А в белошистая методика обучения математике в начальной школе: Методика обучения математике в начальной школе, Белошистая А.В., 2007

Содержание

Поиск материала «Методика обучения математике в начальной школе, Белошистая А.В., 2007» для чтения, скачивания и покупки

Ниже показаны результаты поиска поисковой системы Яндекс. В результатах могут быть показаны как эта книга, так и похожие на нее по названию или автору.

Search results:

  1. Скачать бесплатно Методика обучения математике

    Методика обучения математике в начальной школе. Курс лекций — Белошистая А.В. cкачать в PDF. Курс лекций написан в соответствии с программой «Методика преподавания математики» для педагогических специальностей педвузов и педуниверситетов. Пособие не только ознакомит студентов с конкретными примерами обучения младших школьников математике, но и расширит педагогический и математический кругозор будущего учителя.

    fizikadlyvas.net

  2. Методика обучения математике в начальной школе.

    Курс лекций написан в соответствии с программой «Методика преподавания математики» для педагогических специальностей педвузов и педуниверситетов. Пособие не только ознакомит студентов с конкретными примерами обучения младших школьников математике, но и расширит педагогический и математический кругозор будущего учителя. В пособии рассмотрены методические вопросы организации личностно-ориентированного подхода к обучению математике (коррекционное обучение и работа со способными детьми), методы организации…

    11klasov.net

  3. Купить эту книгу

  4. Канцтовары

    Канцтовары: бумага, ручки, карандаши, тетради. Ранцы, рюкзаки, сумки. И многое другое.

    my-shop.ru

  5. Методика обучения математике в начальной школе. Курс лекций.

    Наша начальная школа/подготовка к

    школе. вернуться к странице. Записи сообщества Все записи Поиск записей Запись на стене. Коллеги, как вы готовите учеников к Всероссийским.. 1585- Методика обучения математике в начальной школе_Белошистая А.В_2007 -455с.pdf.

    vk.com

  6. Методика обучения математике в начальной школе

    Работа по теме: Методика обучения математики (Белошистая). Глава: Методика обучения математике в начальной школе.

    studfile.net

  7. Методика обучения математике в начальной школе. Курс лекций.

    Система изучения дробей в начальной школе 256 Глава 8. Решение задач в начальной школе 266 Лекция 19.

    Обучение младших школьников решению задач 266 Лекция 20. Методика обучения решению задач 285 Лекция 21. Использование приема моделирования при обучении решению задач 305 Глава 9. Методическая подготовка учителя к обучению математике в начальной школе 358 Лекция 22. Подготовка учителя к уроку математики в начальных классах 358 Глава 10. Личностно-ориентированное обучение на уроках математики в…

    www.at.alleng.org

  8. Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной

    При постоянном развитии устного счета с помощью новой методики, развитие получает воображение, слух, наблюдательность, логи-ка, память. ЛИТЕРАТУРА 1. Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе. — М.: Гуманитар. изд. центр ВЛАДОС, 2016. — 455 с. 2. Малсан Би. Ментальная арифметика для всех. — [Б.м.]: Изда-тельские решения, 2017. — 18 с. 3. Хэндли Б. Быстрая математика: секреты устного счета / пер.

    с англ. Е. А. Самсонова.

    dspace.kpfu.ru

  9. Методика обучения математике в начальной школе. Курс лекций.

    Система изучения дробей в начальной школе 256 Глава 8. Решение задач в начальной школе 266 Лекция 19. Обучение младших школьников решению задач 266 Лекция 20. Методика обучения решению задач 285 Лекция 21. Использование приема моделирования при обучении решению задач 305 Глава 9. Методическая подготовка учителя к обучению математике в начальной школе 358 Лекция 22. Подготовка учителя к уроку математики в начальных классах 358 Глава 10. Личностно-ориентированное обучение на уроках математики в…

    may.alleng.org

  10. Методика
    обучения математике — Бесплатные учебники

    Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе. М.: Владос, 2007. — 456 с. — (Вузовское образование). Содержание: Общие вопросы методики преподавания математики. Изучение чисел в начальной школе.

    Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. Учебное пособие для студентов средних и высших педагогических учебных заведений.

    ne-proza.ru

  11. Методика обучения математике в начальной школе

    Методика обучения математике в начальных классах: курс лекций Название: Методика обучения математике в начальных классах. Курс лекций Автор: Байрамукова П.У., Уртенова А.У. Издательство: Феникс Год: 2009 Cтраниц: 300 Формат: pdf Размер: 63 мб Язык: русский Значительное место в данном пособии занимают вопросы,… Методика обучения изобразительной деятельности и конструированию (1979) Название: Методика обучения изобразительной деятельности и конструированию Автор: Сакулина Н.П., Комарова Т.С. (ред…

    bookskeeper. ru

  12. Методика обучения математике

    Методика обучения математике в начальной школе, Белошистая А.В., 2007. Курс лекций написан в соответствии с программой «Методика преподавания математики» для педагогических специальностей педвузов и педуниверситетов. Пособие не только ознакомит студентов с конкретными примерами обучения младших школьников математике, но и расширит педагогический и математический кругозор будущего учителя. Скачать. Методика обучения математике в начальной школе, Зайцева С.А., Румянцева И.Б., Целищева И.И., 2008.

    maltseva1253.ru

  13. Методика обучения математике в начальной школе

    Пособие является своеобразным справочником по методике обучения математике, содержит советы и указания учебно-психологического и практического характера. Скачать Белошистая А.В. — Методика обучения математике в начальной школе. Скачать с turbobit.net Скачать с uploaded.net. Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь. Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.

    litgu.ru

  14. Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной

    Курс лекций написан в соответствии с программой «Методика преподавания математики» для педагогических специальностей педвузов и педуниверситетов. Пособие не только ознакомит студентов с конкретными примерами обучения младших школьников математике, но и расширит педагогический и математический кругозор будущего учителя.

    Методическая подготовка учителя к обучению математике в начальной школе. Личностно-ориентированное обучение на уроках математики в начальной школе.

    www.studmed.ru

  15. Методика обучения математике в начальной школе.

    Вы здесь. Главная » А. В. Белошистая » Методика обучения математике в начальной школе.

    В пособии рассмотрены методические вопросы организации личностно-ориентированного подхода к обучению математике (коррекционное обучение и работа со способными детьми), методы организации учебной деятельности на уроках математики, вопросы развития математического мышления младших школьников.

    child-class.ru

  16. Методика обучения математике в начальной школе.

    Курс лекций написан в соответствии с программой «Методика преподавания математики» для педагогических специальностей педвузов и педуниверситетов. Пособие не только ознакомит студентов с конкретными примерами обучения младших школьников математике, но и расширит педагогический и математический кругозор будущего учителя.

    Вставить эту публикацию. Методика обучения математике в начальной школе. Курс лекций — Белошистая А.В.

    cdnpdf.com

  17. Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной

    Автор: Белошистая А.В. Название: Методика обучения математике в начальной школе.

    Скачать по прямой ссылке. Курс лекций написан в соответствии с программой «Методика преподавания математики» для педагогических специальностей педвузов и педуниверситетов. Пособие не только ознакомит студентов с конкретными примерами обучения младших школьников математике, но и расширит педагогический и математический кругозор будущего учителя.

    www.psyoffice.ru

  18. Методика обучения математике в начальной школе.

    Школьные учебники / Презентации по предметам » Математика » Методика обучения математике в начальной школе. Курс лекций — Белошистая А.В.

    В пособии рассмотрены методические вопросы организации личностно-ориентированного подхода к обучению математике (коррекционное обучение и работа со способными детьми), методы организации учебной деятельности на уроках математики, вопросы развития математического мышления младших школьников.

    school-textbook.com

  19. А. В. Белошистая, Методика обучения математике в начальной

    Сервис электронных книг ЛитРес предлагает скачать книгу Методика обучения математике в начальной школе. Курс лекций, А. В. Белошистой в pdf или читать онлайн! Оставляйте и читайте отзывы о книге на ЛитРес! Книга А. В. Белошистой «Методика обучения математике в начальной школе.

    www. litres.ru

  20. Методика обучения математике в начальной школе.

    Курс лекций — Белошистая А.В. cкачать в PDF. Курс лекций написан в соответствии с программой «Методика преподавания математики» для педагогических специальностей педвузов и педуниверситетов. Пособие не только ознакомит студентов с конкретными примерами обучения младших школьников математике, но и расширит педагогический и математический кругозор будущего учителя. В пособии рассмотрены методические вопросы организации личностно-ориентированного подхода к обучению математике (коррекционное обучение и…

    reshaemvpr.ru

  21. Книга: «Методика обучения математике в начальной школе

    Иллюстрации к книге Анна Белошистая — Методика обучения математике в начальной школе. Курс лекций.

    У нас Вы можете купить книгу дешевле , а получить быстрее, чем где бы то ни было. Сделать правильный выбор Вам помогут рецензии покупателей, а также дополнительные материалы: отрывки , фото и иллюстрации . книги » Методика обучения математике в начальной школе.

    www.labirint.ru

  22. «Методика обучения математике в начальной школе»

    Учебная литература по дисциплине. «Методика обучения математике в начальной школе». ЭБС «ЮРАЙТ», «Университетская библиотека онлайн», «IPRBooks» Институт педагогики и психологии образования. Библиографическая работа: Белоус Л.И. Оформление: Ясенева Т.К. Белошистая, А. В. Развитие логического мышления младших школьников: учеб. пособие для вузов / А. В. Белошистая, В. В. Левитес. — 2-е изд. — М. : Юрайт, 2020.

    www.mgpu.ru

  23. Анна Белошистая. Методика обучения математике. ..

    Курс лекций написан в соответствии с программой «Методика преподавания математики» для педагогических специальностей педвузов и педуниверситетов. Пособие не только ознакомит студентов с конкретными примерами обучения младших школьников математике, но и расширит педагогический и математический кругозор будущего учителя.

    Методика обучения математике в начальной школе. Курс лекций. МЕЧТА ИДИОТА.

    samizdatt.net

  24. Белошистая А.В. Математическое развитие детей дошкольного…

    Белошистая_Математика вокруг тебя 4-5.pdf.

    Белошистая_300 заданий к школе.pdf.

    Белошистая_Тесты 6-7.pdf.

    vk.com

  25. Методика преподавания математики в начальных классах

    Данное пособие по «Методике преподавания математики в начальных классах» рассчитано на студентов 3 курса дневного отделения, обучающихся по специальности 050708 «Педагогика и методика начального образования». В нем представлен при-мерный вариант содержания курса.

    3 курс 5 семестр. Раздел: «Общие вопросы методики преподавания матема-тики в начальной школе. Методика изучения нумерации целых неотрицательных чисел». Основная литература (для всех тем раздела). 1) Белошистая А.В. Методика обучения математике в…

    www.pedagogkpu.ru

  26. Курс лекций «Методика обучения математике в начальной…»

    Скачать бесплатно: Можно. Автор: Белошистая.

    Предмет и Класс: Математика, 1-4 классы. Учебник создан в соответствии с учебной программой по Математике для 1-4 классов общеобразовательных учебных заведений. Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации.

    yangteacher.ru

  27. Белошистая А.В. Формирование и развитие математических…

    Пожаловаться. Белошистая А.В. Формирование и развитие математических способностей дошкольников. Вопросы теории и практики.# ღ МЕТОДИЧЕСКИЙ КАБИНЕТ ДЛЯ ПЕДАГОГОВ ДОУ ღ.

    vk.com

  28. Белошистая А.В.. Книги онлайн

    Пособие составлено в соответствии с базовой программой по математике для начальных классов и содержит задания для обучения решению задач в 1 классе. Содержит 101 задачу.

    Уникальность методики Анны Витальевны Белошистой — специалиста с многолетним опытом — заключается в использовании геометрического материала, который позволяет основательно и глубоко подготовить дошкольника к изучению математики в школе (независимо от того, по какой программе будет осуществляться дальнейшее обучение).

    www.koob.ru

  29. Книга: «Математика в начальной школе. Методика обучения

    Иллюстрации к книге Анна Белошистая — Математика в начальной школе. Методика обучения. Учебник.

    У нас пока нет отзывов от блогеров 🙁 Хотите стать первым? Загрузите ссылку на свой пост об этой книге в Youtube, Вконтакте или Телеграме. Мы рады интересным рецензиям, ярким фото и видеообзорам.

    www.labirint.ru

  30. Белошистая, Анна Витальевна — Методика обучения математике

    Методика обучения математике в начальной школе : курс лекций : учеб. пособие для студентов высш. пед. учеб. заведений / А. В. Белошистая. — М. : Владос, 2005 (Великолук. гор. тип.).

    (Вузовское образование) В пособии рассмотрены методические вопросы организации личностно-ориентированного подхода к обучению математике, методы организации учебной деятельности на уроках математики, вопросы развития математического мышления младших школьников.

    search.rsl.ru

  31. Методика обучения математике в начальной школе.

    Previous Page. 1/234. Next Page. Toggle Outline/Bookmark. Toggle Thumbnails. Zoom In. Zoom Out.

    cdnpdf.com

  32. Методика преподавания математики в начальных классах

    2. Предмет и задачи методики обучения математике в начальных классах школы как науки. 3. Связь методики преподавания математики (МПМ) с другими науками.

    «Методика» — слово греческого происхождения, означает «метод — путь». Методика математики – отрасль педагогики, входящая в систему педагогических наук и исследующая закономерности обучения математике на определенном уровне её развития в соответствии с целями обучения, поставленными обществом.

    superinf.ru

  33. Методика обучения математике в начальной школе. Курс лекций.

    Система изучения дробей в начальной школе 256 Глава 8. Решение задач в начальной школе 266 Лекция 19. Обучение младших школьников решению задач 266 Лекция 20. Методика обучения решению задач 285 Лекция 21. Использование приема моделирования при обучении решению задач 305 Глава 9. Методическая подготовка учителя к обучению математике в начальной школе 358 Лекция 22. Подготовка учителя к уроку математики в начальных классах 358 Глава 10. Личностно-ориентированное обучение на уроках математики в…

    alleng.net

  34. Методика обучения математике в начальной школе

    Алгебраический материал в программе начальных классов. Доли и дроби в курсе математики начальных классов.

    Методическая подготовка учителя к обучению математике в начальной школе. Личностно-ориентированное обучение на уроках математики в начальной школе.

    b-ok.cc


На данной странице Вы можете найти лучшие результаты поиска для чтения, скачивания и покупки на интернет сайтах материалов, документов, бумажных и электронных книг и файлов похожих на материал «Методика обучения математике в начальной школе, Белошистая А. В., 2007»

Для формирования результатов поиска документов использован сервис Яндекс.XML.

Нашёлся 21 млн ответов. Показаны первые 32 результата(ов).

Дата генерации страницы:

Методика обучения математике в начальной школе : курс лекций Белошистая А.В. ISBN 5-691-01422-6

Категории

Среднее профессиональное образование (14+) (1994)

Среднее профессиональное образование

СПО: Учебники и учебные пособия из списка ПООП (106)

Астрономия (8)

Биология (19)

Военное дело (11)

География, метеорология и картография (6)

Геология, геодезия и разведка полезных ископаемых (9)

Иностранные языки (93)

Информатика и вычислительная техника (116)

Информационная безопасность (2)

История и философия (31)

Лесное, парковое и охотничье хозяйство (18)

Математика и геометрия (15)

Медицина (117)

Обществознание (36)

Психология (17)

Русский язык и литература (41)

Социология и социальная работа (17)

Физика и математика (83)

Физкультура и спорт (5)

Философия (4)

Химия и технологии химической промышленности (21)

Экология и природопользование (20)

Электроника, радио-, электро- и схемотехника (83)

Юриспруденция и правоведение (79)

Естествознание (2)

Технология деревообрабатывающих производств, столярное дело. Мебельное производство. (7)

Укрупненная группа специальностей (УГС) (33900)

Укрупненная группа специальностей 

01.00.00 Математика и механика (1021)

02.00.00 Компьютерные и информационные науки (3017)

03.00.00 Физика и астрономия (515)

04.00.00 Химия (336)

05.00.00 Науки о Земле (323)

06.00.00 Биологические науки (315)

07.00.00 Архитектура (382)

08.00.00 Техника и технологии строительства (387)

09.00.00 Информатика и вычислительная техника (3661)

10.00.00 Информационная безопасность (337)

11.00.00 Электроника, радиотехника и системы связи (1203)

12.00.00 Фотоника, приборостроение, оптические и биотехнические системы и технологии (284)

13.00.00 Электро- и теплоэнергетика (312)

14.00.00 Ядерная энергетика и технологии (130)

15.00.00 Машиностроение (472)

16.00.00 Физико-технические науки и технологии (1225)

17.00.00 Оружие и системы вооружения (67)

18.00.00 Химические технологии (233)

19. 00.00 Промышленная экология и биотехнологии (241)

20.00.00 Техносферная безопасность и природообустройство (316)

21.00.00 Прикладная геология, горное дело, нефтегазовое дело и геодезия (943)

22.00.00 Технологии материалов (337)

23.00.00 Техника и технологии наземного транспорта (150)

24.00.00 Авиационная и ракетно-космическая техника (161)

25.00.00 Аэронавигация и эксплуатация авиационной и ракетно-космической техники (158)

26.00.00 Техника и технологии кораблестроения и водного транспорта (75)

27.00.00 Управление в технических системах (386)

28.00.00 Нанотехнологии и наноматериалы (186)

29.00.00 Технологии легкой промышленности (372)

30.00.00 Фундаментальная медицина (243)

31.00.00 Клиническая медицина (460)

32.00.00 Науки о здоровье и практическая медицина (209)

33.00.00 Фармация (87)

34.00.00 Сестринское дело (48)

35.00.00 Сельское, лесное и рыбное хозяйство (355)

36.00.00 Ветеринария и зоотехния (114)

37. 00.00 Психологические науки (1872)

38.00.00 Экономика и управление (6033)

39.00.00 Социология и социальная работа (612)

40.00.00 Юриспруденция (3689)

41.00.00 Политические науки и регионоведение (911)

42.00.00 Средства массовой информации и информационно-библиотечное дело (279)

43.00.00 Сервис и туризм (108)

44.00.00 Образование и педагогические науки (3055)

45.00.00 Языкознание и литературоведение (3642)

46.00.00 История и археология (662)

47.00.00 Философия, этика и религиоведение (740)

48.00.00 Теология (179)

49.00.00 Физическая культура и спорт (463)

50.00.00 Искусствознание (422)

51.00.00 Культуроведение и социокультурные проекты (561)

52.00.00 Сценические искусства и литературное творчество (73)

53.00.00 Музыкальное искусство (134)

54.00.00 Изобразительное и прикладные виды искусств (296)

55.00.00 Экранные искусства (115)

56.00.00 Военное управление (163)

57.00.00 Обеспечение государственной безопасности (64)

Контент с ограничением по возрасту 18+ (11)

Остаться в выбранном разделе

Назад к каталогу

ISBN 5-691-01422-6

Авторы: 

Белошистая А. В.

Тип издания: 

Учебное пособие

Издательство: 

Москва: ВЛАДОС-ПРЕСС

Год: 

2011

Аннотация

Курс лекций написан в соответствии с программой «Методика преподавания математики» для педагогических специальностей педвузов и педуниверситетов. Пособие не только ознакомит студентов с конкретными примерами обучения младших школьников математике, но и расширит педагогический и математический кругозор будущего учителя. В пособии рассмотрены методические вопросы организации личностно-ориентированного подхода к обучению математике (коррекционное обучение и работа со способными детьми), методы организации учебной деятельности на уроках математики, вопросы развития математического мышления младших школьников. Пособие является своеобразным справочником по методике обучения математике, содержит советы и указания учебно-психологического и практического характера.

Библиографическое описание Скопировать библиографическое описание

Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе : курс лекций / А.В. Белошистая. — Москва : ВЛАДОС-ПРЕСС, 2011. — 455 с. — ISBN 5-691-01422-6. — URL: https://www.ibooks.ru/bookshelf/350812/reading (дата обращения: 19.09.2022). — Текст: электронный.

Научно-педагогическая библиотека АлтГПУ :Виртуальная выставка

Наши партнеры:
















Виртуальная выставка

Уроки математики: методические находки


Жизнь украшается двумя вещами: занятиями математикой и её преподаванием.
(С. Д. Пуассон)

Эффективность процесса обучения математике определяется многими факторами, но главная роль принадлежит педагогу. Его задача, прежде всего, воспитать активно мыслящую личность.

Книги, представленные на виртуальной выставке, займут достойное место на книжной полке учителя математики и также будут полезны студентам педагогических вузов и учащимся общеобразовательных школ.

Разделы выставки:

 Методика преподавания математики в начальной школе

 Обучение математике в средних и старших классах


Методика преподавания математики в начальной школе

Белошистая, А. В. Методика обучения математике в начальной школе : курс лекций : учебное пособие для студентов вузов / А. В. Белошистая. − Москва : ВЛАДОС, 2011. − 455 с. : ил.

Курс лекций написан в соответствии с программой «Методика преподавания математики» для педагогических специальностей педвузов и педуниверситетов. Пособие не только ознакомит студентов с конкретными примерами обучения младших школьников математике, но и расширит педагогический и математический кругозор будущего учителя. В пособии рассмотрены методические вопросы организации личностно-ориентированного подхода к обучению математике (коррекционное обучение и работа со способными детьми), методы организации учебной деятельности на уроках математики, вопросы развития математического мышления младших школьников. Пособие является своеобразным справочником по методике обучения математике, содержит советы и указания учебно-психологического и практического характера.

Оглавление Каталог

Белошистая, А. В. Обучение решению задач в начальной школе : методическое пособие / А. В. Белошистая. − 2-е изд., испр. − Москва : ИНФРА-М, 2016. − 281 с. : ил.

Книга содержит методические материалы для организации обучения решению задач в начальных классах. Автор подробно описывает все виды типовых и нетиповых задач, встречающихся в учебниках, и приемы работы с ними. Пособие может быть использовано при обучении ребенка по любой из современных систем обучения математике в начальных классах. Книга адресована учителям начальной школы, студентам факультетов педагогики и методики начального образования педагогических вузов, слушателям курсов повышения квалификации учителей начальных классов, студентам педагогических училищ старших курсов, а также родителям, желающим помочь своему ребенку научиться решать задачи.

Оглавление Каталог

Далингер, В. А. Методика обучения математике в начальной школе : учебное пособие для академического бакалавриата / В. А. Далингер, Л. П. Борисова. − 2-е изд., испр. и доп. − Москва : Юрайт, 2016. − 207 с. : ил.

Данное учебное пособие представляет собой практико-ориентированную монографию. В нем рассмотрены психолого-педагогические основы развивающего обучения математике, дана характеристика таких методических систем развивающего обучения математике, как система Л. В. Занкова, система Д. Б. Эльконина − В. А. Давыдова, системы Л. Г. Петерсон. Описана методика формирования у учащихся приемов учебной деятельности в процессе обучения математике. Содержание учебника соответствует актуальным требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования. Для студентов факультетов начальных классов и математических факультетов педагогических вузов, а также для учителей начальных классов и учителей математики.

Оглавление Каталог

Истомина-Кастровская, Н. Б. Методика обучения математике в начальной школе. Практикум : учебное пособие / Н. Б. Истомина-Кастровская, Ю. С. Заяц. − 2-е изд., перераб. и доп. − Москва : ИНФРА-М, 2019. − 197 с. : ил.

Учебное пособие представляет собой сборник методических задач. Его цель − сформировать у будущего учителя методические знания, умения и опыт творческой деятельности для реализации на практике идей развивающего обучения младших школьников математике. Данное учебное пособие вместе с учебником Н. Б. Истоминой-Кастровской, З. Б. Редько, Т. В. Смолеусовой, Н. Б. Тихоновой, И. Ю. Ивановой «Методика обучения математике в начальной школе» составляет УМК дисциплины «Методика обучения математике в начальной школе». Цели УМК − развить методическое мышление студентов, сформировать у них умение применять математические, педагогические, психологические и методические знания для организации деятельности учащихся начальных классов в процессе обучения математике. Соответствует требованиям Федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования последнего поколения. Для студентов, обучающихся по направлению «Педагогическое образование» (квалификация «бакалавр»), а также для учителей, работающих в начальных классах, и магистрантов.

Оглавление Каталог

Истомина, Н. Б. Методика обучения математике в начальных классах : учебное пособие для студентов средних и высших педагогических учебных заведений / Н. Б. Истомина. − 5-е изд., стер. − Москва : Академия, 2002. − 288 с. : ил.

Цель учебного пособия − формирование у будущего учителя методических знаний, умений и опыта творческой деятельности для реализации на практика идей развивающего обучения младших школьников математике. Пособие будет полезно также учителям, работающим и начальных классах.

Оглавление Каталог

Истомина, Н. Б. Методика обучения математике в начальной школе. Развивающее обучение : учебное пособие для студентов педагогических вузов и колледжей / Н. Б. Истомина. − 2-е изд. − Смоленск : Ассоциация XXI век, 2009. − 286 с. : ил.

Цель учебного пособия — формирование у будущего учителя методических знаний, умений и опыта творческой деятельности для реализации на практике идей развивающего обучения младших школьников математике. Пособие будет полезно также учителям, работающим в начальных классах.

Оглавление Каталог

Истомина, Н. Б. Методика обучения математике в начальной школе. Развивающее обучение : сборник методических задач / Н. Б. Истомина, Ю. С. Заяц. − Смоленск : Ассоциация XXI век, 2016. − 198 с. : ил.

Цель данного пособия — развивать методическое мышление студентов, формировать y них умение применять математические, педагогические, психологические и методические знания для организации деятельности учащихся начальных классов в процессе обучения математике. Обсуждение методических заданий, анализ различных ситуаций из школьной практики, решение методических задач, предложенных в пособии, помогут студентам подготовиться к педагогической практике и к методической деятельности в современной начальной школе. Сборник методических задач является дополнением к пособию Н. Б. Истоминой «Методика обучения математике в начальной школе. Развивающее обучение». Он окажет помощь преподавателям методики обучения математике при подготовке к лекциям и практическим занятиям, а также будет полезен методистам институтов повышения квалификации учителей, бакалаврам, магистрам, аспирантам, студентам педагогических вузов и колледжей.

Оглавление Каталог

Истомина, Н. Б. Практикум по методике обучения математике в начальной школе : развивающее обучение / Н. Б. Истомина, Ю. С. Заяц. − Смоленск : Ассоциация XXI век, 2009. − 144 с. : ил.

Цель данного пособия − развить методическое мышление студентов, сформировать у них умение применять математические, педагогические, психологические и методические знания для организации деятельности учащихся начальных классов в процессе обучения математике. Обсуждение методических заданий, анализ различных ситуаций из школьной практики, решение методических задач, предложенных в пособии, помогут студентам подготовиться к педагогической практике и к методической деятельности в современной начальной школе. Практикум является дополнением к пособию Н. Б. Истоминой «Методика обучения математике в начальной школе. (Развивающее обучение)». Он окажет помощь преподавателям методики обучения математике при подготовке к лекциям и практическим занятиям, а также будет полезен методистам институтов повышения квалификации учителей, бакалаврам, магистрам, аспирантам, студентам педагогических вузов и колледжей.

Оглавление Каталог

Каирова, Л. А. Методика преподавания математики в начальной школе : учебно-методическое пособие / Л. А. Каирова ; Алтайский государственный педагогический университет. − Барнаул : АлтГПУ, 2017. − 165 с. : ил.

Учебно-методическое пособие призвано помочь студентам в освоении основных теоретических положений курса, в совершенствовании соответствующих методических умений, формировании методического мышления и компетенций. Учебно-методическое пособие по дисциплине «Методика преподавания математики в начальной школе» предназначено для студентов 3-го курса дневного отделения, обучающихся по направлению 44.03.01 «Педагогическое образование» по профилю «Начальное образование» (прикладной бакалавриат). Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом АлтГПУ 20.04.2017 г.

Оглавление Каталог

Методика обучения математике. Формирование приемов математического мышления : учебное пособие для вузов / [Н. Ф. Талызина и др.] ; под ред. Н. Ф. Талызиной. − 2-е изд., перераб. и доп. − Москва : Юрайт, 2018. − 193 с. : ил.

Пособие представляет особый подход к обучению, предполагающий формирование инвариантных знаний, то есть таких, которые составляют основу изучаемого предмета. Рассмотрено использование этого подхода при обучении основным разделам математики начальной школы и курсу планиметрии. В материалах пособия раскрываются аспекты усвоения математических понятий, проведен анализ главных условий, определяющих успех начального этапа математического образования, рассмотрены причины возникновения затруднений в учебе, приведены примеры использования на практике описанных методик обучения.

Оглавление Каталог

Методика преподавания математики в начальных классах : учебно-методическое пособие для студентов дневного отделения : в 2 ч. Ч. 1 / Алтайская государственная педагогическая академия ; сост.: Л. А. Каирова, Ю. С. Заяц. − 2-е изд., доп. и перераб. − Барнаул : АлтГПА, 2011. − 82 с. : ил.

Данное учебно-методическое пособие призвано помочь студентам в освоении основных теоретических положений курса «Методика преподавания математики», в совершенствовании соответствующих методических умений, формировании методического мышления. Пособие включает структурно-тематический план курса, основные теоретические сведения, вопросы для самоконтроля, задания для самостоятельной работы и список литературы для овладения предложенным содержанием. Пособие предназначено для студентов 3-го курса дневного отделения, обучающихся по специальности 050708 «Педагогика и методика начального образования».

Оглавление Каталог

Методика преподавания математики в начальных классах : учебно-методическое пособие для студентов дневного отделения : в 2 ч. Ч. 2 / Алтайская государственная педагогическая академия ; сост.: Л. А. Каирова, Ю. С. Заяц. − 2-е изд., доп. и перераб. − Барнаул : АлтГПА, 2011. − 110 с.

Данное учебно-методическое пособие призвано помочь студентам в освоении основных теоретических положений курса «Методика преподавания математики», в совершенствовании соответствующих методических умений, формировании методического мышления. Пособие включает структурно-тематический план курса, Основные теоретические сведения, вопросы для самоконтроля, задания для самостоятельной работы и список литературы для овладения предложенным содержанием. Пособие предназначено для студентов 4-го и 5-го курсов дневного отделения, обучающихся по специальности 050708 «Педагогика и методика начального образования».

Оглавление Каталог

Теоретические и методические основы изучения математики в начальной школе : [учебное пособие для студентов педагогических вузов, учащихся педагогических училищ, колледжей, учителей начальных классов] / А. В. Тихоненко, М. М. Русинова, С. Л. Налесная, Ю. В. Трофименко ; под ред. А. В. Тихоненко. − Ростов-на-Дону : Феникс, 2008. − 350 с. : ил.

В учебном пособии изложены теоретические и методические основы изучения математики в начальной школе. Цель учебного пособия — формирование у студентов методико-математических знаний, умений, опыта работы творческой деятельности для реализации на практике идей современной системы образования. Предназначено для студентов высших педагогических учебных заведений, учащихся педагогических училищ и колледжей, а также учителей начальных классов.

Оглавление Каталог

Царева, С. Е. Методика преподавания математики в начальной школе : учебник для студентов учреждений высшего образования / С. Е. Царева. − Москва : Академия, 2014. − 495 с. : ил.

Учебник написан в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом по направлению подготовки «Педагогическое образование», профиль «Начальное образование» (квалификация «бакалавр»). В книге дана характеристика роли, места и содержания методической подготовки будущего учителя начальных классов к обучению учащихся математике, изложен теоретический и практический материал для овладения студентами педагогической деятельностью обучения математике младших школьников в соответствии с современными педагогическими подходами в условиях действия ФГОС НОО и многообразия учебных программ и учебных комплектов. Для студентов учреждений высшего образования. Будет полезен также студентам педагогических училищ и колледжей, студентам математических факультетов педагогических вузов.

Оглавление Каталог

Шадрина, И. В. Методика преподавания начального курса математики : учебник и практикум для прикладного бакалавриата / И. В. Шадрина ; Московский городской педагогический университет. − Москва : Юрайт, 2016. − 279 с. : ил.

В учебнике рассматриваются теоретические основы начального математического образования, механизмы когнитивного развития детей младшего школьного возрастав процессе обучения математике, вопросы истории математического образования, методика формирования представлений о фундаментальных математических понятиях, основы обучения наглядной геометрии, различные подходы к обучению решению задач, вопросы организации научно-исследовательской работы студентов в процессе изучения курса. Практические задания направлены на овладение студентами опытом профессиональной деятельности. Соответствует актуальным требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования. Для студентов высших учебных заведений, подготавливающих бакалавров, магистров аспирантов общего начального образования, а также для преподавателей вузов и учителей начальной школы.

Оглавление Каталог


Обучение математике в средних и старших классах

Виноградова, Л. В. Методика преподавания математики в средней школе : учебное пособие для студентов вузов / Л. В. Виноградова. − Ростов-на-Дону : Феникс, 2005. − 252 с. : ил.

Предлагаемое пособие знакомит читателя с вопросами общей методики преподавания математики, которые являются теоретической основой организации процесса обучения в школе. В качестве примеров теоретических положений рассмотрены конкретные темы школьного курса математики и предложены методические рекомендации по отдельным разделам. Пособие рассчитано на широкий круг читателей: студентов физико-математических факультетов и учителей математики.

Оглавление Каталог

Владимирцева, С. А. Теоретические основы изучения содержания школьного курса математики : учебное пособие для студентов вузов / С. А. Владимирцева ; Алтайская государственная педагогическая академия ; [под ред. М. А. Гончаровой]. − Барнаул : АлтГПА, 2013. − 162 с.

B учебном пособии рассматриваются общие вопросы изучения основных единиц содержания школьной математики: математических действий, понятий и их определений, теорем, математических задач. Методика изучения содержания школьной математики строится на основе знаний о структуре изучаемого материала. Проблема формирования конструктивно-проектировочной деятельности будущего учителя решается в процессе обучения студентов типовому проектированию содержания обучения и учебного занятия. Книга предназначена студентам математических специальностей педвузов и университетов, а также преподавателям методики обучения математике и учителям.

Оглавление Каталог

Владимирцева, С. А. Теория и методика обучения математике. Общая методика : учебное пособие для студентов математических специальностей педагогических вузов и университетов / С. А. Владимирцева ; Барнаульский государственный педагогический университет. − Барнаул : Изд-во БГПУ, 2005. − 194 с.

В учебном пособии рассматриваются общие вопросы обучения математике в школе. Проблема формирования конструктивно-проектировочной деятельности будущего учителя решается на основе обучения типовому проектированию содержания обучения и учебного занятия. Книга предназначена студентам математических факультетов педагогических вузов, преподавателям методики обучения математике и учителям.

Оглавление Каталог

Владимирцева, С. А. Формирование математических понятий в средней школе : логико-информативная теория : монография / С. А. Владимирцева ; Барнаульский государственный педагогический университет. − Барнаул : БГПУ, 2007. − 225 с.

Основное содержание монографии составляют результаты теоретического исследования, посвящённого развитию теории формирования математических понятий в школе. В монографии доказывается, что структура математических понятий не вписывается в рамки той модели, которая принята в качестве базы для построения методики их формирования. Переход к другой модели математического понятия — логико-информативной — позволил построить теорию формирования математических понятий, свободную от тех противоречий, которые явились следствием «объектных» представлений о сущности и структуре понятия. Монография предназначена для учёных, преподавателей педагогических образовательных учреждений, учителей математики и студентов.

Оглавление Каталог

Гончарова, М. А. Методика обучения и воспитания (математика, основная школа) : практикум / М. А. Гончарова, Н. В. Решетникова ; Алтайская государственная педагогическая академия. − Барнаул, 2013. − 103 с. : ил.

Основная задача данного учебного издания − организация аудиторной и внеаудиторной самостоятельной деятельности будущего учителя математики в рамках дисциплин «Теория и методика обучения математике», «Методика обучения и воспитания (математика)». В издании представлено содержание практических и лабораторных занятий по дисциплинам «Теория и методика обучения математике», «Методика обучения и воспитания (математика)», отражающее вопросы обучения математике в основной школе. В книге также приведены методические рекомендации для студентов по подготовке к занятиям. Материалы учебного издания разработаны с учетом требований ФГОС ВПО 2, ФГОС ВПО 3. Практикум предназначен, прежде всего, для студентов педагогических учебных заведений при подготовке к занятиям по теории и методике обучения математике. Он будет также полезен учителям математики школ разных типов; преподавателям средних профессиональных и высших учебных заведений с целью анализа своей профессиональной деятельности, осуществления самообразования.

Оглавление Каталог

Гончарова, М. А. Образовательные технологии в школьном обучении математике : учебное пособие [для студентов педагогических учебных заведений] / М. А. Гончарова, Н.  В. Решетникова. − Ростов-на-Дону : Феникс, 2014. − 266 с. : ил., табл.

В учебном пособии рассматриваются образовательные технологии, которые не теряют своей актуальности в рамках реализации компетентностного подхода. Авторы раскрывают теоретические основы технологий в школьном обучении математике, иллюстрируют их применение примерами уроков, фрагментами учебных занятий, дидактическими разработками и т п. Основная задача данного учебного пособия — способствовать формированию и развитию профессиональных компетенций будущего учителя математики. Книга будет полезна для студентов педагогических учебных заведений при подготовке к занятиям по методическим дисциплинам и при прохождении педагогической практики, а также для учителей математики школ разных типов и преподавателей средних профессиональных и высших учебных заведений.

Оглавление Каталог

Далингер, В. А. Методика обучения математике. Изучение дробей и действий над ними : учебное пособие для прикладного бакалавриата / В. А. Далингер. − 2-е изд., испр. и доп. − Москва : Юрайт, 2016. − 194 с. : ил.

В учебном пособии охарактеризованы теоретические основы организации учебно-исследовательской деятельности учащихся по математике и приведена система учебно-исследовательских занятий по теме «Дроби и действия над ними»; часть заданий подробно рассмотрена, другая же предложена для самостоятельной работы. Соответствует актуальным требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования. Для студентов вузов, обучающихся по естественнонаучным направлениям, также будет полезно учителям математики и учащимся общеобразовательных школ, лицеев, гимназий и преподавателям математических специальностей педагогических вузов.

Оглавление Каталог

Далингер, В. А. Методика обучения математике. Когнитивно-визуальный подход : учебник для академического бакалавриата / В. А. Далингер, С. Д. Симонженков. − 2-е изд., перераб. и доп. − Москва : Юрайт, 2016. − 340 с. : ил.

В учебнике рассматривается одна из малоразработанных в теории и методике обучения математике проблем − проблема формирования визуального мышления учащихся средствами математики. В первой части учебника анализируется вопрос о функциональной асимметрии полушарий головного мозга и предлагаются пути и средства преодоления «левополушарного крена», который имеет место в школьной практике обучения математике. Рассматривается сущность когнитивно-визуального подхода к обучению математике и даются основы реализации этого подхода на практике. Во второй части учебника представлено большое число примеров и задач по различным разделам школьной и вузовской математики, решение которых строится на когнитивно-визуальном подходе. Особого внимания заслуживает рассматриваемая в учебнике проблема реализации внутрипредметных и межпредметных связей посредством систем задач. Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по гуманитарным направлениям, аспирантов и преподавателей математики.

Оглавление Каталог

Далингер, В. А. Методика обучения математике. Обучение учащихся доказательству теорем : учебное пособие для академического бакалавриата / В. А. Далингер. − Изд. 2-е, испр. и доп. − Москва : Юрайт, 2018. − 338 с. : ил.

В пособии рассмотрены теоретические и практические основы обучения учащихся доказательству математических предложений. Раскрыт категориально-понятийный аппарат, относящийся к понятию «теорема», показаны ее виды, общие и частные методы доказательства. Описана пропедевтическая работа по подготовке учащихся к доказательству теорем, показана работа учителя по подготовке к уроку, на котором будет доказываться теорема. Рассмотрен вопрос об организации деятельности учащихся по «переоткрытию» формулировки теоремы и поиску способов и методов ее доказательства, описаны различные приемы закрепления теоремы.

Оглавление Каталог

Далингер, В. А. Методика обучения математике. Поисково-исследовательская деятельность учащихся : учебник и практикум для вузов / В. А. Далингер. − 2-е изд., испр. и доп. − Москва : Юрайт, 2016. − 460 с. : ил.

В учебнике рассмотрены теоретические основы и практические рекомендации по организации поисково-исследовательской деятельности учащихся при обучении математике. Доступно и подробно описаны теория и методика обучения математике, даны задачи для самостоятельного решения. Для студентов математических факультетов педагогических вузов, а также учителей математики общеобразовательных школ, лицеев, гимназий, образовательных учреждений среднего профессионального образования.

Оглавление Каталог

Далингер, В. А. Методика обучения математике. Практикум по решению задач : учебное пособие для академического бакалавриата / В. А. Далингер. − 2-е изд., испр. и доп. − Москва : Юрайт, 2016. − 271 с. : ил.

Целью данного учебного пособия является оказание помощи студентам педагогических вузов в изучении курсов «Теория и методика обучения математике», «Математический анализ», «Практикум по решению школьных математических задач». Рассмотрены методы решения типовых задач по курсу «Начала математического анализа», дан анализ типичных ошибок обучающихся, показаны причины их возникновения, пути и средства их ликвидации и предупреждения, предложено более 170 задач для самостоятельной работы. Соответствует актуальным требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования. Для студентов вузов, обучающихся по естественнонаучным, гуманитарным направлениям, также будет полезно учащимся и учителям математики общеобразовательных школ, гимназий, лицеев, ссузов, а также всем, кто интересуется математикой.

Оглавление Каталог

Далингер, В. А. Методика обучения математике. Традиционные сюжетно-текстовые задачи : учебное пособие для академического бакалавриата / В. А. Далингер. − 2-е изд., испр. и доп. − Москва : Юрайт, 2018. − с. : ил.

В учебном пособии представлена методика обучения решению сюжетно-текстовых задач, в частности задач на проценты, смеси, сплавы и концентрацию, которые занимают особое место в обучении математике. Дана классификация таких задач, методические рекомендации по решению. Отдельно разобраны задачи на проценты, приведены их типы и особенности. Многие задачи снабжены подробным решением. Дано почти 150 задач для самостоятельного решения.

Оглавление Каталог

Капкаева, Л. С. Теория и методика обучения математике: частная методика : учебное пособие для вузов : [в 2 ч.]. Ч. 1 / Л. С. Капкаева. − 2-е изд., испр. и доп. − Москва : Юрайт, 2018. − 264 с. : ил.

Учебное пособие содержит методики преподавания отдельных разделов математики. Представлены различные возможные подходы к изложению основных разделов школьного курса математики, дан их сравнительный анализ. Помимо методических рекомендаций приведены математическое содержание основных дидактических единиц, примеры применения методических схем, приемов, методов решения задач. К каждой лекции даны вопросы и задания для самостоятельной работы, а также список рекомендуемой литературы для более глубокого и всестороннего изучения рассматриваемых вопросов. Учебное пособие состоит из двух частей. В первой части рассмотрены основные вопросы частной методики обучения математике в 5-9 классах общеобразовательной школы.

Оглавление Каталог

Капкаева, Л. С. Теория и методика обучения математике: частная методика : учебное пособие для вузов : [в 2 ч.]. Ч. 2 / Л. С. Капкаева. − 2-е изд., испр. и доп. − Москва : Юрайт, 2018. − 191 с. : ил.

Учебное пособие содержит методики преподавания отдельных разделов математики. Представлены различные возможные подходы к изложению основных разделов школьного курса математики, дан их сравнительный анализ. Помимо методических рекомендаций приведены математическое содержание основных дидактических единиц, примеры применения методических схем, приемов, методов решения задач. К каждой лекции даны вопросы и задания для самостоятельной работы, а также список рекомендуемой литературы для более глубокого и всестороннего изучения рассматриваемых вопросов. Учебное пособие состоит из двух частей. Вторая часть представляет собой курс лекций по частной методике обучения математике в старших классах.

Оглавление Каталог

Методика и технология обучения математике : курс лекций : учебное пособие для студентов математических факультетов вузов / Н. Л. Стефанова, Н. С. Подходова, В. В. Орлов [и др.] ; науч. ред.: Н. Л. Стефанова, Н. С. Подходова. − Москва : Дрофа, 2005. − 416 с. : ил.

В пособии излагаются современные представления о методике и технологиях обучения математике в общеобразовательной школе. Содержание книги охватывает как традиционные для школьного курса математики темы, так и сравнительно новые. Материал излагается на базе личностно-ориентированного подхода. Для студентов педагогических вузов, обучающихся по направлению 540200 (050200) Физико-математическое образование.

Оглавление Каталог

Методика и технология обучения математике : лабораторный практикум : учебное пособие для студентов / Н. Л. Стефанова, Н. С. Подходова, В. В. Орлов [и др.] ; науч. ред. В. В. Орлов. − Москва : Дрофа, 2007. − 319 с. : ил.

Учебное пособие предназначено для студентов математических факультетов педагогических университетов, обучающихся по программе направления 540200 «Физико-математическое образование». Лабораторный практикум направлен на формирование профессионального опыта студентов. В нем рассматриваются практические вопросы, связанные с элементами содержания курса математики, реализация процесса обучения математике в современных образовательных технологиях. Пособие может быть использовано при подготовке студентов по специальности 030100 «Математика», а также в системе повышения квалификации учителей математики.

Оглавление Каталог

Методика обучения математике : учебник для академического бакалавриата : в 2 ч. Ч. 1 / Н. С. Подходова, В. В. Орлов, Н. Л. Стефанова [и др.] ; под ред. Н. С. Подходовой, В. И. Снегуровой. − Москва : Юрайт, 2019. − 274 с. : ил.

Предлагаемая книга отражает последние тенденции развития современного математического образования. В учебнике рассматриваются как вопросы теории обучения, так и примеры из практики обучения математике учащихся общеобразовательных учреждений. Каждая тема завершается вопросами для обсуждения, сформулированными в проблемной форме на основании содержания предыдущей главы и направленными на осмысление содержания, изложенного в теме. Содержание учебника соответствует актуальным требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования. Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по программам академического и прикладного бакалавриата и магистратуры, а также для аспирантов, преподавателей, научных сотрудников, практикующих учителей в системе повышения квалификации и переподготовки педагогических кадров.

Оглавление Каталог

Методика обучения математике : учебник для академического бакалавриата : в 2 ч. Ч. 2 / Н. С. Подходова, В. В. Орлов, Н. Л. Стефанова [и др.] ; под ред. Н. С. Подходовой, В. И. Снегуровой. − Москва : Юрайт, 2019. − 299 с. : ил.

Предлагаемый учебник отражает последние тенденции развития современного математического образования. В учебнике рассматриваются как вопросы теории обучения, так и примеры из практики обучения математике учащихся общеобразовательных учреждений. Каждая тема завершается вопросами для обсуждения, сформулированными в проблемной форме на основании содержания предыдущей главы и направленными на осмысление содержания, изложенного в теме. Содержание учебника соответствует актуальным требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования. Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по программам академического и прикладного бакалавриата и магистратуры, а также для аспирантов, преподавателей, научных сотрудников, практикующих учителей в системе повышения квалификации и переподготовки педагогических кадров.

Оглавление Каталог

Методика обучения математике. Практикум : учебное пособие для академического бакалавриата / [В. В. Орлов и др.] ; под ред. В. В. Орлова, В. И. Снегуровой. − Москва : Юрайт, 2018. − 379 с.

Пособие содержит развернутые планы лабораторных работ и образцы выполнения заданий различных типов по методике обучения математике. Книга состоит из двух частей, работы из первой части формируют у студентов опыт работы с компонентами математического содержания, работы из второй части направлены на изучение содержания основных линий школьного курса математики и формирование методического опыта студентов по работе в различных технологиях обучения. Пособие включает приложения, построенные на конкретном материале школьного курса, что позволяет ему быть полезным как для студентов, так и для практикующих учителей математики.

Оглавление Каталог

Методика развивающего обучения математике : учебное пособие для вузов / В. А. Далингер [и др.] ; под общ. ред. В. А. Далингера. − 2-е изд., испр. и доп. − Москва : Юрайт, 2018. − 297 с.

В результате изучения данного пособия студенты освоят психолого-педагогические основы развивающего обучения математике, дидактические принципы развивающего обучения математике по теории П. Я. Гальперина и Н. Ф. Талызиной, Л. В. Занкова, Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова, Л. Г. Петерсон, изучат особенности рефлексивного подхода к организации развивающего обучения математике, научатся проводить сравнительный анализ задач и целей обучения математике в различных системах развивающего обучения математике, сравнительную характеристику различных моделей методических систем, учащихся различных классов при обучении математике, составлять комплексы учебных задач, дидактических игр, домашних работ и исследовательских заданий для развития учащихся при обучении математике.

Оглавление Каталог

Новик, И. А. Практикум по методике обучения математике : учебное пособие [для студентов физико-математических специальностей педагогических вузов] / И. А. Новик, Н. В. Бровка. − Москва : Дрофа, 2008. − 237 с. : ил.

Данное пособие направлено на формирование основ методической культуры будущего учителя. В пособии представлены материалы по проведению практических занятий, лабораторных и контрольных работ по методике обучения математике, а также материалы в помощь молодому учителю математики. Предназначено для студентов физико-математических специальностей педагогических университетов и институтов. Может быть использовано учителями математики общеобразовательных учреждений.

Оглавление Каталог

Теоретические основы обеспечения качества обучения математике: достижение понимания и логико-семиотический анализ : [монография] / Э. К. Брейтигам [и др.] ; Алтайская государственная педагогическая академия. − Барнаул, 2011. − 226 с.

В монографии раскрываются теоретические основы обеспечения качества личностно развивающего обучения математике в школе и вузе. Материалы подготовлены в соответствии с современным пониманием качества образовательных процессов, которое отражает результаты теоретического исследования проблемы, а также разработок сотрудников Алтайской государственной педагогической академии. Монография адресована учителям учреждений общего образования, научным работникам по специальностям «Теория и методика обучения (по отраслям знаний)», «Теория и методика профессионального образования», «Педагогика», «Педагогическая психология».

Оглавление Каталог

Теория и методика обучения математике в школе : учебное пособие / Л. О. Денищева, А. Е. Захарова, М. Н. Кочагина [и др.] ; под общ. ред. Л. О. Денищевой. − Москва : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. − 247 с. : ил.

В учебном пособии рассматриваются общие вопросы теории и методики обучения математике в школе. Пособие призвано содействовать формированию профессионально значимых умений студентов, освоению основных компонентов содержания математического образования. Пособие предназначено для студентов педагогических вузов, учителей математики, слушателей курсов повышения квалификации, методистов и администрации образовательных учреждений.

Оглавление Каталог

Фридман, Л. М. Теоретические основы методики обучения математике / Л. М. Фридман. − Изд. 3-е. − Москва : URSS : ЛИБРОКОМ, 2009. − 244 с.

В пособии определяются цели и задачи обучения школьников математике в современной средней школе, выделяются принципы отбора и структурирования школьного курса математики. На основе оригинальных авторских разработок показываются способы и приемы обучения школьников решению математических задач, выясняются вопросы воспитания и развития учащихся в процессе изучения математики, обсуждается методика организации процесса обучения школьников. Пособие адресуется учителям, методистам, преподавателям и студентам математических факультетов высших учебных заведений.

Оглавление Каталог

Ястребов, А. В. Методика преподавания математики: задачи : учебное пособие для академического бакалавриата / А. В. Ястребов. − 2-е изд., испр. и доп. − Москва : Юрайт, 2017. − 150 с. : ил.

В учебном пособии представлены математические задачи, которые помогут студентам изучить понятийный аппарат и методологические принципы теории и методики обучения математике. В пособие включены авторские комментарии к отдельным задачам и группам задач, которые способствуют лучшему усвоению материалов книги. Соответствует актуальным требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования. Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по гуманитарным направлениям.

Оглавление Каталог

Ястребов, А. В. Методика преподавания математики: теоремы и справочные материалы : учебное пособие для академического бакалавриата / А. В. Ястребов, И. В. Суслова, Т. М. Корикова. − 2-е изд., испр. и доп. − Москва : Юрайт, 2017. − 173 с.

Настоящее учебное пособие посвящено методике изучения теорем. В нем представлены рекомендации по изучению и доказательству наиболее значимых теорем курса математики. Книга содержит также приложения, которые представляют собой справочные материалы, включающие общепринятые термины, общие теоретические положения и минимальный набор основных примеров, иллюстрирующих их. Соответствует актуальным требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования. Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по гуманитарным направлениям.

Оглавление Каталог

вверх

 

При полном или частичном использовании материалов ссылка на сайт обязательна

История созданных списков литературы | Список литературы, содержащий слова: «методика преподавание математики

Список литературы

Генератор кроссвордов

Генератор титульных листов

Таблица истинности ONLINE

Прочие ONLINE сервисы

 

Список литературы
1. Аквилева, Г. Н. Методика преподавания естествознания в начальной школе / Г. Н. Аквилева, З.А. Клепинина. — М.: Владос, 2012. — 240 c.
2. Белошистая, А. В. Методика обучения математике в начальной школе / А.В. Белошистая. — М.: Владос, 2012. — 456 c.
3. Кацман, Н.Л. Методика преподавания латинского языка / Н.Л. Кацман. — М.: Владос, 2010. — 253 c.
4. Кацман, Н.Л. Методика преподавания латинского языка / Н.Л. Кацман. — Москва: Наука, 2011. — 614 c.
5. Лапшин, Сергей Каратэ-до. Основная техника и методика преподавания / Сергей Лапшин. — М.: Донецк, 2018. — 448 c.
6. Мильруд, Р. П. Методика преподавания английского языка. English Teaching Methodology / Р.П. Мильруд. — М.: Дрофа, 2012. — 256 c.
7. Оксана, Бобылева and Ирина Егорова Методика преподавания дисциплины «Дискретная математика» / Оксана Бобылева and Ирина Егорова. — Москва: Мир, 2015. — 119 c.
8. Петрова, Людмила Викторовна Методика преподавания истории в специальной (коррекционной) школе VIII вида / Петрова Людмила Викторовна. — М.: Владос, 2013. — 915 c.
9. Рогановский, Н. М. Методика преподавания математики в средней школе. В 2 частях. Часть 1. Общие основы методики преподавания математики (общая методика) / Н.М. Рогановский, Е.Н. Рогановская. — М.: МГУ им. А. А. Кулешова, 2010. — 312 c.
10. Семенов, Александр Николаевич Вопросы и задания по методике преподавания литературы / Семенов Александр Николаевич. — М.: Владос, 2011. — 917 c.
11. Степанищев, А. Т. Методика преподавания и изучения истории. Часть 1 / А.Т. Степанищев. — М.: Владос, 2014. — 304 c.
12. Степанищев, А. Т. Методика преподавания и изучения истории. Часть 2 / А.Т. Степанищев. — М.: Владос, 2012. — 208 c.
13. Столяр, А.А. Логические проблемы преподавания математики / А.А. Столяр. — М.: [не указано], 2011. — 360 c.
14. Темербекова, А.А. Методика преподавания математики / А.А. Темербекова. — М.: Владос, 2017. — 405 c.
15. Царева, Светлана Евгеньевна Методика преподавания математики в начальной школе. Учебник для студентов учреждений высшего образования / Царева Светлана Евгеньевна. — М.: Академия (Academia), 2014. — 747 c.


Внимание: данные, отмеченные красным цветом, являются недостоверными!

Книги, использованные при создании данного списка литературы:

Аквилева Г. Н., Клепинина З. А.Методика преподавания естествознания в начальной школе

Белошистая А. В.Методика обучения математике в начальной школе

Кацман, Н.Л.Методика преподавания латинского языка

Лапшин СергейКаратэ-до. Основная техника и методика преподавания

Мильруд Р. П.Методика преподавания английского языка. English Teaching Methodology

Оксана Бобылева and Ирина ЕгороваМетодика преподавания дисциплины «Дискретная математика»

Петрова Людмила ВикторовнаМетодика преподавания истории в специальной (коррекционной) школе VIII вида

Рогановский Н. М., Рогановская Е. Н.Методика преподавания математики в средней школе. В 2 частях. Часть 1. Общие основы методики преподавания математики (общая методика)

Семенов Александр НиколаевичВопросы и задания по методике преподавания литературы

Степанищев А. Т.Методика преподавания и изучения истории. Часть 1

Степанищев А. Т.Методика преподавания и изучения истории. Часть 2

Столяр А.А.Логические проблемы преподавания математики

Темербекова А.А.Методика преподавания математики

Царева Светлана ЕвгеньевнаМетодика преподавания математики в начальной школе. Учебник для студентов учреждений высшего образования

Вход на сайт

Информация

В нашем каталоге

Околостуденческое

Организация обучения математике в начальных классах.

 

Цели: 1. Обобщить теоретические и практические знания студентов по данной теме.

2. Рассмотреть общий способ деятельности при планировании урока математики.

Вопросы для подготовки

1.Какие формы организации деятельности учащихся на уроке вы знаете?

2.Назовите основные типы уроков математики в начальных классах.

3.Общий способ деятельности при планировании урока математики (Белошистая А.В. с. 390 – 392, Истомина Н.Б. с. 250)

4.Какие виды учебных заданий вы знаете?

5.Роль учебных заданий на уроке математики.

6.Изучите логику обдумывания урока на примерах, приведенных Н.Б.Истоминой.

7.Выпишите в свою тетрадь план анализа урока (см. Истомина Н.Б. с. 260 — 261).

8.Оформление конспектов уроков.

9.

Индивидуальное задание

Подготовить сообщение «Вопросы в методике преподавания математики» (см. список лит-ры № 5)

 

Литература

1. Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе: курс лекций: учеб. пособие для студентов высш. пед. учеб. заведений. – М.: Гуманитар. изд. центр ВЛАДОС, 2005.

2. Гиниятуллина А.А. Опыт организации групповой работы на уроках // Нач. шк. – 2004. — № 1. – С. 15 – 17.

3. Деменева Н.Н. Дифференцированная работа на уроках математики в начальной школе // Нач. шк. – 2004. — № 2. – С. 55 – 61.


4. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. – М.: Академия, 2001.

5. Кульбякина Л.Я., Зотова Т.Н. Вопросы в методике преподавания математики // Нач. шк. – 2004. — № 7. – С. 117 – 121.

6. Новикова Л.И. Дифференцированный подход к учащимся в процессе обучения // Нач. шк. – 2002. № 1.

7. Шикова Р.Н., Калинина И.Г. Самостоятельная работа учащихся с карточками на уроках математики // Нач. шк. – 1994. — № 5.

Практическое занятие № 4

Тема: Внеурочная, индивидуальная и домашняя работа с учащимися по математике

Цели:1. Обобщить теоретические и практические знания студентов по данной теме.

2. Познакомиться с многообразием форм данного вида работ.

 

Вопросы для подготовки

1.Роль, организация и руководство домашней работой в процессе обучения математике.

2. Организация различных внеурочных форм работы по математике с учащимися начальных классов.

3. Внеклассная работа по математике и формы ее проведения.

4. Значение индивидуальной работы с учащимися по математике.

 

Задание для всей группы

Разработать внеклассное мероприятие по математике, изготовив необходимую наглядность. Оформить конспект внеклассного мероприятия. Приготовиться к его проведению.

 

Литература

1. Аллиосова Н.В. Содержание и организация внеурочной работы по математике // Нач. шк. – 1994. № 6.

2. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах. – М.: Просвещение, 1984.

3. Будникова В. С. Игра помогает активно работать // Нач. шк. – 1995. — № 2.

4. Волошкина М.И. Активизация познавательной деятельности младших школьников на уроках математики // Нач. шк. – 1992. — № 9-10.

Практическое занятие № 5

Тема: Развитие младших школьников в процессе обучения математике

Цели: 1. Познакомить учащихся с возможностью использования приемов умственных действий на уроках математики.

2.Научиться составлять задания с использованием приемов умственных действий.

Вопросы для подготовки

1.Какое обучение называют развивающим?

2.Какие приемы умственных действий используются при обучении математике? Как они связаны между собой?

3.В процессе каких упражнений формируется прием анализа через синтез? Приведите примеры конкретных упражнений.

4.Каков операционный состав приема сравнения? На какие этапы следует ориентироваться учителю, формируя у учащихся прием сравнения?

5. В чем заключается приём классификации? Какие виды заданий на классификацию можно использовать при обучении математике. Покажите на конкретных примерах.

6.В чем суть приёма обобщения?

7.Как можно организовать процесс обобщения при обучении математике в начальных классов?

8.Что необходимо учитывать, чтобы полученное обобщение было верным?

9.Что такое аналогия? Как можно использовать этот прием при обучении младших школьников математике?

Задания для всей группы

1.Выпишите из учебников математики для начальных классов по 2 примера на каждый из приемов.

2.Составьте алгоритмические предписания, которыми младшие школьники смогут пользоваться при: а) сложении однозначных чисел с переходом через разряд; б) сравнении многозначных чисел; в) письменном умножении на однозначное число.

Литература

1. Истомина Н. Б. Методика обучения математике в начальных классах. – М.: Академия, 2001. С. 164-195.

2. Останина Е.Е. Обучение школьников приему классификации // Начальная школа. – 2000. — №4.

3. Тимашова Л.С. Развитие логического мышления школьников на уроках математики // Начальная школа. – 2000. — №4.

4. Фазлутдинова Ф.М. Развитие алгоритмических умений у младших школьников на уроках математики. (Выпускная работа) 2005 г. № 548

Практическое занятие № 6

 

Тема: Программы и учебники по математике для начальной школы

 

Цели: 1. Рассмотреть особенности начального курса математики в комплекте учебников Л.Г. Петерсон.

2. Выполнить сравнительный анализ программ по математике Петерсон Л.Г. и Моро М.И.

Вопросы для подготовки

1.Изучите программу по математике М.И. Моро и Л.Г. Петерсон (задачи, цель, принципы, отличительная особенность и т.д.).

2. Ознакомьтесь с предложенной литературой и сделайте сравнительный анализ объяснительно-иллюстративного метода с деятельностным методом.

3.Охарактеризуйте учебники «Математика» (авторы: Моро М.И., Бантова М.А. и др.; Петерсон Л.Г.) пользуясь следующим планом:

1. Структура учебников.

2. Методический аппарат.

2.1. Способы подачи нового материала.

2.2. Правила.

2.3. Виды заданий.

2.4. Средства наглядности.

3. Особенности содержания (сравнить объем материала по основным содержательным линиям и распределение тем по годам обучения).

4. Дополнительные к учебнику средства обучения.

5. Осуществление повторения пройденного.

6. Реализация учебниками развивающей функции обучения.

4.Выпишите в тетрадь из программы Петерсон Л. Г. те темы (вопросы), которые не изучаются в программе Моро М.И.

5.Рассмотрите особенности комплекта учебников «Моя математика» в рамках программы «Школа 2100…» (см. список лит-ры № 1)

Литература

1. Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П. О новых учебниках для I – IV классов «Моя математика» // Нач. школа. – 2005. — № 8.

2. Петерсон Л.Г. Активизация деятельности детей при изучении вычитания двузначных чисел с переходом через разряд // Нач. школа. — 1997. — № 6. — С. 42.

3. Петерсон Л.Г. Информационно-методическое письмо к работе по новым учебникам «Математика». // Нач. школа. — 1997. — № 10. — С. 31–34.

4. Петерсон Л.Г. Работа по новым учебникам «Математика 1»: Информационно-методическое письмо // Нач. школа. – 1997. — № 6. – С. 45 – 51.

5. Петерсон Л.Г. Программа «Математика» // Нач. школа. — 2001. — № 8.

6. Программно – методические материалы. Математика. Начальная школа/ Сост. И.А. Петрова, Е.О.Яременко. – М.: Дрофа, 2000.

Практическое занятие № 7

Тема: Программы и учебники по математике для начальной школы

 

Цели: 1. Рассмотреть особенности методической системы развивающего обучения математике Л.В. Занкова.

2. Выполнить сравнительный анализ программ по математике по системе Л.В.Занкова и стабильной программы (авт. Моро М.И. и др.).

 

Вопросы для подготовки

1.Какова цель обучения по системе Л.В.Занкова?

2.Назовите отличия задач курса математики по системе Л.В.Занкова от задач обучения математике по традиционной системе.

3.Перечислите и дайте краткую характеристику принципам обучения по системе Л.В.Занкова.

4.В чем заключаются особенности учебных заданий учебника математики И.И. Аргинской?

 

Практические задания

1.Подготовьте анализ учебников по математике Аргинской И. И. (См. план анализа в занятии № 6). Распределение программного материала по системе Л.В. Занкова см. в учеб. пособии А.В. Белошистой (С. 31 – 33).

2.Выпишите в тетрадь не менее 3 примеров заданий с дозированной помощью учителя. Первый пример – из учебника математики И.И. Аргинской для 2 класса, второй пример – из учебника 3 класса, третий пример – из учебника 4 класса. Укажите страницу учебника, номер задания.

 

Литература

1. Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе: курс лекций: учеб. пособие для студентов высш. пед. учеб. заведений. – М.: Гуманитар. изд. центр ВЛАДОС, 2005.

 

Практическое занятие № 8

 

Предмет и задачи начального обучения математике в школе для детей с ТНР

Похожие презентации:

Предмет и задачи начального обучения математике в школе для детей с тяжелыми нарушениями речи

Методика обучения математике в начальных классах школы как наука

Обучение математике в начальных школах Германии

Множества в начальном обучении математике

Методика обучения математике в начальной школе как наука и учебный предмет

Организационные формы учебной работы по математике в начальных классах

Методика преподавания математики в начальных классах

Методика преподавания математики в начальной школе, как наука и учебный предмет

Биатлон. Задачи по математике в начальных классах

Методика обучения математике в начальной школе

ПЛАН РАССМОТРЕНИЯ ТЕМЫ:
1. Характеристика МПМ как педагогической
науки. Предмет, цель и задачи начального
обучения математике в школе для детей с ТНР.
2. Связь специальной методики преподавания
математики с другими науками.
3. Методы научного исследования методики
преподавания математики в специальной
(коррекционной) школе V вида.
4. Коррекционно-образовательное значение
математики в школе для детей с ТНР.
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА:
1. Белошистая, А. В. Методика обучения
математике в начальной школе: курс лекций : учеб.
пособ. для студ. вузов / А. В. Белошистая. – М. :
ВЛАДОС, 2007. – 456 с.
2. Истомина, Н. Б. Методика обучения
математике в начальных классах : учеб. пособ. для
средних и высших педагогических учебных
заведений. – 5-е издание, стереотип. /
Н. Б. Истомина. – М. : Академия, 2005. – 288 с.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА:
1. Загвязинский, В. И. Методология и методы
психолого-педагогического исследования: учеб.
пособ. для студ. вузов /В. И. Загвязинский– М. :
Москва, 2012. – 132 с.
2. Перова, М. Н. Методика преподавания
математики в коррекционной школе: учеб. для
студ. дефект.фак. Педвузов. /М. Н. Перова – М. :
ВЛАДОС, 2001. – 408 с.
1. Характеристика МПМ
как педагогической науки.
Предмет, цель и задачи начального
обучения математике
в школе для детей с ТНР
Математика отвечает
на 3 вопроса:
Зачем обучать
математике?
для применения
математических
знаний на практике
Чему обучать?
решению задач,
примеров, счету
Как обучать?
с определенной
точностью,
логичностью,
последовательностью
МПМ как наука определяется
Конкретным содержанием материала
Педагогической деятельностью учащихся
Особенностями математического материала
Предмет
исследования МПМ
Особенности формирования
математических знаний,
умений и навыков
у школьников
с нарушением речи
Цель МПМ –
сформировать способы
решения математических
примеров и задач
у школьников с ТНР
Задачи МПМ:
определение основного направления обучения математике
учащихся с нарушением речи
установление объема и содержания материала достаточного
ученикам с нарушением речи
разработка собственных методических принципов обучения
и определение условий реализации, общедидактических
принципов применения к данному предмету
изучение и описание наиболее рациональных и
продуктивных методов и приемов работы
2. Связь методики
преподавания
математики с другими
науками
Философские
науки
философия,
логика,
теория
познания,
социология
Педагогические
науки
специальная,
возрастная,
общая
педагогика
МПМ
Медицинские
науки
анатомия,
невропатология,
физиология,
педиатрия
Психологические
науки
специальная,
возрастная,
педагогическая,
общая
психология
3. Методы научного
исследования
Методы научного
исследования –
совокупность способов
и приемов познания
объективных
закономерностей
обучения, воспитания
и развития
Методы научного
исследования
по источникам
накопления
информации
по способам
обработки и
анализу данных
исследований
По источникам накопления
информации
методы
изучения
теоретических
источников
методы изучения
педагогического
процесса
в естественных
условиях
методы анализа
реального
педагогического
процесса
методы изучения
процесса
в специально
измененных
условиях
По способу обработки
и анализу данных
исследования
Методы
качественного
анализа
Методы
количественной
обработки
результатов
Методы исследования
теоретических
источников
Метод
сравнительнотеоретического
анализа
Метод
сравнительного
анализа
образовательных
систем
и технологий
разных стран
Метод
сравнительнотеоретического
анализа
изучает педагогические
явления, проектирует
конкретные меры по
совершенствованию учебновоспитательного процесса,
предупреждая ошибки
и недостатки прошлого
Метод сравнительнотеоретического
анализа
наблюдение
эксперимент
Метод изучения документации образовательных
учреждений
годовых планов работы
календарно — тематических планов учителей
по математике
планов воспитательной работы
планов работы
методических
объединений
индивидуальных
программ
журналов,
отчетов педагогов
Метод сравнительного
анализа
образовательных
систем и технологий
разных стран
Заимствует наиболее
актуальные и оригинальные
наработки,
с последующим введением
в имеющуюся отечественную
систему образования, что будет
способствовать ее
совершенствованию
и модернизации
Методы изучения
педагогического процесса
в естественных условиях
Наблюдение
Метод беседы
и интервью
Метод
анкетирования
Метод
независимых
характеристик
Метод рейтинга
Метод наблюдения –
непосредственное,
целеустремленное
и систематическое
зрительное восприятие
явлений и процессов
в их цельности и динамике
Метод беседы и
интервью –
это вопросно-ответные
методы устного опроса,
сбора психологопедагогических
и социокультурных данных,
при которых источником
информации выступает
вербальное общение людей
Метод анкетирования –
один из методов
письменного опроса,
который служит
получению информации
о типичности тех или
иных явлений
Метод обобщения
независимых
характеристик –
обработка информации,
поступившей на ученика
из разных источников:
от родителей, врачей,
социальных работников,
воспитателей, психологов,
комиссии ПМПК
Метод рейтинга –
это метод оценки тех
или иных сторон учебно-
воспитательной
деятельности
компетентными судьями
(экспертами)
Методы изучения
педагогического процесса
в специально измененных
условиях
Методы педагогического
эксперимента и опытной
проверки выводов
исследования в школе
Метод
педагогического
эксперимента
это активная форма
познания объективной
действительности
в науке
Педагогический
эксперимент
это научно поставленный
опыт преобразования
педагогического процесса
в точно учитываемых
условиях
Эксперимент
Естественный
Лабораторный
Педагогический
эксперимент
(Ю. З. Кушнер)
Уточняющий
Проверяется гипотеза
созданная в процессе
осмысления проблемы
Созидательнопреобразующий
Введение новых
педагогических
технологий
Констатирующий
Выявление как
положительных так и
отрицательных сторон
изучаемой проблемы
Контрольный
Проверка полученных
выводов
4. Коррекционно-
образовательное значение
математики в школе
для детей с ТНР

English     Русский Правила

10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

Страница 369 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ.» Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

В предыдущей главе мы рассмотрели обучение математике. Теперь обратим внимание на то, что требуется для развития навыков преподавания математики . Умение преподавать связано с эффективностью: постоянно помогая учащимся усвоить полезный математический контент. Профессионализм также предполагает универсальность: способность эффективно работать с широким кругом учащихся в различных средах и в различных областях математики.

Что нужно для обучения математическим знаниям?

Обучение способами, описанными в главе 9, представляет собой сложную практику, требующую широкого спектра ресурсов. Несмотря на распространенный миф о том, что преподавание — это нечто большее, чем здравый смысл, или что некоторые люди только что родились учителями, эффективной практике преподавания можно научиться. В этой главе мы рассмотрим, чему учителя должны научиться и как они могут этому научиться.

Несмотря на распространенный миф о том, что преподавание — это не более чем здравый смысл, или что некоторые люди только что родились учителями, эффективной практике преподавания можно научиться.

Во-первых, что нужно, чтобы хорошо преподавать математику? Если их ученики должны развивать математические навыки, учителя должны иметь четкое представление о целях обучения и о том, что означает владение для конкретного математического содержания, которое они преподают. Им нужно знать математику, которую они преподают, а также горизонты этой математики — куда она может привести и куда направляются с ней их ученики. Они должны иметь возможность гибко использовать свои знания на практике, чтобы оценивать и адаптировать учебные материалы, честно и доступно представлять содержание, планировать и проводить обучение, а также оценивать то, что изучают учащиеся. Учителя должны уметь слышать и видеть выражения математических идей учащихся и проектировать

Страница 370 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ. » Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

Китайский учитель о том, как достигается глубокое понимание фундаментальной математики

Одно дело — изучать того, кого учишь, другое дело — изучать знания, которым учишь. Если вы сможете красиво сплести эти две вещи вместе, у вас все получится… Поверьте, когда я говорю об этом, кажется, что это просто, а когда делаешь на самом деле, это очень сложно, тонко и занимает много времени. Легко быть учителем начальных классов, но трудно быть хорошим учителем начальных классов.

ИСТОЧНИК: Ма, 1999, с. 136. Используется с разрешения Lawrence Erlbaum Associates.

соответствующие способы ответа. Учитель должен интерпретировать письменные работы учащихся, анализировать их рассуждения и реагировать на различные методы, которые они могут использовать при решении проблемы. Преподавание требует умения видеть математические возможности задачи, оценивать ее и адаптировать для конкретной группы учащихся. Знание траекторий, по которым развиваются фундаментальные математические идеи, имеет решающее значение, если учитель хочет способствовать движению учащихся по этим траекториям. Короче говоря, учителя должны собрать и использовать широкий спектр ресурсов для поддержки приобретения математических навыков.

В следующих двух разделах мы сначала обсудим базу знаний, необходимую для преподавания математики, а затем предложим основу для профессионального преподавания математики. В последних двух разделах мы обсудим четыре программы для развития профессионального обучения, а затем рассмотрим, как учителя могут создать сообщества практиков.

База знаний для преподавания Математика

Три вида знаний имеют решающее значение для преподавания математики в школе: знание математики, знание учащихся и знание методов обучения. 1 Их можно увидеть в треугольнике инструкций (вставка 9–1 в главе 9 и ниже). 2 Математика и ученики — это две вершины треугольника, а учебная практика — это взаимодействие, показанное стрелками.

Страница 371 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ.» Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

Математические знания включает знание математических фактов, понятий, процедур и взаимосвязей между ними; знание способов представления математических идей; и знание математики как дисциплины — в частности, как производится математическое знание, природа дискурса в математике, а также нормы и стандарты доказательств, которыми руководствуются аргументы и доказательства. В нашем использовании термина знание математики включает рассмотрение целей обучения математике и обеспечивает основу для различения и определения приоритетов этих целей. Знание математики для преподавания также влечет за собой нечто большее, чем знание математики для себя. Учителя, безусловно, должны уметь правильно понимать концепции и точно выполнять процедуры, но они также должны быть в состоянии понимать концептуальные основы этих знаний. В ходе своей работы учителями они должны понимать математику таким образом, чтобы они могли объяснять и раскрывать идеи способами, которые не нужны в обычной взрослой жизни. Математическая чувствительность, которой они обладают, имеет значение при принятии ими решений и интерпретации математических усилий студентов.

Знания учащихся и того, как они изучают математику, включают в себя общие знания о том, как различные математические идеи развиваются у детей с течением времени, а также конкретные знания о том, как определить, где в траектории развития может находиться ребенок. Он включает в себя знакомство с распространенными трудностями. Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ.» Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

связывает учащихся с определенными математическими понятиями и процедурами и включает в себя знания об обучении, а также о разного рода опыте, проектах и ​​подходах, влияющих на мышление и обучение учащихся.

Знание педагогической практики включает в себя знание учебной программы, знание задач и инструментов для обучения важным математическим идеям, знание того, как разрабатывать и управлять дискурсом в классе, а также знание классных норм, которые поддерживают развитие математических навыков. Однако преподавание подразумевает больше, чем просто знание. Учителя должны не только знать, но и делать. Например, знание того, что составляет хорошую учебную задачу, — это одно; способность эффективно использовать задачу в классе с группой шестиклассников — это другое. Понимание норм, поддерживающих продуктивную деятельность в классе, отличается от способности разрабатывать и использовать такие нормы в разнообразном классе.

Знание математики

Поскольку знание содержания, которое необходимо преподавать, является краеугольным камнем преподавания для достижения мастерства, мы начинаем с него. Существует значительный объем исследований математических знаний учителей, и знания учителей по математике занимают видное место в дискуссиях о том, как улучшить преподавание математики. Улучшение математических знаний учителей и их способности использовать их в преподавательской работе имеет решающее значение для развития математических навыков учащихся.

Многие недавние исследования показали, что учителя начальных и средних школ США обладают ограниченными знаниями в области математики, в том числе той математики, которую они преподают. Математическое образование, которое они получили как в качестве учеников K-12, так и при подготовке учителей, не предоставило им надлежащих или достаточных возможностей для изучения математики. В результате такого образования учителя могут знать факты и процедуры, которым они обучают, но часто имеют относительно слабое понимание концептуальной основы этих знаний. Многие испытывают трудности с прояснением математических идей или решением задач, которые требуют большего, чем рутинные вычисления. 3 Например, практически все учителя умеют умножать многозначные числа, но несколько исследователей обнаружили, что многие будущие и практикующие учителя начальной школы не могут объяснить основу умножения многозначных чисел, используя понятия разрядного значения и основные свойства сложения и умножения. 4 В другом исследовании 5 учителей четвертого-шестого классов набрали более 90% баллов по заданиям, проверяющим общепринятые десятичные вычисления, но менее половины смогли найти число между 3,1 и 3,11.

Страница 373 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ.» Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

Учителя часто рассматривают математику как фиксированный набор фактов и процедур, которые изучаются путем запоминания, и этот взгляд переносится в их обучение. Многие плохо понимают, как генерируются или обосновываются математические знания. Преподаватели, работающие в начальной школе, например, неоднократно демонстрировали свою готовность принять ряд примеров как доказательство математического обобщения. 6 Нигде в процессе обучения у них не было возможности изучить и испытать на себе природу и роль обоснования в математике, понятия, занимающего центральное место в развитии математических знаний.

Хотя учителя могут понимать математику, которую они преподают, лишь поверхностно, простое изучение стандартных курсов математики в колледже не помогает делу. Доказательства на этот счет были последовательными, хотя причины не были должным образом исследованы. Например, исследование потенциальных учителей математики средней школы в трех крупных учебных заведениях показало, что, хотя они закончили курсы математики в старших классах колледжа, необходимые для получения специальности математика, они имели лишь поверхностное представление о концепциях, лежащих в основе элементарной математики. 7 Математика начальной и средней школы не является тривиальной, и основные понятия и структуры заслуживают серьезного, постоянного изучения учителями. Чтобы развить у будущих учителей понимание математики, которую они будут преподавать, необходимо уделить особое внимание определению математики, которая необходима учителям для эффективного преподавания, формулированию способов, которыми они должны использовать ее на практике, и того, что это подразумевает для их возможностей для обучения. учить математику. Такое внимание к математическим знаниям учителей и их центральной роли на практике имеет решающее значение для обеспечения того, чтобы их изучение математики давало учителям математические знания, полезные для хорошего преподавания.

Математические знания учителей и успеваемость учащихся. Здравый смысл утверждает, что успеваемость учащихся должна быть связана со знанием учителями своего предмета. Эта мудрость содержится в таких пословицах, как «Вы не можете учить тому, чего не знаете». На протяжении большей части века исследователи пытались найти положительную связь между знаниями учителя и успеваемостью учащихся. По большей части результаты были разочаровывающими: большинству исследований не удалось найти прочную связь между ними.

Однако многие исследования основывались на грубых измерениях этих переменных. Мерой знаний учителей, например, часто служило количество пройденных курсов математики или другие легко документируемые данные из колледжа

Стр. Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ.» Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

стенограммы. Такие меры не дают точного показателя конкретной математики, которую знают учителя, или того, как они владеют этими знаниями. Учителя могут успешно завершить свои курсы, не достигнув математических знаний. Или они, возможно, изучили математику, но не знают, как использовать ее в своем обучении, чтобы помочь ученикам учиться. Они могут изучать математику, которая плохо связана с тем, чему они учат, или могут не знать, как ее связать. Точно так же многие меры успеваемости учащихся, используемые в исследованиях знаний учителей, представляли собой стандартизированные тесты, ориентированные в первую очередь на процедурные навыки учащихся. Некоторые данные свидетельствуют о том, что существует положительная связь между математическими знаниями учителей и усвоением учащимися сложных математических понятий. 8 Однако, по-видимому, нет никакой связи между тем, сколько курсов углубленной математики посещает учитель, и общими достижениями учеников этого учителя по математике. 9 В целом эмпирические данные о влиянии знаний учителей по содержанию математики на обучение учащихся все еще довольно скудны.

В Национальном лонгитюдном исследовании математических способностей (NLSMA), проводившемся в 1960-х годах и до сих пор являющемся крупнейшим исследованием в своем роде, не было практически никакой связи между успеваемостью учащихся и количеством кредитов, которые учитель имел по математике на уровне исчисления или не только. 10 Комментируя результаты NLSMA и ряда других исследований знаний учителей, директор NLSMA позже сказал: 1994 г., в котором использовались данные продольного исследования американской молодежи (LSAY). 12 С каждым дополнительным курсом математики, пройденным их учителями, наблюдался заметный рост успеваемости учащихся, однако после пятого курса дополнительных преимуществ было мало. 13

Данные НАЭП 1996 года о специальностях педагогических колледжей, а не о количестве пройденных ими курсов, контрастируют с общей тенденцией этого направления исследований. Данные NAEP показали, что восьмиклассники, которых обучали учителя, специализирующиеся на математике, превзошли тех, чьи учителя

Page 375 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ. » Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

специализировался в области образования или какой-либо другой области. Четвероклассники, которых обучали учителя, специализирующиеся на математическом образовании или педагогике, как правило, превосходили тех, чьи учителя специализировались в другой области, помимо образования. 14

Хотя исследования математических знаний учителей не продемонстрировали сильной взаимосвязи между математическими знаниями учителей и успеваемостью их учеников, знания учителей, вероятно, по-прежнему являются важным фактором успеваемости учащихся. То, что грубые измерения знаний учителей, такие как количество пройденных курсов математики, не коррелируют положительно с данными об успеваемости учащихся, подтверждает необходимость более тщательного изучения природы математических знаний, необходимых для обучения, и более чувствительного их измерения.

Постоянная неудача многих попыток показать сильные, окончательные отношения между математическими знаниями учителей и их эффективностью не означает, что математические знания не имеют никакого значения в обучении. Исследование, однако, предполагает, что предложения по улучшению преподавания математики за счет простого увеличения количества математических курсов, требуемых от учителей, вряд ли будут успешными. Как мы обсудим в следующих разделах, курсы, отражающие серьезное изучение природы математики, которую учителя используют в практике преподавания, действительно обещают улучшить успеваемость учащихся.

Учителя должны знать математику так, чтобы они могли помочь ученикам учиться. Специальные знания по математике, в которых они нуждаются, отличаются от математического содержания, содержащегося в большинстве курсов математики в колледже, которые в основном предназначены для тех, чье профессиональное использование математики будет в математике, естественных науках и других технических областях. Почему это различие имеет значение при рассмотрении математического образования учителей? Во-первых, темы, изучаемые на курсах математики для старших классов, часто далеки от основного содержания учебной программы K-12. Хотя абстрактные математические идеи связаны, конечно, основные алгебраические понятия или элементарная геометрия не являются тем, что будущие учителя изучают в курсе углубленного исчисления или линейной алгебры. Во-вторых, курсы математики в колледже не дают студентам возможности узнать ни о множественных представлениях математических идей, ни о том, как различные представления соотносятся друг с другом. Продвинутые курсы не акцентируют внимание на концептуальных основах идей, необходимых учителям, которые используют математику для помощи другим в изучении математики. 15 Вместо этого изучение математики в колледже предполагает все большее сжатие элементарных идей во все более и более мощные и абстрактные формы, необходимые тем, кто профессионально использует математику в научных областях. Третий, высший математический

Страница 376 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ.» Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

изучение влечет за собой использование элементарных понятий и процедур без особого сознательного внимания к их значениям или последствиям, тем самым укрепляя рутину предшествующего обучения на службе более продвинутой работы. Хотя этот подход важен для образования математиков и ученых, он противоречит тому виду математических исследований, который нужен учителям.

Учтите, что учителя должны уметь работать с алгоритмами. Сила вычислительных алгоритмов заключается в том, что они позволяют учащимся выполнять расчеты, не задумываясь о шагах в расчетах или о том, почему расчеты работают. Это освобождает мышление учащихся, чтобы они могли сосредоточиться на проблеме, которую они пытаются решить с помощью вычислений, вместо того, чтобы беспокоиться о деталях вычислений. Со временем люди склонны забывать, почему процедура работает или что необходимо для понимания или обоснования того или иного алгоритма. Поскольку алгоритм стал настолько автоматическим, трудно сделать шаг назад и подумать, что нужно, чтобы объяснить его тому, кто не понимает. Следовательно, взрослому, свободно владеющему этим алгоритмом, может быть очень трудно оценить трудности детей в изучении алгоритма.

Необходимое сжатие идей в ходе изучения математики также не соответствует математическим потребностям учителей. Большинство продвинутых классов математики вовлекают учащихся в изучение идей, которые они уже изучили, и их использование для создания все более мощных и абстрактных концепций и методов. После того, как теоремы доказаны, их можно использовать для доказательства других теорем. Нет необходимости возвращаться к основополагающим концепциям, чтобы изучить более продвинутые идеи. Преподавание, однако, влечет за собой изменение направления, которому следовали в изучении высшей математики. Помогая учащимся учиться, учителя должны брать абстрактные идеи и раскрывать их таким образом, чтобы основные лежащие в их основе понятия были видны. 16 Например, большинство взрослых упустило из виду тот факт, что существуют разные интерпретации деления. Для взрослых деление — это операция над числами. Разделение, однако, коренится в совершенно разных физических ситуациях, и различия между этими ситуациями важны для понимания мышления детей, развития их понимания значения разделения и помощи им в применении этого понимания для решения проблем. 17 Например, хотя обе следующие задачи можно представить в виде деления 24 на 6, маленькие дети думают о них совершенно по-разному и используют для их решения совершенно разные стратегии: 18

Страница 377 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ. » Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

Эти две задачи соответствуют моделям деления на измерение и деление соответственно, которые обсуждались в главе 3. Маленькие дети, использующие фишки, решают первую задачу, раскладывая 24 фишки стопками по 6 фишек в каждой. Они решают вторую, разбивая 24 счетчика на 6 групп. В первом случае ответом является количество групп; во втором — число в каждой группе. Пока дети не станут намного старше, они не осознают, что абстрактно эти два решения эквивалентны. Учителя должны видеть эту эквивалентность, чтобы они могли понять и предвидеть трудности, с которыми дети могут столкнуться в связи с разделением.

Чтобы понять смысл, который дети придают арифметическим задачам, учителя должны понимать различия, которые дети проводят между этими задачами, и то, как эти различия могут отражаться в том, как дети думают о задачах. Различные семантические контексты для каждой из арифметических операций не являются общей темой в курсах математики в колледжах, однако учителям важно знать эти контексты и иметь возможность использовать свои знания в обучении. Пример с разделением иллюстрирует другой способ осмысления содержания курсов для учителей — способ, который может сделать эти курсы более актуальными для преподавания школьной математики.

Недавнее исследование показывает, что результаты учителей по математическим задачам, поставленным в контексте педагогической практики, положительно связаны с успеваемостью учащихся. 19 В ходе исследования способность учителей интерпретировать четыре ответа учащихся на задачу на соотношение и определить, какие из них были правильными, была тесно связана с успеваемостью их учеников по математике.

Математические знания учителей и их педагогическая практика. Принято считать, что знания учителя по математике связаны с тем, как он преподает. Учителя вряд ли смогут дать адекватное объяснение понятий, которые они не понимают, и они вряд ли смогут вовлечь своих учеников в продуктивные беседы о множестве способов решения проблемы, если они сами могут решить ее только одним способом.

В течение последних 15 лет исследователи изучали, как математические знания учителей влияют на то, как они преподают. Большинство расследований представляли собой тематические исследования, почти во всех участвовало менее 10 учителей, а в большинстве — от одного до трех учителей. В целом исследователи обнаружили, что учителя

Page 378 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ.» Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

с относительно слабым концептуальным знанием математики, как правило, демонстрировал процедуру, а затем давал учащимся возможность попрактиковаться в ней. Неудивительно, что эти учителя мало помогали ученикам в развитии понимания того, что они делали. 20 Когда учителя пытались дать четкое объяснение и обоснование, они не смогли этого сделать. 21 В некоторых случаях их недостаточное концептуальное знание приводило к тому, что они представляли неправильные процедуры. 22

Некоторые из тех же исследований сравнивали практику преподавания учителей с низким уровнем математических знаний с практикой преподавания учителей, которые лучше владели математикой. Эти исследования показывают, что сильное понимание математики позволило учителям понять и конструктивно использовать математические решения, объяснения и вопросы учащихся. 23 Несколько исследователей, однако, обнаружили, что некоторые учителя с сильными концептуальными знаниями не обязательно использовали эти знания для понимания математических объяснений своих учеников, предпочитая вместо этого навязывать свои собственные объяснения. 24

Знания учащихся

Знания учащихся включают как знания конкретных обучаемых учащихся, так и знания об обучении учащихся в целом. Знание своих учеников включает в себя знание того, кто они, что они знают и как они относятся к обучению, математике и себе. Учителю необходимо знать что-то о личном и образовательном опыте каждого учащегося, особенно о математических навыках, способностях и наклонностях, которые учащийся привносит на урок. Учитель также должен быть чутким к уникальным способам обучения, размышлений и математических действий, которые выработал ученик. Каждого ученика можно рассматривать как находящегося на пути школьной математики, обладающего сильными и слабыми сторонами, разработавшего свои собственные подходы к математическим задачам и способного вносить свой вклад в каждый урок и извлекать из него особую пользу.

Учителя также нуждаются в общих знаниях о том, как думают ученики, — о подходах, типичных для учеников данного возраста и происхождения, их общих представлениях и заблуждениях, а также о вероятных источниках этих идей. За последнее десятилетие исследователи получили впечатляющее количество доказательств того, как со временем развиваются представления детей о различных математических концепциях. Мы описали некоторые из этих прогрессий в главах с 6 по 8. Используя эту совокупность данных, исследователи также

Страница 379 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ.» Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

изучали, как знания учителей о математическом мышлении учащихся связаны с тем, как они преподают, и с тем, насколько успешными являются их ученики.

Из множества примеров неправильных представлений, к которым учителя должны быть внимательны, мы выбрали один: важным математическим понятием, которое представляет собой основной камень преткновения при переходе учащихся от арифметики к алгебре, является роль, которую играет знак «=». за равенство. 25 Как мы обсуждали в главе 8, многие, если не большинство учеников начальной школы ошибочно полагают, что знак равенства является сигналом к ​​действию, к выполнению предшествующих ему вычислений. 26 Число сразу после знака равенства рассматривается как ответ на вычисление. Например, в числовом предложении 8+4=□+5 многие учащиеся поставили бы 12 в ячейку. У детей может сложиться такое впечатление, потому что именно так обозначения часто описываются в программе начальной школы, и большинство их практических упражнений соответствуют этому образцу. Немногие учителя осознают степень непонимания их учениками таких предложений. 27 Более того, хотя большинство учителей имеют некоторое представление о том, что равенство — это отношение между двумя числами, немногие осознают, насколько важно, чтобы учащиеся понимали равенство как отношение, и немногие учитывают эту потребность в понимании, когда используют знак равенства.

Знание практики в классе

Знание практики в классе означает знание того, чему следует учить и как планировать, проводить и оценивать эффективные уроки по этому математическому содержанию. Он включает в себя знание целей обучения, выраженных в учебной программе, и знание имеющихся в распоряжении ресурсов, помогающих учащимся достичь этих целей. Это также включает в себя умение организовать свой класс для создания сообщества учащихся и управлять дискурсом в классе и учебной деятельностью, чтобы все были вовлечены в предметную математическую работу. Мы обсуждали эти вопросы в главе 9.. Этот тип знаний приобретается через опыт работы в классе, а также путем анализа и размышлений о собственной практике и практике других.

В следующих разделах мы рассмотрим, как разработать интегрированный корпус знаний типов, обсуждаемых в этом разделе. Однако сначала нам необходимо прояснить нашу позицию в отношении отношения между знанием и практикой. Мы обсудили, какие виды знаний нужны учителям, если они хотят обучать математике. Хотя мы использовали термин знание повсюду, мы не имеем в виду его исключительно в смысле знания о . Учителя должны также уметь использовать свои знания на практике. Знания учителей имеют ценность только в том случае, если они могут применить их к своему обучению; это не может быть

Страница 380 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ.» Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

оторван от практики. Эффективные программы подготовки и профессионального развития учителей не могут ограничиваться простым привлечением учителей к приобретению знаний; они должны призывать учителей развивать, применять и анализировать эти знания в контексте их собственных классов, чтобы знания и практика были интегрированы.

Эффективное преподавание математики

В главе 4 мы определили пять компонентов или направлений математических навыков. С этой точки зрения успешное обучение характеризуется пониманием идей; свободный доступ к навыкам и процедурам; умение формулировать и решать проблемы; способность размышлять, оценивать и адаптировать свои знания; способность рассуждать от известного к желаемому; и привычная склонность осмысливать и ценить то, что изучается. Преподавание представляет собой сложную деятельность и, как и другие сложные виды деятельности, может быть понято с точки зрения сходных компонентов. Точно так же, как само математическое мастерство включает в себя переплетенные нити, обучение математическому мастерству требует таких же взаимосвязанных компонентов. В контексте преподавания квалификация требует:

  • концептуальное понимание основных знаний, необходимых в практике преподавания;

  • беглость в выполнении основных учебных действий;

  • стратегическая компетентность в планировании эффективного обучения и решении проблем, возникающих во время обучения;

  • адаптивное мышление в обосновании и объяснении своей учебной практики и в размышлении над этой практикой с целью ее улучшения; и

  • продуктивная склонность к математике, преподаванию, обучению и совершенствованию практики.

Подобно направлениям математического мастерства, эти компоненты математического мастерства преподавания взаимосвязаны. В этой главе мы обсудим проблемы, связанные с развитием навыков преподавания. В предыдущем разделе мы обсудили вопросы, связанные с базой знаний, необходимой для повышения квалификации по всем компонентам. Теперь перейдем к конкретным вопросам, возникающим в контексте компонентов.

Страница 381 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ.» Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

Понимание основных знаний

Недостаточно, чтобы учителя владели видами основных знаний, описанными в предыдущем разделе. Одной из определяющих черт концептуального понимания является то, что знания должны быть связаны, чтобы их можно было разумно использовать. Учителям необходимо устанавливать связи внутри и между своими знаниями по математике, ученикам и педагогике.

Виды знаний, влияющие на педагогическую практику и обучение учащихся, включают детально разработанные комплексные знания по математике, знания о том, как развивается математическое понимание учащихся, а также набор педагогических практик, учитывающих суть математики. преподают и как учащиеся учатся этому. Последствия для подготовки учителей и профессионального развития заключаются в том, что учителям необходимо приобретать эти формы знаний таким образом, чтобы установить связи между ними. Для учителей, которые уже достигли определенных математических навыков, отдельные курсы или программы повышения квалификации, которые сосредоточены исключительно на математике, психологии обучения или методах обучения, предоставляют ограниченные возможности для установления этих связей. К сожалению, большинство программ подготовки преподавателей университетов предлагают отдельные курсы по математике, психологии и методам обучения, которые преподаются на разных факультетах. Сложность интеграции таких курсов усугубляется, когда они расположены в разных административных единицах.

Все программы профессионального развития, которые мы обсуждаем далее в этой главе, помещают свое изображение математики и детского мышления в контекст, непосредственно связанный с проблемами, с которыми учителя сталкиваются ежедневно при обучении математике. 28 Это приземление к реальности позволяет соединить знания математики и знания учащихся таким образом, чтобы это имело значение для преподавания и обучения. Однако недостаточно, чтобы математические знания и знания учащихся были связаны; оба должны быть связаны с классной практикой. Учителя могут знать математику, они могут знать своих учеников и то, как они учатся. Но они также должны знать, как эффективно использовать оба вида знаний в контексте своей работы, если они хотят помочь своим ученикам развивать математические навыки.

Точно так же многие семинары без отрыва от работы, презентации на профессиональных встречах, публикации для учителей и другие возможности для обучения учителей сосредоточены почти исключительно на деятельности или методах обучения и редко пытаются помочь учителям развить собственное концептуальное понимание лежащих в основе математических идей, что учащиеся понимают эти идеи или то, как они их усваивают. Альтернативные формы педагогического образования и повышения квалификации, направленные на преподавание математического содержания, психологии

Страница 382 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ.» Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

обучения, и методы обучения должны быть разработаны и оценены, чтобы увидеть, могут ли будущие и практикующие учителя таких программ устанавливать соответствующие связи и применять полученные знания для эффективного преподавания математики.

Учебные программы

Вторым основным компонентом педагогического мастерства является разработка учебных программ. Подобно тому, как учащиеся, освоившие процедурную беглость, могут эффективно, точно и гибко выполнять вычисления с числами с минимальными усилиями, учителя, освоившие репертуар учебных процедур, могут легко использовать их при взаимодействии со учащимися при обучении математике. Некоторые процедуры касаются управления классом, например, как начинать занятия каждый день и процедуры исправления и сбора домашних заданий. Другие процедуры больше основаны на математической деятельности. Например, учителя должны знать, как реагировать на ученика, который дает ответ, который учитель не понимает, или демонстрирует серьезное заблуждение. Они должны знать, как вести себя с учащимися, которым не хватает необходимых навыков для дневного урока. Учителям нужны деловые способы решения подобных ситуаций, которые происходят регулярно, чтобы они могли уделять больше внимания более серьезным проблемам, с которыми они сталкиваются. Когда у учителей есть несколько подходов к решению проблем обучения, они могут попробовать другой подход, если один из них не работает.

Исследования показали, что опытные учителя имеют в своем распоряжении большой набор упражнений. 29 Они могут выбирать из нескольких подходов к преподаванию данной темы или реагирования на ситуацию, возникающую на их занятиях. У учителей-новичков, напротив, есть ограниченный набор рутинных действий, и они часто не могут адекватно реагировать на ситуации. Учителя-эксперты не только имеют доступ к целому ряду упражнений, но и могут гибко их применять, знают, когда они подходят, и могут адаптировать их к различным ситуациям.

Стратегическая компетентность

Третьим компонентом педагогического мастерства является стратегическая компетентность. Хотя учителям нужен ряд рутин, преподавание в значительной степени связано с решением проблем. 30 Как и другие специалисты, учителя постоянно сталкиваются с необходимостью принятия решений при планировании обучения, реализации этих планов и взаимодействии со студентами. 31 Редко доступны полезные рекомендации для выяснения того, чему и когда учить, как учить, как адаптировать материал, чтобы он подходил для данной группы учащихся, или сколько времени отводить на занятие.

Страница 383 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ.» Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

учителю необходимо выяснить, что знает учащийся, выбрать, как ответить на вопрос или утверждение учащегося, и решить, следовать ли идее учащегося. Это проблемы, с которыми каждый учитель сталкивается каждый день, и у большинства из них нет готовых решений.

Концептуальное понимание знаний, необходимых для повышения квалификации, может помочь учителям разумно решать эти проблемы. Ошибочно утверждать, что учителя на самом деле решают таких задач в том смысле, что решают математическую задачу. Никогда не бывает идеального решения более сложных проблем обучения, но учителя могут научиться решать эти проблемы разумными способами, принимая во внимание математику, которую ученики должны изучать; что понимают их ученики и как им лучше всего это усвоить; и представления, действия и методы обучения, которые оказались наиболее эффективными при обучении рассматриваемой математике или которые были эффективны при обучении смежным темам.

Программы обучения и повышения квалификации учителей, учитывающие необходимость принятия стратегических решений в обучении, могут помочь учителям подготовиться к более эффективному решению учебных задач. Программы педагогического образования и повышения квалификации не предназначены для решения проблем учителей, а могут привлекать потенциальных и практикующих учителей к анализу учебных проблем и потенциальных способов их решения. Учителя могут научиться понимать, что преподавание включает в себя решение проблем и что они могут решать эти проблемы разумными и разумными способами.

Адаптивное мышление

Четвертый компонент педагогического мастерства — это адаптивное мышление. Учителя могут извлечь уроки из своего обучения, проанализировав его: трудности, с которыми столкнулись их ученики при изучении определенной темы; чему научились студенты; как учащиеся реагировали на конкретные представления, вопросы и действия; и тому подобное. 32 Учителя могут стать рефлексивными практиками, и рефлексия необходима для улучшения их практики. Фокус размышлений учителей и инструменты, которые они используют, формируют характер этого размышления и влияют на то, чему и как они учатся из него. Многие успешные программы педагогического образования и повышения квалификации вовлекают учителей в размышления, но размышление или, что более уместно, анализ основывается на конкретных примерах. В этих программах учителя участвуют в анализе, в котором их просят представить доказательства, подтверждающие заявления и утверждения. Как и в случае с другими сложными видами деятельности, обучение учителей можно улучшить, сделав более очевидными цели, предположения и решения, связанные с практикой 9.0003

Страница 384 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ.» Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

обучение. 33 Последствия для образования и профессионального развития учителей заключаются в том, что учителя участвуют не только в изучении методов обучения, но и в размышлении над ними, их обосновании и объяснении в отношении таких вопросов, как преподаваемая математика, цели для учащихся, концепции и неправильные представления учащихся о математике, трудности, с которыми они сталкиваются при ее изучении, и представления, которые наиболее эффективны для передачи основных идей.

Один из способов, с помощью которого программы профессионального развития, описанные ниже, способствуют развитию способности учителей обосновывать и объяснять методы работы в классе, заключается в том, что учителя изучают знакомые артефакты из практики, и эти артефакты помогают им сосредоточить свое внимание и выработать общий язык для обсуждения. В некоторых случаях руководители программы предоставляют артефакты; в других артефакты происходят из учительских классов. Учителей часто просят поставить перед классом конкретную математическую задачу и обсудить наблюдаемое ими математическое мышление.

Продуктивная предрасположенность

Последним компонентом педагогического мастерства является продуктивная предрасположенность к собственным знаниям, практике и обучению. Подобно тому, как учащиеся должны развивать продуктивную предрасположенность к математике, чтобы они верили, что математика имеет смысл и что они могут ее понять, точно так же и учителя должны развивать аналогичную продуктивную предрасположенность. Учителя должны думать, что математика, их понимание детского мышления и их методы преподавания согласуются друг с другом, чтобы иметь смысл, и что они способны сами изучать математику, математическое мышление учащихся и свою собственную практику, анализируя то, что происходит в их классах. Учителя, чье обучение становится генеративным, считают себя контролирующими свое собственное обучение. 34 Они учатся, слушая своих учеников и анализируя их практику преподавания. Они не только разрабатывают более сложные представления о том, как развивается математическое мышление учащихся, слушая своих учеников, но также изучают математические концепции и стратегии в ходе взаимодействия со студентами. Учителя привыкают к математическим идеям и созрели для более систематического взгляда на предмет.

Учителя, чье обучение становится продуктивным, считают себя учениками на протяжении всей жизни, которые могут учиться, изучая учебные материалы 35 и из анализа их практики и их взаимодействия со студентами. Программы обучения и повышения квалификации учителей, которые показывают участникам, что они сами контролируют свое обучение, помогают учителям развивать продуктивную позицию. Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ.» Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

направлен на изучение математики, математическое мышление учащихся и практику преподавания. Программы, предлагающие готовые, отработанные решения педагогических проблем, не должны рассчитывать на то, что учителя будут считать, что они сами контролируют свое собственное обучение.

Программы развития профессионального обучения

Очевидно, что в программе подготовки учителей учителя не могут узнать все, что им нужно знать о математике, которую они будут преподавать, о том, как учащиеся изучают эту математику и как ее преподавать эффективно. Следовательно, некоторые авторитетные лица рекомендовали рассматривать педагогическое образование как профессиональный континуум, процесс на протяжении всей карьеры. 36 Таким образом, учителям нужна основа для непрерывного обучения. Они должны быть в состоянии адаптироваться к новым структурам учебных программ, новым материалам, достижениям в области технологий и достижениям в исследованиях мышления учащихся и педагогической практики. Они должны научиться учиться, изучают ли они математику, студентов или преподавание. Учителя могут продолжать учиться, участвуя в различных формах профессионального развития. Но формальные программы профессионального развития представляют собой лишь один из источников непрерывного обучения. Педагогические школы и классы также могут стать местами для обучения как учителей, так и учащихся. 37 Программы профессионального развития, которые вовлекают учителей в исследования в своих классах, могут обеспечить основу для того, чтобы обучение учителей стало продуктивным, чтобы их знания, концепции и практика продолжали расти и развиваться. 38

Программы обучения и повышения квалификации учителей, основанные на исследованиях, объединяют изучение математики и изучение обучения учащихся, чтобы учителя могли наладить связи между ними. Некоторые из этих программ начинаются с математических идей из школьной программы и просят учителей проанализировать эти идеи с точки зрения учащихся. Другие программы используют математическое мышление учащихся в качестве трамплина для мотивации учителей к изучению математики. Третьи начинают с педагогической практики и переходят к рассмотрению математики и мышления учащихся. Ниже мы рассмотрим примеры четырех таких типов программ, которые представляют собой набор альтернативных подходов к развитию интегрированных навыков преподавания математики. 39

Сосредоточьтесь на математике

Некоторые программы подготовки учителей и повышения квалификации направлены на повышение знаний будущих и практикующих учителей по математике путем более глубокого изучения фундаментальных идей начальной школы

Страница 386 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ.» Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

математика, часто через решение задач. Например, потенциальные учителя начальной школы могут пройти курс математики, который частично посвящен рациональным числам или пропорциональности, а не обычной алгебре или исчислению в колледже. Такие курсы предлагаются во многих университетах, но они редко связаны с учебной практикой. Урок, изображенный во вставке 10–1, взят из курса, в ходе которого устанавливаются связи с практикой.

Блок 10–1 Исследование деления дробей в курсе математики

Потенциальные учителя смотрят на доску, пытаясь понять, что инструктор просит их сделать. Вычислив ответ на простую задачу на деление дробей и вспомнив старый алгоритм — инвертируй и умножай, — большинство из них приходят к ответу: «Это знакомое содержание», и хотя в последнее время им не приходилось делить дроби, они чувствуют себя комфортно, вспоминая собственный опыт школьной математики и то, что они узнали. Но сейчас, о чем их спрашивают? Преподаватель предложил им подумать, почему они получают то, что кажется ответом, который больше, чем любое из чисел в исходной задаче ( и ). «Разве деление не уменьшает числа?» она спрашивает. Сбитые с толку, они внезапно застревают. Никто из них раньше этого не замечал.

Преподаватель предлагает новое задание: «Посмотрите, сможете ли вы придумать сюжетную задачу, придумать реальный контекст или нарисовать картинку, которая будет сочетаться с делением одной и трех четвертых на половину. Можете ли вы привести пример или модель, показывающую, что происходит при делении одной и трех четвертых на одну половину?»

Будущие учителя приступили к работе, кто парами, кто в одиночку. Инструктор ходит вокруг, наблюдая за их работой и время от времени задавая вопросы. Большинство нарисовали картинки, подобные приведенным ниже:

Страница 387 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ. » Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

Они написали проблемы, подобные следующим:

У одной пары учеников другая проблема:

И еще одна пара предусмотрела заполнение литровых емкостей, начиная с литров воды.

Примерно через 10 минут преподаватель предлагает учащимся поделиться своими проблемами с остальным классом. Один ученик представляет описанную выше ситуацию с пиццей. Большинство студентов одобрительно кивают. Когда второй ученик предлагает задачу с кунжутным крекером, большинство снова кивают, не замечая разницы. Преподаватель задает вопрос: как каждая услышанная нами задача связана с первоначальным вычислением? Эти две проблемы похожи или различны, и имеет ли это значение?

В ходе обсуждения ученики постепенно приходят к пониманию того, что в задаче о пицце пицца была разделена на пополам на и что ответ выражается в виде четвертей , то есть части составляют четверти пиццы. В случае с кунжутным крекером ответ на количество партий выражается в полчашек сахара. В первом случае они представили деление пополам, , которое на самом деле является делением на два; во втором они представляли дивизион на половину .

Страница 388 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ.» Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

Преподаватель переходит к обсуждению различных интерпретаций деления: разделение и измерение. После того, как учащиеся заметят, что успешные задачи — связанные с кунжутными крекерами и литрами воды — являются задачами на измерение, она просит их попытаться разработать проблемную ситуацию, которая представляет деление на деление. Другими словами, могли бы они составить осмысленную задачу, в которой не единица, которой измеряется целое, а число единиц, на которые целое разделено?

В качестве домашнего задания инструктор просит учащихся попытаться изобразить несколько других ситуаций деления, которые она выбирает стратегически, и, наконец, просит их выбрать два числа для деления, которые они считают особенно удачными, и сказать, почему. Она также просит их попытаться связать то, что они сделали сегодня на уроке, с помощью знакомого алгоритма «переверни и умножь».

В этом отрывке из университетского курса математики будущих учителей просят распаковать знакомое арифметическое содержание, объяснить идеи, лежащие в основе процедур, которые они помнят и могут выполнять. Неоднократно на протяжении всего курса инструктор ставит задачи, стратегически разработанные для раскрытия концепций, на которых основаны знакомые процедуры.

Один из принципов, лежащих в основе усилий инструктора, заключается в том, чтобы вовлечь будущих учителей в своего рода математическую работу, направленную на развитие их навыков в математическом содержании учебной программы начальной школы. Второй принцип заключается в том, чтобы связать эту работу с более крупными математическими идеями и структурами. Например, урок о делении дробей является частью более широкой программы, которая включает в себя понимание деления, его связь с дробями и умножением, а также значение и представление операций. Более того, на всем протяжении развития этих идей и связей будущие учителя работают с целыми и рациональными числами, учитывая, как выглядит математический мир внутри этих вложенных систем.

Основная цель такого курса — предоставить будущим учителям широкие возможности для изучения фундаментальных идей школьной математики, их взаимосвязи и того, как учащиеся усваивают их.

Страница 389 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ.» Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

90 002 способы, которыми планируются возможности будущих учителей учиться, могут иногда помещать математические вопросы в явно педагогический контекст (например, составить задачу-рассказ), так что вид математической работы, которую они выполняют в курсе, помогает им развить математические навыки. способами, которые они могут использовать в обучении. Но курс не о том, как учить, и не о том, как дети учатся. Это явная и преднамеренная постоянная возможность для будущих учителей изучать математические идеи таким образом, чтобы вооружить их математическими ресурсами, необходимыми в обучении.

Акцент на мышление учащихся

Успешные программы, ориентированные на математику и мышление детей, основаны на практике. Учителя не учат абстрактных понятий о математике и детях. В программах учителя рассматривают стратегии решения проблем реальных учеников, артефакты студенческой работы, примеры из реальных классов и тому подобное. Кроме того, перед учителями в этих программах стоит задача соотнести то, что они изучают, со своими учениками и их собственной учебной практикой. Они узнают о математике и учениках как на семинарах, так и в общении со своими учениками. Учителям предоставляется особая возможность обсудить друг с другом, как идеи, с которыми они сталкиваются, влияют на их практику и как их практика влияет на то, что они изучают. Обсуждения в этих программах проводятся в духе поддержки запросов учителей. Анализ детского мышления не представлен как фиксированная совокупность знаний, и учителя занимаются не только исследованием того, как применять знания о мышлении учащихся при планировании и осуществлении обучения, но и исследованием, чтобы углубить свое понимание мышления учащихся. 40

Семинар, описанный во вставке 10–2, является частью программы повышения квалификации, призванной помочь учителям глубже понять некоторые важные математические идеи, включая знак равенства. Программа, созданная по образцу когнитивно-ориентированного обучения (CGI), зарекомендовавшего себя как очень эффективный подход, 41 помогает учителям понять, как помочь своим ученикам рассуждать о числовых операциях и отношениях таким образом, чтобы улучшить изучение арифметики и способствовать более плавный переход от арифметики к алгебре. 42 Этот конкретный семинар был направлен на то, чтобы осветить неправильные представления учащихся о равенстве и рассмотреть, как эти заблуждения можно исправить.

Следует отметить несколько особенностей этого примера профессионального развития. Учителя сосредотачиваются на том, чтобы дети думали о критической математической идее. Хотя они начинают с рассмотрения того, как думают дети, учителя

Page 390 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ. » Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

Вставка 10–2 Исследование концепции равенства в группе профессионального развития

Перед посещением семинара учителя-участники просят своих учеников найти число, которое они могли бы положить в клеточку, чтобы следующее числовое предложение с открытыми числами стало истинным числовым числом: 8+4=□+5. На семинаре учителя делятся своими выводами с другими участниками. Менее 10 % учеников в любом учительском классе решили задачу правильно*. Большинство неправильных ответов было 12, а количество ответов — 17. Эти выводы, удивившие большинство учителей, побудили их начать слушать их ученики, а также ряд учителей привлекли своих учеников к обсуждению причин их ответов. Опыт учителей спровоцировал дискуссию на семинаре о том, как ученики думают о равенстве и как эти неправильные представления могли быть приобретены. Обсуждение дает представление о том, как думают дети, и что учителя могут узнать, слушая своих учеников. Хотя учителя признают ошибки учеников в этой проблеме, они не имеют четкого представления о том, как они могли бы исправить неправильное представление.

Ведущий семинара представляет несколько истинных и ложных числовых предложений в качестве контекста, чтобы бросить вызов неверным представлениям детей о равенстве. Примеры включают 8=3+5, 17+9=36, 23=23, 17+26=27+16 и 76+7=76. Задача состоит в том, чтобы решить, является ли предложение истинным или ложным. Иногда решение требует расчета (например, 74–57=17), а иногда нет (например, 67+96=96+67). Учителя работают в небольших группах, чтобы составить истинные и ложные числовые предложения, которые они могут использовать, чтобы выявить различные взгляды на равенство. Используя эти предложения, их ученики могли участвовать в исследованиях, которые могли бы привести к пониманию равенства как отношения. Предложения также могут предоставить возможности для обсуждения того, как разрешить разногласия и разработать математический аргумент. Учителя работают вместе, чтобы рассмотреть, как их ученики могут реагировать на различные числовые предложения и какие числовые предложения могут привести к наиболее плодотворному обсуждению.

   

* Эти ответы и такой уровень успешности характерны для классов с 1 по 6 класс.

ИСТОЧНИК: Фолкнер, Леви и Карпентер, 1999 г. Используется с разрешения авторов.

должны также изучить свои собственные концепции. Свойства равенства, которые учителя обычно не рассматривали тщательно, прежде чем всплывают в их обсуждениях представлений учащихся и неправильных представлений об использовании знака равенства. Учителя также начинают задумываться о том, как используются обозначения и как обосновываются идеи в математике. Центральная особенность их рассуждений заключается в том, что математика0003

Страница 391 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ.» Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

Эматика

и детское мышление находятся в контексте, связанном с их практикой. Математические идеи и то, как дети думают о них, видны во взаимодействии в классе. Проблемы, обсуждаемые на семинаре, — это проблемы, которые учителя могут и используют на своих занятиях; общение на тему математики, происходящее на уроках учителей, создает условия для обсуждения математических идей и детского мышления на семинарах. Действия, происходящие в мастерской и в классах учителей, преследуют одни и те же цели. В обоих случаях учителя занимаются исследованиями, чтобы глубже понять математику, мысли учащихся об этой математике и то, как планировать свое обучение, чтобы способствовать развитию математического мышления учащихся.

До того, как начать программу профессионального развития, подобную той, что описана выше, учителя, участвующие в программе, обнаружили, что менее 10% их учеников в любом классе демонстрируют относительную концепцию равенства. После одного года программы процент учащихся в своих классах, которые продемонстрировали относительную концепцию равенства, варьировался от 66% в первом и втором классах до 84% в шестом классе. 43

Хотя в этих программах большое внимание уделяется мышлению детей, понимание математического мышления детей зависит от понимания математики, с которой связано это мышление. Программы не касаются общих теорий обучения. Вместо этого они концентрируются на понимании детского мышления в конкретных областях математического содержания. Понимание математики изучаемой области является необходимым условием для понимания детского мышления в этой области. Например, чтобы понять различные стратегии, которые дети используют для решения разных задач, учителя должны понимать семантические различия между задачами, представленными одной и той же операцией, как показано на примерах обмена и измерения разделения файлов cookie, описанных выше во вставке 10–1. В программах, ориентированных на математическое мышление детей, учителя учатся распознавать и ценить математическое значение неформальных методов решения задач у детей, как эти методы превращаются в более абстрактные и более мощные методы, и как неформальные методы могут служить основой для обучения учащихся. изучать формальные понятия и процедуры с пониманием.

Программы профессионального развития, направленные на то, чтобы помочь учителям понять как математику конкретных предметных областей, так и математическое мышление учащихся в этой области, неизменно способствуют значительным изменениям в методах преподавания учителей, что приводит к значительному повышению успеваемости учащихся. 44 Например, в экспериментальном исследовании CGI с учителями начальных классов, учителя, прошедшие месячный курс

Страница 392 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ.» Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

Семинар №

по развитию у детей понятий сложения и вычитания обучал решению задач значительно больше и значительно меньшему количеству фактов, чем учителя, которые вместо этого посещали два двухчасовых семинара по решению нестандартных задач. Учащиеся в классах учителей CGI показали такие же результаты, как и учащиеся в классах учителей сравнения, в стандартизированном вычислительном тесте и превзошли учеников в классах учителей сравнения в сложных задачах на сложение и вычитание. 45 После того, как учителя изучили развитие математического мышления детей, они, как правило, уделяют больше внимания решению задач, больше слушают своих учеников и больше узнают о способностях своих учеников, а также предоставляют своим ученикам больше возможностей для использования разнообразных методов решения. Успехи учащихся, как правило, были в области понимания и решения проблем, но ни одна из программ не привела к ухудшению вычислительных навыков, несмотря на больший упор на более высокие уровни мышления.

Фокус на кейсах

Примеры кейсов — это еще один способ установить связи между математическими знаниями, знаниями учащихся и практическими знаниями. Хотя кейсы сосредоточены на эпизодах в классе, обсуждения, в которых участвуют учителя, когда они размышляют над кейсами, подчеркивают математическое содержание и мышление учащихся. Кейсы включают обучение конкретным математическим темам, и учителя анализируют кейсы с точки зрения содержания преподаваемой математики и математического мышления, отраженного в работе детей и взаимодействиях, в которых они участвуют. Кейсы могут быть представлены в письменном виде или с использованием нескольких носителей. такие как видеокассеты и расшифровки уроков. Эпизод во вставке 10–3 взят из обсуждения случая, в котором случай представлен в виде видеозаписей уроков за весь год, записанных на компьютерные диски, вместе с планами и размышлениями учителя, а также примерами работы учеников.

В этом примере примечательно то, как возможности учителей рассматривать математические идеи — в данном случае функции — устанавливаются в контексте использования этих идей в обучении. Эти учителя исследуют концепцию функций с нескольких пересекающихся точек зрения. Они углубляются в математику, тщательно прорабатывая и анализируя поставленную учителем задачу. Они также изучают идеи, исследуя работу студентов над проблемой. И они возвращаются к математическим идеям, внимательно наблюдая за тем, как учитель обращается с математикой во время урока.

Страница 393 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ. » Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

Блок 10–3 Исследование математических задач с использованием случаев из Реальная практика

Вокруг стола собралась дюжина учителей. Они читали случай, когда учитель проводил урок по функциям. Письменный кейс включает задание, которое использовал учитель, и подробный описательный отчет о том, что происходило в классе, когда ученики работали над задачей. Учитель использовал следующую задачу:

Доступны ксерокопии работ учащихся, а также страницы из используемых учебных материалов. Прежде чем преподаватели изучили кейс и сопроводительные материалы, они сами решили математическую задачу.

Чтобы начать обсуждение, ведущий семинара просит учителей внимательно просмотреть один фрагмент урока, в котором два ученика представляют решения проблемы. Она просит их интерпретировать действия каждого ученика и сравнить два решения. Эта просьба вызывает оживленную дискуссию, в ходе которой учителя исследуют представления и объяснения учащихся. Один учитель отмечает, что у третьего ученика есть метод, похожий на метод первого ученика, но несколько других утверждают, что этот метод не похож. Учителя продолжают анализировать мышление учащихся, многократно и внимательно используя репродукции работ учащихся. В какой-то момент один учитель поднимает математический вопрос, спрашивая, может ли быть что-то особенно важное в идее одного ученика.

Учителя начинают обсуждение математики на несколько минут. Они отмечают, что если заданные величины (вес, стоимость) нанести на график, то точки лежат на одной прямой. Чтение графика дает решение. Кроме того, спрашивая, сколько будет стоить каждый дополнительный килограмм, задача предполагает, что существует постоянная разница, которую можно использовать для ее решения. Поскольку разница в 2 кг между 5 и 3 кг составляет 2,60 доллара США, а разница в 3 кг между 8 и 5 кг составляет 3,9 доллара США.0 самым простым правилом будет то, что каждый дополнительный килограмм стоит 1,30 доллара. Линейная функция ( y = 1,30 x +2,50) соответствует трем значениям, и можно использовать постоянные разности или график, чтобы найти эту функцию (хотя это не обязательно для ответа на два вопроса).

После столь необходимого перерыва ведущий переориентирует обсуждение на ходы учителя на протяжении эпизода, который они обсуждали. Сначала несколько

Страница 394 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ.» Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

учителя отмечают, что учитель, кажется, мало что делает. «Она скорее гид», — замечает один учитель. «Это действительно студенческий класс». «Это?» — спрашивает ведущий. Она просит их внимательно проанализировать текст и попытаться классифицировать действия учителя.

Это обсуждение преподносит сюрпризы большинству учителей. Внезапно становится видна сложная работа, которую делает учитель. Они видят, как она задает стратегические вопросы, используя определенные аспекты решений учащихся, чтобы сфокусировать обсуждение в классе, задавая направление в одни моменты и позволяя ученикам немного потрудиться в другие. Они начинают описывать и называть различные движения, которые она делает. Один учитель заинтригован тем, как учитель помогает ученикам выражать свои идеи, задавая вопросы в поддержку их объяснений, прежде чем она попросит других учеников прокомментировать. Совершенно ясно, что это не общий навык, поскольку математическая чувствительность и знания, связанные с этим, вполне заметны во всем. Другой учитель замечает, как собственные математические знания учителя, по-видимому, формируют ее умелые вопросы. Учителя очарованы тем, что выглядит как важная упущенная возможность развеять распространенное заблуждение о функции. Размышление о том, почему это произошло, приводит их к продуктивному разговору о том, что можно сделать, чтобы воспользоваться этой возможностью.

Занятие заканчивается тем, что учителя соглашаются принести одну математическую задачу из своей работы над функциями и сравнить ее с задачей, использованной в кейсе. Слышно, как некоторые из них обсуждают особенности этой проблемы, которые кажутся особенно плодотворными и заставляют их задуматься о том, как они формулируют проблемы для своих учеников. Группа кратко обсуждает некоторые способы разнообразить задачу, чтобы упростить или усложнить ее. Затем лидер завершает резюмирование некоторых математических вопросов, включенных в задачу. Она указывает, что не очевидно, что означает значение 2,50 в алгебраическом выражении функции. Это стоимость отправки посылки нулевого веса, идеи, которая нигде не фигурирует ни в самой задаче, ни в реальной жизни. Она также говорит, что важно понимать, что x относится только к целым числам. Наконец, она отмечает, что с другой функцией различия могут быть непостоянными. Предположение о постоянных различиях связано с проблемой и распространено в ситуациях, подобных тем, которые связаны с транспортными расходами, но оно не обязательно всегда оправдано.

Исследования обучения учителей в рамках программ профессионального развития, в которых использовались классные примеры, показывают, что учителя изучали математику, изучая такие примеры. Они приобрели более широкий набор способов представления математических идей, смогли сформулировать связи между математическими идеями и развили более глубокое понимание математических структур. 46

Страница 395 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ. » Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

В результате своей работы в рамках этой программы учителя стали более склонны излагать аргументы учащихся в обсуждениях и предлагать как публичное, так и личное обсуждение идей учащихся. По крайней мере, некоторые учителя продолжали процесс изучения математики, проверяя математические работы своих учеников в своих классах.

В программах на основе конкретных случаев, ориентированных на обучение в классе, кейсы рассматриваются как проблемные ситуации, которые служат основой для обсуждения и исследования, а не как модели обучения для подражания учителям. Учителя анализируют классы не для того, чтобы выяснить, как они могут сделать то, что сделал учитель в данном примере; вместо этого обсуждение кейсов предоставляет модели для исследования, которые учителя могут применять для анализа математического мышления своих учеников и их собственной практики преподавания.

Фокус на изучении уроков

Несколько иной подход к профессиональному развитию представляют так называемые группы изучения уроков, которые используются в Японии (см. вставку 10–4). Эти учебные группы сосредоточены на разработке и уточнении одного конкретного математического урока, называемого «исследовательским уроком». Учителя работают вместе, чтобы рассмотреть конкретную трудность, связанную с преподаванием какой-либо важной части математики. Они придумывают урок, и один член группы преподает его, а остальные смотрят. После этого они обсуждают, что произошло в свете их ожиданий и целей. Основываясь на этом опыте, группа пересматривает урок, и кто-то другой преподает его. Цикл продолжается: пробовать урок, обсуждать и анализировать, как он работал, и пересматривать его. С помощью таких групп по изучению уроков учителя занимаются очень подробным анализом математики, математического мышления и навыков учащихся, преподавания и обучения. Хотя в результате получается хорошо продуманный урок, в процессе разработки и уточнения урока учителя работают над анализом ответов учащихся, извлекают уроки и пересматривают свои собственные методы преподавания. Их знания становятся основой для дальнейшего обучения через изучение урока. 47

Группы по изучению уроков могут следовать несколько иному формату и расписанию, чем описанное выше, но большинство из них встречаются регулярно в течение года и сосредоточены на улучшении очень небольшого количества уроков с четкими учебными целями. Используя урок как единицу анализа и совершенствования, учителей поощряют улучшать свои знания обо всех аспектах преподавания в контексте их собственных классов — знания математики, мышления учащихся, педагогики, учебного плана и оценки. . Хотя годовая деятельность дает коллективный продукт, которым можно поделиться с другими учителями (письменный отчет группы), японские учителя говорят, что основная ценность изучения урока

Страница 396 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ. » Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

Блок 10–4 Уроки японского языка

Небольшие группы учителей формируются в школе по областям общих педагогических интересов или обязанностей (например, группы на уровне класса по математике или естественным наукам). Каждая группа начинает с формулирования цели на год. Иногда цель адаптируется из рекомендаций национального уровня (например, улучшить навыки решения задач у учащихся) и трансформируется в более конкретную цель (например, улучшить понимание учащимися задач, связанных с отношениями). Более конкретная цель может быть сосредоточена на теме учебной программы, которая была проблематичной для учащихся в их классах. Затем определяется несколько уроков, которые обычно связаны с этой темой, и группа приступает к своей годовой задаче по улучшению этих уроков.

Группы по изучению уроков собираются регулярно, часто раз в неделю после школы (например, с 15:00 до 17:00), для разработки, проверки и уточнения улучшенных уроков. Некоторые группы делят свою работу на три основных этапа, каждый из которых занимает примерно одну треть учебного года. На первом этапе учителя проводят исследования по теме, читают и делятся соответствующими исследовательскими отчетами и собирают информацию от других учителей об эффективных подходах к преподаванию темы. На втором этапе учителя разрабатывают целевые уроки (часто всего один, два или, возможно, три урока). Важные части дизайна включают (а) проблемы, которые будут представлены учащимся, (б) прогнозы учителей о том, как учащиеся будут решать проблемы, и (в) как эти различные методы решения должны быть интегрированы в продуктивный класс. обсуждение.

На третьем этапе уроки проверяются и уточняются. В первом тесте часто один из членов группы преподает урок своему классу, в то время как другие члены группы наблюдают и делают записи. После того, как группа доработает урок, его можно будет протестировать в другом классе перед всеми учителями школы. В этом случае назначается повторная сессия, и группа по изучению урока вовлекает своих коллег в обсуждение урока, получая отзывы о его эффективности.

Последним заданием для группы является подготовка отчета о проделанной работе за год, включая обоснование использованного подхода и подробный план урока, дополненный описаниями различных методов решения, которые учащиеся могут представить, и способов, которыми они могут быть организованы в конструктивную дискуссию.

Страница 397 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ. » Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

— развитие учителя. Непосредственная работа над улучшением преподавания — это их способ стать лучшими учителями.

Сообщества практикующих

Обучение способами, которые продолжают быть продуктивными с течением времени, лучше всего проводить в сообществе соучеников и учащихся, как это показано в японских группах по изучению уроков. Предшествующее обсуждение профессионального мастерства учителей было сосредоточено на знаниях отдельных учителей, но педагогическое мастерство не развивается легко и, как правило, не поддерживается изолированно. Исследования усилий по школьной реформе показывают, что профессиональное развитие наиболее эффективно, когда оно выходит за рамки отдельного учителя. 48 Сотрудничество между учителями помогает им участвовать в исследованиях, необходимых для развития педагогического мастерства. Профессиональное развитие может создать контекст для сотрудничества учителей, обеспечить фокус для сотрудничества и обеспечить общую основу для взаимодействия с другими учителями по общим проблемам. Когда у учителей есть возможность продолжать участвовать в сообществах практиков, которые поддерживают их исследования, методы обучения, которые способствуют развитию математических навыков, могут легче поддерживаться.

Профессиональное развитие может создать условия для сотрудничества учителей, обеспечить фокус для сотрудничества и обеспечить общую основу для взаимодействия с другими учителями по общим проблемам.

Нацеленность групп учителей имеет значение для того, чему учителя учатся в ходе своего взаимодействия с другими. Когда постоянная работа сосредоточена на математике, на размышлениях учащихся над конкретными математическими темами или на детальной работе по разработке и реализации инструкций, ресурсов, генерируемых для собственной практики учителей, больше, чем при менее конкретной направленности. Например, общий обмен мнениями или обсуждение подходов, не основанных на особенностях школьных артефактов, хотя и доставляет удовольствие, реже дает полезные знания, которые могут иметь значение для работы учителей.

Специалисты по математике

Из-за наличия специальных знаний, необходимых для преподавания математики, в последнее время участились дискуссии об использовании специалистов по математике, особенно в старших классах начальной и средней школы. Альянс Learning First Alliance, в который входят 12 основных образовательных групп, рекомендует учителям математики с 5 по 9 классы иметь «твердую подготовку по курсовой работе для классов K-12 и преподаванию математики в средних классах». 49 Совет по математическим наукам в своем проекте отчета рекомендует, чтобы математику в средних классах преподавали специалисты по математике, начиная как минимум с пятого класса. 50 Они также рекомендуют учителям математики средней школы пройти 21 семестр

Страница 398 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ. » Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

часа математики, 12 из которых посвящены фундаментальным идеям школьной математики, подходящей для учителей средней школы.

В рекомендациях для специалистов по математике подразумевается понятие специалиста по математике в ведомственной структуре. В таких условиях учителя с большим опытом работы в области математики преподают математику, а иногда и другой предмет, в зависимости от контингента учащихся, в то время как другие учителя в здании преподают другие предметные области. Департаментализация чаще всего встречается в старших классах начальной школы (с 4 по 6). Используются и другие модели специалистов по математике, особенно в начальных школах, которые редко подразделяются на отделы. Иногда вместо специалиста по всем математикам используется один специалист по математике школьного уровня. Этот человек, обладающий глубокими познаниями в области математики и того, как ее изучают учащиеся, действует как ресурс для других учителей в школе. Специалист может консультироваться с другими учителями по конкретным вопросам, проводить демонстрационные уроки, наблюдать и предлагать предложения или проводить специальные учебные занятия в течение года. Специалисты по математике школьного уровня также могут играть ведущую роль в создании практических сообществ, как обсуждалось в предыдущем разделе. Поскольку во многих округах не хватает учителей с большим опытом работы в области математики, чтобы иметь хотя бы одного специалиста в каждой школе, вместо этого округа назначают тренеров по математике районного уровня, которые несут ответственность за несколько школ. В то время как специалист школьного уровня обычно имеет постоянное или сокращенное преподавательское задание, специалисты районного уровня часто не имеют преподавательского задания в классе во время их пребывания в должности районного тренера. Ограничением для всех моделей для специалистов по математике является ограниченное количество учителей, особенно на начальном уровне, с сильным математическим образованием. По этой причине для подготовки специалистов по математике использовались летние программы обучения руководителей.

Эффективное профессиональное развитие

Возможно, главная цель всех программ подготовки учителей и повышения квалификации состоит в том, чтобы помочь учителям понять математику, которую они преподают, как их ученики изучают эту математику и как этому способствовать. обучение. Многие из новаторских программ, описанных в этой главе, прилагают серьезные усилия, чтобы помочь учителям соединить эти нити знаний, чтобы их можно было применять на практике. Учителя должны объяснить и обосновать свои идеи и выводы. Идеи учителей уважаются, и их поощряют к исследованиям. У них есть возможности развить продуктивную склонность к собственному обучению тому, как они вносят свой вклад. 0003

Страница 399 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ.» Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

указывает на то, что их обучение становится генеративным. Учителям не даются готовые решения учебных задач или рецепты для практики. Вместо этого они адаптируют то, что изучают, и участвуют в решении проблем, чтобы справляться с ситуациями, которые возникают, когда они пытаются использовать то, что они изучают.

Профессиональное развитие помимо начальной подготовки имеет решающее значение для развития навыков преподавания математики. Однако такое профессиональное развитие требует мобилизации значительных ресурсов. Одним из важнейших ресурсов является время. Если учителя собираются заниматься исследованиями, им нужны постоянные возможности опробовать идеи и подходы со своими учениками, а также постоянные возможности обсудить свой опыт со специалистами по математике, штатными сотрудниками и другими учителями. Эти возможности не должны ограничиваться периодом в несколько недель или месяцев; вместо этого они должны быть частью постоянной культуры профессиональной практики. Благодаря исследованиям в области преподавания обучение учителей может стать продуктивным, а учителя могут продолжать учиться и расти как профессионалы.

Примечания

1.  

Шульман, 1987.

2.  

Коэн и Болл, 1999, 2000.

3.  

Шаровая, 1991; Ма, 1999 г.; Пост, Харел, Бер и Леш, 1991; Тирош, Фишбейн, Гребер и Уилсон, 1999.

4.  

Мяч, 1991; Ма, 1999.

5.  

Пост, Харел, Бер и Леш, 1991.

6.  

Мяч, 1988; Мартин и Харел, 1989 г .; Саймон и Блюм, 1996.

7.  

Мяч, 1990, 1991.

8.  

Малленс, Мурнан и Уиллет, 1996 г. ; но см. Begle, 1972.

9.  

Монах, 1994.

10.  

Бегле, 1979.

11.  

Бегле, 1979, с. 51.

12.  

Продольное исследование американской молодежи (LSAY) было проведено в конце 1980-х и начале 1990-х годов среди второкурсников и младших школьников. Данные об успеваемости учащихся основывались на заданиях, разработанных для NAEP.

13.  

Монах, 1994, с. 130.

14.  

Хокинс, Стэнкевидж и Досси, 1998 г.

15.  

В действительности оказывается, что иногда содержательное знание само по себе может быть вредным для хорошего преподавания. В одном исследовании более знающие учителя иногда переоценивали доступность представлений и процедур, основанных на символах (Nathan and Koedinger, 2000).

16.  

Мяч и Бас, 2000; Ма, 1999.

17.  

Карпентер, Феннема и Франке, 1996 г.; Карпентер, Феннема, Франке, Эмпсон и Леви, 1999 г.; Грир, 1992.

Страница 400 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ. » Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

18.  

Карпентер, Феннема, Франке, Эмпсон и Леви, 19 лет.99.

19.  

Роуэн, Чанг и Миллер, 1997 г.

20.  

Мяч, 1991; Лейнхардт и Смит, 1985.

.

21.  

Борко, Эйзенхарт, Браун, Андерхилл, Джонс, Агард, 19 лет92.

22.  

Лейнхардт и Смит, 1985 г.; Патнэм, Хитон, Прават и Ремиллард, 1992.

23.  

Мяч, 1991; Фернандес, 1997 год.

24.  

Любински, Отто, Рич и Джаберг, 1998 г.; Томпсон и Томпсон, 1994, 1996.

25.  

Киран, 1981 год; Мац, 1982.

26.  

Бер, Эрлвангер и Николс, 1976, 1980; Эрлвангер и Берлангер, 1983 г.; Киран, 1981; Саенс-Лудлоу и Вальгамут, 19 лет98.

27.  

Фолкнер, Леви и Карпентер, 1999 г.

28.  

Мяч и Бас, 2000; Патнэм и Борко, 2000.

29.  

Лейнхардт и Смит, 1985; Шенфельд, 1998.

30.  

Плотник, 1988 г.

31.  

Кларк и Петерсон, 1986 г.

32.  

Шон, 1987.

33.   

Браун, Коллинз и Дугид, 1989 г.; Льюис и Болл, 2000 г.; Шон, 1987.

34.  

Франке, Карпентер, Феннема, Анселл и Берент, 1998 г.; Франке, Карпентер, Леви и Феннема, в печати.

35.  

Пример того, как можно проводить такое исследование, см. в Ma, 1999.

36.  

Национальный исследовательский совет, 2000 г.

37.  

Франке, Карпентер, Феннема, Анселл и Беренд, 19 лет98; Франке, Карпентер, Леви и Феннема в печати; Литтл, 1993; Сарасон, 1990, 1996.

38.  

Франке, Карпентер, Леви и Феннема, в печати.

39.  

Эти программы разделяют идею о том, что профессиональное развитие должно быть основано на математической работе преподавателя. Дополнительные примеры см. в National Research Council, 2001. Подробное руководство по разработке программ профессионального развития можно найти у Loucks-Horsley, Hewson, Love, Stiles, 19.98.

40.  

Франке, Карпентер, Леви и Феннема, в печати.

41.  

Cognitively Guided Instruction (CGI) — это программа профессионального развития для учителей, направленная на то, чтобы помочь им построить явные модели развития математического мышления детей в четко определенных предметных областях. В CGI нет учебных материалов или спецификаций для практики; учителя разрабатывают свои собственные учебные материалы и практики, наблюдая и слушая, как их ученики решают проблемы. Хотя программа фокусируется на математическом мышлении детей, учителя приобретают математические знания по мере того, как они изучают детское мышление, анализируя структурные особенности решаемых детьми задач и математические принципы, лежащие в основе их решений. Главный тезис CGI заключается в том, что дети приносят в школу неформальные или интуитивные знания по математике, которые могут служить основой для развития большей части формальной математики в учебной программе по математике в начальной школе. Развитие математического мышления детей изображается как поступательное абстрагирование и формализация неформальных попыток детей решать задачи путем построения моделей проблемных ситуаций.

42.  

Карпентер и Леви, 1999 г.

Страница 401 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ.» Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

43.  

Фолкнер, Леви и Карпентер, 1999 г.

44.  

Кэмпбелл, 1996; Карпентер, Феннема, Петерсон, Чанг и Леф, 1989 г. ; Кобб, Вуд, Якель, Николлс, Уитли, Трагатти и Перлвитц, 1991; Феннема, Карпентер, Франке, Леви, Джейкобс и Эмпсон, 1996 г.; Сильвер и Штейн, 1996; Вилласенор и Кепнер, 1993.

45.  

Карпентер, Феннема, Петерсон, Чанг и Леф, 1989 г.; Феннема, Карпентер, Франке, Леви, Джейкобс и Эмпсон, 1996.

46.  

Барнетт, 1991, 1998; Давенпорт, в печати; Гордон и Хеллер, 1995.

.

47.  

Льюис и Цучида, 1998 г.; Симахара, 1998 г.; Стиглер и Хиберт, 1999.

.

48.  

Харгривз, 1994 г.; Литтл, 1993; Тарп и Галлимор, 1988 г.

49.  

Learning First Alliance, 1998, с. 5.

50.  

Конференция Совета математических наук, 2000 г.

Каталожные номера

Ball, D.L. (1988). Предметная подготовка будущих учителей математики: оспаривание мифов (Отчет об исследовании 88–3). Ист-Лансинг: Университет штата Мичиган, Национальный центр исследований в области обучения учителей. Доступно: http://ncrtl.msu.edu/http/rreports/html/rr883.htm. [10 июля 2001 г.].

Болл, Д.Л. (1990). Математическое понимание, которое будущие учителя привносят в педагогическое образование. Журнал начальной школы , 90 , 449–466.

Болл, Д.Л. (1991). Исследования по преподаванию математики: сделать предметные знания частью уравнения. В J.Brophy (Ed.), Успехи в исследованиях в области преподавания, Vol. 2: Знание учителями предмета в связи с их педагогической практикой (стр. 1–48). Гринвич, Коннектикут: JAI Press.

Болл, Д.Л., и Басс, Х. (2000). Переплетение содержания и педагогики в обучении и обучении преподаванию: знание и использование математики. В Дж. Боалер (ред.), Различные точки зрения на преподавание и изучение математики (стр. 83–104). Вестпорт, Коннектикут: JAI/Ablex.

Барнетт, К. (1991). Создание учебной программы, основанной на конкретных случаях, для расширения педагогических знаний учителей математики. Журнал педагогического образования , 42 , 263–272.

Барнетт, К. (1998). Преподавание математики как катализатор информированного стратегического исследования. Преподавание и педагогическое образование , 14 (1), 81–93.

Бегле, Э.Г. (1972). Знания учителей и успеваемость учащихся по алгебре (Отчеты СМСГ № 9). Стэнфорд, Калифорния: Стэнфордский университет, школьная исследовательская группа по математике.

Бегле, Э.Г. (1979). Критические переменные в математическом образовании: результаты обзора эмпирической литературы . Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки и Национальный совет учителей математики.

Бер, М., Эрлвангер, С., и Николс, Э. (1976). Как дети воспринимают приговоры о равенстве (Технический отчет PMDC № 3). Таллахасси: Университет штата Флорида. (Служба воспроизведения документов ERIC № ED 144 802).

Бер, М., Эрлвангер, С., и Николс, Э. (1980). Как дети воспринимают знак равенства. Преподавание математики , 92 , 13–15.

Борко, Х., Эйзенхарт, М., Браун, К.А., Андерхилл, Р.Г., Джонс, Д. и Агард, П.К. (1992). Учимся преподавать сложную математику: слишком ли легко сдаются начинающие учителя и их инструкторы? Журнал исследований в области математического образования , 23 , 194–222.

Браун, Дж. С., Коллинз, А., и Дугид, П. (1989). Расположенное познание и культура обучения. Исследователь в области образования , 18 (1), 32–42.

Страница 402 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ.» Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

Кэмпбелл, П.Ф. (1996). Расширение прав и возможностей детей и учителей в классах начальной математики городских школ. Городское образование , 30 , 449–475.

Карпентер, Т.П. (1988). Обучение как решение проблемы. В RICharles & EASilver (Eds.), Обучение и оценка решения математических задач (стр. 187–202). Рестон, Вирджиния: Национальный совет учителей математики.

Карпентер Т.П., Феннема Э. и Франке М.Л. (1996). Когнитивно управляемое обучение: база знаний для реформирования начального обучения математике. Журнал начальной школы , 97 , 3–20.

Карпентер Т.П., Феннема Э., Франке М.Л., Эмпсон С.Б. и Леви Л.В. (1999). Детская математика: когнитивно-ориентированное обучение . Портсмут, Нью-Хэмпшир: Heinemann.

Карпентер Т.П., Феннема Э., Петерсон П.Л., Чанг С.П. и Леф М. (1989). Использование знаний о детском математическом мышлении в обучении в классе: экспериментальное исследование. American Educational Research Journal , 26 , 499–531.

Карпентер Т.П. и Леви Л. (1999 г., апрель). Развитие представлений об алгебраическом мышлении в начальных классах. Документ представлен на собрании Американской ассоциации исследований в области образования в Монреале.

Кларк, К.М., и Петерсон, П.Л. (1986). Мыслительный процесс учителей. В MCWittrock (Ed.), Справочник по исследованиям в области преподавания (3-е изд., стр. 225–296). Нью-Йорк: Макмиллан.

Кобб П., Вуд Т., Якель Э. Николлс Дж., Уитли Г., Тригатти Б. и Перлвитц М. (1991). Оценка проблемно-ориентированного проекта по математике для второго класса. Journal for Research in Mathematics Education , 22 , 3–29.

Коэн, Д.К., и Болл, Д.Л. (1999). Инструкция, возможности и улучшения (Отчет об исследованиях CPRE № RR-043). Филадельфия: Пенсильванский университет, Консорциум политических исследований в области образования.

Коэн, Д.К., и Болл, Д.Л. (2000, апрель). Учебное новшество: Переосмысление истории. Документ представлен на собрании Американской ассоциации исследований в области образования в Новом Орлеане.

Конференция Совета математических наук. (2000, сентябрь). Проект отчета по проекту математического образования учителей CBMS [Онлайн]. Доступно: http://www.maa.org/cbms/metdraft/index.htm. [3 января 2001].


Давенпорт, Л. (в печати). Учебные программы по элементарной математике как инструмент реформы математического образования: проблемы реализации и последствия для профессионального развития. В P.Smith, A.Morse, & L.Davenport (Eds.), Обучение учителей и внедрение учебных программ . Ньютон, Массачусетс: Центр развития образования, Центр развития обучения.


Эрлвангер С. и Берлангер М. (1983). Интерпретации знака равенства у младших школьников. В JCBergeron & N.Herscovics (Eds.), Proceedings of the Fifth Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (том 1, стр. 250–258). Монреаль: Монреальский университет. (Служба воспроизведения документов ERIC № ED 289 688).


Фолкнер К.П., Леви Л. и Карпентер Т.П. (1999). Детское понимание равенства: основа алгебры. Обучение детей математике , 6, 232–236.

Феннема, Э., Карпентер, Т.П., Франке, М.Л., Леви, Л., Джейкобс, В., и Эмпсон, Б. (1996). Продольное исследование обучения использованию детского мышления в обучении математике. Журнал исследований в области математического образования , 27 , 403–434.

Страница 403 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ.» Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

Фернандес, Э. (1997). «Стандартная» роль математических знаний учителей в реагировании на непредвиденные наблюдения учащихся. Документ представлен на собрании Американской ассоциации исследований в области образования в Чикаго. (Служба воспроизведения документов ERIC № ED 412 261).

Франке М.Л., Карпентер Т.П., Феннема Э., Анселл Э. и Берент Дж. (1998). Понимание самоподдерживающихся, генеративных изменений учителей в контексте профессионального развития. Преподавание и педагогическое образование , 14 (1), 67–80.

Франке М.Л., Карпентер Т.П., Леви Л. и Феннема Э. (в печати). Учет генеративных изменений учителей: последующее исследование профессионального развития учителей по математике. Американский журнал исследований в области образования .

Гордон, А., и Хеллер, Дж. (1995, апрель). Путешествие по сети: педагогические рассуждения среди участников новых и продолжающихся кейс-методов. Документ представлен на собрании Американской ассоциации исследований в области образования в Сан-Франциско.

Грир, Б. (1992). Умножение и деление как модели ситуаций. В D.Grouws (Ed.), Справочник по исследованиям в области преподавания и обучения математике (стр. 276–295). Нью-Йорк: Макмиллан.


Харгривз, А. (1994). Смена учителей, смена времен: учительская работа и культура в постядерную эпоху . Нью-Йорк: Издательство педагогического колледжа.

Хокинс, Э.Ф., Станкевидж, Ф.Б., и Досси, Дж.А. (1998). Школьная политика и практика, влияющие на обучение математике (NCES 98–495). Вашингтон, округ Колумбия: Национальный центр статистики образования. Доступно: http://nces.ed.gov/spider/webspider/98495.shtml. [10 июля 2001 г.].


Киран, К. (1981). Понятия, связанные со знаком равенства. Образовательные исследования по математике , 12 , 317–326.


Изучение Первого Альянса. (1998). Каждый ребенок, владеющий математикой: план действий . Вашингтон, округ Колумбия: Автор. Доступно: http://www.learningfirst.org/publications.html. [10 июля 2001 г.].

Лейнхардт Г. и Смит Д.А. (1985). Квалификация в обучении математике: Знание предмета. Журнал педагогической психологии , 77, 247–271.

Льюис, К., и Цучида, И. (1998). Урок подобен быстрой реке: как исследовательские уроки улучшают японское образование. American Educator , 22 (4), 12–17, 50–52.

Льюис, Дж. М., и Болл, Д. Л. (2000, апрель). Сделать обучение видимым. Документ представлен на собрании Американской ассоциации исследований в области образования в Новом Орлеане.

Литтл, Дж.В. (1993). Профессиональное развитие учителей в условиях реформы образования. Оценка образования и анализ политики , 15 , 129–151.

Лукс-Хорсли, С., Хьюсон, П.В., Лав, Н., и Стайлз, К.Е. (1998). Проектирование повышения квалификации учителей естественных наук и математики . Таузенд-Оукс, Калифорния: Corwin Press.

Любински, К.А., Отто, А.Д., Рич, Б.С., и Яберг, П.А. (1998). Анализ двух начинающих учителей K-8 с использованием модели обучения в контексте. В S.Berenson, K.Dawkins, M.Blanton, W.Coulombe, J.Kolb, K.Norwood, & L.Stiff (Eds.), Труды двадцатого ежегодного собрания Североамериканского отделения Международной группы психологии математического образования (том 2, стр. 704–709). Колумбус, Огайо: Информационный центр ERIC по науке, математике и экологическому образованию. (Служба воспроизведения документов ERIC № ED 430 776).


млн лет, Л. (1999). Знание и преподавание элементарной математики: понимание учителями фундаментальной математики в Китае и США . Махва, Нью-Джерси: Эрлбаум.

Страница 404 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ.» Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

Мац, М. (1982). К модели процесса ошибок школьной алгебры. В D.Sleeman & JSBrown (Eds.), Intelligent tutoring systems (стр. 25–50). Нью-Йорк: Академическая пресса.

Мартин, В.Г., и Харел, Г. (1989). Доказательства кадров preservice учителей начальных классов. Журнал исследований в области математического образования , 20 , 41–51.

Монах, Д.Х. (1994). Предметная подготовка учителей средней математики и естественных наук и успеваемость учащихся. Обзор экономики образования , 13 , 125–145.

Малленс, Дж. Э., Мурнейн, Р. Дж., и Уиллетт, Дж. Б. (1996). Вклад обучения и предметных знаний в эффективность преподавания: многоуровневый анализ лонгитюдных данных из Белиза. Сравнительный обзор образования , 40 , 139–157.

Натан М. Дж. и Кёдингер К.Р. (2000). Исследование взглядов учителей на развитие алгебры учащихся. Познание и обучение , 18 , 209–237.

Национальный исследовательский совет. (2000). Подготовка учителей естественных наук, математики и технологий: новые практики для нового тысячелетия . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство Национальной академии. Доступно: http://books.nap.edu/catalog/9832.html. [10 июля 2001 г.].

Национальный исследовательский совет. (2001). Знание и изучение математики для обучения: Материалы семинара . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство Национальной академии. Доступно: http://books.nap.edu/catalog/10050.html. [10 июля 2001 г.].


Пост, Т. Р., Харел, Г., Бер, М. Дж. и Леш, Р. (1991). Промежуточные знания учителей о понятиях рациональных чисел. В E.Fennema, TPCarpenter и SJLamon (Eds.), Объединение исследований в области преподавания и изучения математики (стр. 194–217). Олбани: Государственный университет Нью-Йорка Press.

Патнэм Р.Т. и Борко Х. (2000 г., январь-февраль). Что новые взгляды на знания и мышление говорят об исследованиях в области обучения учителей? Исследователь в области образования , 29 (1), 4–15.

Патнэм, Р.Т., Хитон, Р.М., Прават, Р.С., и Ремиллард, Дж. (1992). Преподавание математики для понимания: обсуждение тематических исследований четырех учителей пятого класса. Журнал начальной школы , 93 , 213–228.


Роуэн Б., Чанг Ф.С. и Миллер Р.Дж. (1997). Использование исследований производительности сотрудников для изучения влияния учителей на успеваемость учащихся. Социология образования , 70 , 256–284.


Саенс-Лудлоу, А., и Уолгамут, К. (1998). Третьеклассники интерпретируют равенство и символ равенства. Образовательные исследования по математике , 35 , 153–187.

Сарасон, С.Б. (1990). Предсказуемый провал образовательной реформы: можем ли мы изменить курс, пока не стало слишком поздно? Сан-Франциско: Джосси Басс.

Сарасон, С.Б. (1996). Пересмотр «Культура школы и проблема перемен». Нью-Йорк: Издательство педагогического колледжа.

Шон, Д. (1987). Обучение мыслящих практиков: к новому дизайну преподавания и обучения по профессиям . Сан-Франциско: Джосси Басс.

Шенфельд, А. Х. (1998). К теории обучения в контексте. Вопросы образования , 4 (1), 1–94. Доступно: http://www-gse.berkeley.edu/faculty/aschoenfeld/TeachInContext/teaching-in-context.html. [10 июля 2001 г.].

Симахара, Н.К. (1998). Японская модель профессионального развития: Преподавание как ремесло. Преподавание и педагогическое образование , 14 , 451–462.

Шульман Л.С. (1987). Знание и обучение: основы новой реформы. Harvard Educational Review , 57 , 1–22.

Страница 405 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ.» Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

Сильвер, Э.А., и Штейн, М. (1996). Проект QUASAR: «Революция возможного» в реформе преподавания математики в городских средних школах. Городское образование , 30 , 476–521.

Саймон, М.А., и Блюм, Г.В. 1996). Обоснование на уроке математики: Исследование будущих учителей начальных классов. Journal of Mathematical Behavior , 15 (1), 3–31.

Стиглер, Дж. В., и Хиберт, Дж. (1999). Пробел в обучении: Лучшие идеи учителей со всего мира для улучшения образования в классе . Нью-Йорк: Свободная пресса.

Тарп, Р. Г., и Галлимор, Р. (1988). Возбуждение умов к жизни: преподавание, обучение и обучение в социальном контексте . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета.

Томпсон, А.Г., и Томпсон, П.В. (1996). Говоря о ставках концептуально, Часть 2: Математические знания для обучения. Журнал исследований в области математического образования , 27 , 2–24.

Томпсон П.В. и Томпсон А.Г. (1994). Говоря о ставках концептуально, Часть 1: Борьба учителя. Журнал исследований в области математического образования , 25 , 279–303.

Тирош Д., Фишбейн Э., Гребер А.О. и Уилсон, Дж.В. (1999). Представления будущих учителей начальных классов о рациональных числах . Доступно: http://jwilson.coe.uga. edu/Texts.Folder/tirosh/Pros.El.Tchrs.html. [10 июля 2001 г.].


Вилласенор, А., и Кепнер, Х.С. (1993). Арифметика с точки зрения решения проблем: городская реализация. Журнал исследований в области математического образования , 24 , 62–69.

Страница 406 Делиться Цитировать

Рекомендуемое цитирование: «10 РАЗВИТИЕ НАВЫКОВ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ.» Национальный исследовательский совет. 2001. Складываем: помощь детям в изучении математики . Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий. дои: 10.17226/9822.

×

Сохранить

Отменить

Эта страница в оригинале пуста.

Математика в контексте: педагогика освобождения

Будучи учителем начальных классов со страстью к математике и доцентом педагогики, который частично специализируется на математическом образовании, наши пути пересеклись, потому что мы оба верим в гуманизацию сила математики. Участие в математическом образовании с гуманизирующей любовью может позволить учащимся увидеть себя сложными людьми, затронутыми узаконенным расизмом, но не определяемыми им. Как педагоги, матери и организаторы цветных, мы выдвигаем этот аргумент из радикальной любви к нашим ученикам и образовательному сообществу.

В книге «Педагогика свободы: этика, демократия и гражданское мужество» Пауло Фрейре описывает радикальную любовь как «любовь с оружием». В книге Women, Culture & Politics Анджела Дэвис утверждает, что радикальность означает «хвататься за корень». В этом духе мы приглашаем вас задуматься о том, как образование, особенно математическое образование, нанесло вред учащимся и, что важно, как оно может возместить этот вред. Мы верим в способность математики измерять прошлое и настоящее, а также служить инструментом для освобождения.

Математика политична

Математика, включая математическое образование, абсолютно политична и используется насильственными способами для подчинения, причинения вреда и даже убийства. Использование науки о данных для выявления подозреваемых или приговора людей к тюремному заключению подвергалось широкой критике за предвзятость. И сегодня наследие расистских идеологий можно найти в использовании данных и математики.

Например, спирометр, медицинский прибор для измерения объема легких, когда-то использовался на плантациях, чтобы несправедливо заявить, что порабощенные чернокожие лучше всего подходят для полевых работ. Настройки инструмента, часто включающие кнопку, которая «исправляет» расу, все еще используются сегодня. Это один из многих медицинских инструментов, созданных античерным расизмом.

В начале пандемии COVID-19 мы были завалены диаграммами и графиками данных о заражении, доступности средств индивидуальной защиты и статистических данных о росте ксенофобских и расистских нападений. Самым простым действием было бы проанализировать эти данные из реальной жизни с нашими учениками на уроках математики. Но данные и математические модели включают и исключают информацию, чтобы захватить фрагмент мира в определенное время и в определенном месте. Отсутствие учета контекста, политики и истории, стоящих за данными, само по себе является неудачей.

Как мы можем использовать математику, признавать вред, который она наносит, и также способствовать освобождению? Педагоги должны тратить значительное время на понимание некоторых основных истин. Мы должны начать с признания того, что все мы ведем очень разную расовую жизнь и что наследие расизма и белых привилегий пронизывает нашу работу.

Слишком многие из наших учеников занимаются математикой в ​​школе, сидя в тишине, используя чуждые им алгоритмы и решая задачи, не имеющие отношения к их интересам и опыту. Их знания и взгляды отодвинуты на второй план, в результате чего они, особенно цветные студенты, замолкают и дезинформируются.

Как воспитатели цвета, даже мы должны отучиться от нашей привычки удерживать место для белого. Мы должны признать, что математическое образование разрушает культурную самобытность учащихся. Мы должны намеренно концентрировать внимание на цветных людях и маргинализованных голосах.

Мы ежедневно работаем над тем, чтобы воплотить это в жизнь и педагогику.

Контекст Мэриан

Я чернокожая женщина, замужем за чернокожим мужчиной, имею взрослых черных детей. Я мало что знаю о своих предках, кроме нескольких рассказов о прабабушке и дедушке. Я знаю, что они были порабощены. Есть определенный позор в том, что ты не знаешь своей настоящей страны происхождения, не знаешь своего родного языка. Честно говоря, есть определенная зависть, которую я питаю к тем, кто это делает.

Я также знаю, что математика — это линза, через которую я смотрю на мир. Это не то, чем я стал; это то, кем я всегда был. Мои родители воспитали меня так, чтобы я все измерял.

Моя мать-педагог, которая не называла себя математиком, периодически вываливала содержимое своей сумочки на кровать, чтобы обнаружить блестящие монеты всех цветов. Текущий вызов? Чтобы правильно посчитать это любым способом, который я выбрал, а затем представить ей свои выводы. Если бы я смог сделать это успешно, награда была бы моей. Выражаясь педагогическим языком, я вел продуктивную борьбу, проявлял настойчивость, использовал структуру, точно моделировал, использовал регулярность и строил свои аргументы.

Знал ли я, что делаю это? Моя мать убедилась, что я знаю эти слова? Конечно нет. Она знала, что важны концепции и моя способность связать их с жизнью.

Точно так же долгие сеансы за кухонным столом с моим отцом, когда он раскрывал секреты чисел и алгебры, заставили меня поверить, что он волшебник. Эта математика была волшебной. Я любил математику — это было для меня так же естественно, как дышать. Мои родители оба позволили мне стать уверенным в своих математических рассуждениях.

Можно ли таким образом преподавать математику? Это так, и я делаю. Воспитатель во мне мыслит математически. Принятый математический канон полон европоцентристских постулатов и формул. Однако мы с Кэтри чувствуем, что математика гораздо более интуитивна.

Как Мариан очеловечивает математику

На протяжении большей части своей карьеры я преподавал ученикам начальной школы несколько предметов, однако бывшие и настоящие ученики называют меня своим учителем математики. Я с гордостью ношу это звание. Эта математическая часть моей идентичности, наряду с моей чернотой, определяет переосмысление математики, за которое мы выступаем.

В какой-то невзрачный день я читаю вслух своим четверо- и пятиклассникам книжку с картинками «Другая сторона » Жаклин Вудсон. По мере того, как дети обнаруживают разные ожидания от черных и белых персонажей в книге, символизируемые забором, разделяющим их владения, я призываю их копнуть глубже, рассказывая эту историю о времени, когда они еще не жили, и о настоящем:

. Мэриан Дингл

Почему и белые, и черные родители хотели, чтобы их дети не пересекали забор? Чем отличалась их реакция? Кто создал забор? Чья работа заключается в том, чтобы сократить его?

Я хочу, чтобы они увидели межличностные предубеждения и системные силы, которые создают и поддерживают забор. Затем я направляю их в настоящее и связываю с соответствующей математикой:

Вы сказали, что районы в книге были разделены. Разделены ли ваши районы сегодня? А как насчет школ? Эта школа раздельная? Было ли это когда-нибудь?

Я привожу круговые диаграммы текущей и прошлой расовой демографии школы. Студенты также анализируют исторические данные о расовой демографии города. Я спрашиваю: «О чем рассказывают числа?»

Взгляд на историю через призму математики — шаг к гуманизации математики. По мере того, как дети учатся создавать свои собственные графики и диаграммы, они также могут задаваться вопросом, как взаимосвязь истории, математики и человечества лежит в формировании вопроса, на который нужно ответить. Чью историю не рассказывают? Какой вопрос не был задан? Данные хороши ровно настолько, насколько хороши вопросы, которые их породили, и если предположения, в соответствии с которыми были сформированы вопросы, предвзяты и расистские, то математика также неизбежно будет расистской.

Урок с использованием книги Вудсона продолжается анализом местной джентрификации — с математикой в ​​основе.

Cathery’s Context

Я американка китайского происхождения, иммигрантка и мать ребенка-инвалида. Эти социальные идентичности формируют то, кто я есть, и то, что я вижу и чувствую в окружающем мире. Я изнурен. Я не могу спать. Мое сердце болит. Я не могу выкинуть образ из головы: Тоу Тао, американский полицейский азиатского происхождения, который стоял рядом, когда Дерек Шовен встал коленом на шею Джорджа Флойда. Он стоял молча, засунув руки в карманы, даже когда зеваки указывали, что Флойд не двигается, кажется, не дышит и зовет свою мать. Тао молчала. В различных.

В азиатско-американском сообществе я видел, как мы присоединяемся к нашим голосам в продолжающихся протестах против антиазиатской ксенофобии и расистских нападений, нормализованных лидером, который назвал текущую пандемию «китайским вирусом» и «кунг-гриппом». Тем не менее, слишком многие хранят молчание перед лицом несправедливости по отношению к черным жизням.

В сообществе математического образования, которое я называю своим домом, как часто мы смело выступаем за справедливость, но на самом деле продолжаем применять насилие к черным жизням?

Как Кэтри очеловечивает математику

Очеловечивание математики начинается с оспаривания расовых мифов о том, что такое математика и кто может или не может заниматься математикой. Математика — это человеческая деятельность, связанная с языками, историей, землями и культурой. В качестве классного руководителя я посетил дома более 300 учеников, в то время как члены сообщества и общественные организации пришли ко мне в класс. Мы вместе преподавали уроки, сосредоточившись на математике, которая происходит в домах и сообществах — от плетения волос, выпечки хлеба, столярных работ и ведения магазинов до изучения бездомности, джентрификации и доступного жилья. Этот опыт и педагогика на базе сообщества соединили классы с сообществом и общественными движениями.

Теперь, как педагог-педагог, учениками которого являются будущие учителя математики, я использую Стандарты социальной справедливости преподавания толерантности в качестве дорожной карты для гуманизации математического образования. В рамках моего курса математических методов я прошу своих студентов разработать и внедрить уроки математики, ориентированные на справедливость, которые касаются как стандарта математики, так и стандарта социальной справедливости.

Стандарты TT предлагают способ использования математики для выявления неравенства и критического анализа того, как математика используется в классе и за его пределами. Например, данные по вопросам расы в Соединенных Штатах отбрасываются по принципу черного и белого. Американцы азиатского происхождения и другие цветные сообщества намеренно включаются в статистические модели иногда и исключаются в других случаях, когда данные увековечивают миф о модельном меньшинстве. Такое использование данных создает монолитную идентичность для американцев азиатского происхождения, а также вбивает клин между цветными сообществами. Математика используется для деления.

Посещение Стандартов социальной справедливости TT переводит урок математики с простых статистических расчетов на развитие критической статистической грамотности. Вы видите себя представленным в данных? Кто включен? Кто отсутствует? Как отображение данных, метки и шкалы передают конкретное сообщение? Какое сообщение? С чьей точки зрения? Эти вопросы позволяют учащимся увидеть субъективность во всем тексте, включая математический текст, а также изучить истории и предысторию, лежащие в основе данных.

Естественно, учащиеся хотят искать и создавать дисплеи данных, которые учитывают их социальную идентичность, включая их членство в нескольких группах, а также уважение их сверстников. Используя этот подход, мои студенты-математики заставили своих учеников K-12 поделиться своими собственными дисплеями данных со своими сверстниками, школьным советом, городским советом и издательствами учебных программ, чтобы противостоять изоляции и несправедливости.

Чего не хватает в математическом образовании, так это математики солидарности и межрасового сопротивления. Освобождение американцев азиатского происхождения основано на истории солидарности между азиатским и чернокожим населением, начиная с осуждения Фредериком Дугласом антикитайских законов и заканчивая текущей борьбой против расизма во время пандемии. Когда дело дошло до приветствия азиатов в Соединенных Штатах, Дуглас подчеркнул разнообразие нации и использовал математический язык, чтобы привести доводы в пользу равенства: «Только пятая часть населения земного шара — белые», — утверждал он в 1869 году. , отметив, что «остальные четыре пятых окрашены и должны иметь некоторый вес и влияние».

Давайте используем работу Дугласа в качестве примера и создадим уроки по математике организации сообщества. Фронт освобождения третьего мира, автобусный бойкот Монтгомери, формирование Объединенного движения сельскохозяйственных рабочих латиноамериканскими и филиппинскими рабочими и движение Black Lives Matter началось с нескольких человек, которые мобилизовали миллионы. В течение десятилетий организаторы социальной справедливости моделировали нелинейный рост и тот факт, что наша сумма больше, чем наше деление. Меня вдохновляют эти рассказы, несмотря на существующее социальное и структурное неравенство. Наши жизни переплетены; наши цифры имеют значение. Наше освобождение неразрывно связано друг с другом.

Путь вперед

Конфликт всегда был центральной частью математических историй, но мы должны подчеркивать совместную работу и повседневную работу по поиску решений проблем. Теперь, когда в Соединенных Штатах происходят массовые восстания против расовой несправедливости и жестокости полиции, нам необходимо сосредоточить внимание на математике солидарности и бросить вызов математике разделения. То, как мы обучаем математике, является ключом к этому сдвигу.

Нам не нужно переосмысливать преподавание математики ради освобождения. Математика — данные, математические модели и числа — живет повсюду, особенно в нашей организации. Нам нужно только взглянуть на текущие и исторические моменты стратегического, математического восстания против структур угнетения как на чертежи освободительного математического образования.

 

Кто создал математику Common Core и выживут ли стандарты?

НЬЮ-ЙОРК. Каждую субботу в 10 утра Джейсон Зимба начинает урок математики для двух своих маленьких дочерей с тем же ритуалом. Его младшая, 4-летняя Клэр, рисует на листе, а его старшая, 7-летняя Эбигейл, вытаскивает математические задачи, написанные на полосках бумаги, из старой коробки салфеток, украшенной в виде копилки с розовым носиком на одном конце и завитком. поставьте хвостик на другую и сложите цифры так быстро, как только сможет. Если она получит ответ «недобросовестно», как говорит ее отец, она может поставить галочку. Если нет, проблема возвращается в коробку, чтобы попробовать на следующей неделе.

Эта история также появилась на Национальном общественном радио

. Зимба начал субботние уроки, чтобы компенсировать то, что, по его мнению, было некачественным преподаванием математики в государственной начальной школе Эбигейл на Манхэттене после того, как она перешла на Common Core, набор спорных новых принятых стандартов математики и английского языка. в большинстве штатов в 2010 году. Стандарты действуют во многих округах уже три года, но большинству учебников, учебных программ и программ подготовки учителей еще только предстоит догнать грандиозное видение Common Core. Математические стандарты, в частности, вызвали возмущение по всей стране, поскольку родители столкнулись с запутанными домашними заданиями и задачами с искаженными словами, помеченными как Common Core. Несколько штатов в настоящее время пересматривают стандарты в ответ на растущую негативную реакцию.

Но Зимба, математик по образованию, не просто недовольный родитель. Он один из тех, кто написал Common Core.

«Я бы спал, если бы не был расстроен», — говорит Зимба о своих субботних утренних уроках, которые он ведет в пижаме. Вместо этого, через четыре года после подписания окончательного проекта стандартов, он проводит свои выходные, пытаясь наверстать упущенное по учебной программе в школе своих дочерей, а свои будни пытаясь наверстать упущенное по учебному плану и преподавая в школах по всей стране. которые изо всех сил пытаются перейти на Common Core.

Джейсон Зимба, один из авторов математических стандартов Common Core, со своими дочерьми Эбигейл и Клэр возле начальной школы на Манхэттене. (Фото: Жюльенн Шаер)

Зимба и другие авторы Common Core знали, что переход будет трудным, но они никогда не думали, что конфликты из-за плохой домашней работы будут разжигать политические баталии и угрожать самому существованию их мечты о реформировании американского образования.

Связанный: Почему эта математическая задача Common Core такая сложная? Сторонники отвечают на викторину, которая стала вирусной

Когда Zimba впервые наняли для помощи в написании нового набора математических стандартов для K-12 в 2009 году, группы, стоящие за Common Core, включая представителей из 48 штатов, поставили перед собой очень амбициозные цели. Новые жесткие академические правила будут соответствовать академическим ожиданиям студентов, которых придерживаются более успешные соперники, такие как Сингапур и Южная Корея. Стандарты не только катапультируют американских студентов впереди других развитых стран, но также помогут сократить разрыв в успеваемости между учащимися с низким доходом в США и их более богатыми сверстниками. Common Core заставит издателей и разработчиков тестов создавать более совершенные учебные программы и тесты, а также подтолкнет школьные округа и учителей к тому, чтобы они перестали довольствоваться посредственностью «Ни одного отстающего ребенка» и вместо этого стремились к совершенству для своих учеников. И рекомендации вооружили бы каждого директора, учителя и родителя знаниями о том, что именно нужно, чтобы поступить в колледж и добиться успеха.

Сторонники Common Core, в том числе такие организации, как Национальная ассоциация губернаторов и Совет руководителей государственных школ, ожидали, что задача будет сложной. Переработка учебников заняла бы много времени, а подготовка учителей — еще больше. Но политическая ярость застала их врасплох.

Шарлотта МакНиз, воспитательница детского сада в начальной школе Энн Смит, учит своих учеников писать последовательность. МакНиз говорит, что с новыми стандартами Common Core ее ученики в этом году осваивают несколько навыков, которым раньше обучали в первом классе. (Фото: Джеки Мадер)

Всплеск оппозиции стандартам был двухпартийным: и консерваторы из Партии чаепития, и либералы из рабочего движения нашли причины их ненавидеть. Сторонники чаепития считают, что эти стандарты являются еще одним примером злоупотреблений со стороны федерального правительства, и некоторые называют их «Obamacore». Прогрессивные противники Common Core обеспокоены тем, что стандарты являются частью движения за приватизацию образования, поддерживаемого богатыми бизнесменами, такими как Билл Гейтс. Но у их опасений есть общий корень: недоверие (и, как говорят сторонники Common Core, непонимание) того, кто написал стандарты и зачем.

«Создание стандартов для людей окутано тайной, — говорит Зимба. «Хотелось бы, чтобы люди понимали, насколько масштабным был этот процесс и сколько людей было в нем задействовано. Это было много работы».

Большая часть этой работы может оказаться напрасной, если сторонники Common Core не смогут убедить общественность в том, что стандарты были не заговором нескольких гнусных влиятельных лиц, а, скорее, искренней и двухпартийной попыткой повысить ожидания американских студентов. И все же, как бы сторонники ни подчеркивали демократическое происхождение стандартов и не считали десятки экспертов и учителей, с которыми консультировались, математические стандарты Common Core в конечном итоге были созданы тремя парнями, единственной целью которых было улучшение методов преподавания математики. Некоторые эксперты утверждают, что это то, что делает Common Core лучше, хотя и более ненадежным, чем стандарты, которые они заменили.

В одной трети штатов не требовалось, чтобы учащиеся запоминали таблицу умножения до Common Core.

«Это был дизайн-проект, а не политический проект», — говорит Фил Даро, бывший школьный учитель алгебры, входивший в команду из трех человек вместе с Зимбой и Уильямом МакКаллумом, главой математического факультета Университета Нью-Йорка. Аризона. «В нашу работу не входило заниматься политикой, пока мы писали».

Сейчас, оглядываясь назад, многие сторонники Common Core говорят, что хотели бы лучше справляться с политикой, но негативная реакция, возможно, была неизбежна. Несмотря на опасения, что стандарты являются федеральным диктатом, контролирующим то, что происходит в американских классах, Common Core содержит только общие рекомендации о том, что должны знать учащиеся, а не указания о том, как должны быть написаны учебники или как учителя должны преподавать. Издатели, школьные округа и учителя в основном были предоставлены сами себе, чтобы заполнить множество пробелов, оставленных стандартами, и выяснить, как удовлетворить более высокие требования Common Core.

«Несмотря на то, что стандарты — это не то же самое, что учебная программа, в конце концов [стандарты] должны стимулировать умение писать хорошую учебную программу, — говорит МакКаллум. «Я не хочу сказать, что это не наша вина, потому что никто не знает, как написать хороший учебный план. Это, безусловно, наша проблема».

Внутренний круг

На первый взгляд 45-летний Зимба казался странным выбором для такого крупного национального проекта, как Common Core. МакКаллум и Даро были очевидны. Оба были хорошо известны и почитаемы в мире математики и образования. МакКаллум — выдающийся математик, автор учебников по алгебре и математическому анализу, а также помог написать математические стандарты Аризоны для K-12. В 2009, Даро был старшим научным сотрудником в коммерческой учебной программе и компании по подготовке учителей America’s Choice. В девяностых он участвовал в разработке математических стандартов Калифорнии.

Зимба, напротив, был малоизвестным профессором физики в Беннингтоне, элитном гуманитарном колледже в Вермонте. Он вел причудливый блог по математике и воспитанию детей, в котором писал о сложных физических проблемах, своих детях и периодических политических проблемах, включая пост 2011 года под названием «Числа не лгут (но Мишель Бахманн лжет)». Он вырос аутсайдером. Выросший в семье рабочего в пригороде Детройта, он первым в своей семье поступил в колледж. Он выбрал Колледж Уильямс в Массачусетсе. С академической точки зрения школа была на хорошем счету. В финансовом плане это было большим испытанием. Его друг Эрик Мабери сказал, что они познакомились друг с другом, потому что были единственными бедняками в кампусе. «Он был единственным человеком, у которого было несколько работ, — сказал Мэйбери, ныне работающий биологом в стартапе в Сан-Франциско. «Он был единственным человеком, который не мог улететь домой. Пришлось ехать на автобусе».

Члены некоммерческой организации Student Achievement Partners рассказывают о том, как помочь учителям изучить Common Core. (Фото: Сара Гарланд)

Но благодаря Уильямсу карьера Зимбы пошла вверх. В 1991 году он был выбран для получения стипендии Родса в английском Оксфордском университете. В Оксфорде он подружился со студентом Йельского университета с Манхэттена Дэвидом Коулманом. Коулман стал консультантом McKinsey, глобальной консалтинговой фирмы, и, хотя Зимба вернулся, чтобы работать на фабрике, чтобы помочь содержать свою семью в Детройте, в конце концов он поступил на престижный математический факультет Калифорнийского университета в Беркли, чтобы получить докторскую степень. в математической физике. В 1999 воссоединились с Коулманом, у которого была идея начать образовательный бизнес.

Сначала они думали заняться образовательными видеоиграми, но отказались от этой идеи в пользу еще более масштабной образовательной тенденции: стандартизированного тестирования. Закон «Ни одного отстающего ребенка» все еще был не за горами, но растущее движение за реформу образования, которое настаивало на том, чтобы сделать школы более ответственными за результаты тестов учащихся, повысит успеваемость, уже подтолкнуло многие штаты к расширению стандартизированного тестирования.

Бизнес Коулмана и Зимбы, Grow Network, нашел свою нишу в бурно развивающейся области тестирования, создавая отчеты, которые помогали школам, учителям, родителям и даже самим учащимся интерпретировать результаты новых экзаменов. «Чтобы разработать успешный отчет об оценке, вы должны подумать о том, что действительно нужно учителю и ученику», — говорит Коулман.

Благодаря Зимбе, добавил Коулман, они были. По словам Коулмана, у Зимбы был талант создавать отчеты, которые были математически точными, но в то же время гуманными, если ученик не успевал. Grow Network наняли такие штаты, как Калифорния, и районы, такие как Нью-Йорк, и в конечном итоге она была выкуплена гигантом образовательного издательства McGraw-Hill по неизвестной цене.

Пути Зимбы и Коулмана разошлись. Коулман еще немного проработал в компании McGraw-Hill. После непродолжительного обучения в гуманитарном колледже в Айове Зимба приземлился в Беннингтоне, где мать Коулмана была президентом. Зимба и Коулман оставались на связи, часто обсуждая проблему, которая беспокоила их в годы изучения стандартизированных тестов.

«Мы рассмотрели множество стандартов, — говорит Зимба. «Предыдущие стандарты варьировались от ужасных до недостаточно хороших. Лучшие из них были не более чем тестовыми чертежами. Они не были шаблоном для изучения математики».

Связанный: Эксперты по математике Common Core говорят, что учителям следует перестать использовать сокращения и математические «уловки»

В каждом штате были свои стандарты, а требования штатов к учащимся сильно различались. Например, по словам Зимбы, в некоторых штатах учащиеся должны были запоминать таблицу умножения, но около трети штатов этого не делали. Но больше всего Коулмана и Зимбу, а также многих экспертов в области образования беспокоило огромное количество стандартов в большинстве штатов. Распространенной критикой было то, что большинство американских рекомендаций для классов были «шириной в милю и глубиной в дюйм», что резко контрастировало с меньшими, но более высокими ожиданиями в странах с высокими достижениями, таких как Япония и Сингапур.

«Предыдущие стандарты варьировались от ужасных до недостаточно хороших. Лучшие из них были не более чем тестовыми чертежами. Они не были шаблоном для изучения математики». Джейсон Зимба, соавтор математических стандартов Common Core.

В 2007 году Коулман и Зимба написали статью для Carnegie Corporation, фонда, занимающегося образованием (и одного из многих спонсоров The Hechinger Report ). «Мы просто пытались подумать о том, что действительно может иметь значение в образовании, — говорит Коулман. «Что, собственно, может помочь? Одна идея, которую мы подумали, заключается в том, что стандарты могут быть действительно целенаправленными и лучше. В Grow мы провели так много времени с бесконечными обширными и расплывчатыми стандартами».

Газета привлекла внимание нескольких групп, ухватившихся за подобную идею, в том числе Совета руководителей государственных школ и Национальной ассоциации губернаторов, одного из первых лидеров движения за стандарты эпохи Рейгана. «Это настолько необычно, что идеи приводят вас куда угодно, что люди находят это очень удивительным», — говорит Коулман. Но пару лет спустя, когда две организации объединили усилия для разработки набора стандартов «меньше, четче, выше», Коулман и Зимба были выбраны, чтобы возглавить эту работу.

Новая организация, основанная Зимбой и Коулманом, Student Achievement Partners, получила оплату за работу по контракту. CCSSO отказался раскрыть сумму контракта или общую сумму, потраченную на разработку Common Core, но заявил, что финансирование было предоставлено Фондом Билла и Мелинды Гейтс, Карнеги и другими фондами, а также членскими взносами штата от CCSSO и НГА.

«Мы искали достаточно уникальный набор навыков, — говорит Крис Миннич, исполнительный директор CCSSO. «Нам нужны были люди, которые разбирались бы в математике — Джейсон и другие писатели, очевидно, разбираются в математике, — но также могли бы работать с штатами, и группа учителей, которые были бы вовлечены».

Написание Common Core

В сентябре 2009 года Zimba начала писать математические стандарты Common Core. Хотя его вторая дочь должна была родиться в том же месяце, стандарты были всепоглощающими. Зимба вспомнил, как в родильном зале получил сообщение от одного из его соавторов, в котором он просил его перестать отвечать на электронные письма о проекте: «Пришло время стать отцом».

Тем не менее, той осенью сначала нужно было сдать математические стандарты Common Core. Он по-прежнему преподавал в Беннингтоне, хотя какое-то время был в отпуске, поэтому стандарты в основном писались ночью, в «амбаре», старом гараже на его территории, который он превратил в кабинет. «Нам как семье было тяжело, — говорит он. «Я дал очень много». В октябре скончалась его мать, большую часть жизни проработавшая официанткой. Зимба продолжал работать.

«У нас было до 3 утра», — говорит МакКаллум. «Джейсон не спал до 5 утра».

На этой фотографии, сделанной во вторник, 25 марта 2013 г., стандарты Common Core размещены на доске объявлений в классе второго класса начальной школы Джорджа Бака в Индианаполисе. Национальные математические и образовательные стандарты, изложенные в Common Core, повсюду в Buck Elementary. Скрепленные скобками пакеты со стандартами висят за дверями классных комнат, а отдельные руководства вырезаются и вывешиваются в коридорах рядом с нарисованными от руки графиками, нацарапанными цветным карандашом. Законопроект, подписанный в прошлый понедельник губернатором Майком Пенсом, делает Индиану первым штатом, отменившим эти стандарты, но что заменит их, неясно в штате, где учителя все еще не оправились от многолетних перемен. (AP Photo/AJ Mast) Фото: AP Photo/AJ Mast

Они начали с плана, в котором указывалось, что учащиеся должны знать к концу средней школы, который был написан Achieve, некоммерческой организацией, выступающей за лучшие стандарты и тесты, а также группами тестирования College Board и ACT. Затем они начали консультироваться с исследованиями по математическому образованию — когда оно существовало — и заручаться идеями экспертов в различных областях математики. В течение следующего года они консультировались с государственными чиновниками, математиками и учителями, в том числе с группой, созванной Американской федерацией учителей, национальным союзом. Часто отзывы о проблеме с одним стандартом — например, когда учить студентов делить дроби — запускают каскад, и им приходится переделывать всю последовательность. Черновик за черновиком передавали туда и обратно по электронной почте.

Связанный: Являются ли специалисты по математике решением для лучшего обучения математике?

Окончательные проекты стандартов были обнародованы в июне 2010 года. К следующему году, отчасти благодаря финансовым стимулам, предложенным администрацией Обамы, более 40 штатов приняли их, а школы и из своих старых уроков и адаптироваться к более строгим ожиданиям. Зимба уволился с работы в Bennington, чтобы работать полный рабочий день в Student Achievement Partners, чтобы продвигать стандарты.

Перевороты, которые стандарты вызовут в американских классах, оставались в основном незамеченными до 2013 года. В том же году негативная реакция начала расти в таких штатах, как Нью-Йорк, где результаты тестов Common Core резко упали, и Индиана, где консерваторы с подозрением относились к поддержке стандартов администрацией Обамы. Он стал широко известен в начале 2014 года, когда отец из Северной Каролины опубликовал на Facebook запутанный вопрос «Общее ядро» из математической викторины своего сына во втором классе вместе с письмом, которое он написал учителю. «У меня есть степень бакалавра наук в области электроники, которая включала обширное изучение дифференциальных уравнений и других приложений высшей математики», — написал он. «Даже я не могу объяснить математический подход Common Core и получить правильный ответ».

Гленн Бек и другие консервативные эксперты подхватили пост, и он стал вирусным. Пару месяцев спустя комик Луи С.К. жаловался на домашнюю работу своей дочери по математике Common Core в Твиттере, и ночные комики, такие как Стивен Колберт, тоже начали издеваться над стандартами. Критики назвали стандарты запутанными, слишком абстрактными и слишком концептуальными из-за того, что они были направлены на то, чтобы студенты объяснили и обсудили свои ответы.

К лету 2014 года Индиана и Оклахома вышли из Common Core, другие штаты приняли законы, которые в ближайшие годы заменят стандарты, а третьи угрожают сделать то же самое в этом году. Сторонники стандартов, в том числе профсоюзы учителей и Фонд Гейтса, теперь пытаются спасти Common Core, призывая штаты воздержаться от ставок, связанных с новыми тестами Common Core, включая новые оценки учителей во многих штатах на основе оценок учащихся.

Реакция одновременно раздражала и сбивала с толку сценаристов. «Когда я вижу некоторые из этих проблем, опубликованных на Facebook, я думаю, что тоже сошёл бы с ума», — говорит МакКаллум. Даро рассказывает историю о своем внуке, который принес домой математическую таблицу с надписью «Common Core» и датой регистрации авторских прав в 1999 году. Учащиеся должны запомнить таблицу умножения к третьему классу и быть в состоянии решать задачи с мясом и картошкой, которые Зимба задает своей дочери во время субботних занятий с репетиторами. .

Хунг-Хси Ву, профессор математики в Беркли и один из экспертов-консультантов процесса Common Core, винит в проблемах Common Core плохие — и вездесущие — учебники, которые издательская индустрия не хочет менять. «Издатели не хотят утруждать себя написанием чего-либо, потому что они прошли через слишком много наборов стандартов», — говорит он.

Зимба более дипломатичен. «На повторение математических материалов уходит много времени, — говорит он. «Кто-то выталкивал полуфабрикаты, а кто-то наклеивал на них наклейку и называл это Common Core, а что еще они могли сделать? Это требует времени.»

Для тех, кто не является математиком, может быть трудно сказать, что действительно соответствует Общему Ядру, а что нет. Однако Зимба считает, что многие эксперты, разжигающие гнев против Ядра, умышленно неправильно понимают стандарты и вводят общественность в заблуждение. «Я не думаю, что речь идет об Common Core, — говорит он. «Я думаю, что это то, как это происходит в Америке».

Восторжествовать или умереть

Несмотря на свое разочарование, Зимба не сожалеет о жертвах, которые он принес ради Common Core. Зимба отказался от академической карьеры, в которой он мог свободно размышлять над абстрактными физическими проблемами в тишине и покое своего амбара в Вермонте и решать сложные головоломки просто для удовольствия. Но, говорит он, «сейчас я занимаюсь гораздо более насущной проблемой».

Эта проблема заключается в том, как повысить академическую успеваемость наиболее обездоленных студентов в США и успеваемость американских студентов в целом, чтобы страна могла сохранить свое конкурентное преимущество в мировой экономике. В наши дни Зимба и его коллеги признают, что лучших стандартов недостаточно.

«Раньше я думал, что если правильно расставить оценки, этого будет практически достаточно», — говорит он. «В мире No Child Left Behind все следует из теста».

Теперь он говорит: «Я думаю, это учебная программа».

Учительница третьего класса Шерри Франгия (слева), ученица пятерки Джейла Хопкинс во время урока математики в начальной школе Силвер-Лейк в Мидлтауне, штат Делавэр. Вторник, 1 октября 2013 г. академики. (AP Photo/Steve Ruark) Предоставлено: AP Photo/Steve Ruark

Для того, чтобы американское государственное школьное образование преобразилось, как считают авторы Common Core, должны измениться учебная программа и учебники, а также то, как учителя преподают. И в этом ирония споров о стандартах и ​​о том, что может их погубить. Какими бы мощными и влиятельными ни были стандарты в перестройке американских классных комнат, они не включают в себя планы уроков, методы обучения или альтернативные стратегии на тот случай, если учащиеся этого не понимают.

Несмотря на то, что Зимба и его коллеги защищают стандарты от криков о злоупотреблении федеральными полномочиями, они беспомощны, когда дело доходит до того, чтобы убедиться, что издатели учебников, тестировщики, суперинтенданты, директора и учителя интерпретируют стандарты таким образом, чтобы они действительно улучшили американское государственное образование. не сделать его хуже. Как и МакКаллум, Зимба согласен с отцом из Северной Каролины в том, что вопрос в математической викторине его сына с пометкой Common Core был ужасным. Но пока американцы придерживаются убеждения, что большая часть того, что происходит в школах, должна находиться под контролем штатов и местных сообществ, качество учебной программы находится вне его контроля. «Нравится вам это или нет, но стандарты дают большую свободу», — сказал он.

В этом году Зимба убедил школу его дочери опробовать новую учебную программу, которая лучше соответствует разработанным им стандартам. Он также посвящает свое время в своей некоммерческой организации Student Achievement Partners для создания контрольных списков, которые другие школы могут использовать для поиска хороших учебников, соответствующих Common Core. Группа опубликовала обучающие материалы, в том числе видеоролики, в которых преподаватели демонстрируют уроки Common Core. Недавним дождливым днем ​​на Манхэттене организация собралась в конференц-зале, чтобы обсудить идеи для онлайн-инструмента, финансируемого Благотворительным фондом Леоны М. и Гарри Б. Хелмсли (среди многих спонсоров The Hechinger Report ), которые могут помочь учителям лучше понять стандарты.

Связанный: Из чего состоит хороший вопрос по математике Common Core?

Одной из идей для этого инструмента было «пролистывающее» приложение, которое учителя могли использовать, чтобы выяснить, усвоили ли ученики стандарт или нет, — что-то, что будет работать так же, как Tinder, сайт знакомств. В конце концов, группа с большим энтузиазмом отнеслась к менее технологичному, но, вероятно, менее управляемому варианту: горячей линии, по которой учителя и родители могли бы звонить, чтобы узнать, были ли математические задачи с пометкой Common Core, которые они нашли в своих учебниках и домашних заданиях, были правильными. хорошо или плохо.

Даро и МакКаллум ведут собственные дела. МакКаллум основал некоммерческую организацию Illustrative Mathematics, которая создает примеры задач, связанных с Common Core, обучает учителей и разрабатывает планы учебных программ. И Даро на самом деле пишет всю учебную программу Common Core по математике для использования на планшетах, которая будет выпущена в следующем году образовательным издателем Pearson. Foundation, будет распространяться на миллионы школьных учителей, пытающихся адаптироваться к новым стандартам. Или если плохие учебные программы, все еще циркулирующие, в сочетании с раздробленной политикой страны, прикончат их.

Зимба, со своей стороны, настроен оптимистично. «Влияние тестов на учебную программу — негативное», — говорит он. «Они были бледной имитацией математики. Я разговаривал с учителями, которые говорят, что преподавая эти стандарты, я снова чувствую себя учителем. Это будет непросто. Как только вы попробуете это, это станет сильным».

Этот материал был подготовлен The Hechinger Report , некоммерческим независимым новостным веб-сайтом, посвященным неравенству и инновациям в сфере образования. Подробнее о Общее ядро ​​ .

Эта статья была обновлена ​​по сравнению с исходной версией, чтобы отразить тот факт, что Фил Даро участвовал в разработке предыдущих версий математических стандартов Калифорнии, а не последних стандартов, которые были заменены Common Core.

The Hechinger Report предоставляет подробный, основанный на фактах, непредвзятый отчет об образовании, доступный бесплатно для всех читателей. Но это не значит, что его можно производить бесплатно. Наша работа информирует педагогов и общественность о насущных проблемах в школах и кампусах по всей стране. Мы рассказываем всю историю, даже если детали неудобны. Помогите нам продолжать делать это.

Присоединяйтесь к нам сегодня.

Мнение: Математика пугает учителя начальной школы вашего ребенка — и это должно пугать вас

Американские школьники по-прежнему не понимают математику. В прошлом месяце были опубликованы результаты теста «Национальная оценка образовательного прогресса», известного как NAEP, за 2019 год, который показывает, что успеваемость учащихся четвертого и восьмого классов не изменилась с 2009 года. Это произошло через год после того, как Национальная консультативная группа по математике была Президент Джордж Буш-младший пришел к выводу, что достижения американцев в области математики были «посредственными».

Комиссия предложила десятки идей по улучшению, в первую очередь здравому смыслу предложила усовершенствовать начальную программу по математике, которую во многих школах считали расплывчатой, поверхностной и повторяющейся. Но улучшенные учебные программы не помогут, если мы не признаем еще одну серьезную проблему: многие учителя начальных классов не очень хорошо понимают математику, и преподавание ее вызывает у них тревогу.

Подумайте, почему американские дети борются. Математическая компетентность зависит от трех типов знаний: запоминания небольшого набора математических фактов (например, таблицы умножения), знания стандартных алгоритмов для решения стандартных задач (таких как деление в длинное число) и понимания того, почему алгоритмы работают (знания, почему стандартный метод решения задачи на деление в длину дают правильный ответ).

Национальная консультативная группа по математике пришла к выводу, что американские студенты имеют достаточные знания по первым двум, но не по третьему. Они умеют считать (по крайней мере, иногда), но часто не понимают, что делают.

Например, ученица средней школы может быть в состоянии вычислить 0,77 x 0,63, но не может сразу увидеть, прежде чем вычислит, что произведение будет меньше 0,77. Это поверхностное понимание десятичного значения не обязательно разрешится само по себе. Коллега рассказал мне о тщетных попытках убедить студента колледжа, что 0,015 меньше, чем 0,05; — настаивал студент, — но 15 больше, чем пять.

Знак равенства — еще одно математическое понятие, которое часто понимают неправильно. Это означает, конечно, что все, что находится по обе стороны от знака равенства, эквивалентно. Но многие учащиеся начальной школы не понимают значения знака равенства. Для них это не означает равенство, а вместо этого означает «поместите ответ здесь». Представьте себе их замешательство, когда в алгебре они впервые столкнулись с задачами с числами на по обе стороны от знака равенства по .

Но какое это имеет значение? Если вы знаете, что для деления одной дроби на другую нужно «переставить числитель и знаменатель одной, а затем умножить их», важно ли уметь объяснять, почему это работает?

Если математическое знание ограничивается «когда я вижу такую-то задачу, я делаю то-то», оно негибкое; если задачи сформулированы немного по-другому, учащийся часто оказывается в тупике. И как только студенты начинают изучать алгебру, математика все чаще требует продумывания последовательности шагов и выбора правильного математического инструмента для каждого из них. Это сложно, если вы не понимаете, что на самом деле делают инструменты.

Эта интерпретация — что учащимся не хватает концептуального понимания, и это отсутствие понимания становится все более важным по мере усложнения математики — соответствует шаблону результатов стандартизированных тестов. По мере того, как учащиеся продвигаются вперед, процент достижения целевых показателей на уровне класса в NAEP снижается. Аналогичная тенденция наблюдается и в международных сравнениях; Американские четвероклассники соревнуются довольно хорошо, но старшеклассники отстают от учеников из большинства других промышленно развитых стран.

Если ученики старших классов терпят неудачу из-за того, что основа понимания не была заложена в начальных классах, рекомендация Национальной консультативной группы по математике — изменить учебную программу — попадает в цель.

Упускается из виду, что для обучения учащихся начальной школы глубокому пониманию необходимо, чтобы учителя сами обладали этим пониманием. Исследования неизменно показывают, что многие этого не делают.

Исследования также показывают, что по сравнению с другими учащимися колледжей будущие учителя начальных классов особенно склонны к математическому беспокойству — боязнь заниматься математикой настолько сильна, что мешает ее реальному выполнению. Это беспокойство остается, когда они находятся в классе, и исследования показывают, что ученики меньше узнают математику у учителя, озабоченного математикой.

Так что, возможно, нам следует сосредоточиться на обучении учителей, чтобы они могли учить учеников. Но с почти 2 миллионами учителей начальных классов в Соединенных Штатах работа была бы непосильной, даже если бы только половина из них нуждалась в обучении.

В качестве альтернативы можно лучше использовать учителей с глубокими математическими знаниями. Все больше школ нанимают специалистов по математике, которые служат консультантами для коллег-учителей, и тренеров по математике, которые предлагают наблюдение в классе и обратную связь. Но эти меры в среднем не повысили успеваемость учащихся.

Понятно. Тренер или специалист может убедить меня использовать определенные методы, но если я как учитель не разбираюсь в математике, я не пойму, почему эти методы работают. Подобно ученику, который просто запоминает формулы, любой приобретенный педагогический навык будет негибким; если ситуация хоть немного незнакома, я не буду знать, что делать.

Вместо того, чтобы учить других, лучшие учителя математики должны учить детей. Корпус учителей с глубоким пониманием математики и способов ее передачи может быть штатным преподавателем математики, начиная с детского сада. Кому-то с таким ограниченным контактом было бы трудно хорошо знать учеников, а отношения между учениками и учителями действительно влияют на обучение учеников. Некоторые школы считают целесообразным использовать специализированных инструкторов для обучения музыке или физическому воспитанию. То же самое должно относиться и к математике.

Сложность заключается в том, чтобы проверить, кто обладает глубокими математическими знаниями, поскольку государственные тесты, сертифицирующие учителей по конкретному предмету, оказались посредственными предикторами того, кто хорошо преподает. Может потребоваться дополнительная проверка, например, наблюдение за учителем в классе.

Утрата ответственности за преподавание математики может быть оскорблением для учителей начальных классов, но многие просто не понимают математику достаточно хорошо, чтобы преподавать ее. Это потому, что их учителя не понимали математику, и давно пора прервать этот цикл.

Дэниел Т. Уиллингем — профессор факультета психологии Университета Вирджинии.

Внутри Русской математической школы

Он позиционирует себя как ключ к тому, чтобы помочь вашему ребенку освоиться в школе и, предположительно, в колледже. Это просто последний случай, когда богатые жители пригорода не отстают от Джонсов, или русская женщина в Ньютоне придумала лучший способ учить американских детей?

Соучредитель Русской школы математики Инесса Рифкин начала обучать детей математике за обеденным столом в Ньютоне более 20 лет назад. Сегодня в программе участвуют 40 000 учащихся в 53 школах в 12 штатах, Вашингтоне, округ Колумбия, и Канаде, в дополнение к быстро развивающейся онлайн-программе. / Фото Джейсона Гроу

Январским днем ​​в штаб-квартире Русской школы математики, двухэтажном кирпичном здании площадью 6500 квадратных футов в корпоративном парке Ньютона, Инесса Рифкин ведет 15 возбудимых третье-четырехклассников на уроке графиков. Ей за шестьдесят, она шикарна в серо-голубой тунике поверх белоснежной рубашки на пуговицах, узких черных брюках и серебряном жемчужном ожерелье в стиле Тиффани. Когда она с непоколебимым русским акцентом задает вопрос, более половины студентов поднимают руки вверх. Ни у кого на столе нет мобильного телефона. Никто не смотрит в космос.

Примерно в середине двухчасового занятия она спрашивает: «Опрос или перерыв?» Группа единодушна в своем решении: викторина!

У Рифкин есть две причины для радости: дети не только добровольно выбрали викторину, но и незадолго до начала занятий она узнала, что Русская математическая школа — внеклассная программа K–12, которую она основала вместе с другими советскими эмигрантка Ирина Хавинсон в Ньютоне 22 года назад, в которой училось более 40 000 студентов. RSM имеет 53 офиса в 12 штатах, Вашингтоне, округ Колумбия, и Канаде. В онлайн-классах уже есть студенты из 24 стран, и их количество растет быстрее, чем сын Рифкина, Илья, который является генеральным директором, может найти квалифицированных учителей для их обучения.

Массачусетс, родина школы, а также особый центр заботливого воспитания детей, является эпицентром русской математики. По оценкам Инессы Рифкин, каждый четвертый ученик начальной школы в Лексингтоне посещает ее внеклассную программу; большинство детей начинают со второго класса и продолжают обучение как минимум до восьмого, хотя многие доходят до средней школы. «Помню, мы не могли поверить, когда в первый год у нас было 40 студентов, — говорит она. В то время она проводила занятия за обеденным столом, и соседи жаловались на то, что машины въезжают и уезжают в очереди. В наши дни RSM нанимает гаишника, который помогает следить за порядком при посадке и высадке во флагманском месте школы, где одновременно могут разместиться несколько сотен детей. «Мы никогда даже не считали себя деловыми женщинами», — говорит Рифкин о себе и Хавинсон, признавая, что до 2009 года у них не было надлежащего бизнес-плана., когда Илья бросил работу в манхэттенском хедж-фонде, чтобы присоединиться к компании по настоянию матери. «И в этом бизнес-плане он написал, что мы охватим 10 000 студентов», — говорит Рифкин. «Я смеялся. Десять тысяч студентов? Отсюда?»

Десять лет спустя русская математика стала не чем иным, как феноменом. За последние 20 лет к Рифкину и Хавинсону несколько раз обращались нетерпеливые венчурные капиталисты с просьбой инвестировать или выкупить их, и они отклоняли каждое предложение. Тем временем родители учащихся, изучающих русскую математику, с гордостью отмечают, что их дети на два-три года опережают своих сверстников по математике в школе, а компания может похвастаться замечательными результатами учащихся по стандартизированным тестам (средний балл по математике 774 для младших школьников). пройти SAT) и высокий средний балл в школе. В вестибюле штаб-квартиры выставлены фотографии выпускников, а также их недавние поступления в колледжи: Браун, Дартмут, Массачусетский технологический институт, Джорджтаун.

Тем не менее, не все считают эту программу лучшим, что случилось с математическим образованием со времен карточек. Критики говорят, что это имеет сомнительную академическую ценность для детей и больше ориентировано на ускорение учащихся, чем на углубление их понимания материала. Более того, растет обеспокоенность тем, что значительная доля учащихся, изучающих русскую математику в некоторых пригородах Бостона, оказывает негативное влияние на учебную среду в обычных школьных классах. Некоторые считают RSM не столько математическим чудом, сколько примером того, как хитрый маркетинг безрассудно врезается в панику родителей в пригороде. «В прежнем возрасте, если у вашего ребенка были проблемы с математикой, вы бы наняли репетитора, если бы у вас были деньги», — говорит Джон Стар, психолог-педагог из Гарварда, который исследует математическое образование. «Но все эти дети, которые ходят на русскую математику, идут туда не потому, что у них проблемы с математикой. Они ходят туда, потому что государственная школа работает недостаточно быстро для того, что, по мнению родителей, нужно их ребенку. Так что это просто совсем другой набор мотиваций».

Такое поведение может оказать еще большее давление на детей, которые и без того испытывают беспрецедентный уровень беспокойства, и на родителей, чтобы они не отставали друг от друга, либо для восприятия, либо для того, чтобы о чем поговорить на званых обедах. Ньютон, мать троих детей, Марсела Алмейда, чей старший ребенок поступил в RSM в третьем классе, средний — в первом, а младший — в детском саду, оказалась в самом центре быстро ускоряющейся пригородной гонки вооружений по математике. Она говорит, что записала своих детей в RSM еще до того, как решила, что что-то особенно не так с образованием, которое они получали бесплатно в государственных школах. «Я чувствовала огромное давление со стороны нашего сообщества, чтобы отправить наших детей в RSM», — говорит она. «Похоже, что посещение RSM является нормой там, где мы живем, поэтому я не хотел, чтобы они отставали».

Ирина Хавинсон 15 лет работала учителем математики в Санкт-Петербурге, прежде чем вместе с Рифкиным основала Русскую математическую школу. / Фото Джейсона Гроу

Рифкин приехала в США из Советского Союза с мужем Виктором и двумя детьми, Ильей и Машей, с восемью чемоданами и 90 долларами в 1988 году. Она устроилась на работу инженером-механиком. в Kronos, создателе программного обеспечения для управления персоналом. Илья был в восьмом классе, когда Рифкин говорит, что она начала сомневаться в его мотивации в школе. Его оценки были хорошими, но не отличными; она предположила, что он был ленив. «Поэтому я посмотрела, чему он научился, — говорит она. «Математика не соответствовала моим стандартам. Он не знал того, что, по моему мнению, он должен был знать к тому времени. Урокам не хватало связного течения; они были отключены от одного к другому, и процесс был больше сосредоточен на получении правильного ответа, чем на понимании того, как его получить. Неудивительно, что у Ильи не было мотивации, думала она, и, конечно, он и его друзья ненавидели математику — материал был предписан, зазубрен и очень скучен. Рифкин начал разговаривать с другими родителями. «Медленно я пришла к выводу, что дело не в том, что он ленив, — говорит она. «Он пользуется всем, что ему предлагают. Но мало что ему предлагают».

Рифкин начала обучать своего сына и некоторых его друзей после работы, используя уроки, которые она помнила из элитной математической школы, которую она посещала в Минске. Дети, казалось, откликнулись, и она начала думать о том, как предложить уроки еще большему количеству учеников, представляя себе структурированную программу с учителями, которые будут требовать уважения от своих учеников, и учебную программу по математике, которая сделает обучение веселым и эффективным. «Не то, что кто-то приходит к вам домой, и ваш ребенок чувствует себя Мои родители платят тебе деньги, поэтому ты делаешь то, что я тебе говорю », что не может быть более американским, — говорит она.

Ее первый шаг: найти учителя. «Я начала расспрашивать: «Кто знает хороших учителей из Союза?» — говорит она. В ответ несколько человек сказали ей, что кто-то сказал им, что кто-то упомянул женщину по имени Ирина. В возрасте 47 лет Хавинсон в течение 15 лет работал учителем математики в Санкт-Петербурге, тогда известном как Ленинград. В Бостоне она работала бухгалтером и подрабатывала с детьми, используя учебники русского языка и уроки, которые она разработала самостоятельно.

В декабре 1997 года, вскоре после объединения, Хавинсон и Рифкин объявили о встрече в Храме Бет Элохим в Уэлсли, чтобы обсудить состояние математического образования их детей. Пришло шестьсот человек, в основном русско-еврейские иммигранты. Рифкин встала перед ними и представила свою идею русской математической школы. Она говорила о создании сообщества, основанного на общих потребностях, месте, где дети могли бы изучать математику и играть вместе, а родители могли бы знакомиться друг с другом. Ей не нужно было объяснять соотечественникам, почему математика важна. Для них, говорит Рифкин, математика — это то, что приводит умы в порядок. Более того, для семей иммигрантов STEM считается спасательным кругом и путем к успеху в Соединенных Штатах. «Я сказал: «Мы знаем, что такое хорошая математика. Давайте попробуем сделать это здесь для наших детей», — вспоминает она. Одна мама Ньютона, Ольга Дадашева, встала и сказала, что осознала проблему, но спросила, почему Рифкин считает, что именно она может ее решить. «И я сказал ей, — вспоминает Рифкин, — что у тебя почти нет другого выбора, кроме как позволить мне попробовать».0003

Дадашева, приехавшая в США из Москвы в 1989 году и работавшая разработчиком программного обеспечения, искала репетитора по математике для своей дочери, которой в то время было 12 лет. «Критиковать американское образование в целом легко, — говорит сейчас Дадашева. «Но у русских, в частности, есть такой опыт, когда в школе должно быть тяжело. Вы должны очень много работать и получать отличные оценки. И этого не хватало в американских школах, где больше говорили: «Если ты можешь это сделать, это здорово». Если ты не можешь это сделать, отлично, сделай это завтра»9.0003

Той ночью в храме в Уэлсли Рифкин и Хавинсон убедили 60 учеников совершить посвящение, все дети иммигрантов из России. Говорит Рифкин: «Это был не столько бизнес, сколько движение».

Как только учащиеся РШМ (и их сверстники) начали замечать свое преимущество перед другими детьми в школе и возникшую в результате уверенность, к ним стали приходить новые учащиеся — русские, а также дети иммигрантов из Китая, Индии и Европы. К февралю 1998 года Рифкин уволилась с работы в Kronos, а к сентябрю того же года RSM набрала 150 студентов и переехала в свое первое коммерческое помещение на Beacon Place в Ньютоне, двухкомнатное помещение на втором этаже, на волосок от земли. салон. В 19В 99 году Рифкин взяла кредит под залог дома, чтобы купить небольшой белый дом с голубыми ставнями на оживленной Центральной улице, на котором ее муж установил большую вывеску с надписью «Русская школа математики». По словам Рифкина, это была вся реклама, в которой они нуждались. Вскоре появились первые американцы.

Предприниматель в области биотехнологий Хайди Вайл была одной из них. По ее словам, они с мужем переехали в Уэстон из-за хороших государственных школ, но учителя не преподавали математику так, как она думала. «Раньше мы шутили, что в школах Уэстона было что-то вроде «Ни одному ребенку не разрешается идти вперед», — говорит Уайл, чьи дети уже выросли, и им за двадцать. «Они были счастливы иметь дело с детьми, которым нужна была помощь, но им не нужны были действительно способные дети».

Уайл сыграла важную роль в представлении RSM своему кругу влиятельных и высокообразованных друзей, в который входили несколько родителей, которые были профессорами Гарварда и Массачусетского технологического института. Но статья 2001 года, опубликованная на первой странице Boston Globe , «Русское решение американской проблемы», стала ключом к массовому привлечению американских семей, говорит Рифкин. «Писательница проезжала мимо воскресным утром и увидела, как эти дети играют возле дома», — вспоминает она. Он остановился и спросил очень симпатичного ребенка: «Что ты здесь делаешь?» И ребенок сказал: «Я изучаю математику». Он сказал: «Ты занимаешься математикой в ​​воскресенье утром? Почему?» И ребенок сказал: «Потому что я хочу поумнеть и поступить в Массачусетский технологический институт». На следующее утро после того, как история вышла в свет, Рифкин подошел к маленькому дому на Центральной улице и увидел очередь за дверью.

Учитель Ирена Бурмистрович инструктирует класс, полный увлеченных учеников. / Фото Джейсона Гроу

С самого начала Рифкин и Хавинсон разработали учебную программу RSM собственными силами, взяв часть того, что Рифкин использовал для обучения Ильи, и часть того, что Хавинсон использовала со своими учениками, а затем раунд оплаты за обучение, который они получили, в дальнейшую разработку курсовой работы. Они в значительной степени полагались на сеть родителей, собравшихся в тот вечер в храме Бет Элохим, чтобы найти русских эмигрантов, многие из которых работали в академических кругах, чтобы помочь составить планы уроков, в которых упор делался на критическое мышление и рассуждения, а не на запоминание. Продвинутые понятия, такие как алгебра, вводились уже в первом классе с использованием подходов, соответствующих возрасту, и большого количества наглядных материалов, потому что, по словам Рифкина и Хавинсона, исследования показывают, что дети, которые изучают алгебру в раннем возрасте, в целом лучше развиваются. Они поощряют учащихся к освоению исчисления к 10 или 11 классу.

Тем не менее, Рифкин и Хавинсон утверждают, что их стратегия не так проста, как просто дать студентам работу на следующий год. По их словам, основное различие между русской математикой и математикой, которую преподают в школах, сводится к методологии, которая делает упор на вывод, а не на запоминание — изучение причин, лежащих в основе ответов, — и визуальном подходе, который помогает учащимся «видеть» математику и поэтому лучше разбирайтесь. Студенты, изучающие русскую математику, также проводят больше времени с учителями: поскольку большинство детей записываются в 9От 0 минут до четырех часов в неделю в концентрированных блоках они теоретически получают возможность глубже понять концепции. Классы также меньше, в среднем около 12 учеников, и разделены по уровням способностей, а это означает, что учителя могут обучать очень специфическим потребностям учеников так, как учителя государственных школ просто не могут. «Здесь вы почти так же занимаетесь легкой атлетикой, — говорит Рифкин. «Не для того, чтобы ваш ребенок стал финалистом Олимпийских игр. Математика для нас не в том, чтобы стать математиком, а в том, чтобы стать хорошим мыслителем».

Уайл, дети которой тоже пробовали заниматься по математической программе Kumon, но быстро потеряли к ней интерес, вспоминает, как была впечатлена, когда впервые пригласила своего первоклассника на урок RSM. «Они занимались алгеброй, — говорит она. «И то, как они это сделали, было похоже на двух детей, балансирующих на качелях. И под одним ребёнком может быть число семь, а под другим ребёнком и грузом — число пять. А потом они спрашивали учеников: «Сколько весит гиря?» И, конечно же, дети отвечали «два», потому что они могли это видеть, верно? Весь их подход был построен на том, чтобы увидеть математику, и я сам мог видеть квантовую механику к тому времени, когда этот курс закончился. Они учили детей видеть и понимать. Не просто делай».

Самое главное, студентам это нравится. Мать Ньютона Эллен Чу и ее муж изначально записали свою дочь в RSM, потому что она сказала им, что ненавидит математику. В этом году она начала свой первый год обучения в колледже в Оксфорде, специализируясь на математике и информатике. «Я думаю, что моя дочь полюбила математику, потому что RSM познакомил ее с более сложной, тонкой математикой, которую она нашла увлекательной», — говорит Чу. «Основываясь на ее опыте, я думаю, что школа пытается помочь своим ученикам думать, решать задачи и получать удовольствие от математики».

Между тем, Уайл говорит, что учителя RSM теплые и заинтересованные, они создают сплоченное сообщество. «С самых первых дней, — вспоминает она, — когда дети получали высокие баллы за SAT, когда они становились финалистами или что-то в этом роде, учителя считали, что наши дети — это их дети».

Не заблуждайтесь, русская математика может быть адаптацией, особенно для учеников, которые начинают учиться в более старшем возрасте. Четыре часа дополнительных занятий по математике каждую неделю — это много, к тому же есть домашнее задание. Мария Рубио, две дочери которой посещали центры RSM во Фрамингеме и Уэллсли, и которая впервые услышала о программе от польской мамы на автобусной остановке своих детей, говорит, что ее старшая дочь была переведена на более высокий уровень в RSM после того, как местный учитель сказал, что она не достаточно бросают вызов. «Первый год, бедняжка, — говорит Рубио. «Они давали ей сотни упражнений, чтобы она могла наверстать упущенное». Рубио спросил учительницу, действительно ли она уверена, что ее дочь готова. «Она сказала мне: «Я не собираюсь оставлять ее в низшем классе, потому что я хочу бросить им вызов», — вспоминает Рубио. «Это не о чем другом. Ей там не место. Ей нужно перейти на другой уровень». Так что она боролась, но справилась и стала очень, очень беглой, и теперь я всегда благодарю эти большие стопки упражнений».

Еще одна история успеха: Аланна Финке из Belmont отправила своего сына в русскую математику в прошлом году, когда он был восьмиклассником, по его просьбе. «Для Ионы то, как они учили, имело для него более логичный смысл, чем то, как этому учили в его государственной школе», — говорит Финке. Ранее он посещал Кумон и любил его. И все же, по словам Финке, «в русской математике было что-то такое, что казалось вызовом, и ему это очень нравилось».

Все дети, с которыми я разговаривал, говорили, что русская математика дает им преимущество на обычных уроках математики, где они, как правило, лучше справляются с тестами или, по крайней мере, им не нужно так усердно заниматься, чтобы хорошо справляться. Рифкин считает, что хорошие оценки — это еще не все, что они получают: «Оценки имеют значение, но они также более уверены в себе», — говорит она. «Я вижу это по девочкам, которых мы учим, особенно. Они очень наслаждаются своей сообразительностью. Они не стесняются быть умными или иметь право голоса в классе. Я вижу их, когда они начинают с нами, и я вижу их, когда они покидают нас, и они другие люди».

Фото Джейсона Гроу

Однако не все убеждены, , что в «Русской математике» происходит что-то особенное, кроме того, что дети тратят четыре часа в неделю — или больше — на арифметику. (В случае Джоны его родители даже наняли репетитора, чтобы помочь ему добиться лучших результатов в русской математике, что может стать следующим этапом в математической гонке вооружений.) Родители могут думать, что это помогает их детям, но Джон Стар из Гарварда говорит, что это не так. доказательства того, что зачисление в RSM приводит к более высоким оценкам в школах или лучшим результатам стандартизированных тестов. Более того, он не согласен с идеей, что российская математика в чем-то лучше, чем математика, которую преподают в государственных школах. На самом деле, он даже не думает, что это явно уникально. По словам Стар, часть коммерческого предложения RSM заключается в том, что его курсовая работа привлекает студентов больше и по-другому, чем их обычная школьная программа. Но он говорит, что в России нет универсальной математической школы, которой следуют все и которая существенно отличается от той, которую преподают в США. математика, говорящая с русским акцентом, не делает ее лучше».

Стар подозревает, что на самом деле происходит то, что «Русская математика» просто учит детей той же математике, которую они изучают в своей обычной программе, только раньше и быстрее, что, по его словам, является довольно легким плодом в мире математического образования.

Между тем, Хилари Крайсберг, директор Центра математических достижений в Университете Лесли и бывший учитель пятого класса, ставший тренером по математике, говорит, что ее опыт работы со студентами RSM заставил ее усомниться в утверждении, что русская математика больше фокусируется на развитии глубокого понимание математики вместо запоминания. На самом деле она видела обратное. «Судя по тому, что я видела, они значительно превышают стандарты своего класса с точки зрения запоминания, но не с точки зрения понимания содержания», — говорит она. «Многие из них очень быстро находят ответ или могут быстро вычислять, но они не всегда могут объяснить мне, что они делают или почему они это делают». А объяснения, по ее словам, являются важнейшим компонентом математики. «В общеобразовательных школах нас очень строго учат, что цель не в ускорении», — говорит Крайсберг. «Цель состоит не в том, чтобы расширить их мышление до другого уровня, а в том, чтобы углубиться в текущие стандарты уровня, потому что вы всегда можете узнать больше по теме».

Многие родители, тем не менее, любят ускоренный учебный план и считают, что он дает преимущество их детям не только в старших классах, но и в еще более жесткой борьбе за поступление в элитный университет. Каждый последний из дюжины с лишним родителей RSM, с которыми я разговаривал, сказал мне, что их ребенок «намного опережает» своих обычных учеников по математике, что они рассматривают как свидетельство несложной учебной программы и еще одно доказательство того, насколько далеко отстают американские школьники. математика.

Стар и Крайсберг говорят, что такое отношение является частью ошибочной «гонки за исчислением», согласно которой чем раньше студент доберется до цели, тем лучше. «Речь идет не о том, чтобы помочь вашему ребенку достичь того уровня, на котором он должен быть в математике, чтобы действительно глубоко понять математику. Речь идет о том, чтобы идти быстро, чтобы вы могли опередить всех остальных, с осознанием того, что это помогает. И для чего?» — спрашивает Стар. «Нет никаких доказательств того, что это помогает вашему ребенку сдавать математический анализ в 10-м классе».

Родители учащихся РШМ с гордостью отмечают, что их дети опережают своих сверстников на два-три года. / Фото Джейсона Гроу

Неудивительно, что популярность русской математики стала серьезной проблемой для школ, чьи учителя теперь сталкиваются с трудностями при обучении все большего числа учеников, которые уже видели материал. Разброс способностей учащихся в одном классе всегда был препятствием для педагогов. Теперь этот диапазон — и проблема — намного больше.

В конце концов, это проблема не только учителей, но и самих детей, посещающих RSM. Многим из них скучно на уроках математики, и они «потеряли любопытство», говорит Крайсберг, которое является неотъемлемой частью математики. «Мой опыт работы со студентами, изучающими русскую математику, показывает, что они часто имеют высокомерный настрой: «Я уже знаю это, мне не нужно учить это снова», даже если они могут упускать фундаментальные пробелы, потому что они так ускорился». Она продолжает: «Они не хотят учиться решать что-то по-другому. Они просто хотят получить ответ, потому что могут. Мне труднее учить этих студентов, чем любым другим студентам, с которыми я работаю».

Не только дети с РШМ, чье обучение в школе страдает, но и дети, не являющиеся РШМ, начинают сомневаться в своих способностях, даже если они отлично учатся в классе. Крайсберг говорит, что, когда дети RSM в классе делают быстрые вычисления, другие ученики начинают чувствовать, что они не сильны в математике, и что для того, чтобы быть хорошими, им нужно быть в программе RSM.

В худшем случае дети из Русской Математики грубы и неуважительны к своим учителям. Чу вспоминает, как ее дочь описывала ситуацию в старшей школе, когда ученики RSM постоянно поправляли и критиковали своего обычного школьного учителя. «Слово, которое использовала моя дочь, — говорит Чу, — было „невыносимо“»9.0003

Крайсберг считает, что популярность русской математики свидетельствует об общем неуважении к учителям. «Кто определяет, является ли ребенок «слишком продвинутым» для своей обычной школьной программы?» она сказала. «Обычно это родители, которые не являются квалифицированными педагогами. Но они не идут в больницы и не говорят врачам: «Эй, вы должны использовать эту более продвинутую процедуру, потому что я где-то читал об этом». Я ценю наших учителей». Хотя это, вероятно, не совсем так — медицинские работники жаловались именно на эту проблему с первого сезона «9».0007 ER — несколько родителей признались, что записали своих детей в RSM, даже не удосужившись поговорить со школой своих детей. «Мы рано поняли, что в школе нет приспособлений для определенного уровня наших дочерей», — говорит Рубио. «Но мы никогда не спрашивали об этом школу. Потому что у нас был RSM».

В то же время многие родители и учащиеся RSM, кажется, ожидают, что учителя будут преподавать на их ускоренном уровне, и, по крайней мере, некоторые школы, похоже, соблюдают требования. Согласно RSM, Newton South добавила новые курсы и дополнительные уровни математики или предоставила детям RSM дополнительные домашние задания, чтобы эти дети были заняты (и их родители были счастливы).

Однако в большинстве случаев учителя не преподают детям ускоренного уровня RSM, предположительно потому, что они заняты обучением остальных учеников, которые учатся по обычному расписанию государственной школы. Рубио говорит, что одну из ее дочерей отлучили от занятий на год. «Они давали ей пакет с какими-то якобы более продвинутыми вещами, и она выходила в коридор с другой девушкой и работала вместе», — говорит она. «И я сказал: «Но что вы будете делать, если у вас есть вопрос?» А она отвечала: «О, я просто спрошу [другую девушку]». И я сказал: «А что, если у нее есть вопрос?» она сказала: «Она спрашивает меня».

RSM также сообщает, что другие города, включая Уэстон и Винчестер, принимают более экстремальные меры. Они начали специально просить родителей воздержаться от зачисления их детей в Российскую математическую школу, что, кажется, только вызывает больше гнева среди родителей, и становится сложнее, когда замечают, что учителя из этих районов привозят туда своих детей. (Ни одна из школ, упомянутых в этой статье, и многие другие, с которыми связались для этой статьи, не ответили на неоднократные просьбы о комментариях.) Стар считает, что школы могли бы лучше сообщать о своем плане удовлетворения потребностей детей в обучении математике продвинутого уровня, а не просто препятствовать им. регистрация в РСМ. «Но, может быть, в некоторых сообществах, — говорит он, — уже кажется, что они проиграли битву».

Существует также проблема элитарности. RSM говорит, что занятия начинаются с 20 долларов в час, что может быть удобным способом сделать его доступным; стоимость обучения для большинства студентов составляет не менее 2000 долларов за курс. Вероятно, не случайно, что все его офисы находятся в городах, принадлежащих к верхнему среднему классу. Согласно отчету Pioneer Education о внешкольной математике за 2019 год, во всех городах Массачусетса, кроме одного, где есть офисы RSM, средний доход домохозяйства составляет 93 600 долларов или более по сравнению со средним доходом по штату в 67 800 долларов; пять входят в число 20 сообществ Массачусетса с самым высоким средним доходом. В то время как Kumon сотрудничает со школами в центральных районах городов, чтобы предоставить свою программу семьям с низким доходом, у RSM нет подобной программы. (Однако он предлагает финансовую помощь от 10 до 15 процентов своих студентов.)

Чу говорит, что в средней школе учителя ее дочери открыто критиковали элитарный характер RSM, и Чу не согласна с ними. То же самое делает и Уайл, говоря: «Я понимаю, почему [школы] занимают такую ​​оборонительную позицию, потому что им тяжело, когда в их классе есть значительная когорта, получающая математическое образование мирового уровня, а потом есть все остальные. Но с моей точки зрения, я бы никогда не попал в Русскую математическую школу, если бы не плохая программа Уэстона по математике».

Субботним утром в конце января вестибюль штаб-квартиры RSM в Ньютоне превратился в новые поля футбольного поля: мамы в парках Canada Goose оживленно болтают, сжимая кружки Yeti, пока сонные дети шаркают по своим классам. Стоянка представляет собой выставочный зал Range Rover и белых Audi. «Боже мой, мы потратили на это столько денег», — говорит мама Мария Рубио о тех годах, когда две ее дочери посещали RSM. «Но это потрясающе».

Взгляд афроамериканцев на развитие женщин в математике

Этноматематика: афроамериканский взгляд на развитие женщин в математике
Этноматематика: Афроамериканский взгляд на развитие женщин в области математики
Глория Ф. Гилмер
Математический институт Милуоки


Аннотация Этот документ был написан для NCTM публикация — Изменение лица математики: взгляд на гендер. Таким образом, статья находится на стыке исследований и практики. Бумага также напрямую затрагивает вопросы равенства, инклюзивности и подотчетности. Автор заимствует данные из исследований гендера, этноматематики и социального контекста. для руководства практикой в ​​​​преподавании и изучении математики. В частности, статья посвящена трем принципам феминистской педагогики, полезным для развития математические способности у всех студентов, но особенно у студенток. Кроме того, в статье представлены стратегии, которые оказались эффективными для распознавания математических идеи в собственном окружении. Многие представленные стратегии основаны на исследованиях методологии этноматематиков. Эти методы расширяют и расширяют видение того, что такое математика, кто ее создает и в какой среде математическое мышление процветает у женщин в целом и у афроамериканок женщин в частности.

Введение Математика – важная человеческая деятельность и имеет много образовательных ценностей, помимо своей технологической важности. Во-первых, он предлагает огромное количество структур, таких как числа, алгоритмы, формы, отношения, функции и данные, полезные для понимания физических реалии. Во-вторых, математика — это человеческая деятельность, построенная на интуитивном взаимопонимание и согласованные соглашения, которые не закреплены навечно и что его граница покрыта многими вопросами без ответов. В-третьих, математика поощряет решение споров с помощью доказательств и доказательств. Наконец, математика демонстрирует, как важно подвергать знакомую вещь подробному изучать и изучать то, что кажется безнадежно запутанным (Бак 1965).

В связи с важностью математики, каждое общество имеет инстинктивное математическое знание, т. это способы подсчета, измерения, соотнесения, классификации и вывода. К сожалению, большая часть этих знаний игнорировалась в формальной школьной математике. учебный план. В значительной степени педагоги действительно определяют, кто учится. школьная математика и, соответственно, кто будет делать карьеру в области математики и каковы будут законные продукты математики. Таким образом, группы о которых педагоги не осведомлены, обязательно подвергнутся несправедливому обращению в классе. Хотя профессиональное неравенство существует и при принятии кто будет признан — сертифицирован, опубликован, награжден грантами фонда и прочих почестей — пожалуй, величайшая несправедливость в поощрении иждивенчества делая для других то, что они могут сделать лучше для себя. Этим способом, значительные ресурсы были потреблены многими для личной выгоды без оказывать какое-либо заметное положительное влияние на условия тех, для кого они говорят. Сохранение этого неравенства часто связано с политикой пола и расы.

На этом фоне в 1989 г. Я предложил использовать пародии на совместных встречах по математике, чтобы драматизировать гендерную проблематику. неравенства — эти тонкие (и не очень) сообщения о том, кто может сделать математика (Кеншафт и Кит, 1991). Я также предложил включить расу неравенства. Я рассматривал эти пародии как первые шаги в борьбе с несправедливостью. между мужчинами и женщинами в математическом сообществе на профессиональном уровень. В течение многих лет эти пародии использовались для повышения уровня осведомленности. значительного числа педагогов к природе гендерного неравенства в этой области, однако сегодня это неравенство сохраняется внутри и между расами и пол. Это говорит о том, что наши усилия должны быть активизированы и задокументированы. Поэтому в этой статье представлены стратегии предоставления образовательного опыта для всех студентов, изучающих математику, особенно для афроамериканок. направлен на развитие математических способностей. Документ опирается на три принципа феминистской педагогики:

(1) Использование собственного опыта учащихся формировать знания;

(2) совместное обучение в кабинет математики;

(3) развитие сообщества учащиеся

(Джейкобс и Беккер 1997).

Математически сильные студенты думают общаться, опираясь на математические идеи и используя математические инструменты и методы из собственного опыта. Если афроамериканские студенты подвергались опыту, описанному в Стандартах NCTM, тогда они приобретут математическую мощь и будут ценить математику. Этот опыт включает изучение (1) культурных влияний на роль математики в нашем современном обществе; (2) обычная человеческая деятельность из чего происходит математика и в каких студенческих сообществах участвуют; (3) простые, но мощные стратегии, полезные при решении нестандартных задач; (4) математические методы общения; и (5) методы исследования, выдвигать предположения и строить логические аргументы в поддержку своих убеждений. Все из этих идей включены в пять общеобразовательных целей для всех студенты, найденные в стандартах K-12 NCTM (NCTM 1989) . Оценка математики как важно для успеха в жизни и понимания того, что можно быть успешным в математике являются важными компонентами уверенности в себе и жизненно важны для развитие математической силы.

Математика и этноматематика В своем политическом заявлении на 1994–1995 годы Американское математическое общество определило математику как «учение об измерении, форм, паттернов и изменений, возникших в результате усилий по описанию и понимать мир природы» (AMS 1994).

Эта концепция ведет к представлению о том, что математика культурно нейтральна и впоследствии стала школьной математикой учебный план без контекста. Таким образом, хотя преподаватели математики признали универсальность истинности математических идей, таких как сумма углы треугольника в плоскости составляют 180 градусов — это знание развелось культурных основ, породивших его. По многим причинам такой учебная программа оказала разрушительное воздействие на представительство африканских Американцы и другие в математических исследованиях и карьере.

Сегодня математика выходит за рамки физические науки и технику в медицину, бизнес, жизнь науки и социальные науки» (AMS 1994) и математическое образование рассматривается как нечто большее, чем набор абстрактных понятий и навыков для быть освоенным. Философские споры о природе математики сосредоточившись на том, чем на самом деле занимаются математики (Barton 1985). Этот новая философская эра привносит в математику само математическое сообщество таким образом, что невозможно отделить математику от этого сообщества: его язык, предубеждения, ценности и опыт. Таким образом, мы являемся свидетелями конец эпохи, когда математика считалась культурно нейтральной и вступление в эпоху, когда математика признается культурным товар. Эта последняя точка зрения решительно поддерживается этноматематиками. и привело к возникновению дисциплины этноматематики.

Этноматематика — очень новая область учебы. Концепция была популяризирована профессором Убиратаном Д.Амброзио. Бразилии в своем программном докладе о взаимоотношениях между культурой и математика на ICME 5 в 1984 году в Аделаиде, Австралия. Понимать этноматематику начните с группы, связанной тем, как они используют определенные математические идеи, такие как художники, банкиры, архитекторы, спортивные деятели, музыканты, и швеи. Затем изучите их язык, предубеждения, ценности. и опыт работы с математическими идеями — некоторые из которых могут быть не идентифицированы как математический. Их взаимодействие с этими идеями, которое может привести в определенных продуктах, внутри которых эти идеи скрыты, — это то, что мы называем их этноматематика.

Исследователи этноматематики стремятся изучить, как люди изучают и используют математику в различных культурах и в повседневных ситуациях внутри культур» (Масингила и Кинг, 1997). контекста, мы можем думать о культуре как о приобретенном знании, передаваемом между группы. Это общий смысл, но не обязательно консенсус. Это включает в себя само собой разумеющиеся ценности и убеждения, наблюдаемые в том, что люди делают, что они знают, и инструменты, которые они используют, Malloy 1997). Исходя из этого понятия культуры, раса не является показателем культуры, а «этно» в этноматематике не является прокси для этнических.

Так как этноматематика ориентирована массам и множеству способов, которыми математические идеи используется на регулярной основе в сообществе, концепция расширяет наше понимание что такое математика и кто ее создает. В этноматематике основное внимание основан на концепциях и методах, фактически используемых культурной группой, а не чем возможные доступные математические теории (Barton 1985). Понятия и методы обычно изучаются без формального образования, но активно передается от одного поколения к другому. Благодаря этому культурному взаимодействию развивается инстинктивный вид общего математического знания среди взрослые и дети, принадлежащие к одной и той же культурной группе (Гилмер 1985). Далее в этой статье это явление проиллюстрировано в этноматематике. волос braiders.

Учебная программа по этноматематике развиваться из деятельности в окружении учащихся и плавно двигаться в школу как процесс введения молодых людей в математические стороны их культуры. Учебная программа по математике, ориентированная на этноматематику культуры учащихся будет отвечать потребностям растущего числа студентов, которые чувствуют себя неудачниками из-за того, что не понимают что-то несколько из них когда-либо будет использоваться, но без которых есть восприятие унылой будущее за ними.
г.

Развитие сообщества учащихся Если мы признаем, что математика культура не свободна, то преподаватели математики могли бы передавать ценности одной культуры при обучении детей многих культур в тот самый класс. Каковы последствия изучения математики для дети, чей культурный опыт игнорируется? Последствия может быть массовое недовольство субъектом из-за культурных конфликтов или неуспеваемость в школе, поскольку у учащихся вырабатываются разные модели понимания математики, основанной на их культурном происхождении и опыте. Пример о важности культурных соображений в обучении упомянул Маллой (1997) в связи с тестовым заданием, решение которого было сочтено неверным, потому что разработчики тестов и студенты сделали разные предположения. Проблема был:

Стоимость проезда в одну сторону составляет 1,50 доллара США. автобус между домом и работой. Еженедельный проездной на автобус стоит 16 долларов. Что лучше договориться, оплатить дневной тариф или купить проездной на неделю? С одной стороны, разработчики испытаний предполагали что только один человек будет использовать проездной на автобус, проездной не будет использоваться по выходным, и что у человека была только одна работа. С другой стороны, многие Студенты-афроамериканцы предположили, что три или четыре человека могут использовать один и тот же проходят в разное время суток или в выходные дни; или, что если один человек использовал пропуск, он или она могли иметь две работы. Поскольку ситуационная математика почти всегда основано на культуре, в мультикультурных условиях следует проявлять осторожность следует включать культурные допущения в формулировку проблемы.
г.

Стратегии интеграции Слушайте студентов

Действительно, наши школьные культуры наши самые доступные и актуальные источники информации для разработки учебных программ. Эффективные классы для афроамериканцев поощряют: высокий уровень взаимодействие, групповое принятие решений, экспрессивность посредством соответствующих время ожидания, физическая близость, признание, обратная связь, зондирование и прослушивание» (Мэллой 1997). Учителя должны участвовать в опыте своих учеников, изучая студенческое сообщество и расширяя сообщество деятельности в классной практике. Алан Бишоп утверждает, что дети создают свою собственную культуру, а не просто управляют культурой своих предки. Следовательно, математическое образование должно быть больше ориентировано на настоящее и будущее, а не прошлое. Мы должны позволить студентам учить нам о культуре, которую они создают так же, как мы учим их основы, на которых строится их культура.

Сторонником этой точки зрения является Дэвид Хендерсон. В течение двадцати лет Хендерсон преподавал младшим и старшим уровням. курсы геометрии для специальностей математики и будущих учителей в Корнелле Университет. В своей статье «Я изучаю математику у своих учеников» он дает примеры новых теорем и доказательств — показанные ему его учениками — нет из которых появились в печати (Henderson 1996). Его стиль преподавания был подобно Р. Х. Бингу из Висконсинского университета, под руководством которого автор тоже учился. Бинг учат без лекций и учебников. Бинг слушал своих учеников и поощрял нас выражать свое понимание и рассуждения своими словами. Используя тот же подход, Хендерсон в конце концов обнаружил, что он учится у своих учеников. Следующая ситуация подтверждает это мнение.

Рассмотрим теорему о вертикальном угле: Если l и l прямые, то угол a равен углу б.

Вставьте сюда рисунок 1

В большинстве учебников доказательство выглядит так: следует:

Если m(a) обозначает меру угла a, то m(a) + m(c) = 180 градусов = m(c) +m(b).

Вычитание, м(с) с обеих сторон, мы заключаем, что m(a) = m(b) и, следовательно, a конгруэнтно b.

Хендерсон вспоминал, что несколько лет назад студент курса геометрии возражал против этого доказательства, потому что угол — это геометрический объект, конгруэнтный другому углу, если можно жестко перемещать один угол до тех пор, пока он не совпадет с другим. Она представила следующее доказательство:

Пусть h — поворот на пол-оборота относительно точки пересечения р. Так как прямые имеют полуоборот симметрия относительно p, h(a) = b. Таким образом, a конгруэнтно b. Первой реакцией Хендерсона было то, что ее аргумент не может быть доказательством. Это было слишком просто и казалось опустить важные части стандартного доказательства. Студент настаивал терпеливо в течение нескольких дней, и его понимание углубилось. Теперь, признает он, ее доказательство кажется ему более убедительным, чем стандартное доказательство.

Хендерсон сделал следующие выводы по изучению математики:

  1. Для того, чтобы он был удовлетворен доказательство, доказательство должно отвечать на его вопросы «почему» и связывать его значения к вовлеченным понятиям; 904:00
  2. Доказательство, которое удовлетворяет кого-то еще может не удовлетворить его, потому что их значения и почему-вопросы были разными от его;
  3. люди, которые больше всего отличаются от меня (например, с точки зрения культурного происхождения и пола), скорее всего, иметь разные значения и, таким образом, иметь разные вопросы «почему» и разные доказательства.
Следствие из (3) — я могу многому научиться математике, слушая людей, чье культурное происхождение или пол отличается от моего. Фактически, Хендерсон определяет мультикультурализм как слушать и учиться у других, у которых разный опыт. Он говорит, что выслушивание чужих доказательств может быть трудным и может потребовать значительных усилий. усилий и терпения с моей стороны. Он отметил, что негры показывали ему больше новых математике, чем любая другая группа.

Хендерсон пришел к выводу, что, возможно, женщины и цветные люди недостаточно представлены в математике, потому что к ним плохо прислушиваются те из нас, кто уже занимается математикой. Продвижение Исследование Чтобы включить интересы учащихся в учебную программу по математике, можно сначала предложить учащимся исследовать действия, наблюдаемые в их собственном окрестности.

И Бишоп, и Гердес подсказывают, где можно поискать ключи к математическому поведению в среде учащихся. — продукты, которые они разрабатывают, как они считают, измеряют, находят, играют и объясняют (Епископ 1988; Гилмер 1990; Гердес 1997).

  • Подсчет — Эта деятельность связана что, как и почему люди считают, и включает в себя различные системы счета разрабатываются группами коренных народов.
  • Поиск — Эта деятельность связана находить дорогу, путешествовать, не заблудившись, и связывать объекты друг к другу. Все общества разработали различные способы кодирования. и символизируют их пространственную среду — пример системы автомобильных дорог США. Однако полученные в результате концепции и объяснения могут отличаться от культура к культуре. 904:00
  • Измерение — Эта деятельность занимается сравнением, упорядочиванием и оценкой. Точность и системы единицы измерения развиваются по отношению к тому, что ценит общество. Пример как определяется стоимость жилья.
  • Проектирование — Эта деятельность касается все предметы и артефакты, которые культуры создают для различных целей из домашняя жизнь и украшение для войны. Спроектированные объекты часто служат моделей для строительства других объектов и являются источниками важных математические идеи, такие как форма, размер, масштаб, отношение, пропорция и многие другие геометрические понятия. 904:00
  • Игра — Играют все культуры. Эта деятельность связана с математикой, когда она формализована в понятие игр. Разработка игр включает в себя поведение, которое регулируется правилами. аналогично математическим критериям, основанным на правилах. Пример оценка углов и расстояний в баскетболе или логика ходы в игре в шахматы.
  • Объяснение . Эта деятельность раскрывает связи между, казалось бы, разными явлениями, позволяющими единство, из которого выводится математическое доказательство. 904:00
Изучая, как различные «этногруппы» в своем сообществе концептуализируют, кодируют и символизируют математические идеи обнаруживаются в этих универсально значимых видах деятельности, учебная программа становится имеет отношение к учащимся в классе очень естественным образом и одновременно многокультурный (Gilmer 1990).

Объясните, что искать

Как было сказано ранее, математические сила включает в себя способность различать и исследовать математические отношения наблюдаемые в паттернах и структурах в собственном окружении — с помощью разнообразие математических методов. Предложите учащимся сначала искать закономерности в изучаемой деятельности и далее для математических соотношений встроенных в этих узорах. Лучше всего это сделать путем систематического изучения частных случаев. путь. В результате этого исследования могут появиться закономерности, которые подскажут идеи. за продолжение работы над задачей (Larson 1983).

Примером такого подхода является авторы исследования причесок в афроамериканских общинах (Гилмер и Портер 1998). Идея заключалась в том, чтобы определить, что такое плетение и плетение волос. предприятие может внести свой вклад в преподавание и изучение математики и что математика может внести свой вклад в предприятие.

Это исследование привело автора к волосам салоны в афроамериканских общинах, где наблюдались парикмахеры на работе. Парикмахеры были опрошены вместе со своими клиентами. Один Случай выявил прямоугольную мозаику кожи головы с использованием узора, который начинался с затылка и увеличивался на один прямоугольник в каждом последовательный ряд от горловины. Узор проиллюстрирован на Рисунок 2а.

ВСТАВЬТЕ РИСУНКИ 2A, 2B И 2C ЗДЕСЬ

На рисунке 2b точки обозначают места исходили косы — примерно в точке пересечения диагоналей из прямоугольников. На вопрос, почему был использован этот узор, парикмахер сказал, что это шаблон заполнения пространства, используемый, чтобы скрыть сторону прямоугольника на предыдущем уровне, где волосы были разделены пробором на голове. См. рисунок 2в. Изучив этот образец заполнения пространства, я понял, что число косичек может быть более справедливой ценовой единицей для плетения волос, чем фиксированная ставка, так как плетение волос трудоемко. Стилисты, опрошенные в исследовании, однако, не имели ни малейшего представления о количестве косичек. Этот можно легко определить математически, используя простую формулу:

S = 2+3+4+…+n = [(n+2)(n-1)]/2

, где S — количество кос и n на единицу больше, чем количество строк.

Следовательно, для четырех вышеприведенных строк общее количество кос

(5+2)(5-1)/2 = 28/2 = 14 . При использовании микрокосичек в прическах, где может быть задействовано более 700 косичек, формула расчета цены за единицу косами может быть особенно полезным при оценке таких стилей.

В другом случае клиенты скальпируют был разбит на треугольники. Пряди волос внутри треугольника были доведены до центра окружности, вписанной в треугольник. При этом положение, плетение началось (см. рис. 3а). Косы, образованные таким образом, говорили менее склонны раскачиваться при движениях головы, чем косички, образованные путем приведения пряди волос в треугольнике к вершине треугольника, которая указывает на пол (См. рис. 3б).

ВСТАВЬТЕ РИСУНОК 3A И 3B ЗДЕСЬ

Тема причесок по математике естественно, когда мы рассматриваем то, что создают культурные группы. Многие стили предполагают интересные геометрические узоры на коже головы в виде спиралей и кругов (Сагай 1983). Многие из таких стилей являются кросс-гендерными и кросс-культурными. Кроме того, эта тема дает представление о некоторых культурных ценностях, которые составляют основу о традициях плетения и плетения волос в афроамериканских общинах. На протяжении поколений афроамериканцам говорили, что «подгузники» — это плохо. и их заставили почувствовать, что единственный способ добиться «хороших» волос — это выпрямить их. Это. Сильные химические вещества и тепловая обработка часто используются для выпрямления волос. В результате поврежденные, нездоровые волосы не будут расти. Клиенты, с которыми мы беседовали чувствовал себя хорошо, имея красивую прическу, не изменяя естественный текстура их волос. Помимо красоты, предприятие по плетению волос — это важным источником дохода для афроамериканцев. В возрасте одиннадцати лет, один стилист сказал, что она была соседской плетельщицей и всегда могла заработать Деньги. Понятия использования времени, ценообразование, затраты на расходные материалы и оборудование все важные источники математических задач для класса получены из этой темы (Гилмер и Портер 1998).

Преимущество студентов Точка

Исследование стилей изучения канадского языка женщины в профессиях и технологиях могут информировать преподавание и обучение афроамериканок в аналогичных областях, а также в математике (Гилмер, 1989). Женщины сообщили, что лучше всего они учатся, если им обзор материала, в ходе которого они могут:

(1) относиться к себе

(2) см. демонстрацию и

(3) переключение между применение и обсуждение.

Они заметили, что их обучение занимает следующую последовательность: (1) Понять ценность того, что Мне нужно выучить;

(2) Послушайте, что мне нужно узнать;

(3) Посмотрите, чему мне нужно научиться;

(4) Говорить о том, что мне нужно узнать;

(5) Делай то, что мне нужно выучить.

Реляционные ученики были одним из трех типы учащихся на уроке. На самом деле 93% оцененных студентов были относительные учащиеся. Чувства задают условие для обучения в этой группе и играть роль в том, как быстро студенты учатся. Сначала эти студенты могут работать, чтобы удовлетворить инструктора. Позже они работают для достижения личных целей. Их обучение вызвано связыванием нового материала с уже известными вещами. Это позволяет им опираться на сдержанные или интуитивные знания. Они полагаются при вербализации для передачи идей, и они лучше всего служат, если они переходят в приложение или практическая работа после того, как некоторая, но не вся информация была представлены. Применение делает обучение конкретным для реляционных учащихся.

Учащиеся в этом исследовании были классифицированы на основе трех способностей — ментальной, реляционной или эмоциональной, и физ. Считалось, что ментально ориентированные учащиеся сосредотачиваются на идеях и полагаться на навыки артикуляции, чтобы передать то, что выучили. Для них инструкция не обязательно должны соответствовать их повседневному опыту. Психологически ориентированные инструкторы Говорят, что в обучении они полагаются на вербальные навыки, лекции и анализ. В В колледже Фаншоу, месте проведения канадского исследования, не было учащиеся среди студентов и преподавателей оцениваются. Тем не менее, в исследовании отмечается что ментально-центрированные формы обучения были широко приняты учителями, большинство из которых не являются ментально-центрированными учениками. Это может иметь серьезные влияние на качество преподавания.

Семь процентов учащихся, получивших оценку были физическими учениками. Члены этой группы предпочитают краткие, упорядоченные, лаконичные презентации материала или направления. Они методично применяют полученные знания. Они учатся, делая и получая достаточно времени, чтобы придерживаться задачи, пока это завершено. Они учатся через повторение и хорошо работают над деталями. Для этих учащихся важно чувство принадлежности к группе. Такой учащиеся могут быть хороши в математике и естественных науках. Большинство японцев а китайские учащиеся, как говорят, физически сосредоточены.

Эти три типа учащихся различаются в основном при первичной обработке информации. Одна группа обрабатывает с умственной энергией, другой с интерактивной энергией, а третий с помощью энергия тела и действия. В исследовании делается вывод о том, что относительно и физически сосредоточенные учащиеся в нетрадиционных программах могли бы хорошо обслуживаться за счет использования интерактивных стилей обучения и практических приложений в начале процесса обучения, с движением вперед и назад по теории, обсуждение и применение. Этот процесс обучения может также служить африканским Американские женщины хорошо изучают математику!
г.

Проблемы инклюзивных сообществ Люди, которые получают статус от своего Детям, хорошо успевающим в школе, не нравится мысль о том, что другие дети успевают могут подняться до уровня собственных детей (Kohn 1998). Они не обеспокоены тем, что все дети учатся, но учатся их дети. Они видят школа не как место для обучения, а как место для накопления знаний. Часто это преимущественно белые родители из среднего класса с высокими достижениями. ученики. Эти родители могут быть одними из самых откровенных сообществ и влиятельные члены Они научились работать в рамках закона и как умело пользоваться законом.

Они обычно участвуют в трех типы разногласий: (1) тип обучения, (2) размещение студентов, и (3) системы наград. Вместо инструкции, ведущей к активному открытию и решение проблем сообществом учащихся, как указано в NCTM. стандарты, эти родители выступают за возвращение к навыкам и тренировке математики учебная программа и индивидуалистическая конкурентная модель аттестации школы которые могут улучшить результаты SAT их детей, тем самым улучшив их принятие в самые элитные колледжи. Имея значительную политическую власть, они бороться с усилиями по созданию более разнородных и инклюзивных классов — предпочитая вместо этого группировка способностей, программы для одаренных и талантливых, курсы с отличием и система слежения, которая удерживает практически каждого цветного ребенка от продвинутые классы. В Сан-Диего, Калифорния, они решительно выступили против программы оказывать слабоуспевающим учащимся поддержку, которая поможет им добиться успеха на курсах более высокого уровня. Наконец, они отдают предпочтение методам, отличающим одного ученика от другого, например буквенные оценки, взвешенные оценки, честь списки и классные звания, так что лишь немногие будут признаны на церемониях награждения. Например, в Буффало, штат Нью-Йорк, родители лучших учеников раздавили попытка заменить буквенные оценки стандартными отчетами о проделанной работе. Возможно, их повестка дня имеет мало общего с удовлетворением потребностей детей. Что остается непризнанным некоторыми привилегированными родителями, так это то, что это обогащение такие как практическое обучение, разработанные учащимися проекты, компьютеры и полевые поездки, а не выборочные размещения, которые дают лучшие результаты для их дети.

Комментируя убеждение, что элите 20% наплевать на остальные 80%, т.к. пока жизнь хороша для них и их детей, отметил Thacher (1997). что на Востоке азиатские страны меньше внимания уделяют навыкам в начальной школе образования, чем на социальном сотрудничестве. Преподавание в Японии и Китае ставит основной акцент на важности обучения детей младшего возраста для работы вместе через социальные пропасти. Эти школы по большей части избегают отслеживания в первые годы. Большое внимание уделяется навыкам и академическим результатам. задерживается на более продвинутых этапах обучения. В собственной школе китаец миссионеры в 1930-е годы принесли сбалансированный акцент на тяжелую работу и социализация. Они были глубоко убеждены, что детство — это конец жизни. сам. Тэчер утверждает, что перед лицом материалистической культуры они удалось внедрить эти ценности простоты и дружелюбия в школы заявление о миссии, — «как бы радикально они ни звучали для богатых родители из пригорода». Кроме того, они смогли цепляться за эти ценности с тех пор». Такие ценности необходимы сегодня, чтобы преодолеть многочисленные препятствия для развития сообщества учащихся.
г.

Выводы Образовательная философия Кларенса Стивенс — один из моих студенческих наставников в Исторически Черный Морган. Государственный университет в Балтиморе, штат Мэриленд, оказал глубокое влияние на мою собственную карьера. Он бросил вызов своим ученикам, чтобы узнать, как учиться, потому что он считал мы можем столкнуться с учителями, которые не смогли бы научить нас. Он предупредил учителей на математическом отделении приостановить недоверие по отношению к студентам чьи прошлые рекорды были ничем не примечательны и вдохновляли всех студентов достичь на более высоком уровне. Он утверждал, что секрет привлечения студентов чтобы добиться успеха, нужно поддерживать моральный дух. Наконец он почувствовал, что в эффективном обучении Сообщество должно оказывать полную поддержку как ученикам, так и учителям.

Разработать концепцию Стивенса эффективного учебного сообщества, я считаю, что школьное сообщество должно разработать стратегию, чтобы поощрять, бросать вызов и обучать своих членов, чтобы знать друг друга. В частности, школьное сообщество должно иметь план обеспечения равноправная поддержка маргинализированных учащихся. Родителям обычно не хватает богатство, уверенность в себе или политическая смекалка должны быть обеспечены знаниями и навыки, которые сделают их более эффективными защитниками самих себя и их дети.

Расширение прав и возможностей учащихся включает рассмотрение их убеждения о себе и своей среде обучения и их активное участие в совместном создании своей учебной среды. Учебный подходы как Стивенса, так и Хендерсона расширяют возможности студентов. Конкретно, эти подходы позволяют каждому понять и уважать чужие знания и способы познания.

Таким образом учащиеся развивают уверенность в математике. Две важные составляющие уверенности в себе являются: (1) оценка математики как важного для успеха в жизни; а также, (2) осознание того, что у человека есть способность добиться успеха в математике (Флинер, и др. ). Математическая сила, необходимая для развития уверенности в себе включает в себя способность различать и исследовать математические отношения наблюдаемые в паттернах и структурах в собственном окружении — с помощью разнообразие математических методов. Таким образом можно рассматривать математику как процесс ознакомления молодых людей с математическими аспектами их культура.

Каталожные номера АМС. Заявление о национальной политике 94-95. Вашингтон, округ Колумбия: Американское математическое общество, 1994.

Бартон, Билл, этноматематика и Изменение учебного плана. неопубликованная статья, декабрь 1985 г.

Бишоп, Алан. «Математическое образование в его культурном контексте». Образовательные исследования по математике. 19 (1988) 179–191.

Брукс, Кэрол. Работа с женщиной Реляционные учащиеся в обучении технологиям и торговле. Лондон, Онтарио: Фэншон Колледж, 1986 год.

Бак, Р.К., «Цели по математике Инструкция», The American Mathematical Monthly, 72 (19 ноября).65) 949-956.

Флинер, М. Джейн и др., «Изучение и изменение взглядов на преподавание и изучение математики», Mathematics Преподавание в средней школе, 3 (сентябрь 1997 г. ): 40-43.

Гердес, Паулюс, «О культуре, геометрические Обучение мышлению и математике». Этноматематика: бросая вызов европоцентризму. в области математического образования под редакцией Артура Б. Пауэлла и Мэрилин Франкенштейн, Олбани, Нью-Йорк: State University of New York Press, 19.97.

Гилмер, Глория Ф. Социокультурное влияние по обучению, американские взгляды на Пятый международный конгресс по математическому образованию (ICME 5) Под редакцией Уоррена Пейджа. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, январь 1985 г.

______»Заставить математику работать на Афроамериканцы с точки зрения практика». Создание математики Работа для меньшинств: сборник документов, подготовленных для региональных семинаров, Вашингтон, округ Колумбия: Совет по образованию математических наук, 19.89. С. 100-104.

______ и Мэри Портер. «Прически Поговорите о хите на NCTM. Информационный бюллетень Международной исследовательской группы по этноматематике, 13 (май 1998 г. ) 2, стр. 5-6.

_______ «Этноматематический подход к Разработка учебных программ», Международная исследовательская группа по этноматематике. Информационный бюллетень, 5 (май 1990 г.) 2, стр. 4-5.

_______ и Уильямс, Скотт В. «Ан Интервью с Кларенсом Стивенсом». UME Trends. Март 1990 г.

Хендерсон, Дэвид В. «Я изучаю математику от моих учеников». Для изучения математики. Ванкувер: FLM Publishing. Ассоциация 16 (июнь 1996 г.) 46-52.

Джейкобс, Джудит Э. и Беккер, Джоанн Росси, «Создание гендерно-справедливого мультикультурного класса с использованием феминистских Педагогика. Мультикультурное и гендерное равенство. (Ред.) Маргарет Кенни. Национальный Совет учителей математики, Inc. Рестон, Вирджиния. 1997. С. 107-114.

Кеншафт, Патрисия и Кит, Сандра (Эд) Привлечение женщин к математике. Вашингтон, округ Колумбия: математический Ассоциация Америки, стр. 8, 22,39.,40,47,49.

Кон, Алфи. «Только мой ребенок: как привилегирован Родители подрывают школьную реформу». Phi Delta Kappan, апрель 1998 г., стр. 569. — 577.

Ларсон, Лорен С. Решение проблем Через Проблемы. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1983.

Маллой, Кэрол Э., «Включая африканских Американские студенты в математическом сообществе». Мультикультурный и гендерный Беспристрастность. (Ред.) Маргарет Кенни. Национальный совет учителей математики, Инк Рестон, Вирджиния. 1997. стр. 23-33.

Масингила, Джоанна О. «Использование этноматематики» как инструмент в классе». Мультикультурное и гендерное равенство. (Ред.) Маргарет Кенни. Национальный совет учителей математики, Inc. Рестон, Вирджиния. 1997. с. 115-120.

НКТМ. Учебный план и стандарты оценки по школьной математике. Рестон, Вирджиния: Национальный совет учителей математики, 1989. С. 5-6.

Тэчер, Николас С. «Директор Размышления: заметки с Международной конференции директоров начальных школ». Неделя образования. 3 декабря 1997, с.39.

Вик, Кэтрин и Кеншафт, Патрисия, «Скетчи о микронеравенстве, побуждающие к разговору о гендерных проблемах».

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.