Конгруэнтность это математика: Что такое конгруэнтность, чем она отличается от равенства, и где ошибка в Конституции США? / Хабр

Конгруэнтность (геометрия) Содержание а также Определение конгруэнтности многоугольников

Пример конгруэнтности. Два треугольника слева равны, а третий похож на них. Последний треугольник не совпадает и не похож ни на один из остальных. Конгруэнтность позволяет изменять некоторые свойства, такие как местоположение и ориентацию, но оставляет другие неизменными, например расстояния и углы . Неизмененные свойства называются инвариантами .
В геометрии две фигуры или объекты являются конгруэнтными,

если они имеют одинаковую форму и размер, или если один имеет такую ​​же форму и размер, что и зеркальное отображение другого. [1]

Более формально, два набора точек называются конгруэнтными,

если и только если одна может быть преобразована в другую с помощью изометрии , т. Комбинации жестких движений , а именно сдвига , вращения и отражения . Это означает, что любой объект можно перемещать и отражать (но не изменять размер) так, чтобы он точно совпадал с другим объектом. Таким образом, две отдельные плоские фигуры на листе бумаги являются конгруэнтными, если мы можем вырезать их, а затем полностью сопоставить. Переворачивание бумаги разрешено.

Эта диаграмма иллюстрирует геометрический принцип конгруэнтности треугольника угол-угол-сторона: для данного треугольника ABC и треугольника A’B’C ‘треугольник ABC конгруэнтен треугольнику A’B’C’ тогда и только тогда, когда: угол CAB конгруэнтен углу C’A’B ‘, а угол ABC конгруэнтен углу A’B’C’, а BC конгруэнтен B’C ‘.
В элементарной геометрии слово конгруэнтное

часто используется следующим образом. [2] Слово
равно
часто используется вместо
конгруэнтного
для этих объектов.

• Два отрезка совпадают, если они имеют одинаковую длину.
• Два угла конгруэнтны, если имеют одинаковую величину.
• Два круга совпадают, если они имеют одинаковый диаметр.

В этом смысле конгруэнтность двух плоских фигур

подразумевает, что их соответствующие характеристики «совпадают» или «равны», включая не только их соответствующие стороны и углы, но также их соответствующие диагонали, периметры и площади.

Связанная концепция подобия применяется, если объекты имеют одинаковую форму, но не обязательно имеют одинаковый размер. (В большинстве определений конгруэнтность рассматривается как форма подобия, хотя меньшинство требует, чтобы объекты имели разные размеры, чтобы считаться подобными.)

Определение конгруэнтности многоугольников

Оранжевый и зеленый четырехугольники равны; синий им не соответствует. Все три имеют одинаковый периметр и площадь . (Порядок сторон синего четырехугольника «смешанный», в результате два внутренних угла и одна диагональ не совпадают.)
Для того чтобы два многоугольника были конгруэнтными, они должны иметь равное количество сторон (и, следовательно, равное количество — то же количество — вершин). Два многоугольника с n

сторонами конгруэнтны тогда и только тогда, когда каждый из них имеет численно идентичные последовательности (даже если по часовой стрелке для одного многоугольника и против часовой стрелки для другого) сторона-угол-сторона-угол -… для
n
сторон и
n
углов.

Конгруэнтность многоугольников можно установить графически следующим образом:

• Сначала сопоставьте и пометьте соответствующие вершины двух фигур.
• Во-вторых, нарисуйте вектор от одной из вершин одной из фигур к соответствующей вершине другой фигуры. Переведите
  первую фигуру по этому вектору так, чтобы эти две вершины совпали.
• В-третьих, поверните
  переведенную фигуру вокруг совпадающей вершины, пока одна пара соответствующих сторон не совпадет.
• В-четвертых, отразите
  повернутую фигуру вокруг этой совпадающей стороны, пока фигуры не совпадут.

Если в какой-то момент шаг не может быть завершен, многоугольники не совпадают.

Конгруэнтность треугольников

См. Также: Решение треугольников

Два треугольника конгруэнтны, если их соответствующие стороны равны по длине, а соответствующие им углы равны по мере.

Если треугольник ABC конгруэнтен треугольнику DEF, математически это соотношение можно записать как:

△ А B C ≅ △ D E F . {\ Displaystyle \ треугольник \ mathrm {ABC} \ cong \ треугольник \ mathrm {DEF}.}

Во многих случаях достаточно установить равенство трех соответствующих частей и использовать один из следующих результатов, чтобы вывести конгруэнтность двух треугольников.

Форма треугольника определяется с точностью до конгруэнтности путем указания двух сторон и угла между ними (SAS), двух углов и стороны между ними (ASA) или двух углов и соответствующей смежной стороны (AAS). Однако указание двух сторон и прилегающего угла (SSA) может дать два различных возможных треугольника.

Определение конгруэнтности

Достаточные доказательства соответствия между двумя треугольниками в евклидовом пространстве могут быть представлены с помощью следующих сравнений:

• SAS
  (сторона-угол-сторона): если две пары сторон двух треугольников равны по длине, а включенные углы равны при измерении, то треугольники совпадают.
• SSS
  (Сторона-Сторона-Сторона): если три пары сторон двух треугольников равны по длине, то треугольники равны.
• ASA
  (Угол-Сторона-Угол): если две пары углов двух треугольников равны по размеру, и включенные стороны равны по длине, то треугольники совпадают.

