследования. Первый — это условный оператор «если/то» или «если p , то q », где каждое из p и q представляет утверждения. Утверждения в формальной логике идентифицируются как предложения, которые либо истинны, либо ложны. Символически «если p , то q » представляется как . Вторая структура, которую следует рассмотреть, просто меняет порядок этих операторов на противоположный, который мы запишем как . Это известно как «обратное». Третья структура, которую следует рассмотреть, включает в себя добавление отрицаний к обоим утверждениям, которые мы запишем как .
Это известно как «инверсия», когда волнистая линия перед цифрой p и q представляют собой отрицание утверждения или, более неформально, «не». Четвертая структура меняет порядок операторов, а также добавляет отрицания, которые мы записали бы как . Это известно как «контрапозитив». Исходное условное и контрапозитивное имеют важную характеристику в формальной логике, а именно то, что они логически эквивалентны. Точно так же инверсия и инверсия логически эквивалентны. Что именно означает быть логически эквивалентным?
- Два условных утверждения (если / то) имеют одинаковые таблицы истинности или таблицы, используемые в математической логике для определения достоверности утверждений
- Два условных утверждения (если / то) могут быть доказаны друг из друга с использованием методов формального математического доказательства
В таблице 1 сравниваются условные операторы.
| Имя условного оператора: | Символы: | Пример: | Логически эквивалентен: |
| Оригинал выписки | Если загорится красный свет, я остановлюсь. | Противоположный | |
| Конверс | Если я остановлюсь, то загорится красный свет. | Обратный | |
| Обратный | Если горит не красный, то я не остановлюсь. | Конверс | |
| Противоположное | Если я не остановлюсь, значит, горит не красный свет. | Исходная выписка |
Нечто подобное существует в структуре музыки. Эти структуры были замечены в музыке, сочиняемой с 1500-х годов в Европе, но стали заметными в серийной композиции в конце 1800-х и начале 1900-х годов, снова в Европе [1].
Сначала мы рассматриваем отрывок или музыкальную строку как нашу базовую структуру, которую мы можем рассматривать как аналогичную исходному условному оператору в формальной логике (рис. 1 и табл. 2). Вторая музыкальная структура, которую следует рассмотреть, — это «ретроградная». В музыке ретроградом исходной строки или пассажа является просто исходная строка или пассаж, играемый в обратном порядке, начиная с последней ноты или остатка исходного пассажа и заканчивая первой нотой или остатком исходного пассажа.
Это было бы похоже на обратное в формальной логике, где порядок обратный. Третьей музыкальной структурой, которую следует рассмотреть, является «инверсия». В музыке инверсия исходной строки или пассажа создается буквально переворачиванием нот вверх ногами на нотном стане, изменяя контур музыки. В этой структуре первая нота такая же, как и в исходной строке или музыкальном отрывке (некоторые композиторы немного модифицировали это определение и использовали другую начальную ноту, но в этом исследовании начальная нота не будет изменена). Эта структура была бы похожа на инверсию в формальной логике, которая является отрицанием или противоположностью исходных утверждений. Последняя структура, которую следует рассмотреть, — это «ретроградная инверсия». При ретроградной инверсии исходная строка или пассаж переворачивается на нотном стане, как при инверсии, а затем порядок меняется на обратный, как при ретроградной (ретроградная инверсия чаще всего является ретроградной инверсией, но некоторые композиторы конвертируют в противоположную сторону).
порядок, который имеет разные результаты). В этой структуре первая нота совпадает с последней нотой инверсии, а последняя нота совпадает с первой нотой исходного отрывка. Эта структура была бы похожа на контрапозитив в формальной логике, который является отрицанием или противоположностью исходных утверждений с измененным порядком.
Мы предположили, что исходное музыкальное высказывание и ретроградная инверсия будут одинаковыми по ритму и тональности, тождественным совпадением точно так же, как исходное высказывание и контрапозитив в формальной логике логически эквивалентны. Эта идея возникла из-за того, что исходная строка или отрывок музыки и ретроградная инверсия, по-видимому, были эквивалентны точно так же, как эквивалентны исходное утверждение и противопоставление в формальной логике.
Начальные результаты Мы уже показали параллели между первоначальным утверждением и исходной строкой или отрывком музыки, а также ретроградной инверсией и контрапозитивом.
Однако, изучая наши первые музыкальные произведения, мы быстро поняли, что наша гипотеза неверна. Ритм и тональность исходной строки или музыкального отрывка и ретроградной инверсии были разными. В результате мы изменили идею этой исследовательской работы, чтобы предложить рабочее определение «музыкальной эквивалентности» на параллельную «логическую эквивалентность».
