Вычисление минора и алгебраического дополнения
Понятия минора и алгебраического дополнения изложены в уроке «Определители, свойства определителей, вычисление». А на этой странице тренируемся в решении задач на вычисление миноров и алгебраических дополнений.
Пример 1. Записать и вычислить миноры второго порядка, содержащиеся в первой и третьей строках определителя
Решение. Перебираем все комбинации столбцов определителя и получаем 10 миноров второго порядка:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Пример 2. Записать и вычислить алгебраические дополнения к минорам и определителя из предыдущего примера.
Решение. Умножаем минус единицу в степени, которую составляет
сумма номеров строк и столбцов, в которых находятся миноры, на дополнительный минор
к данному минору.
,
.
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Определители
Пример 3. Найти алгебраические дополнения для элементов и определителя
Решение. Аналогично действиям в предыдущем примере получаем:
,
.
Пример 4. Найти миноры третьего порядка, содержащиеся в первой, третьей и четвёртой строках определителя
Решение. Перебираем все комбинации столбцов определителя и получаем 4 минора третьего порядка:
,
,
,
.
Пример 5.
Вычислить алгебраические дополнения для
миноров, полученных в предыдущем примере.
Решение. Последовательно вычёркиваем из исходного определителя 4-го порядка строки и столбцы, в которых находятся полученные миноры. Получаем дополнительные миноры к полученным. Эти дополнительные миноры являются определителями первого порядка, то есть, состоят из одного элемента. Вычисляем и получаем:
,
,
,
.
Пример 6. Найти алгебраические дополнения для элементов второй строки определителя
Решение. Вычёркиваем последовательно из определителя элементы второй строки и получаем миноры третьего порядка — дополнительные миноры к этим элементам. На них умножаем минус единицу в степени, определяемой суммой номеров строки и столбца, в которых находятся элементы. Вычисляем и получаем:
| Назад | Листать | Вперёд>>> |
К началу страницы
Пройти тест по теме Определители
Начало темы «Определители»
Определители, свойства, вычисление
Продолжение темы «Линейная алгебра»
Матрицы
Системы линейных уравнений
Поделиться с друзьями
Вычисление определителей.
Миноры, алгебраические дополнения.Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Квадратная таблица $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$$ составленная из четырех действительных или комплексных чисел называется квадратной матрицей 2-го порядка. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице $A$ (или просто определителем матрицы $A$) называется число $$\det A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.$$
Аналогично если $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$$
— квадратная матрица 3-го порядка, то соответсвующим ей определителем 3-го порядка называется число
$$\det A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=$$ $$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{23}a_{32}a_{11}.
2+5x+4=0:$
$D=25-16=9$
$x_1=\frac{-5-3}{2}=-4;\qquad x_2=\frac{-5+3}{2}=-1.$
Ответ: $x_1=-4;\,\,\, x_2=-1.$
{jumi[*4]}
3.13. $\begin{vmatrix}3&4&-5\\8&7&-2\\2&-1&8\end{vmatrix}.$
Решение.
$\begin{vmatrix}3&4&-5\\8&7&-2\\2&-1&8\end{vmatrix}=3\cdot 7\cdot8+(-5)\cdot 8\cdot(-1)+4\cdot(-2)\cdot2-(-5)\cdot7\cdot2-$
$-4\cdot8\cdot8-3\cdot(-2)\cdot(-1)=168+40-16+70-256-6=0.$
Ответ: $0.$
3.16. $\begin{vmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha&1\\\sin\beta&\cos\beta&1\\\sin\gamma&\cos\gamma&1\end{vmatrix}.$
Решение.
$\begin{vmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha&1\\\sin\beta&\cos\beta&1\\\sin\gamma&\cos\gamma&1\end{vmatrix}=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\gamma+\cos\alpha\sin\gamma-$
$-\cos\beta\sin\gamma-\sin\alpha\cos\gamma-\cos\alpha\sin\beta=$
$=\sin(\alpha-\beta)+\sin(\beta-\gamma)+\sin(\gamma-\alpha).
T=\det A.$
2) Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и тоже число, то определитель умножится на это число.