Постулат ASA был внесен Фалесом Милетским (греч.). В большинстве систем аксиом три критерия — SAS, SSS и ASA — устанавливаются в виде теорем . В школе математика Study Group системы SAS

принимается как один (# 15) из 22 постулатов.

• AAS
  (Угол-Угол-Сторона): Если две пары углов двух треугольников равны по измерению, и пара соответствующих не включенных сторон равны по длине, то треугольники совпадают. AAS эквивалентен условию ASA тем фактом, что если заданы любые два угла, то это же и третий угол, поскольку их сумма должна составлять 180 °. ASA и AAS иногда объединяют в одно условие,
  AAcorrS
  — любые два угла и соответствующую сторону. [3]
• RHS
  (прямоугольная сторона гипотенузы ), также известная как
  HL
  ( сторона гипотенузы): если у двух прямоугольных треугольников гипотенузы равны по длине, а пара более коротких сторон равны по длине, то треугольники конгруэнтны. .

Боковой угол

Условие SSA (side-side-angle), которое определяет две стороны и невключенный угол (также известный как ASS, или angle-side-side) само по себе не доказывает совпадения. Чтобы продемонстрировать соответствие, требуется дополнительная информация, такая как измерение соответствующих углов и в некоторых случаях длины двух пар соответствующих сторон. Есть несколько возможных случаев:

Если два треугольника удовлетворяют условию SSA, а длина стороны, противоположной углу, больше или равна длине соседней стороны (SSA, или длинная сторона-короткий боковой угол), то эти два треугольника совпадают. Противоположная сторона иногда длиннее, если соответствующие углы острые, но всегда

длиннее, если соответствующие углы прямые или тупые. Если угол является прямым углом, также известным как постулат гипотенузы (HL) или условие прямоугольной стороны гипотенузы (RHS), третья сторона может быть вычислена с помощью теоремы Пифагора, что позволяет вычислить постулат SSS. применяемый.

Если два треугольника удовлетворяют условию SSA, а соответствующие углы являются острыми, а длина стороны, противоположной углу, равна длине смежной стороны, умноженной на синус угла, то два треугольника конгруэнтны.

Если два треугольника удовлетворяют условию SSA и соответствующие углы являются острыми и длина стороны, противоположной углу, больше, чем длина смежной стороны, умноженная на синус угла (но меньше длины соседней стороны), тогда нельзя показать, что два треугольника конгруэнтны. Это неоднозначный случай, и из данной информации могут быть образованы два разных треугольника, но дополнительная информация, позволяющая различать их, может привести к доказательству соответствия.

Угол-угол-угол

В евклидовой геометрии AAA (угол-угол-угол) (или просто AA, поскольку в евклидовой геометрии углы треугольника в сумме составляют 180 °) не предоставляет информации о размере двух треугольников и, следовательно, доказывает только сходство, а не конгруэнтность в евклидовом пространстве.

Однако в сферической геометрии и гиперболической геометрии (где сумма углов треугольника зависит от размера) AAA достаточно для сравнения на заданной кривизне поверхности. [4]

CPCTC

Этот акроним означает « Соответствующие части конгруэнтных треугольников — конгруэнтные»

— это сокращенная версия определения конгруэнтных треугольников. [5] [6]

Более подробно, это краткий способ сказать, что если треугольники ABC и DEF совпадают, то есть

△ А B C ≅ △ D E F , {\ Displaystyle \ треугольник ABC \ cong \ треугольник DEF,}

с соответствующими парами углов в вершинах A и D ; B и E ; и C и F , и с соответствующими парами сторон AB и DE ; BC и EF ; и CA и FD , то верны следующие утверждения:

А B ¯ ≅ D E ¯ {\ Displaystyle {\ overline {AB}} \ cong {\ overline {DE}}} B C ¯ ≅ E F ¯ {\ Displaystyle {\ overline {BC}} \ cong {\ overline {EF}}} А C ¯ ≅ D F ¯ {\ Displaystyle {\ overline {AC}} \ cong {\ overline {DF}}} ∠ B А C ≅ ∠ E D F {\ Displaystyle \ угол ВАС \ конг \ угол EDF} ∠ А B C ≅ ∠ D E F {\ Displaystyle \ угол ABC \ cong \ angle DEF} ∠ B C А ≅ ∠ E F D . {\displaystyle \angle BCA\cong \angle EFD.}

Это утверждение часто используется в качестве обоснования в доказательствах элементарной геометрии, когда требуется заключение о конгруэнтности частей двух треугольников после того, как конгруэнтность треугольников была установлена. Например, если два треугольника были показаны как конгруэнтные по критериям SSS,

и утверждение, что соответствующие углы совпадают, необходимо в доказательстве, то CPCTC может использоваться в качестве обоснования этого утверждения.

Связанная теорема — CPCFC

, в которой «треугольники» заменены на «фигуры», так что теорема применима к любой паре многоугольников или многогранников , которые конгруэнтны.

Понятие неконгруэнтность и инконгруэнтность

Выше упоминалось понятие неконгруэнтности, но рассмотрим его подробнее. Какой человек может называться неконгруэнтным?

Примером может служить простая ситуация. Школьники удачно написали контрольную работу, и учитель безучастно им заявляет: «Дети, хочу похвалить вас. Вы замечательно справились с заданием, я рад». Тем временем лицо преподавателя ничего не выражает, взгляд равнодушный, поза закрыта (скрещенные на груди руки). Типичный пример несоответствия невербального поведения и произносимых слов.