Был создан простой музыкальный отрывок с тремя четвертными нотами и четвертной паузой (рис. 1), чтобы лучше описать музыкальные структуры: исходная музыкальная линия или отрывок, за которым следует ретроградная инверсия и, наконец, ретроградная инверсия. Кружки с прикрепленными вертикальными линиями — это ноты, которые сообщают музыканту, какая высота звука должна звучать и как долго. Символы типа французских скобок — это паузы, которые говорят музыканту не играть в течение определенного периода времени.
Этот простой отрывок содержит четыре такта. Вертикальные линии указывают, где начинается каждый новый такт.
Рисунок 1 : Музыкальный отрывок из четырех тактов
Таблица 2 разбивает простое музыкальное произведение на четыре части по такту. Таблица также добавляет сравнения к формальной логике. Эта таблица также облегчает понимание того, почему была выдвинута первая гипотеза.
| Музыка | ||||
| Имя | Оригинальная строка или музыкальное высказывание | Ретроградный | Инверсия | Ретроградная инверсия |
| Параллельность в формальной логике | Условное заявление | Конверс | Обратный | Противоположный |
| Символы | ||||
| Эквивалент | Противоположный | Обратный | Конверс | Условное заявление |
Чтобы понять обсуждение «музыкальной эквивалентности», полезно понять, как в музыке определяются «шаги».
Самый простой способ понять шаги в музыке — посмотреть на клавиатуру фортепиано. Две белые клавиши, между которыми нет черных клавиш, разделены полушагом. Две белые клавиши, между которыми находится черная клавиша, разделены целым шагом. Чтобы еще больше разбить это, движение от белой клавиши к соседней черной клавише составляет полшага, а затем от черной клавиши к следующей белой клавише также является полушагом. Точно так же две черные клавиши, между которыми находится белая клавиша, разделены целым шагом. Разбивая это, движение от черной клавиши к следующей белой клавише составляет полшага, а затем от белой клавиши к следующей черной клавише также является полушагом.
Обратите внимание, что в исходной строке или отрывке ноты каждый раз на нотоносце поднимаются на один шаг вверх, а затем за нотами следует четвертная пауза. В ретроградном, где порядок изменен, сначала идет четвертная пауза, а за ней следуют три ноты в обратном порядке. Кроме того, поскольку каждая из нот в исходном утверждении каждый раз поднимается на ступень вверх, в ретроградной, каждая из нот каждый раз понижается на ступень.
В инверсии четвертная пауза следует за тремя четвертными нотами, что идентично исходному утверждению. Однако каждая из нот каждый раз понижается на шаг, что противоположно исходной строке или музыкальному отрывку, где каждая из трех нот поднимается на шаг вверх. В ретроградной инверсии порядок инверсии меняется, поэтому за четвертной паузой следуют три четвертные ноты. Тем не менее, каждая из трех нот поднимается на один шаг вверх, как в исходном утверждении, но высота тона отличается.
Как уже упоминалось, первоначальная идея этого исследования заключалась в том, что, поскольку исходное утверждение в формальной логике и контрапозитив исходного утверждения были логически эквивалентны, исходная линия или отрывок музыки и ретроградная инверсия были бы одним и тем же отрывком музыки в некоторых способ. Однако этот простой отрывок показывает, что это не так. Было совершенно очевидно, что таблица истинности не может быть использована, чтобы показать, что исходная строка или отрывок музыки и ретроградная инверсия эквивалентны таким же образом, подобно отношениям, разделяемым исходным утверждением и контрапозитивом в формальной логике.
Кроме того, таблицу истинности нельзя было использовать, чтобы показать, что ретроградность и инверсия эквивалентны таким же образом, как и обратное и обратное. Поэтому было выбрано новое направление для исследования, чтобы идентифицировать другую эквивалентность, «музыкальную эквивалентность», которую можно исследовать и определить, которая не требует таблицы истинности или формального математического доказательства, чтобы показать эквивалентность.
В приведенном выше простом музыкальном произведении проявляются некоторые интересные характеристики, которые, возможно, приводят к определению «музыкальной эквивалентности». В этом простом примере исходная музыкальная линия или пассаж и ретроградная инверсия не совсем совпадают. За исключением первой ноты исходного отрывка и последней ноты ретроградной инверсии, ноты не совпадают. Ритмическая структура исходной строки или музыкального отрывка отличается от ретроградной инверсии, поскольку в исходном музыкальном отрывке за тремя четвертными нотами следует четвертная пауза, а в ретроградной инверсии четвертная пауза сопровождается тремя четвертными нотами.
То же самое можно сказать о ретроградности, инверсии и их «музыкальной эквивалентности». Они не одинаковы. За исключением первой ноты инверсии и последней ноты ретроградности, ноты не совпадают. Кроме того, ритмическая структура инверсии отличается от ретроградной, поскольку в инверсии за тремя четвертными нотами следует четвертная пауза, а в ретроградной — четвертная пауза, за которой следуют три четвертные ноты. Из этого следует, что есть только одна характеристика, которая может способствовать понятию «музыкальной эквивалентности», и это гарантия того, что у них есть одна общая нота, которая может не находиться в одном и том же положении. На самом деле одни и те же ноты будут первой нотой в одной структуре и последней во второй структуре, когда эти две структуры «музыкально эквивалентны», и это работает только в одном направлении. Например, первая нота исходной строки или отрывка музыки и последняя нота ретроградной инверсии совпадают, но здесь нельзя добавить наоборот, поскольку эта идея работает только в одном направлении.
Чтобы развить или опровергнуть идею «музыкальной эквивалентности», необходимо более глубокое погружение, и это погружение заключается в фактической музыкальной структуре или паттернах высоты тона нот. Давайте рассмотрим следующие сценарии из более сложной оригинальной музыкальной линии.
- Исходная музыкальная строка или отрывок подпрыгивает на целый тон вверх, а затем еще на целый шаг вверх, а затем вниз на полтона, а ретроградный пойдет вверх на полтона, а затем вниз на целый тон, а затем вниз еще целый шаг:
Original Musical Line Retrograde
- Исходная нотная строка или пассаж подскакивает на целый тон вверх, а затем еще на целый тон вверх, а затем вниз на полтона, а инверсия будет опускаться на целый тон, а затем еще на целый тон вниз, а затем обратно вверх еще на полшага:
Оригинальная музыкальная линия Инверсия
- Исходная музыкальная строка или пассаж подпрыгивает на целый тон вверх, а затем еще на один шаг вверх, а затем вниз на полтона, в то время как ретроградная инверсия будет идти вниз на полтона, затем на целый тон, а затем еще на один вверх весь шаг:
Оригинальная музыкальная линия Ретроградная инверсия
Исходная музыкальная линия здесь немного сложнее, чем исходный простой пассаж, который был создан, так как движение идет вверх и вниз, и есть целые и полутоны.
С исходным отрывком считалось, что закономерности высоты тона нот будут иметь решающее значение для определения понятия «музыкальной эквивалентности». Однако это не так. Мы начали со сравнения исходной музыкальной строки или отрывка и ретроградной инверсии, поскольку они подобны исходному утверждению и контрапозитиву в формальной логике, которые логически эквивалентны. В исходном простом музыкальном отрывке исходная музыкальная линия или высказывание и ретроградная инверсия имели смещение вверх на два шага, но ноты или высота звука были разными. Здесь идея движения между нотами была еще многообещающей. Однако в более поздней более сложной оригинальной музыкальной линии исходная музыкальная линия или пассаж и ретроградная инверсия имели очень разные движения. В исходной музыкальной строке или отрывке движение было на два целых шага вверх и на полшага вниз, тогда как в ретроградной инверсии ноты двигались на полшага вниз, а затем на два целых шага вверх. Один только этот пример развеивает идею о том, что паттерны высоты нот могут иметь решающее значение для определения «музыкальной эквивалентности».
В то время как были идеи о способе определения «музыкальной эквивалентности», каждый раз контрпримеры доказывали, что эти идеи неверны. Единственным результатом было то, что первая нота одной из структур совпадает с последней нотой другой структуры, и это происходит только в одном направлении. Необходимо провести дальнейшие исследования для определения характеристик «музыкальной эквивалентности». Другой возможностью для исследования может быть разработка структуры для определения «музыкальной эквивалентности», аналогичной таблице истинности в формальной логике, которую здесь нельзя использовать. Кроме того, исследования могут выяснить, когда ноты или высота звука «музыкально эквивалентных» структур могут быть одинаковыми или когда одинаковыми являются ритмические структуры.
Лично я понял, что математика — это не то слово, которого следует бояться, а дисциплина, которую следует ценить больше. Я узнал, что математика есть везде, где я никогда не думал.