3) Если поменять местами две строки (столбца), то определитель поменяет знак. В частности, если две строки (столбца) равны, то определитель равен нулю.
4) Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором — вторые слагаемые.
5) Если одна строка (столбец) является линейной комбинацией других строк (столбцов), то определитель равен нулю.
6) Определитель не меняется если к одной из его строк (столбцов) добавить линейную комбинацию его других строк (столбцов).
Примеры:
3.24. Используя свойства определителя доказать следующее тождество: $\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ $-2x\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}.
$
Доказательство.
$\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$
$\begin{vmatrix}a_1&a_1-b_1x&c_1\\a_2&a_2-b_2x&c_2\\a_3&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1-b_1x&c_1\\b_2x&a_2-b_2x&c_2\\b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$
$=\begin{vmatrix}a_1&a_1&c_1\\a_2&a_2&c_2\\a_3&a_3&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1&c_1\\b_2x&a_2&c_2\\b_3x&a_3&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}b_1x&b_1x&c_1\\b_2x&b_2x&c_2\\b_3x&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$
$-\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1&c_1\\b_2x&a_2&c_2\\b_3x&a_3&c_3\end{vmatrix}=$ $-\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$
$-2\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ $-2x\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}.
{3+4}\begin{vmatrix}2&-3&4\\4&-2&3\\3&-1&4\end{vmatrix}=$
$=a(-27-8-8+3+24+24)-b(18+16+24-9-16-48)+$
$+c(-12-4-18+6+4+36)-d(-16-16-27+24+6+48)=$
$=8a+15b+12c-19d.$
Ответ: $8a+15b+12c-19d.$
{jumi[*4]}
3.61. Вычислить определитель: $\begin{vmatrix}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}.$
Решение.
Вычислим этот определитель с помощью приведения определителя к треугольному виду:
$\begin{vmatrix}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}=$ от каждой из первых четырех строк отнимем пятую $=\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}=$ от пятой строки отнимем первую, затем пятую строку умножим на два
$=\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&1&1&1&11\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&2&2&2&22\end{vmatrix}=$ Далее от пятой строки отнимем вторую, после чего пятую строку умножим на $\frac{3}{2}:$ $=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&2&2&27\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\frac{2}{3}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&3&3&40,5\end{vmatrix}=$ Теперь от пятой строки отнимем третью, после чего пятую строку умножим на $\frac{4}{3}:$ $=\frac{1}{3}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&3&45,5\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{3}\frac{3}{4}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&4&\frac{182}{3}\end{vmatrix}=$ Отнимем от пятой строки четвертую и перемножив диагональные элементы получаем ответ: $=\frac{1}{4}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&0&\frac{197}{3}\end{vmatrix}=$ $=\frac{1}{4}\cdot2\cdot3\cdot4\cdot\frac{197}{3}=394.
2.$
Вычислить определители, используя подходящее разложение по строке или столбцу.
3.51. $\begin{vmatrix}-1&5&2\\0&7&0\\1&2&0\end{vmatrix}.$
Ответ: $-14.$
3.52. $\begin{vmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{vmatrix}.$
Ответ: $4.$
3.54. (б) $\begin{vmatrix}5&a&2&-1\\4&b&4&-3\\2&c&3&-2\\4&d&5&-4\end{vmatrix}.$
Ответ: $2a-8b+c+5d.$
3.62. Вычислить определитель: $\begin{vmatrix}5&6&0&0&0\\1&5&6&0&0\\0&1&5&6&0\\0&0&1&5&6\\0&0&0&1&5\end{vmatrix}.$
Ответ: $665.$
{jumi[*4]}
▷ (ВСЕ) 12 минорных гамм (ФОРМУЛА И ОБРАЗЕЦ)
Определение минорной гаммы в музыке
Минорная гамма – это последовательность последовательных нот, образующих одну определенную модель или формулу
Все минорные гаммы
Секретная формула минорной гаммы:
T-S-T-T-S-T-T
T=тон (полный тон)
S=полутон 90 005
26 Образец минорной гаммы — пример
2 типа минорных гамм
Минорные гаммы с бемолями (b)
относительный мажорный масштаб.