Попросту говоря, речь идет о рассогласовании информации, передаваемой по коммуникационному каналу. Иногда она появляется сама собой, когда человек не признает, что чем-то недоволен, но его вид говорит сам за себя.

Рассматривая отдельные примеры, можно удостовериться в том, что очень значительна роль несогласованности компонентов при общении. Что бы вы не говорили и не показывали собственным поведением по собственному желанию, имеются ряд иных сигналов (в интонации, взгляде, положении тела) выдающих действительность. Дополнительные сигналы идут в разрез со сказанным? Общение может не заладиться, несмотря на то, что вы убеждены, что все сказали правильно и как того от вас ожидали. Собеседник или сторонний наблюдатель может подсознательно уловить разницу.

Другой пример. После ссоры с любимым человеком, вы решаете наладить отношения. Вы недовольны ним, собой, ситуацией, но закрываете на это глаза, говорите, что хотите начать заново. Вероятно, вы хотите верить в то, что говорите. Хочет в это поверить и собеседник, но вы или он все равно подсознательно демонстрируете разочарование, неуверенность в желании примирения и сомнения в возможности исправить ситуацию. Вас может выдавать неубедительная речь, интонация и прочее. Не все в поведении подтверждает озвученное сообщение. Конгруэнтная коммуникация подразумевает совпадение вербальных и невербальных проявлений. Важно замечать эти соответствия не только в себе, но и в других.

В каких случаях полезно различать такие проявления? Примеры

• продавщица утверждает, что товар «нормальный», но ее поведение наталкивает на сомнения;
• ребенок с заметной ссадиной на лбу говорит, что «сам упал», но его вид указывает на то, что он выгораживает кого-то;
• друг утверждает, что знает короткий путь к месту назначения, при этом неуверенно озирается.

Таких примеров может быть масса. Человек утверждает одно, но по невербальным признакам подозревается иное. Если это важно для вас, не отбрасывайте сомнения и подозрения, анализируйте услышанное и увиденное.

Когда неконгруэнтность полезна и как определить ее

В отдельных контекстах неконгруэнтность несет пользу. Мы можем размышлять о будущем отпуске в моменты скучного рабочего собрания или на затянувшемся родительском собрании в школе. Можем вспоминать приятные моменты недавнего посещения стоматолога. Эти внутренние процессы позволяют не концентрироваться на неприятных моментах в настоящем, отвлечься от раздражающего фактора.

Желаете распознать неконгруэнтность в коммуникации партнера? Без тщательной настройки перцептивных систем не обойтись.

Рекомендуется освоить «искусство отражения», обращая внимание на нюансы:

1. руки
   : их жестикуляция, расслаблены или нет, сжаты или нет, ладони «смотрят» вверх или нет;
2. дыхание

   : спокойное и расслабленное или прерывистое и напряженное;

3. ноги

   : расслабленная поза или напряженная (покачивание, подергивания).

Важно выражение лица: брови, рот, косой взгляд, «кривая» улыбка, стиснутые зубы. Анализируйте, слушайте голос, тональность, следите за темпом речи и ее громкостью. Различайте эмоциональные паттерны (неуверенность, беспокойство).

Как реагировать на неконгруэнтность

Если вы испытываете неудобство от замеченной инконгруэнтности, один из вариантов реакции: не замечать ее. Можно решить для себя, что вы распознали ее, но свои догадки не проверять. Это не всегда уместно.

Пример: вы беспокоитесь о болеющей матери, подозреваете, что ее состояние ухудшилось, но она утверждает, что все хорошо. Можно применить так званый метакомментарий: «Я смотрю на тебя, и не вижу, что все хорошо». Это заявление ставит человека перед противоречием, зафиксированное вами. Обычно собеседник открывает на это замечание новые факты, по которым вы можете составить картину более развернутую.

Причины

Существует две наиболее распространенные причины неконгруэнтного поведения:

• Желание казаться лучше
  . Пытаясь произвести должное впечатление, человек совершает действия, несоответствующие его состоянию. Это бывает осознанно и неосознанно.
• Желание убедить окружающих в высоком статусе
  , которого в действительности нет. Человек недоволен текущим положением, сопротивляется ему, демонстрирует неконгруэнтное поведение. Первое время человек справляется с задачей, но постепенно выдыхается, появляется внутреннее сопротивление.

Бессознательная и осознанная инконгруэнтность несет вред личности, и требует тщательного анализа.

Определение конгруэнтности в аналитической геометрии

В евклидовой системе конгруэнтность фундаментальна; это аналог равенства для чисел. В аналитической геометрии конгруэнтность может быть определена интуитивно следующим образом: два отображения фигур в одну декартову систему координат конгруэнтны тогда и только тогда, когда для любых

двух точек в первом отображении евклидово расстояние между ними равно евклидову расстоянию между соответствующими точки во втором отображении.

А государства более формальное определения , что два подмножества A

и
B
из евклидова пространства
Rп
называется конгруэнтным , если существует изометрия
п
:
Rп
→
Rн
(элемент из евклидовой группы
Е
(
п
)) с
F
(
A
) =
B
. Конгруэнтность — это отношение эквивалентности .

Когда человек неконгруэнтен?

• Например, человек говорит, что уверен в себе, но голова и взгляд опущены, жесты отсутствуют, голос очень тихий, он сутулится, а его дыхание скованное и зажатое. Либо наоборот, человек, якобы уверенный в себе, зачем-то все время повышает голос, доминирует над окружающими или ведет себя агрессивно без реальной необходимости — это тоже сигнал неконгруэнтности
• Мы иногда говорим людям «я рад вас видеть», но на самом деле это не так. Мы можем даже улыбаться, но при этом глаза, губы, лицо или тело демонстрирует противоположные сигналы. Всем нам знакомы пластмассовые улыбки людей, которым приходится улыбаться по долгу службы. Интуитивно мы без всяких навыков калибровки распознаем такие противоречивые сигналы, и бессознательно используем их как знак, что информации доверять нельзя
• Человек рассказывает о болезненном эпизоде в своей жизни, и при этом смеется или демонстрирует неадекватные описываемой ситуации эмоции — это частый и очевидный пример неконгруэнтности, которой могут проявляться психологические защиты от травмирующего опыта или внешнего вмешательства

Подытоживая, неконгруэнтность — это несогласованность, рассинхронизация, когда человек говорит одно, делает другое, думает третье, а телом показывает противоречивые сигналы.

Конгруэнтные отношения с людьми — это прежде всего отношения, построенные на искренности, открытости и доверии друг к другу

Конгруэнтные конические сечения

Два конических сечения конгруэнтны, если их эксцентриситет и один другой отдельный параметр, их характеризующий, равны. Их эксцентриситет определяет их формы, равенства которых достаточно для установления сходства, а второй параметр затем устанавливает размер. Поскольку две окружности , параболы или прямоугольные гиперболы всегда имеют одинаковый эксцентриситет (в частности, 0 в случае окружностей, 1 в случае парабол и в случае прямоугольных гипербол), две окружности, параболы или прямоугольные гиперболы должны иметь только одно другое общее значение параметра, определяющее их размер, чтобы они были конгруэнтными. 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}

Проверить свои способности

Друзья, для закрепления материала предлагаю Вам узнать, насколько хорошо Вы умеете распознавать эмоции других людей. Для этого существует специальный тест эмоционального интеллекта, в ходе которого Вам предстоит распознать различные эмоции на лицах людей, после чего Вы узнаете количество правильных ответов.

Кроме того, если Вы хотите улучшить свои способности в понимании и управлении своими эмоциями, а также распознавание эмоций других людей, рекомендую Вам курс «Эмоциональный интеллект» от Викиум. Этот курс поможет Вам:

• эффективно разрешать конфликты;
• сохранять невозмутимость в сложных ситуациях;
• замечать признаки обмана в ходе диалогов;
• научиться управлять своими эмоциями;
• повысить уверенность в себе;

После обучения вы сможете:

• выявлять ложь на работе и в личной жизни;
• видеть эмпатию и проявление скрытых эмоций;
• «читать» собеседника;
• не показывать свои эмоции;
• видеть манипуляции;
• наладить личные отношения;

Автор курса – Олег Калиничев. Он директор «Paul Ekman International» в России. Пол Экман – мировой эксперт в психологии эмоций, выявлении обмана и невербальном поведении.

Конгруэнтные треугольники на сфере

Основные статьи: Решение треугольников § Решение сферических треугольников и Сферическая тригонометрия § Решение треугольников

Как и в случае плоских треугольников, на сфере два треугольника, разделяющие одну и ту же последовательность угол-сторона-угол (ASA), обязательно конгруэнтны (то есть, у них есть три одинаковые стороны и три одинаковых угла). [9] Это можно увидеть следующим образом: можно поместить одну из вершин с заданным углом на южном полюсе и провести сторону с заданной длиной вверх по нулевому меридиану. Знание обоих углов на обоих концах сегмента фиксированной длины гарантирует, что две другие стороны исходят с однозначно определенной траекторией и, таким образом, встретятся друг с другом в однозначно определенной точке; таким образом, ASA действительна.

Теоремы сравнения сторона-угол-сторона (SAS) и сторона-сторона-сторона (SSS) также верны для сферы; кроме того, если два сферических треугольника имеют одинаковую последовательность угол-угол-угол (AAA), они конгруэнтны (в отличие от плоских треугольников). [9]

Теорема сравнения плоскость-треугольник, угол-угол-сторона (AAS) не выполняется для сферических треугольников. [10] Как и в плоской геометрии, угол наклона стороны-стороны (SSA) не подразумевает конгруэнтности.

Причины неконгруэнтности

Казалось бы, конгруэнтность – это естественное состояние для любого психически здорового человека. Тогда почему же люди становятся неконгруэнтными? Психологи называют две основных причины:

1. Желание произвести «правильное» впечатление. Большинство людей не готово показывать все эмоции и переживания. Они хотят, чтобы окружающие видели их сильными, успешными и самодостаточными личностями, поэтому старательно скрывают свои слабости.
2. Показательная расслабленность и безмятежность. Так часто ведут себя люди в состоянии эмоционального выгорания. Они пытаются показать окружающим, что пребывают в отличном расположении духа. Но стараясь выглядеть веселыми и шутливыми, они только усугубляют своё состояние эмоционального упадка.

К неконгруэнтности часто приводит стремление продемонстрировать несуществующий успех или высокий статус. В общении с друзьями человек незначительно преувеличивает важность своей работы или должности, постепенно добавляя подробности (как в анекдотах про рыбаков, у которых рыба увеличивается прямо по ходу повествования).

В итоге оказывается, что рассказы человека о себе полностью противоречат действительности. И это одно из самых распространенных проявлений неконгруэнтности в современном обществе. Из-за необходимости поддерживать «легенду», такие люди постоянно испытывают сильное внутреннее напряжение и ощущение дисгармонии.

Плюсы конгруэнтности

Конгруэнтность считается положительным свойством личности. Она даёт человеку ряд существенных преимуществ, таких как:

• уверенность в собственных мыслях, решениях и поступках;
• устойчивые моральные принципы;
• преимущественно хорошее настроение;
• отказ от бесполезной траты энергии;
• искренность, честность и открытость;
• хорошее отношение и уважение со стороны окружающих;
• контроль над собственными эмоциями.

Минусы конгруэнтности

К недостаткам можно отнести следующие особенности конгруэнтности:

• чрезмерная искренность может приводить к конфликтам и непониманию;
• конгруэнтный человек откровенно демонстрирует переживания, которые принято держать при себе;
• конгруэнтность может мешать в делах, поскольку такой человек просто не способен работать с людьми, вызывающими у него отторжение.

Кроме того, конгруэнтным людям чужд конформизм. Это нельзя назвать очевидным минусом или плюсом, но таким людям немного сложнее жить в обществе, подчиняясь общепринятым нормам.

Рекомендации

1. Clapham, C .; Николсон, Дж. (2009). «Оксфордский краткий математический словарь, конгруэнтные числа» (PDF) . Эддисон-Уэсли. п. 167. Архивировано 29 октября 2013 года . Дата обращения 2 июня 2017 .CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
2. «Конгруэнтность» . Открытый справочник по математике. 2009 . Дата обращения 2 июня 2021 .
3. Парр, HE (1970). Повторный курс школьной математики
   . Учебники математики второе издание. ISBN компании G Bell and Sons Ltd. 0-7135-1717-4.
4. Корнел, Антонио (2002). Геометрия для средней школы
   . Учебники математики второе издание. Bookmark Inc. ISBN 971-569-441-1.
5. Перейти
   ↑ Jacobs, Harold R. (1974),
   Geometry
   , WH Freeman, p. 160, ISBN 0-7167-0456-0 Джейкобс использует небольшую вариацию фразы
6. «Конгруэнтные треугольники» . a b Болин, Майкл (9 сентября 2003 г.). «Исследование сферической геометрии» (PDF) . С. 6–7.
7. Hollyer, L. «Slide 89 из 112» .

СУНЦ УрФУ

Расписание

Электронный журнал

Поступающим

Олимпиады, турниры, конкурсы

Планы работы

Подготовительные курсы

Новости:

29.12.2022

Успех во Всероссийском конкурсе учебных судов

Команда СУНЦ УрФУ впервые в истории Свердловской области приняла участие в финальном этапе XVI Всероссийского конкурса учебных судов.

24.12.2022

Победа в первом региональном турнире учебных судов

Команда СУНЦ УрФУ одержала победу в первом в истории Свердловской области региональном турнире XVI Всероссийского конкурса учебных судов.

23.12.2022

Долгожданная награда

Награду из рук губернатора Свердловской области получил победитель Всероссийской олимпиады по искусственному интеллекту.

23.12.2022

Волейбол. Итоги

Команды СУНЦ успешно выступили на первенстве Кировского района Екатеринбурга.

22.12.2022

Успех на всероссийской олимпиаде

Команды СУНЦ УрФУ успешно выступили на всероссийской олимпиаде по программированию.

21.12.2022

С Новым годом, лицей!

Любимый зимний праздник пришел и в наш СУНЦ!

Больше новостей

Видеогалерея:

Новогодние поздравления (декабрь 2022)

СУНЦ.АРТ (ноябрь 2022)

«Горнозаводской Урал» (октябрь 2022)

Больше видео

О нас:

Специализированный учебно-научный центр (СУНЦ) — структурное подразделение ФГАОУ ВО «УрФУ имени первого Президента России Б.Н. Ельцина», созданное в 1990 году как нетиповое структурное подразделение вуза, осуществляющее углубленное дифференцированное обучение по программам основного общего и среднего общего образования. Всего в России 10 СУНЦев. До мая 2011 года СУНЦ работал в составе Уральского государственного университета имени А. М. Горького (УрГУ).

В настоящее время СУНЦ имеет в своем составе 8 кафедр, укомплектованных профессорско-преподавательским составом УрФУ и учителями.

Обучение производится по авторским  программам, разработанным в соответствии с федеральными государственными образовательными стандартами; в составе СУНЦ — 8–11 классы различных профилей.

Иногородние обучающиеся проживают в уютном общежитии.

Прием производится в 8, 9, 10 и 11 классы. Работают подготовительные курсы.

Подробнее о правилах приема в СУНЦ можно узнать в отделе конкурсного отбора
по телефону +7 343 367-82-22 и в разделе нашего сайта «Поступающим».

Как нас найти:

Данилы Зверева ул., 30, Екатеринбург. N56°52´4˝ E60°39´16˝

Проезд:

• автобусами № 48, 52, 81 до остановки «Фирма Авангард»;
• автобусами № 28, 58 до остановки «Данилы Зверева», далее 7 минут пешком по улице Данилы Зверева;
• троллейбусом № 18 до остановки «Данилы Зверева», далее 14 минут пешком по улицам Сулимова, Данилы Зверева;
• троллейбусами № 4 до остановки «Сулимова», № 19, 32 до остановки «Боровая», далее 15 минут пешком по улицам Боровая, Вилонова, Данилы Зверева.

Карл Фридрих Гаусс | Биография, открытия и факты

Карл Фридрих Гаусс

Смотреть все СМИ

Дата рождения:

30 апреля 1777 г. Брауншвейг

Умер:

23 февраля 1855 г. (77 лет) Геттинген Ганновер

Награды и награды:

Медаль Копли (1838 г.)

Изобретения:

гелиотроп магнитометр

Известные работы:

«Арифметические исследования»

Просмотреть весь связанный контент →

Популярные вопросы

Чем знаменит Карл Фридрих Гаусс?

Гаусс считается одним из величайших математиков всех времен за его вклад в теорию чисел, геометрию, теорию вероятностей, геодезию, планетарную астрономию, теорию функций и теорию потенциала (включая электромагнетизм).

Каким было детство Карла Фридриха Гаусса?

Гаусс был единственным ребенком бедных родителей. Он был расчетливым вундеркиндом с даром к языкам. Его учителя и его преданная мать порекомендовали его герцогу Брауншвейгскому в 1791 году, который предоставил ему финансовую помощь для продолжения образования на месте, а затем для изучения математики в Геттингенском университете.

Какие награды получил Карл Фридрих Гаусс?

Гаусс получил медаль Копли, самую престижную научную награду в Соединенном Королевстве, ежегодно присуждаемую Лондонским королевским обществом в 1838 году «за свои изобретения и математические исследования в области магнетизма». За изучение карт, сохраняющих угол, он был удостоен премии Датской академии наук в 1823 г.

Какое влияние оказал Карл Фридрих Гаусс?

Гаусс написал первый систематический учебник по алгебраической теории чисел и заново открыл астероид Церера. Он опубликовал работы по теории чисел, математической теории построения карт и многим другим предметам. После смерти Гаусса в 1855 году обнаружение многих новых идей среди его неопубликованных статей распространило его влияние на оставшуюся часть века.

Сводка

Прочтите краткий обзор этой темы

Карл Фридрих Гаусс , настоящее имя Иоганн Фридрих Карл Гаусс

, (родился 30 апреля 1777, Брауншвейг [Германия] — умер 23 февраля 1855, Геттинген, Ганновер), немецкий математик, обычно считается одним из величайших математиков всех времен за его вклад в теорию чисел, геометрию, теорию вероятностей, геодезию, планетарную астрономию, теорию функций и теорию потенциала (включая электромагнетизм).

Гаусс был единственным ребенком бедных родителей. Он был редкостью среди математиков тем, что был вундеркиндом и сохранял способность производить сложные вычисления в уме большую часть своей жизни. Впечатленные этой способностью и его даром к языкам, учителя и преданная мать рекомендовали его герцогу Брауншвейгскому в 179 г.1, который предоставил ему финансовую помощь для продолжения образования на месте, а затем для изучения математики в Геттингенском университете с 1795 по 1798 год. Новаторская работа Гаусса постепенно сделала его выдающимся математиком той эпохи сначала в немецкоязычном мире, а затем и за его пределами. , хотя он оставался далекой и отчужденной фигурой.

Первое важное открытие Гаусса, сделанное в 1792 году, заключалось в том, что правильный многоугольник с 17 сторонами можно построить с помощью только линейки и циркуля. Его значение заключается не в результате, а в доказательстве, которое основывалось на глубоком анализе факторизации полиномиальных уравнений и открыло дверь более поздним идеям теории Галуа. Его докторская диссертация 1797 дал доказательство основной теоремы алгебры: всякое полиномиальное уравнение с действительными или комплексными коэффициентами имеет столько корней (решений), сколько его степени (наибольшей степени переменной). Доказательство Гаусса, хотя и не вполне убедительное, отличалось критикой более ранних попыток. Позже Гаусс дал еще три доказательства этого важного результата, последнее к 50-летию первого, что показывает важность, которую он придавал этой теме.

Узнайте о жизни и карьере математического гения Карла Фридриха Гаусса

Посмотреть все видео к этой статье

Признание Гаусса как поистине выдающегося таланта произошло благодаря двум крупным публикациям в 1801 году. Прежде всего, это публикация им первого систематического учебника по алгебраической теории чисел, Disquisitiones Arithmeticae . Эта книга начинается с первого описания модульной арифметики, дает подробное описание решений квадратных многочленов от двух переменных в целых числах и заканчивается упомянутой выше теорией факторизации. Этот выбор тем и их естественные обобщения определили повестку дня в теории чисел на протяжении большей части XIX века.веке, и постоянный интерес Гаусса к этому предмету стимулировал множество исследований, особенно в немецких университетах.

Второй публикацией было его повторное открытие астероида Церера. Его первоначальное открытие, сделанное итальянским астрономом Джузеппе Пиацци в 1800 году, произвело сенсацию, но он исчез за Солнцем до того, как удалось провести достаточно наблюдений, чтобы рассчитать его орбиту с достаточной точностью, чтобы узнать, где он снова появится.

Многие астрономы соревновались за честь найти его снова, но Гаусс победил. Его успех основывался на новом методе обработки ошибок в наблюдениях, который сегодня называется методом наименьших квадратов. После этого Гаусс много лет работал астрономом и опубликовал крупную работу по вычислению орбит — числовая сторона такой работы была для него гораздо менее обременительна, чем для большинства людей. Как чрезвычайно преданный подданный герцога Брауншвейгского и, после 1807 года, когда он вернулся в Геттинген в качестве астронома, герцога Ганноверского, Гаусс чувствовал, что его работа имеет общественную ценность.

Подобные мотивы побудили Гаусса принять вызов по обследованию территории Ганновера, и он часто отсутствовал в полевых условиях, отвечая за наблюдения. Проект, который длился с 1818 по 1832 год, столкнулся с многочисленными трудностями, но привел к ряду достижений. Одним из них было изобретение Гауссом гелиотропа (прибора, отражающего солнечные лучи в виде сфокусированного луча, который можно наблюдать на расстоянии нескольких миль), что повысило точность наблюдений.

Другим было его открытие способа сформулировать понятие кривизны поверхности. Гаусс показал, что существует внутренняя мера кривизны, которая не меняется, если поверхность изгибается, но не растягивается. Например, круглый цилиндр и плоский лист бумаги имеют одинаковую внутреннюю кривизну, поэтому на бумаге можно делать точные копии фигур на цилиндре (как, например, в полиграфии). Но сфера и плоскость имеют разную кривизну, из-за чего невозможно составить абсолютно точную плоскую карту Земли.

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подписаться сейчас

Гаусс опубликовал работы по теории чисел, математической теории построения карт и многим другим предметам. В 1830-х годах он заинтересовался земным магнетизмом и участвовал в первом в мире исследовании магнитного поля Земли (для его измерения он изобрел магнитометр). Вместе со своим геттингенским коллегой, физиком Вильгельмом Вебером, он сделал первый электрический телеграф, но некоторая ограниченность помешала ему энергично заняться изобретением. Вместо этого он извлек важные математические следствия из этой работы для того, что сегодня называется теорией потенциала, важной ветви математической физики, возникающей при изучении электромагнетизма и гравитации.

Гаусс также писал о картографии, теории картографических проекций. За свое исследование карт, сохраняющих угол, он был удостоен премии Датской академии наук в 1823 году. Эта работа была близка к предположению, что комплексные функции комплексной переменной обычно сохраняют угол, но Гаусс не сделал этого фундаментального утверждения. ясное понимание, оставив его Бернхарду Риману, который глубоко ценил работу Гаусса. У Гаусса были и другие неопубликованные идеи о природе сложных функций и их интегралов, некоторые из которых он поделился с друзьями.

На самом деле Гаусс часто отказывался публиковать свои открытия. Будучи студентом в Геттингене, он начал сомневаться в априорной истинности евклидовой геометрии и подозревал, что ее истинность может быть эмпирической. Для этого должно существовать альтернативное геометрическое описание пространства. Вместо того чтобы опубликовать такое описание, Гаусс ограничился критикой различных априорных защит евклидовой геометрии. Казалось, он постепенно убедился, что существует логическая альтернатива евклидовой геометрии. Однако, когда венгр Янош Бойяи и русский Николай Лобачевский опубликовали свои отчеты о новой неевклидовой геометрии около 1830 года, Гаусс не смог последовательно изложить свои собственные идеи. Можно объединить эти идеи в впечатляющее целое, в котором его концепция внутренней кривизны играет центральную роль, но Гаусс так и не сделал этого. Одни приписывали эту неудачу его врожденному консерватизму, другие — его непрекращающейся изобретательности, которая всегда влекла его к следующей новой идее, третьи — его неспособности найти центральную идею, которая управляла бы геометрией после того, как евклидова геометрия перестала быть уникальной. Все эти объяснения имеют некоторые достоинства, хотя ни одно из них не может быть исчерпывающим объяснением.

Другой темой, по которой Гаусс в значительной степени скрывал свои идеи от современников, были эллиптические функции. В 1812 году он опубликовал отчет об интересном бесконечном ряду и написал, но не опубликовал отчет о дифференциальном уравнении, которому удовлетворяет бесконечный ряд. Он показал, что ряды, называемые гипергеометрическими рядами, могут использоваться для определения многих знакомых и многих новых функций. Но к тому времени он знал, как использовать дифференциальное уравнение для создания очень общей теории эллиптических функций и полностью освободить теорию от ее истоков в теории эллиптических интегралов. Это был крупный прорыв, потому что, как обнаружил Гаусс в 179 г.0s теория эллиптических функций, естественно, трактует их как комплекснозначные функции комплексного переменного, но современная теория комплексных интегралов была совершенно неадекватна для этой задачи. Когда часть этой теории была опубликована норвежцем Нильсом Абелем и немцем Карлом Якоби примерно в 1830 году, Гаусс заметил своему другу, что Абель прошел одну треть пути. Это было точно, но это печальная мера личности Гаусса, поскольку он все еще воздерживался от публикации.

Гаусс сделал меньше, чем мог бы, и в других отношениях. Геттингенский университет был небольшим, и он не стремился расширить его или набрать дополнительных студентов. К концу его жизни через Геттинген прошли математики калибра Рихарда Дедекинда и Римана, и он был полезен, но современники сравнивали его стиль письма с жидкой кашицей: он ясен и устанавливает высокие стандарты строгости, но ему недостает мотивации и может быть медленным и утомительным, чтобы следовать. Он переписывался со многими, но не со всеми, людьми, достаточно опрометчивыми, чтобы написать ему, но мало что делал, чтобы поддерживать их публично. Редким исключением были случаи, когда Лобачевский подвергался нападкам со стороны других русских за его идеи о неевклидовой геометрии. Гаусс достаточно выучил русский язык, чтобы следить за полемикой, и предложил Лобачевского в Геттингенскую академию наук. Напротив, Гаусс написал Бойяи письмо, в котором сообщил ему, что он уже обнаружил все, что Бойяи только что опубликовал.

После смерти Гаусса в 1855 году открытие стольких новых идей среди его неопубликованных работ расширило его влияние на оставшуюся часть века. Принятие неевклидовой геометрии произошло не с оригинальными работами Бойяи и Лобачевского, а с почти одновременной публикацией общих идей Римана о геометрии, подробного и строгого изложения ее итальянцем Эудженио Бельтрами, а также частных заметок Гаусса и переписка.

Джереми Джон Грей

Конгруэнтность и подобие | Определения и примеры

Все конгруэнтные фигуры подобны, но не все подобные фигуры конгруэнтны. Конгруэнтность означает, что два объекта (будь то двухмерные или трехмерные) идентичны по размеру и форме. Все в них — их углы, длины сторон, габаритные размеры — идентичны. Подобные фигурки имеют одинаковую форму и пропорции, но не обязательно одного размера.

Содержание

1. Конгруэнтность
2. Попробуй!
3. Геометрия Попробуйте!
4. Подобие
5. Использование конгруэнтности и сходства

Конгруэнтность

Два объекта могут иметь одинаковый размер и форму, но не иметь одинаковой ориентации. Они по-прежнему конгруэнтны, как эти морские звезды:

[вставьте два изображения одной и той же морской звезды {морской звезды}, не защищенные авторскими правами, но поверните одно изображение на 36°, чтобы его шипы были ориентированы по-разному]

Или взять эти шахматные фигуры. Один рыцарь на высокой полке, другой на низкой полке. Тот факт, что они находятся в разных плоскостях в трех измерениях, не исключает их конгруэнтности. Они по-прежнему конгруэнтны:

[вставьте рисунок книжной полки с конями {или пешками, или любыми шахматными фигурами} на двух разных полках]

В геометрии конгруэнтных фигур имеют три свойства:

1. Одинаковый размер
2. Та же форма
3. Соответствующие части конгруэнтны

Эта последняя часть объясняет, почему в доказательствах геометрии мы иногда видим CPCFC, что означает: «Соответствующие части конгруэнтных фигур конгруэнтны».

Попробуйте!

Какие пары фигур ниже равны?

[в массив два на два вставьте два одинаковых изображения морского ежа без авторских прав; два изображения плоских морских ежей, одно меньше другого; два одинаковых изображения рыбы-клоуна; и изображения лобстера и краба]

Морские ежи и рыба-клоун конгруэнтны. Песчаные доллары, хотя и одинаковой формы, имеют , а не одинаковый размер. Они похожи. Ракообразные — это два совершенно разных животных, поэтому они не конгруэнтны и не похожи.

Геометрия Попробуйте!

Какие пары фигур ниже равны?

[В массиве два на два: квадрат и прямоугольник; два изображения одинаковых правильных пятиугольников; {второй ряд} два одинаковых равносторонних треугольника, но один повернутый 90°; и два одинаковых круга]

Квадрат и прямоугольник не равны. Пары пятиугольников, треугольников и кругов имеют одинаковый размер и форму. У них есть конгруэнтность. Они конгруэнтны.

Подобие

Подобие означает одинаковую форму и пропорции, но не обязательно одинаковый размер. Углы подобных фигур будут равны, но длины сторон обычно не равны.

Пары конгруэнтных фигур автоматически подобны, но это отношение не работает в обратную сторону. Все конгруэнтные фигуры подобны, но не все подобные фигуры конгруэнтны:

[вставить массив «три на один»: рисование двух одинаковых прямоугольников, один из которых больше другого; два одинаковых круга один больше другого; и два равных квадрата]

Оба прямоугольника имеют одинаковые пропорции. Все круги подобны. Однако ни пара прямоугольников, ни окружностей не являются конгруэнтными. Только квадраты, будучи конгруэнтными, еще и подобны друг другу.

Использование конгруэнтности и подобия

Знание свойств конгруэнтности и подобия позволяет использовать их в доказательствах. Вы можете установить отношения между соответствующими частями двух подобных фигур, например:

Здесь отношение ширины к длине одинаковое:

• 3 см/5 см = 1,5 см/2,5 см

Соотношение соответствующих деталей также одинаковое:

• 5 см/5 см = 1,5 см/3 см

Используя эти отношения и конгруэнтность углов, вы знаете, что формы подобны. Они имеют одинаковую форму и пропорциональны друг другу. Вы можете использовать сходство в более сложных доказательствах:

Здесь отношения ширины к длине одинаковы:

• Дано: Правый △PYH и △TON, ST ≅ SH
• Докажите: PY/NO = PH/NT

Утверждение Причина

• ∠PYT, ∠TON верны ∠s (Дано)
• СТ ≅ Ш
• ∠PYT ≅ ∠TON Правые ∠ все ≅
• ∠STH ≅ ∠SHT Если две стороны △ равны ≅, ∠s напротив
• эти стороны также ≅.

  No related posts.