как нам это сделать? Легко: мы добавляем 3 полутона к названию звукоряда. Например: относительный мажор ре минор — фа мажор, потому что расстояние между этими двумя нотами составляет ровно 3 полутона. Следующий вопрос: масштабирует ли этот мажор термин «плоский» в своем названии? Да, это плоская шкала. Если нет — это острая шкала. Единственным исключением является гамма фа мажор, в названии которой нет термина «бемоль», но она является плоской гаммой.
Минорные гаммы с диезами (#)
Чтобы узнать, является ли гамма «диезной гаммой», нам нужно выполнить тот же вышеупомянутый процесс. Как только мы узнаем, что такое относительная мажорная гамма, возникает вопрос: содержит ли название мажорной гаммы бемоль? Да, это плоская шкала. Если нет — это острая шкала. Единственным исключением является гамма фа мажор, в названии которой нет термина «бемоль», но она является плоской гаммой.
В миноре нет ни бемоля, ни диеза!
Изучите все минорные гаммы в теории музыки
В теории музыки мы используем Key Signature , чтобы показать основную гамму, в которой будет исполняться произведение.
Да, большинство произведений, особенно в современной музыке, написаны только в одной гамме, а это означает, что если вы знаете, как играть в этой гамме, вы сможете импровизировать и сделать так, чтобы ваша игра автоматически звучала хорошо!
Гамма ля минор (ля минор)
Гамма минор без диезов и бемолей
Гамма ми минор (ми минор)
Гамма ми минор имеет один диез: F#, написанный в начале нотной гаммы
Гамма ре минор (ре минор) B
b , пишется в начале этой музыкальной гаммыГамма си минор (си минор)
Гамма си минор имеет два диеза: F# и C#, пишется в начале этой музыкальной гаммы
соль минор Гамма (соль минор)
Гамма соль минор состоит из двух бемолей: си-бемоль и ми-бемоль, написанных в начале этой музыкальной гаммы этой музыкальной гаммы
Гамма до минор (до минор)
Гамма до минор имеет три бемоля: Bb, Eb и Ab, написанные в начале этой музыкальной гаммы
Гамма C# минор (C# минор)
Гамма C# минор имеет четыре диеза: F#, C#, G# D#, написанные в начале этой музыкальной гаммы
Гамма фа минор (F минор)
Гамма фа минор состоит из четырех бемолей: Bb, Eb, Ab и Db, написанных в начале этой музыкальной гаммы
G# минор Гамма (G# минор)
G# минорная гамма имеет пять диезов: F#, C#, G# D# и A#, написанные в начале этой нотной гаммы
си-бемоль минор Гамма (си-бемоль минор)
си-бемоль минорная гамма имеет пять бемолей: си-бемоль, ми-бемоль, ля-бемоль , Db и Gb, написанные в начале этой нотной гаммы
Гамма ми-бемоль минор (ми-бемоль минор)
Гамма ми-бемоль минор состоит из шести бемолей: Bb, Eb, Ab, Db, Gb и Cb, написанных в начале этой музыкальной гаммы
Другие минорные гаммы
Гармонический минор = T-ST-T-T-ST-(T+ST)-ST
Мелодический минор = T-ST-T-T-T-T-ST
Дорианская гамма = T-ST-T-T-T-ST-T
Узнать больше о музыкальных гаммах
В этой статье вы можете узнать больше о музыкальных гаммах и ладах
Как построить гамму натурального минора – Музыкальная академия Да Капо
Введение
Гамма натурального минора — одна из трех минорных гамм (остальные — гармонический минор и мелодический минор).
В качестве быстрого примера приведем очень простую гамму натурального минора «A Natural Minor».
Гамма натурального минора, восходящая и нисходящаяК концу этого урока вы сможете без труда построить гамму натурального минора, начиная с любой ноты. Готовый? Пойдем!
Построение гаммы натурального минора
Мы можем построить натуральный минор одним из двух способов: используя формула (т. е. образец полных шагов и полушагов) или использование относительной мажорной шкалы . Давайте рассмотрим каждый из этих методов по очереди.
Метод №1: Формула
Все гаммы следуют определенной схеме полных шагов и/или полутонов (т. е. формуле), и гамма гармонического минора не является исключением. «Формула» гармонического минора выглядит так:
. образец целых шагов (тонов) и полутонов (полутонов) натуральной минорной гаммыМетод №2: Относительная мажорная гамма
Как вы, возможно, знаете из теории музыки, с каждой гаммой натурального минора связана так называемая «относительная мажорная» гамма. Эти две шкалы всегда будут иметь одну и ту же тональность. Это означает, что пока мы хорошо знаем тональность наших мажорных гамм, они будут точно такими же и для их относительных минорных гамм!
Если это звучит неясно или сложно, не волнуйтесь! Ниже мы вместе рассмотрим несколько примеров.
НАПОМИНАНИЕ
При наименовании нот любой гаммы нельзя повторять название одной и той же буквы два раза подряд!
Например, если наша первая нота — F, и нам нужно продвинуться на полшага вверх, мы не можем назвать следующую ноту F♯, так как это будет повторять одно и то же название буквы.
Применение на практике
Теперь, когда у нас есть общее представление о двух методах построения гаммы натурального минора, давайте потренируемся на нескольких примерах.
Пример 1: «Натуральный минор»
1. Использование формулы
Одна из самых простых натуральных минорных гамм для построения и игры — «Натуральный минор». Как и в гамме «до мажор», в ней используются только белые клавиши фортепиано, и в ней нет ни диезов, ни бемолей. Если мы сыграем каждую белую клавишу из одной
A до B дает нам целый шаг, B до C это половина шага, C до D это целый шаг, D до E это целый шаг, E от до F — это полшага, F до G — это целый шаг, а G до A — это целый шаг.
Это означает, что гамма «ля натуральный минор» состоит из нот A , B , C , D , E , F , G 61 A (60 A 90we) всегда повторяйте тоническую ноту, когда мы играем гамму).
2. Использование относительного мажорного звукоряда
Теперь давайте построим тот же строй, используя наш второй метод — относительный мажорный строй. Этот процесс состоит из двух шагов.
Шаг 1: Найдите относительный мажор «ля минор»
Самый быстрый способ найти относительный мажор любой минорной тональности — просто подсчитать 3 полутона.
Отсчет 3 полутонов от A приводит нас к C , что означает, что «до мажор» является относительным мажором «ля минор».
Шаг 2: Применение тональности относительной мажорной гаммы к натуральной минорной гамме
Помните: натуральные минорные гаммы используют ту же тональность, что и соответствующие им мажоры. Поскольку в «до мажор» нет ни диезов, ни бемолей, мы можем заключить, что их нет и в «ля натуральный минор». Итак, наш результат выглядит так:
Вот как выглядит гамма «Ля натуральный минор», записанная на нотном стане:
Пример 2: «Ре минор»
1. Использование формулы
D до E дает нам целый шаг, E до F дает нам полшага, F до G это целый шаг, G до A это целый шаг, A до B♭ 90,61 полшага B♭
2. Использование относительного мажорного звукоряда
Шаг 1: Найдите относительный мажор «ре минор»
Шаг 2: Примените тональность относительной мажорной гаммы к натуральной минорной гамме.
Относительный мажор «ре минор» оказывается «фа мажор». «F Major» имеет одну бемоль в ключевой подписи, которая представляет собой B ♭ . Следовательно, «D Natural Minor» также будет иметь B♭ .
Вот как выглядит гамма «D Natural Minor», записанная на нотном стане:
Пример 3: «До-диез натуральный минор»
Давайте закончим более сложным примером, просто для практики.
1. Использование формулы
«C♯ Natural Minor» состоит из C♯ , D♯ , E , F♯ , G♯ , A , B и C♯ , B и .
2. Использование относительного мажорного звукоряда
Шаг 1: Найдите относительный мажор «C♯ Minor»
Шаг 2: Применение тональности относительной мажорной гаммы к натуральной минорной гамме
«ми мажор» имеет 4 диеза в ключевой подписи: F♯ , C♯ , G♯ и D♯ . Применение их к натуральному минору дает нам:
Вот как выглядит гамма «C♯ Natural Minor», записанная на нотоносце: