Эдвард лоренц теория хаоса – Теория хаоса

Содержание

Теория хаоса и другие явления, ставшие научными открытиями

Спецпроекты ЛГ / Научная среда / Теории, которые изменили мир

Прощайте, Ньютон и Эйнштейн!

Теория хаоса – это наука о сложных нелинейных динамических системах. Что такое сложные – вроде бы понятно. Динамические – это которые непостоянные и неповторяющиеся, то есть непериодические. А нелинейные – вздохните глубже – это рекурсивные системы.

Что такое рекурсия? Вот в фильме «12 друзей Оушена» Джулия Робертс сыграла героиню, которая по фильму в течение некоторого времени играла Джулию Робертс. Это упрощённый пример, потому что для того, чтобы понять рекурсию, надо сначала понять рекурсию (эта фраза рекурсивна!).

Теория хаоса окончательно добила классическую физику Ньютона и релятивистскую физику Эйнштейна, о которых мы рассказали выше. Возможно, Ньютон и Эйнштейн предчувствовали, что с их творениями так поступят, и поэтому большую часть жизни занимались изысканиями неведомой и поныне супертеории, которая упорядочила бы мировую науку раз и навсегда.

Вот как выразил сущность теории хаоса, которую можно назвать теорией нестабильности нобелевский лауреат Илья Пригожин, франко-американский учёный, семья которого в 1917 году эмигрировала из России.

«Если взять устойчивый маятник и раскачать его, то дальнейший ход событий можно предсказать однозначно: груз вернётся к состоянию с минимумом колебаний, т.е. к состоянию покоя. Если же груз находится в верхней точке, то в принципе невозможно предсказать, упадёт он вправо или влево. Направление падения здесь существенным образом зависит от флюктуации. Так что в одном случае ситуация в принципе предсказуема, а в другом – нет, и именно в этом пункте в полный рост встаёт проблема детерминизма. При малых колебаниях маятник – детерминистический объект, и мы в точности знаем, что должно произойти. Напротив, проблемы, связанные с маятником, если можно так выразиться, перевёрнутым с ног на голову, содержат представления о недетерминистическом объекте.

Это различие между детерминистическими законами природы и законами, не являющимися таковыми, ведёт нас к более общим проблемам…»

Хаос – это вовсе не синоним беспорядка. Это такое состояние чего-либо, когда от малейшего вздоха или взмаха крылышек какой-нибудь козявки (к козявкам мы ещё вернёмся) меняется, ломается и рушится что-то огромное и величественное и далее пребывает в состоянии сложности, нелинейности и динамичности.

Вплоть до 1960-х годов многие учёные считали, что динамическая система, описываемая простыми уравнениями, должна вести себя относительно просто, хотя уже более столетия было известно, что это верно лишь в некоторых, весьма специальных случаях, таких как Солнечная система. Однако к 1980 году математики и естествоиспытатели обнаружили, что хаос вездесущ.

Пример хаотического поведения из повседневной жизни – движение жидкости в миксере. Это устройство подчиняется простым механическим законам: его нож-смеситель вращается с постоянной скоростью, и взаимодействие жидкости с ножом внутри миксера можно описать простыми детерминистическими уравнениями. Однако возникающее при этом движение жидкости весьма сложно. Её соседние области рассекаются ножом и разделяются, а отдалённые области могут сближаться. Короче говоря, жидкость перемешивается – для этого миксеры и предназначены.

Выражение «теория хаоса» используется преимущественно в популярной литературе. Специалисты же рассматривают эту дисциплину как раздел теории динамических систем.

Фракталы и аттракторы

Все рассказы о теории хаоса довольно хаотичны или по меньшей мере не слишком логичны. Отцом теории хаоса считается американский метеоролог Эдвард Лоренц. «Ещё мальчиком я любил проделывать разные штуки с цифрами, кроме того, меня завораживали погодные явления», – вспоминал Лоренц. Всё это помогло ему сделать важнейшее открытие. Он создал компьютерную модель земной атмосферы, которая показала, что небольшие изменения, происходящие в атмосфере или аналогичных ей моделях, могут приводить к обширным и неожиданным последствиям.

В 1972 году Лоренц опубликовал научную статью, заглавие которой стало нарицательным. Она называлась «О возможности предсказаний: может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?». Эта формулировка иллюстрирует суть теории хаоса, которая сейчас играет важную роль едва ли не во многих областях современной науки.

«Показав, что сложные системы со множеством причинно-следственных связей имеют порог предсказуемости, Эд забил последний гвоздь в гроб вселенной Декарта и произвёл то, что многие называют третьей научной революцией XX века после теории относительности и квантовой физики», – сказал о Лоренце Керри Эмануэль, профессор метеорологии из Массачусетского технологического института.

Лоренц открыл и первый «странный аттрактор». Просто аттрактор – это область притяжения фазовых траекторий. То есть место, куда стягиваются «свободные частицы». Аттрактор для простого маятника – нижняя точка его траектории. Покачается и остановится. А странный аттрактор – это такая точка притяжения, из которой система попадает неведомо куда. И ещё потом долго, извините за выражение, «колбасится». Кстати, любая революция – типичный странный аттрактор.

На самом деле у теории хаоса было не меньше дюжины отцов. Одних из них признают за таковых, но отодвигают в тень распиаренного метеоролога с его бабочкой. А других¸ например, нобелевского лауреата Илью Пригожина вообще ранжируют по другой отрасли. Но, впрочем, обо всём по порядку.

Впервые проблемы хаотического движения стал исследовать Анри Пуанкаре, положивший начало ещё и теории катастроф, близкой родственницы теории хаоса. Его дело продолжил Жак Адамар, написавший статью под говорящим названием «Бильярд Адамара». В ней он описал хаотическое блуждание «свободных частиц», воспользовавшись методами русского математика Ляпунова, который также может считаться одним из отцов теории хаоса.

В самом начале теория хаоса была эргодической. Эргодический подход очень наглядно описал ещё один родоначальник и творец теории хаоса великий математик Владимир Арнольд: если вы хотите понять, как высоко вырастет маленькая ёлка, которую вы увидели в лесу, то не обязательно сидеть и ждать двадцать лет. Достаточно посмотреть на соседние взрослые ели. Вот и первые исследователи хаоса, не в силах уследить за суетливыми «свободными частицами», наблюдали поведение в целом всей нелинейной системы.

После Второй мировой войны к изучению хаоса подключились ведущие математики мира, первым среди которых стоит гениальный советский математик академик Андрей Колмогоров, один из величайших учёных прошлого века.

Колмогоров моделировал динамику превращения ламинарного течения жидкости в турбулентное, то есть вихревое. Это было необходимо для аэродинамических экспериментов. Учёный создал математическую модель динамики вихрей, рассматривая их во всё меньшем и меньшем масштабе, до тех пор пока вихри не стали совсем крошечными, когда вязкость жидкости уже на них не влияла. Колмогоров предположил, что вся жидкость состоит из одинаковых маленьких вихревых потоков, то есть однородна. Такая модель дала некоторое продвижение в исследованиях, но в дальнейшем пришлось принять модель Пуанкаре, который, наблюдая течение бурной речки, установил, что вихри не вездесущи, а основная часть потока спокойна. Таким образом, модель однородной жидкости сменилась моделью прерывистости. Следующим шагом была теория советского физика Льва Ландау. Модель Ландау – это нагромождение конкурирующих между собой вихрей. Огромный вклад в науку внесла знаменитая теория КАМ (Колмогорова, Арнольда и Мозера), названная так в честь её создателей Андрея Колмогорова, Владимира Арнольда и Юргена Мозера. Эта теория затрагивала вопросы устойчивости динамических систем, одной из которых, как известно, является Солнечная система.

Тем не менее работа над этой тематикой продвигалась не очень легко, вплоть до появления первых компьютеров.

Именно компьютерное моделирование помогло Лоренцу увидеть тот самый эффект бабочки. А талантливый вундеркинд Бенуа Мандельбро открыл с помощью компьютера совершенно необычные объекты – фракталы. Самый простой фрактал – береговая линия на карте. Сколько ни меняй масштаб карты, линия берега всегда будет изрезанной и витиеватой, то есть фрактальной. Снежинки – тоже фракталы. Если обобщить, то фракталом называется объект, изображения которого постоянны в любых масштабах.

Мандельбро написал книгу «Фрактальная геометрия природы», которая стала классическим описанием теории хаоса. Кто хочет посмотреть живьём на пресловутую рекурсию, может полюбоваться фотографиями фракталов Мандельбро. Фрактально устроены, кстати, кровеносная и бронхиальная системы людей и животных.

Во второй половине XX века теорию хаоса стали применять в самых различных областях – ею пытались объяснить различные процессы и явления: землетрясения, солнечные всплески, колебания в экономических системах, формирование ландшафта, лесные пожары, оползни, эпидемии, биологическую эволюцию и даже возникновение войн.

Илья Пригожин – философ нестабильности

Илья Романович Пригожин

Великий учёный прошлого века Илья Романович Пригожин получил Нобелевскую премию 1977 года по химии за работы по термодинамике необратимых процессов, особенно за теорию диссипативных структур.

Теорию диссипативных систем в России называют синергетикой, в Америке – теорией сложности, но в сущности это всё та же теория хаоса. Просто как во всякой молодой научной дисциплине, мы здесь имеем дело с ещё не сложившейся терминологией.

Заслуга Пригожина ещё и в том, что он проанализировал культурологическое значение новейших научных течений и связал их с эволюцией идеологий и взглядов величайших учёных прошлого:

«Для того чтобы понять идущие в современной науке процессы, необходимо принять во внимание, что наука – культурный феномен, складывающийся в определённом культурном контексте. Иллюстрацией этому может служить, например, дискуссия между Лейбницем и Кларком, представлявшим в их споре взгляды Ньютона. Лейбниц упрекает Ньютона в том, что его представление об универсуме предполагает периодическое вмешательство Бога в устройство мироздания ради улучшения функционирования последнего. Ньютон, по его мнению, недостаточно почитает Бога, поскольку искусность Верховного Творца у него оказывается ниже даже искусности часовщика, способного раз и навсегда сообщить своему механизму движение и заставить его работать без дополнительных переделок.

Лейбницевские представления об универсуме одержали победу над ньютонианскими. Лейбниц апеллировал к всеведению вездесущего Бога, которому вовсе нет никакой нужды специально обращать своё внимание на Землю. И он верил при этом, что наука когда-нибудь достигнет такого же всеведения, – учёный приблизится к знанию, равному божественному. Для божественного же знания нет различия между прошлым и будущим, ибо всё присутствует во всеведущем разуме. Время с этой точки зрения элиминируется неизбежно, и сам факт его исключения становится свидетельством того, что человек приблизился к квазибожественному знанию.

Высказанные Лейбницем утверждения принадлежат к базовому уровню идеологии классической науки, сделавшей именно устойчивый маятник объектом научного интереса, – неустойчивый маятник в контексте этой идеологии предстаёт как неестественное образование, упоминаемое только в качестве любопытного курьёза (а по возможности вообще исключаемое из научного рассмотрения). Но изложенная концепция вечности грешила тем, что в ней не оставалось места для уникальных событий (впрочем, и в ньютоновском подходе не было места для новаций). Материя, согласно этой концепции, представляет собой вечно движущуюся массу, лишённую каких бы то ни было событий и, естественно, истории. История же, таким образом, оказывается вне материи. Так исключение нестабильности, обращение к детерминизму и отрицание времени породили два противоположных способа видения универсума:

– универсум как внешний мир, являющийся в конечном счёте регулируемым автоматом (именно так и представлял его себе Лейбниц), находящимся в бесконечном движении;

– универсум как внутренний мир человека, настолько отличающийся от внешнего, что это позволило Бергсону сказать о нём: «Я полагаю, что творческие импульсы сопровождают каждое мгновение нашей жизни».

Действительно, любые человеческие и социальные взаимодействия, а также вся литературная деятельность являются выражением неопределённости в отношении будущего. Но сегодня, когда физики пытаются конструктивно включить нестабильность в картину универсума, наблюдается сближение внутреннего и внешнего миров, что, возможно, является одним из важнейших культурных событий нашего времени».

Позвольте этой великолепной цитатой знаменитого учёного закончить наш краткий рассказ о величайших научных теориях, изменивших мир и мировоззрение человечества.

lgz.ru

Памяти Эдварда Нортона Лоренца: Наука и техника: Lenta.ru

В 1961 году метеоролог и математик Эдвард Лоренц, скончавшийся 16 апреля 2008 года, ввел в созданную им компьютерную модель погоды данные, округлив их не до шестого, а до третьего знака после запятой. В результате был сформулирован эффект бабочки, открыт один из странных аттракторов, обнаружена непредсказуемость поведения многих детерминированных систем и, в конечном итоге, создана теория хаоса.

Предыстория: демон Лапласа

В 1814 великий французский ученый Пьер-Симон Лаплас создал демона, которому суждено было на много лет стать предметом научных дискуссий. Вымышленный демон знал положение и скорость каждой частицы во Вселенной в каждый момент времени и, владея всеми физическими законами, мог предсказать будущее каждой частицы и описать ее прошлое.

Вопрос: мыслим ли такой демон хотя бы теоретически? Успехи науки Нового времени наводили на мысль, что да: орбиты планет были рассчитаны, появления комет – предсказаны, случайные события – описаны теорией вероятности.

В дальнейшем, однако, демон Лапласа подвергся жесткой критике. После развития квантовой механики и открытия принципа неопределенности Гейзенберга (нельзя точно измерить одновременно скорость и координаты частицы) стало понятно, что квантовые системы демону неподвластны: в них есть принципиальная непредсказуемость.

Впоследствии также отмечалось, что существование демона противоречило бы законам термодинамики, что ему в принципе не хватило бы для знаний и вычислений информационных мощностей, даже используй он все ресурсы Вселенной.

Однако демон не сдал позиции полностью. В самом деле, представим себе полностью детерминированную (предопределенную, лишенную случайности) систему (классическую, без квантовых эффектов). Если мы знаем все законы, управляющие ее поведением (будь они сколь угодно сложны), знаем все необходимые параметры и обладаем необходимыми вычислительными мощностями (то есть под рукой есть демон Лапласа – читай: суперкомпьютер), то уж для такой-то системы мы сможем полностью предсказать поведение?

Есть одна оговорка. Все наши измерения будут содержать какую-нибудь ошибку. Переменные, хранящиеся в памяти компьютера, будут иметь ограниченную точность. То есть придется пользоваться приблизительными данными. Ну и ладно: нам не нужна бесконечная точность, вполне достаточно приблизительных предсказаний. Исходные данные содержат ошибку в пятом знаке? Ошибка предсказания в пятом знаке нас вполне устроит.

Итак, можно ли, например, предсказывать погоду? Хотя бы примерно? Хотя бы на каком-то ограниченном участке, но на более-менее приличный срок?

Три знака после запятой

Эдвард Лоренц с детства увлекался погодой и математикой. Во время Второй мировой войны стал метеорологом ВВС США, после продолжил изучать теоретические основы метеорологии в Массачусетском технологическом институте, а также стал заниматься довольно экзотическим по тем временам делом – пытаться научиться прогнозировать погоду с помощью компьютерных моделей.

Эдвард Лоренц. Фото с сайта Американского физического института.

Lenta.ru

В его распоряжении находилась вычислительная машина Royal McBee. В 1960 году Лоренц создал упрощенную модель погоды. Модель представляла собой набор чисел, описывавший значение нескольких переменных (температуры, атмосферного давления, скорости ветра) в данный момент времени. Лоренц выбрал двенадцать уравнений, описывавших связь между этими переменными. Значение переменных в следующий момент времени зависело от их значения в предыдущий момент и рассчитывалось по этим уравнениям. Таким образом, модель была полностью детерминирована.

Коллеги Лоренца от модели пришли в восторг. Машине скармливались несколько чисел, она начинала выдавать ряды чисел (впоследствии Лоренц научил ее рисовать несложные графики), описывающие погоду в некотором воображаемом мире. Числа не повторялись – они порой почти повторялись, система как будто воспроизводила старое свое состояние, но не полностью, циклов не возникало. Словом, искусственная погода была плохо предсказуема, причем характер этой непредсказуемости (апериодичность) был примерно такой же, какой и у погоды за окном. Студенты и преподаватели заключали пари, пытаясь угадать, каким будет состояние модели в следующий момент.

Зимой 1961 года Лоренц решил подробнее изучить уже построенный машиной график изменения одной из переменных. В качестве начальных данных он ввел значения переменных из середины графика и вышел отдохнуть. Машина должна была бы точно воспроизвести вторую половину графика и продолжить строить его дальше. Однако вернувшись, Лоренц обнаружил совершенно другой график. Если в начале он еще более-менее повторял первый, то к концу не имел с ним ничего общего.

Расхождение двух графиков погоды, берущих начало из одной точки. Распечатка Лоренца 1961 года, воспроизведенная в книге Джеймса Глейка «Хаос: Создание новой науки» (СПб., «Амфора», 2001).

Lenta.ru

Получалось, что модель, из которой полностью устранена случайность, при одних и тех же начальных значениях выдает совершенно разные результаты. Машина не сломалась и считала все правильно, Лоренц не опечатался при вводе данных.

Разгадка нашлась довольно быстро: в памяти машины значения переменных хранились с точностью до шести знаков после запятой (…,506217), а на распечатку выдавалось только три (…,506). Лоренц, разумеется, ввел округленные значения, резонно предположив, что такой точности вполне достаточно.

Оказалось, что нет. «…овалились маленькие костяшки домино… большие костяшки… огромные костяшки, соединенные цепью неисчислимых лет, составляющих Время», – написал в 1952 году в знаменитом рассказе «И грянул гром» Рэй Брэдбери. Примерно это же произошло в модели Лоренца. Система оказалась исключительно чувствительной к малейшим воздействиям на нее.

Эффект бабочки

Это наблюдение, вкупе со многими другими открытиями, привело к подробному изучению детерминированного хаоса – иррегулярного и непредсказуемого поведения детерминистских нелинейных динамических систем (определение Родерика Дженсена из Йельского университета), явно беспорядочного, повторяющегося поведения в простой детерминистской системе, похожей на работающие часы (определение Брюса Стюарта из Брукхевенской национальной лаборатории США).

Откуда в детерминированной системе хаос и непредсказуемость? От сильной чувствительности к начальным условиям. Малейшее воздействие, от которого невозможно избавиться – округление переменной (если это теоретическая модель), ошибка измерения (если это исследование реальной системы) – и система ведет себя совершенно по-другому.

Лоренц приводил наглядный пример: если погода действительно относится к классу настолько чувствительных систем (разумеется, не все системы такие), то взмах крыльев чайки может вызвать заметные изменения погоды. Впоследствии чайка была заменена бабочкой, а в 1972 году появилась работа «Предсказуемость: может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?».

Так родился знаменитый термин «эффект бабочки», отсылавший и к рассказу Брэдбери и, удивительным образом, к следующему открытию Лоренца – странному аттрактору, названному в его честь.

Неожиданная структура

На первый взгляд, открытие относилось скорее к разряду плохих новостей: многие системы, несмотря на кажущуюся детерминированность, ведут себя совершенно непредсказуемо. Однако Лоренц не остановился на достигнутом и стал искать порядок в случайности. Казалось, где-то он должен быть: ведь неслучайно система демонстрировала апериодическое поведение, почти повторяя время от времени уже возникавшее ранее состояние.

Лоренц построил похожую, но более простую модель из трех уравнений с тремя переменными. Модель описывала конвекцию в газе и жидкости, а также поведение несложного механического устройства – водяного колеса Лоренца (см. иллюстрацию). Под напором воды, наполняющей емкости (и вытекающей из них сквозь небольшие отверстия), колесо ведет себя удивительно сложным образом: замедляет вращение, ускоряет его, начинает вращаться в другую сторону, останавливается – в общем, как и положено уважающей себя хаотической системе.

Водяное колесо Лоренца. Изображение с сайта ast.cam.ac.uk. Кликните на картинку, чтобы увидеть ее целиком.

Lenta.ru

Уравнения выглядели следующим образом
dx/dt = s(y — x)
dy/dt = x(r — z) — y
dz/dt = xy — bz
s=10, r=28, b=8/3. Можно брать и другие значения параметров, однако не при всех система будет демонстрировать хаотическое поведение.

Для наглядного отображения поведения системы Лоренц использовал не обычный временной график, а фазовый портрет. Три числа, описывающие состояние системы, обозначали координаты точки в трехмерном пространстве. С каждым шагом на фазовом портрете появлялась новая точка.

Если бы система рано или поздно приходила к полной устойчивости, добавление точек рано или поздно должно было полностью остановиться. Если бы она приходила к периодическим колебаниям, линия из точек образовала бы кольцо. Наконец, если в поведении системы не было бы вообще никаких закономерностей, на фазовом портрете могло бы появиться что угодно.

Результат оказался совершенно неожиданным. Объект, который появился на портрете (см. главную иллюстрацию), располагался в определенных границах, не пересекая их. Он обладал определенной структурой – напоминал два крыла бабочки – но в ее пределах был совершенно неупорядочен. Он не прекращал «развиваться»: ни одна новая точка не совпадала с предыдущей, фазовый портрет можно было строить бесконечно. Переход от одного из крыльев к другому соответствовал началу вращения колеса в другую сторону.

Такие объекты – странные аттракторы – сыграли большую роль во фрактальной геометрии и теории хаоса. «Крылья бабочки» получили название «аттрактор Лоренца».

Эффект бабочки: фазовые портреты для трех моментов времени. Желтая и синяя линия представляют собой траектории, соответствующие начальным наборам данных, в которых значения x отличались на 10^-5. Сначала линии почти совпадают (желтая закрывает с

Lenta.ru

Теория хаоса

Наблюдения Лоренца заставляют пережить два шока. Первый – оказывается, демон Лапласа может быть бессильным даже перед не очень сложной детерминированной системой. Там, где все, казалось бы, предопределено, неожиданно возникает хаос.

Второй шок – в этом хаосе, оказывается, спрятан порядок. Неожиданный, странный, плохо понятный, представляющий собой «тонкую структуру, таящуюся в беспорядочном потоке информации» (Дж. Глейк), но тем более интересный. Аттрактор Лоренца не решает проблемы предсказания, но уже само его существование достойно изучения.

Поисками подобных проявлений порядка в хаосе и занимается сравнительно молодая наука – теория хаоса. Она возникла не мгновенно и не имеет одного создателя. Ее основы были заложены в работах Пуанкаре, Колмогорова, Арнольда, Ляпунова, Ландау, Смэйла, Мандельброта, Фейгенбаума и десятков других талантливых ученых, либо увидевших то, что до них никто не видел, либо сумевших описать то, что увидели другие.

Одним же из ключевых моментов (далеко не сразу, кстати, оцененным по достоинству) в ее возникновении считается день, когда Эдвард Нортон Лоренц, любитель погоды и упорный искатель странного, ввел в свою модель значения переменных, округленные до трех знаков после запятой.

lenta.ru

Теория хаоса и другие явления, ставшие научными открытиями

Спецпроекты ЛГ / Научная среда / Теории, которые изменили мир

Прощайте, Ньютон и Эйнштейн!

Фракталы и аттракторы

Тем не менее работа над этой тематикой продвигалась не очень легко, вплоть до появления первых компьютеров.

Илья Пригожин – философ нестабильности

Илья Романович Пригожин

lgz.ru

Теория хаоса

Крыкина К. А.

студентки 2 курса, по специальности «Экономика предприятия» НИИЭМ

Одесская национальная академия связи им. А. С. Попова

Введение. В 1972 году американский метеоролог Эдвард Лоренц опубликовал научную статью, заглавие которой стало нарицательным. Она называлась «О возможности предсказаний: может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?». В своей статье он показал, что сложные системы с множеством причинно-следственных связей имеют порог предсказуемости, и таким образом, он забил последний гвоздь в гроб вселенной Декарта и произвёл то, что многие называют третьей научной революцией XX века после теории относительности и квантовой физики. Эдвард Лоренц стал отцом нового подхода в изучении сложных нелинейных динамических систем — Теории хаоса, которая сейчас играет важную роль во многих сферах, включая метеорологию,физику, инженерию, экономику, биологию и философию.

Целью данной работы является определение сущности и особенностей Теории хаоса, а также ее роли в развитии современных областей знаний.

Основная часть. Теория хаоса в последнее время является одним из самых модных подходов к исследованию рынка. К сожалению, точного математического определения понятия хаос пока не существует. Сейчас зачастую хаос определяют как крайнюю непредсказуемость постоянного нелинейного и нерегулярного сложного движения, возникающую в динамической системе.

Первые элементы теории хаоса появились еще в XIX веке, однако подлинное научное развитие эта теория получила во второй половине XX века, вместе с работами, раннее нами упомянутого, Эдварда Лоренца из Массачусетского технологического института. Эдвард Лоренц в свое время рассматривал, в чем возникает трудность при прогнозировании погоды. До работы Лоренца в мире науки господствовало два мнения относительно возможности точного прогнозирования погоды на бесконечно длительный срок. Первый подход сформулировал еще в 1776 году французский математик Пьер Симон Лаплас. Лаплас заявил, что «…если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами во Вселенной, то он сможет установить соответствующее положение, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в прошлом или в будущем». [5] Таким образом, Лаплас и его сторонники говорили, что для точного прогнозирования погоды необходимо только собрать больше информации обо всех частицах во Вселенной, их местоположении, скорости, массе, направлении движения, ускорении и т.п. Лаплас думал, чем больше человек будет знать, тем точнее будет его прогноз относительно будущего. Второй подход к возможности прогнозирования погоды раньше всех наиболее четко сформулировал другой французский математик, Жюль Анри Пуанкаре. В 1903 году он сказал: «Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно. Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам требуется, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так; может случиться, что малые различия в начальных условиях вызовут очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая». [4]

В этих словах Пуанкаре мы находим постулат теории хаоса о зависимости от начальных условий. Это первый вывод из теории хаоса. То, что оказалось верным для погоды, в равной степени оказалось верным для большинства физических и экономических систем как макроуровня, так и микроуровня.

Не смотря на это, работа над Теорией хаоса продвигалась не очень легко, вплоть до появления первых компьютеров. Именно компьютерное моделирование помогло Лоренцу увидеть тот самый эффект бабочки.

Эффект бабочки — термин в естественных науках, обозначающий свойство некоторых хаотичных систем. Незначительное влияние на систему может иметь большие и непредсказуемые эффекты где-нибудь в другом месте и в другое время.

Открытие Лоренца опровергло представление о том, что все процессы в мире подчинены жестким законам, а причины четко соответствуют следствиям. Взмах крыльев бабочки символизирует мелкие изменения в первоначальном состоянии системы, которые вызывают цепочку событий, ведущих к крупномасштабным изменениям.

Метафора «эффект бабочки» в теории хаоса выражает, что хаос — это предсказуемая случайность. Даже мельчайшее вмешательство в прошлое может стать причиной самых неожиданных парадоксов в настоящем.

Это поразительное измерение Лоренц описал следующим образом: «Хаос: когда настоящее определяет будущее, но приблизительное настоящее и приблизительно не определяет будущее». [1]

Такое Хаотическое поведение можно наблюдать во многих естественных системах, от погоды до экономики. Нашей проблемой была попытка человечества свести все на свете к одномерной причине и результату. Это объяснение такого поведения ограничивало нашу способность прогрессировать во многих сферах, и прежде всего в экономике.

На первый взгляд может показаться, что хаос — это синоним беспорядка, однако более правильно считать хаос другой формой порядка – с неизбежностью в любой динамической системе за порядком в обычном его понимании следует хаос, а за хаосом порядок. Если мы определим хаос как беспорядок, то в таком беспорядке мы обязательно сможем увидеть свою, особенную форму порядка. Движение от порядка к хаосу и обратно, по всей видимости, является сущностью вселенной, какие бы проявления ее мы не изучали. Даже в человеческом мозгу одновременно присутствует упорядоченное и хаотическое начала. Первое соответствует левому полушарию мозга, а второе – правому. Левое полушарие отвечает за сознательное поведение человека, за выработку линейных правил и стратегий в поведении человека, где четко определяется «если…, то…». В правом же полушарии царит нелинейность и хаотичность. Интуиция является одним из проявлений правого полушария мозга.

Таким образом, новая наука о хаосе, лежащая в тревожной границе между физикой и математикой, определяется четкими ключевыми принципами:

теория хаоса прилагается к динамическим системам — системам с очень большим количеством подвижных компонентов;
внутри этих систем существует непериодический порядок, по внешнему виду беспорядочная совокупность данных может поддаваться упорядочиванию в разовые модели;
подобные «хаотические» системы показывают тонкую зависимость от начальных условий; небольшие изменения каких-либо условий на входе приведут к дивергентным диспропорциям на выходе.
тот факт, что существует порядок, подразумевает, что модели могут быть рассчитаны как минимум для более слабых хаотических систем.

Выводы. Проанализировав основные черты и особенности Теории хаоса, мы можем прийти к выводу, что сущность данной теории заключается в том, что ни одна существующая в природе структура не может вечно оставаться неизменной. Небольшие хаотические изменения, возникающие внутри структуры, которая, как нам кажется, не преобразуется, после некоторого накопления приводят к изменению всей структуры. А оценить то, к каким последствиям со временем может привести цепь вызванных незначительными изменениями трансформаций, становится невозможно.

Теория хаоса занимается изучением того, где в той или иной цепи реальных событий находится некая кризисная точка, в которой мелкие изменения превращаются в большие проблемы.

Теория хаоса применима во многих науках, и особенно следует отметить ее роль в экономики.

Сейчас множество современных экономистов занимаются созданием модели экономического поведения, с использованием компьютерных технологий. Исходя из теории хаоса, они смогут точно смоделировать всю экономику.

Такая программа помогала бы рассчитать вероятность циклов расцвета и упадка, создать модель следствия проведения той или иной политики правительства, указать на то, какие изменения в поведении потребителя или продавца могут привести к более благоприятному развитию экономики.

Теория хаоса, на мое мнение, станет более актуальной в будущем. Так с ее использованием можно спрогнозировать модель поведения кризисов, хотя достоверность прогноза в Теории хаоса со временем быстро падает.

Таким образом, сейчас еще не существует математически точного аппарата применения теории хаоса для исследования различных областей знаний, однако Теория хаоса является перспективным учение XXI века и ее роль в развитии науки достаточно велика.

Список использованной литературы:

1. Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение // В сб. «Странные аттракторы» (Под ред. Я. Г. Синая и Л. П. Шильникова). М.: Мир, 1981. — 88-116 c.

2. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. «Новые методы хаотической динамики». — М.: Едиториал УРСС, 2004, 320 с.

3. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса: Новый диалог человека с природой: Пер. с англ. / Общ. ред. В. И. Аршинова, Ю. Л. Климонтовича и Ю. В. Сачкова.- М.: Прогресс, 1986.- 432 с.

4. Пуанкаре А. О науке. — М., 1983. — 323 c.

5. Рюэль Д. «Случайность и хаос». – Ижевск: НИЦ, 2001. — 192 с.

be5.biz

Теория хаоса • ru.knowledgr.com

Теория хаоса — область исследования в математике, с применениями в нескольких дисциплинах включая метеорологию, социологию, физику, разработку, экономику, биологию и философию. Теория хаоса изучает поведение динамических систем, которые очень чувствительны к начальным условиям — ответ, обычно называемый эффектом бабочки. Небольшие различия в начальных условиях (таких как те из-за округления ошибок в числовом вычислении) приводят к широко отличающимся результатам для таких динамических систем, отдавая долгосрочное предсказание, невозможное в целом. Это происходит даже при том, что эти системы детерминированы, означая, что их будущее поведение полностью определено их начальными условиями без случайных включенных элементов. Другими словами, детерминированная природа этих систем не делает их предсказуемыми. Это поведение известно как детерминированный хаос, или просто хаос. Теория была получена в итоге Эдвардом Лоренцем следующим образом:

Хаос: Когда подарок определяет будущее, но приблизительный подарок не приблизительно определяет будущее.

Хаотическое поведение может наблюдаться во многих естественных системах, таких как погода и климат. Это поведение может быть изучено посредством анализа хаотической математической модели, или через аналитические методы, такие как заговоры повторения и карты Poincaré.

Введение

Теория хаоса касается детерминированных систем, поведение которых может в принципе быть предсказано. Хаотические системы предсказуемы некоторое время и затем, кажется, становятся случайными. Количество времени, для которого может быть эффективно предсказано поведение хаотической системы, зависит от трех вещей: Сколько неуверенности мы готовы терпеть в прогнозе; как точно мы в состоянии измерить его текущее состояние; и временные рамки в зависимости от динамики системы, названной временем Ляпунова. Некоторые примеры времен Ляпунова: хаотические электрические схемы, ~1 миллисекунда; погодные системы, несколько (бездоказательных) дней; солнечная система, 50 миллионов лет. В хаотических системах неуверенность в прогнозе увеличивается по экспоненте с затраченным временем. Следовательно удваивая время прогноза больше, чем квадраты пропорциональная неуверенность в прогнозе. Это означает, что на практике значащее предсказание не может быть сделано по интервалу больше чем два или три раза времени Ляпунова. Когда значащие предсказания не могут быть сделаны, система, кажется, случайна.

Хаотическая динамика

В общем использовании «хаос» означает «государство беспорядка». Однако в теории хаоса, термин определен более точно. Хотя нет никакого универсально принятого математического определения хаоса, в обычно используемом определении говорится, что, для динамической системы, которая будет классифицирована как хаотическое, у этого должны быть следующие свойства:

это должно быть чувствительно к начальным условиям;
это должно топологически смешиваться; и

этого должны быть плотные периодические орбиты.

Чувствительность к начальным условиям

Чувствительность к начальным условиям означает, что каждый пункт в хаотической системе произвольно близко приближен другими вопросами с существенно отличающимися будущими путями или траекториями. Таким образом произвольно мелочь или волнение, текущей траектории может привести к существенно отличающемуся будущему поведению.

Было показано, что в некоторых случаях последние два свойства в вышеупомянутом фактически подразумевают чувствительность к начальным условиям, и если внимание ограничено интервалами, вторая собственность подразумевает другие два (альтернатива, и в целом более слабый, определение хаоса использует только первые два свойства в вышеупомянутом списке). Интересно, что наиболее практически значительная собственность, что из чувствительности к начальным условиям, избыточна в определении, подразумеваемом два (или для интервалов, одного) чисто топологические свойства, которые имеют поэтому больший интерес математикам.

Чувствительность к начальным условиям обычно известна как «эффект бабочки», так называемый из-за названия газеты, данной Эдвардом Лоренцем в 1972 американской Ассоциации для Продвижения Науки в Вашингтоне, округ Колумбия, названной Предсказуемости: Откидная створка Крыльев Бабочки в Бразилии выделила Торнадо в Техасе?. Колеблющееся крыло представляет мелочь в начальном условии системы, которая вызывает цепь событий, приводящих к крупномасштабным явлениям. Если бы бабочка не махала крыльями, траектория системы, возможно, весьма отличалась.

Последствие чувствительности к начальным условиям — то, что, если мы начинаем с только конечной суммы информации о системе (как обычно имеет место на практике), затем вне определенного времени система больше не будет предсказуема. Это является самым знакомым в случае погоды, которая вообще предсказуема только приблизительно неделя вперед. Конечно, это не означает, что мы ничего не можем сказать о событиях далеко в будущем; есть некоторые ограничения на систему. С погодой мы знаем, что температура никогда не будет достигать 100 градусов Цельсия или падать до-130 градусов Цельсия на земле, но мы не в состоянии сказать точно, какой день у нас будет самая горячая температура года.

В большем количестве математических терминов образец Ляпунова измеряет чувствительность к начальным условиям. Учитывая две стартовых траектории в фазовом пространстве, которые бесконечно мало близки с начальным разделением, заканчивают тем, что отличались по уровню, данному

где t — время, и λ — образец Ляпунова. Уровень разделения зависит от ориентации начального вектора разделения, таким образом, есть целый спектр образцов Ляпунова. Число образцов Ляпунова равно числу размеров фазового пространства, хотя распространено просто относиться к самому большому. Например, максимальный образец Ляпунова (MLE) чаще всего используется, потому что он определяет полную предсказуемость системы. Положительный MLE обычно берется в качестве признака, что система хаотическая.

Есть также другие свойства, которые касаются чувствительности начальных условий, таких как теоретическое мерой смешивание (как обсуждено в эргодической теории) и свойства K-системы.

Топологическое смешивание

Топологическое смешивание (или топологическая транзитивность) означают, что система будет развиваться в течение долгого времени так, чтобы любая данная область или открылась, набор ее фазового пространства в конечном счете наложится с любой другой данной областью. Это математическое понятие «смешивания» соответствует стандартной интуиции, и смешивание цветных красок или жидкостей — пример хаотической системы.

Топологическое смешивание часто опускается с популярных счетов хаоса, которые приравнивают хаос к только чувствительности к начальным условиям. Однако чувствительная зависимость от одних только начальных условий не дает хаос. Например, считайте простую динамическую систему произведенной, неоднократно удваивая начальное значение. У этой системы есть чувствительная зависимость от начальных условий везде, так как любая пара соседних пунктов в конечном счете станет широко отделенной. Однако этот пример не имеет никакого топологического смешивания, и поэтому не имеет никакого хаоса. Действительно, у этого есть чрезвычайно простое поведение: все пункты кроме 0 будут склоняться к положительной или отрицательной бесконечности.

Плотность периодических орбит

Для хаотической системы, чтобы иметь плотную периодическую орбиту означает, что к каждому пункту в космосе приближаются произвольно близко периодические орбиты. Одномерная логистическая карта, определенная, является одной из самых простых систем с плотностью периодических орбит. Например, → → (или приблизительно 0,3454915 → 0,9045085 → 0.3454915) (нестабильная) орбита периода 2, и подобные орбиты существуют в течение периодов 4, 8, 16, и т.д. (действительно, в течение всех периодов, определенных теоремой Шарковския).

Теорема Шарковския — основание Лития и Йорка (1975) доказательство, что любая одномерная система, которая показывает регулярный цикл периода три, также покажет регулярные циклы любой длины, а также абсолютно хаотических орбит.

Странные аттракторы

Некоторые динамические системы, как одномерная логистическая карта, определенная, хаотические везде, но во многих случаях хаотическое поведение найдено только в подмножестве фазового пространства. Случаи большей части интереса возникают, когда хаотическое поведение будет иметь место на аттракторе, с тех пор большой набор начальных условий приведет к орбитам, которые сходятся в эту хаотическую область.

Легкий способ визуализировать хаотический аттрактор состоит в том, чтобы начаться с пункта в бассейне привлекательности аттрактора, и затем просто подготовить свою последующую орбиту. Из-за топологического условия транзитивности это, вероятно, произведет картину всего заключительного аттрактора, и действительно обе орбиты, показанные в числе справа, дают картину общей формы аттрактора Лоренца. Этот аттрактор следует из простой трехмерной модели погодной системы Лоренца. Аттрактор Лоренца — возможно, одна из самых известных хаотических системных диаграмм, вероятно потому что это не был только один из первых, но это — также один из самых сложных, и как таковые вызывает очень интересный образец, что с небольшим воображением, похож на крылья бабочки.

В отличие от аттракторов фиксированной точки и циклов предела, у аттракторов, которые являются результатом хаотических систем, известных как странные аттракторы, есть большая деталь и сложность. Странные аттракторы происходят в обеих непрерывных динамических системах (таких как система Лоренца) и в некоторых дискретных системах (таких как карта Hénon). У других дискретных динамических систем есть структура отпора, названная компанией Джулий, которая формируется в границе между бассейнами привлекательности фиксированных точек – компании Джулий могут считаться странным repellers. У и странных аттракторов и компаний Джулий, как правило, есть рекурсивная структура, и рекурсивное измерение может быть вычислено для них.

Минимальная сложность хаотической системы

Дискретные хаотические системы, такие как логистическая карта, могут показать странные аттракторы вообще их размерность. Напротив, для непрерывных динамических систем теорема Пойнкэре-Бендикссона показывает, что странный аттрактор может только возникнуть в трех или больше размерах. Конечно-размерные линейные системы никогда не хаотические; для динамической системы, чтобы показать хаотическое поведение, это должно быть или нелинейным или бесконечно-размерным.

Теорема Пойнкэре-Бендикссона заявляет, что у двумерного отличительного уравнения есть очень регулярное поведение. Аттрактор Лоренца, обсужденный выше, произведен системой трех отличительных уравнений, таких как:

\frac {\\mathrm {d} x\{\\mathrm {d} t\&= \sigma y — \sigma x, \\

\frac {\\mathrm {d} y\{\\mathrm {d} t\&= \rho x — x z — y, \\

\frac {\\mathrm {d} z\{\\mathrm {d} t\&= x y — \beta z.

то

, где, и составляют системное государство, является временем, и, является системными параметрами. Пять из условий справа линейны, в то время как два квадратные; в общей сложности семь условий. Другой известный хаотический аттрактор произведен уравнениями Rossler, у которых есть только один нелинейный термин из семь. Sprott нашел трехмерную систему со всего пятью условиями, у которых был только один нелинейный термин, который показывает хаос для определенных ценностей параметра. Чжан и Хейдель показали, что, по крайней мере для рассеивающих и консервативных квадратных систем, трехмерные квадратные системы только с тремя или четырьмя условиями справа не могут показать хаотическое поведение. Причина, проще говоря, что решения таких систем асимптотические на двумерную поверхность, и поэтому решения хорошего поведения.

В то время как теорема Пойнкэре-Бендикссона показывает, что непрерывная динамическая система в Евклидовом самолете не может быть хаотическими, двумерными непрерывными системами с неевклидовой геометрией, может показать хаотическое поведение. Возможно, удивительно хаос может произойти также в линейных системах, если они бесконечны размерный. Теория линейного хаоса развивается в отделении математического анализа, известного как функциональный анализ.

Системы толчка

В физике толчок — третья производная положения, и как таковой, в уравнениях дифференциала математики формы

иногда называются уравнениями Толчка. Это показали, что уравнение толчка, которое эквивалентно системе трех первых заказов, обычное, нелинейное отличительное уравнение, является в некотором смысле минимальным урегулированием для решений, показывая хаотическое поведение. Это мотивирует математический интерес к системам толчка. Системы, включающие одну четверть или более высокую производную, называют соответственно системами гипертолчка.

Система толчка — система, поведение которой описано уравнением толчка, и для определенных уравнений толчка могут быть разработаны простые электронные схемы, которые моделируют решения этого уравнения. Эти схемы известны как схемы толчка.

Одно из самых интересных свойств схем толчка — возможность хаотического поведения. Фактически, определенные известные хаотические системы, такие как аттрактор Лоренца и карта Rössler, традиционно описаны как система трех отличительных уравнений первого порядка, но который может быть объединен в сингл (хотя скорее сложный) уравнение толчка. Это показали, что нелинейные системы толчка — в некотором смысле минимально сложные системы, чтобы показать хаотическое поведение, нет никакой хаотической системы, включающей только два первых заказа, обычные отличительные уравнения (система, приводящая к уравнению только второго заказа).

Пример уравнения толчка с нелинейностью в величине:

Здесь A — приспосабливаемый параметр. Это уравнение имеет хаотическое решение для A=3/5 и может быть осуществлено со следующей схемой толчка; необходимая нелинейность вызвана этими двумя диодами:

В вышеупомянутой схеме все резисторы имеют равную стоимость, кроме, и все конденсаторы имеют равный размер. Доминирующая частота будет. Продукция операционного усилителя 0 будет соответствовать x переменной, продукция 1 будет соответствовать первой производной x, и продукция 2 будет соответствовать второй производной.

Непосредственный заказ

При правильных условиях хаос спонтанно разовьется в жестко регламентированный образец. В модели Kuramoto четыре условия достаточны, чтобы произвести синхронизацию в хаотической системе.

Примеры включают двойное колебание маятников Христиана Гюйгенса, светлячков, нейронов, лондонского резонанса Миллениум-Бридж и больших массивов соединений Джозефсона.

История

Ранним сторонником теории хаоса был Анри Пуанкаре. В 1880-х, изучая проблему с тремя телами, он нашел, что могут быть орбиты, которые являются непериодическими, и все же не навсегда увеличение, ни приближение к фиксированной точке. В 1898 Жак Адамар издал влиятельное исследование хаотического движения свободной частицы, скользящей лишено трения на поверхности постоянного отрицательного искривления, названного «бильярд Адамара». Адамар смог показать, что все траектории нестабильны в той всей частице, которую траектории отличают по экспоненте от друг друга с положительным образцом Ляпунова.

Теория хаоса получила свое начало в области эргодической теории. Более поздние исследования, также по теме нелинейных отличительных уравнений, были выполнены Джорджем Дэвидом Бирхофф, Мэри Люси Картрайт и Джоном Эденсором Литлвудом и Стивеном Смейлом. За исключением Смейла, эти исследования были все непосредственно вдохновлены физикой: проблема с тремя телами в случае Бирхофф, турбулентности и астрономических проблем в случае Кольмогорова и радиотехники в случае Картрайт и Литлвуда. Хотя хаотическое планетарное движение не наблюдалось, экспериментаторы столкнулись с турбулентностью в жидком движении и непериодическим колебанием в радио-схемах без выгоды теории объяснить, что они видели.

Несмотря на начальное понимание в первой половине двадцатого века, теория хаоса стала формализованной как таковой только после середины столетия, когда для некоторых ученых сначала стало очевидно, что линейная теория, господствующая системная теория в то время, просто не могла объяснить наблюдаемое поведение определенных экспериментов как этот логистической карты. Что было приписано, чтобы измерить неточность, и простой «шум» рассмотрели теоретики хаоса как полный компонент изученных систем.

Главный катализатор для развития теории хаоса был электронно-вычислительной машиной. Большая часть математики теории хаоса включает повторное повторение простых математических формул, которые были бы непрактичны, чтобы сделать вручную. Электронно-вычислительные машины сделали эти повторные вычисления практичными, в то время как числа и изображения позволили визуализировать эти системы. Как аспирант в лаборатории Чихиро Хаяши в университете Киото, Yoshisuke Уэда экспериментировала с аналоговыми компьютерами и замеченная, 27 ноября 1961, что он назвал «беспорядочно переходными явлениями». Все же его советник не соглашался с его заключениями и не позволял ему сообщать о своих результатах до 1970.

Ранним пионером теории был Эдвард Лоренц, интерес которого к хаосу появился случайно посредством его работы над погодным предсказанием в 1961. Лоренц использовал простой компьютер, Руаяль Мкбе LGP-30, чтобы управлять его погодным моделированием. Он хотел видеть последовательность данных снова и сэкономить время, он начал моделирование посреди его курса. Он смог сделать это, войдя в распечатку данных, соответствующих условиям посреди его моделирования, которое он вычислил в прошлый раз. К его удивлению погода, которую машина начала предсказывать, абсолютно отличалась от погоды, вычисленной прежде. Лоренц разыскал это к компьютерной распечатке. Компьютер работал с точностью с 6 цифрами, но распечатка закруглила переменные к числу с 3 цифрами, таким образом, стоимость как 0,506127 была напечатана как 0,506. Это различие крошечное и согласие в то время, когда был бы то, что это не должно было иметь практически никакой эффект. Однако Лоренц обнаружил, что небольшие изменения в начальных условиях вызвали большие изменения в долгосрочной перспективе результат. Открытие Лоренца, которое дало его имя к аттракторам Лоренца, показало, что даже подробное атмосферное моделирование не может, в целом, сделать точные долгосрочные погодные предсказания.

В 1963 Бенуа Мандельброт нашел повторяющиеся образцы в каждом масштабе в данных по ценам на хлопок. Заранее он изучил информационную теорию и пришел к заключению, что шум был скопирован как Регент, установите: в любом масштабе пропорция содержащих шум периодов к безошибочным периодам была константой – таким образом, ошибки были неизбежны и должны быть запланированы, включив избыточность. Мандельброт описал обоих «эффект Ноа» (в котором внезапные прерывистые изменения могут произойти), и «эффект Джозефа» (в котором постоянство стоимости может произойти некоторое время, все же внезапно измениться впоследствии). Это бросило вызов идее, что изменения цен обычно распределялись. В 1967 он издал, «Какой длины побережье Великобритании? Статистическое самоподобие и фракционное измерение», показывая, что длина береговой линии меняется в зависимости от масштаба измерительного прибора, напоминают себя во всех весах и бесконечны в длине для бесконечно мало маленького измерительного прибора. Утверждая, что шар бечевки, кажется, пункт, когда рассматривается от далеко (0-мерного), шар, когда рассматривается от справедливо почти (3-мерного), или кривой (1-мерный) берег, он утверждал, что размеры объекта относительно наблюдателя и могут быть фракционными. Объект, неисправность которого постоянная по различным весам («самоподобие»), является рекурсивным (примеры включают губку Menger, прокладка Sierpiński, и кривая Коха или «снежинка», которая бесконечно длинна все же, прилагает конечное пространство и имеет рекурсивное измерение приблизительно 1.2619). В 1982 Мандельброт издал Рекурсивную Геометрию Природы, которая стала классиком теории хаоса. Биологические системы, такие как переход циркулирующих и бронхиальных систем, оказалось, соответствовали рекурсивной модели.

В декабре 1977 нью-йоркская Академия наук организовала первый симпозиум по Чаосу, сопровожденному Дэвидом Руеллом, Робертом Меем, Джеймсом А. Йорком (фальшивомонетчик термина «хаос», как используется в математике), Роберт Шоу и метеоролог Эдвард Лоренц. В следующем году независимо Пьер Кулле и Чарльз Трессер со статьей «Iterations d’endomorphismes et groupe de renormalisation» и Митчелл Фейдженбом со статьей «Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations» описали логистические карты. Они особенно обнаружили универсальность в хаосе, разрешив применение теории хаоса ко многим различным явлениям.

В 1979 Альберт Дж. Либчейбр, во время симпозиума, организованного в Аспене Пьером Оханбергом, представил свое экспериментальное наблюдение за каскадом раздвоения, который приводит к хаосу и турбулентности в системах конвекции Рэлея-Bénard. Он был присужден Приз Волка в Физике в 1986 наряду с Митчеллом Дж. Файгенбаумом для их вдохновляющих успехов.

В 1986 нью-йоркская Академия наук совместно организовала с Национальным Институтом Психического здоровья и Офисом Военно-морского Исследования первую важную конференцию по хаосу в биологии и медицине. Там, Бернардо Хубермен представил математическую модель глазного беспорядка прослеживания среди шизофреников. Это привело к возобновлению физиологии в 1980-х при применении теории хаоса, например, в исследовании патологических сердечных циклов.

В 1987, За Бака, Чао Тан и Курт Визенфельд опубликовали работу в Physical Review Letters, описывающем впервые самоорганизованную критичность (SOC), которая, как полагают, была одним из механизмов, при которых сложность возникает в природе.

Рядом с в основном находящимися в лаборатории подходами, такими как Бак-Тан-Висенфельд sandpile, много других расследований сосредоточились на крупномасштабных естественных или социальных системах, которые известны (или подозреваются) показать инвариантное к масштабу поведение. Хотя эти подходы не всегда приветствовались (по крайней мере, первоначально) специалистами в исследованных предметах, SOC, тем не менее, стал установленным как сильный кандидат на объяснение многих природных явлений, включая землетрясения (который, задолго до того, как был обнаружен SOC, были известны как источник инвариантного к масштабу поведения, такого как закон Гутенберга-Рихтера описание статистического распределения размеров землетрясения и закона Omori описание частоты толчков), солнечные вспышки, колебания в экономических системах, таких как финансовые рынки (ссылки на SOC распространены в econophysics), пейзажное формирование, лесные пожары, оползни, эпидемии и биологическое развитие (где SOC был призван, например, как динамический механизм позади теории «акцентированного равновесия», выдвинутого Найлсом Элдреджем и Стивеном Джеем Гульдом). Учитывая значения распределения без масштабов размеров событий, некоторые исследователи предположили, что другое явление, которое нужно считать примером SOC, является возникновением войн. Эти расследования SOC включали обе попытки моделирования (или развитие новых моделей или адаптация существующих к специфическим особенностям данной естественной системы), и обширный анализ данных, чтобы определить существование и/или особенности естественных законов о вычислении.

В том же самом году Джеймс Глейк издал, который стал бестселлером и ввел общие принципы теории хаоса, а также ее истории широкой общественности, хотя его история под — подчеркнула важные советские вклады. Первоначально область некоторых, изолированных людей, теория хаоса прогрессивно появлялась в качестве трансдисциплинарной и установленной дисциплины, главным образом под именем нелинейного анализа систем. Ссылаясь на понятие Томаса Куна изменения парадигмы, выставленного в Структуре Научных Революций (1962), много «chaologists» (поскольку некоторые описали себя) утверждали, что эта новая теория была примером такого изменения, тезис, поддержанный Глейком.

Наличие более дешевых, более мощных компьютеров расширяет применимость теории хаоса. В настоящее время теория хаоса продолжает быть очень активной областью исследования, включая много различных дисциплин (математика, топология, физика, социальные системы, моделирование населения, биология, метеорология, астрофизика, информационная теория, вычислительная нейробиология, и т.д.).

Различение случайного от хаотических данных

Может быть трудно сказать от данных, случайный ли физический или другой наблюдаемый процесс или хаотический, потому что на практике никакой временной ряд не состоит из чистого «сигнала». Всегда будет некоторая форма развращения шума, даже если это будет присутствовать как вокруг — прочь или ошибка усечения. Таким образом какой-либо оперативный ряд, даже если главным образом детерминированный, будет содержать некоторую хаотичность.

Все методы для различения детерминированных и вероятностных процессов полагаются на факт, что детерминированная система всегда развивается таким же образом из данной отправной точки. Таким образом, учитывая временной ряд, чтобы проверить на детерминизм, каждый может

выберите испытательное состояние;
ищите временной ряд подобное или соседнее государство; и
сравните их соответствующее развитие времени.

Определите ошибку как различие между развитием времени испытательного состояния и развитием времени соседнего государства. У детерминированной системы будет ошибка, что любой остается маленьким (стабильное, регулярное решение) или увеличивается по экспоненте со временем (хаос). У стохастической системы будет беспорядочно распределенная ошибка.

По существу все меры детерминизма, взятого от временного ряда, полагаются на нахождение самых близких государств к данному испытательному состоянию (например, измерение корреляции, образцы Ляпунова, и т.д.). Чтобы определить государство системы, каждый, как правило, полагается на объемлющие методы фазового пространства.

Как правило, каждый выбирает объемлющее измерение и исследует распространение ошибки между двумя соседними государствами. Если ошибка выглядит случайной, каждый увеличивает измерение. Если измерение может быть увеличено, чтобы получить детерминировано смотрящую ошибку, то анализ сделан. Хотя это может казаться простым, одно осложнение состоит в том, что, поскольку измерение увеличивается, поиск соседнего государства требует намного большего количества времени вычисления, и много данных (объем данных потребовал увеличений по экспоненте с вложением измерения) найти соответственно близкого кандидата. Если объемлющее измерение (число мер за государство) выбрано слишком маленькое (меньше, чем «истинная» стоимость), детерминированные данные, может казаться, случайны, но в теории нет никакой проблемы, выбирая слишком большое измерение – метод будет работать.

Когда нелинейная детерминированная система посещена внешними колебаниями, ее траектории представляют серьезные и постоянные искажения. Кроме того, шум усилен из-за врожденной нелинейности и показывает полностью новые динамические свойства. Статистические тесты, пытающиеся отделить шум от детерминированного скелета или обратно пропорционально изолировать детерминированную часть, рискуют неудачей. Вещи становятся хуже, когда детерминированный компонент — нелинейная система обратной связи. В присутствии взаимодействий между нелинейными детерминированными компонентами и шумом, получающийся нелинейный ряд может показать динамику, которую традиционные тесты на нелинейность иногда не в состоянии захватить.

Вопрос того, как отличить детерминированные хаотические системы от стохастических систем, был также обсужден в философии. Было показано, что они могли бы быть

наблюдательно эквивалентный.

Заявления

Теория хаоса родилась от наблюдения метеорологических карт, но это стало применимым ко множеству других ситуаций. Некоторыми областями, извлекающими выгоду из теории хаоса сегодня, является геология, математика, микробиология, биология, информатика, экономика, разработка, финансы, алгоритмическая торговля, метеорология, философия, физика, политика, демографическая динамика, психология и робототехника. Несколько категорий упомянуты ниже с примерами, но это ни в коем случае не всесторонний список, поскольку новые заявления появляются каждый день.

Информатика

Теория хаоса не в новинку для информатики и много лет использовалась в криптографии. Один тип шифрования, секретного ключевого или симметричного ключа, полагается на распространение и беспорядок, который смоделирован хорошо теорией хаоса. Другой тип вычисления, вычисления ДНК, когда соединено с теорией хаоса, предлагает более эффективный способ зашифровать изображения и другую информацию. Робототехника — другая область, которая недавно извлекла выгоду из теории хаоса. Вместо роботов, действующих в эмпирическом типе обработки, чтобы взаимодействовать с их средой, теория хаоса использовалась, чтобы построить прогнозирующую модель.

Биология

Больше ста лет биологи отслеживали население различных разновидностей с моделями населения. Большинство моделей — детерминированные системы, но недавно ученые были в состоянии осуществить хаотические модели в определенном населении. Например, исследование моделей канадской рыси показало, что в приросте населения было хаотическое поведение. Хаос может также быть найден в экологических системах, таких как гидрология. В то время как у хаотической модели для гидрологии есть свои недостатки, есть все еще очень, чтобы быть усвоенным из рассмотрения данных через линзу теории хаоса. Другое биологическое применение найдено в cardiotocography. Эмбриональное наблюдение — неустойчивое равновесие получения точной информации будучи максимально неразрушающим. Лучшие модели тревожных симптомов эмбриональной гипоксии могут быть получены посредством хаотического моделирования.

Другие области

В химии, предсказывая газовую растворимость важно для производственных полимеров, но модели, используя оптимизацию роя частицы (PSO) имеют тенденцию сходиться к неправильным пунктам. Улучшенная версия PSO была создана, введя хаос, который препятствует моделированиям застревать. В астрономической механике, особенно наблюдая астероиды, применяя теорию хаоса приводит к лучшим предсказаниям о том, когда эти объекты прибудут в диапазон Земли и других планет. В квантовой физике и электротехнике, исследование больших массивов соединений Джозефсона извлекло выгоду значительно из теории хаоса. Ближе в дом, угольные шахты всегда были опасными местами, где частые утечки природного газа вызывают много смертельных случаев. До недавнего времени не было никакого надежного способа предсказать, когда они произойдут. Но у этих утечек газа есть хаотические тенденции, которые, когда должным образом смоделировано, могут быть предсказаны справедливо точно.

Теория хаоса может быть применена за пределами естественных наук. Приспосабливая модель карьеры, советующейся, чтобы включать хаотическую интерпретацию отношений между сотрудниками и рынком вакансий, лучшие предложения могут быть сделаны людям, борющимся с карьерными решениями. Современные организации все более и более замечаются как открытые сложные адаптивные системы с фундаментальными естественными нелинейными структурами согласно внутренним и внешним силам, которые могут быть источниками хаоса. Метафора хаоса — используемый в словесных теориях — основанный на математических моделях и психологических аспектах человеческого поведения

обеспечивает полезное понимание описанию сложности малочисленных рабочих групп, которые идут вне самой метафоры.

Возможно, что экономические модели могут также быть улучшены при применении теории хаоса, но предсказание здоровья экономической системы и какие факторы влияют на него больше всего, является чрезвычайно сложной задачей. Экономические и финансовые системы существенно отличаются от тех в физике и естественных науках, так как прежний неотъемлемо стохастический в природе, поскольку они следуют из взаимодействий людей, и таким образом чистые детерминированные модели вряд ли обеспечат точные представления данных. Эмпирическая литература, которая проверяет на хаос в экономике и финансовых подарках очень смешанные результаты, частично из-за беспорядка между определенными тестами на хаос и более общими тестами на нелинейные отношения.

Транспортное прогнозирование — другая область, которая значительно извлекает выгоду из применений теории хаоса. Лучшие предсказания того, когда движение произойдет, позволили бы мерам быть взятыми для него, чтобы быть рассеянными перед транспортными запусками, а не после. Объединение принципов теории хаоса с несколькими другими методами привело к более точной краткосрочной модели предсказания (см. заговор транспортной модели BML в праве).

Теория хаоса также находит применения в психологии. Например, в моделировании поведения группы, в котором могут вести себя разнородные участники, как будто разделяя до различных степеней, что в теории Уилфреда Байона является основным предположением, динамика группы — результат отдельной динамики участников: каждый человек воспроизводит динамику группы в различном масштабе, и хаотическое поведение группы отражено в каждом участнике.

См. также

Примеры хаотических систем
Advected очерчивает
Кошка Арнольда наносит на карту
Динамика прыгающего мяча
Двойная решетка карты
Двойной маятник
Подделка уравнения
Динамический бильярд
Экономический пузырь
Система Гаспара-Райса
Hénon наносят на карту
Подковообразная карта
Список хаотических карт
Логистическая карта
Аттрактор Rössler
Стандартная карта
Покачивание машины Этвуда
Наклоните водоворот
Другие связанные разделы
Смерть амплитуды
Аносов diffeomorphism
Теория раздвоения
Теория катастрофы
Теория хаоса в организационном развитии
Хаотическое смешивание
Хаотическое рассеивание
Контроль хаоса
Джулия установила
Мандельброт установил
Плохо создание условий
Плохо-posedness
Нелинейная система
Образцы в природе
Предсказуемость
Квантовый хаос
Институт Санта-Фе
Синхронизация хаоса
Непреднамеренное последствие
Люди
Ральф Абрахам
Митчелл Фейдженбом
Мартин Гуцвиллер
Эдвард Лоренц
Александр Льяпунов
Иэн Малкольм (характер Парка Юрского периода)
Бенуа Мандельброт
Нормандский Паккард
Анри Пуанкаре
Олександр Миколайович Шарковский
Джеймс А. Йорк
Георг М. Заславский
Научная литература
Статьи
Онлайн-версия (Примечание: объем и цитата страницы, процитированная за текст онлайн, отличаются от процитированного здесь. Цитата здесь от фотокопии, которая совместима с другими цитатами, найденными онлайн, но которая не обеспечивает взгляды статьи. Онлайн-контент идентичен печатному тексту. Изменения цитаты будут связаны со страной публикации).
Учебники
Полутехнические и популярные работы
Кристоф Летельер, хаос в природе, World Scientific Publishing Company, 2012, ISBN 978-981-4374-42-2.
Джон Бриггс и Дэвид Пит, Бурное Зеркало:: Иллюстрированный Справочник по Теории Хаоса и Науке о Цельности, Harper Perennial 1990, 224 стр
Джон Бриггс и Дэвид Пит, Семь Жизненных Уроков Хаоса: Духовная Мудрость от Науки об Изменении, Harper Perennial 2000, 224 стр
Предраг Cvitanović, Универсальность в Хаосе, Адам Хилджер 1989, 648 стр
Леон Гласс и Майкл К. Макки, От Часов до Хаоса: Ритмы Жизни, издательство Принстонского университета 1988, 272 стр
Джеймс Глейк, Нью-Йорк: Пингвин, 1988. 368 стр
Л Дуглас Кил, Юель В Эллиот (редактор)., Теория Хаоса в Общественных науках: Фонды и Заявления, University of Michigan Press, 1997, 360 стр
Арвинд Кумар, хаос, Fractals и Self-Organisation; новые взгляды на сложность в природе, национальном книжном тресте, 2003.
Ханс Ловерир, Fractals, издательство Принстонского университета, 1991.
Эдвард Лоренц, сущность хаоса, университет Washington Press, 1996.
Алан Маршалл (2002) единство природы: цельность и распад в экологии и науке, имперской прессе колледжа: Лондон
Хайнц-Отто Пейтджен и Дитмар Заупе (Редакторы)., Наука о Рекурсивных Изображениях, Спрингер 1988, 312 стр
Клиффорд А. Пиковер, компьютеры, образец, хаос и красота: графика от невидимого мира, PR Св. Мартинса 1991.
Илья Пригоджин и Изабель Стенджерс, заказ из хаоса, боксер в легчайшем весе 1984.
Хайнц-Отто Пейтджен и П. Х. Рихтер, Красота Fractals: Изображения Сложных Динамических Систем, Спрингер 1986, 211 стр
Дэвид Руелл, шанс и хаос, издательство Принстонского университета 1993.
Иварс Петерсон, часы ньютона: хаос в солнечной системе, почетном гражданине, 1993.
Дэвид Руелл, хаотическое развитие и странные аттракторы, издательство Кембриджского университета, 1989.
Питер Смит, объяснение хаоса, издательства Кембриджского университета, 1998.
Иэн Стюарт, бог играет в кости?: Математика хаоса, издателей Блэквелла, 1990.
Стивен Строгэц, Синхронизация: появляющаяся наука о непосредственном заказе, Гиперионе, 2003.
Yoshisuke Уэда, путь к хаосу, воздушному PR, 1993.
М. Митчелл Волдроп, сложность: появляющаяся наука на краю заказа и Chaos, Simon & Schuster, 1992.
Sawaya, Антонио (2010). Финансовый анализ временного ряда: Хаос и подход neurodynamics.
Внешние ссылки
Группа Хаоса в Университете Мэриленда
Общество теории хаоса в психологии & науках о жизни
Хаос Глеикка (выдержка)
Страница о Mackey-стеклянном уравнении
ru.knowledgr.com
Теория хаоса
План
Введение
1. Возникновение и история теории хаоса
2. Порядок и беспорядок
3. Прикладной хаос
4. Основные принципы хаоса (аттракторы и фракталы)
5. Детерминированный хаос и информационные технологии
6. Хаоса в других науках
7. Последствия хаоса
Вывод
1.Начиная с рубежа 1980-х — 1990-х годов в дискуссиях историков-методологов появилось новое направление, связанное с «наукой о сложном» (complexity sciences). Так принято называть новую междисциплинарную область исследований, в центре внимания которой находятся проблемы исследования систем с нелинейной динамикой, неустойчивым поведением, эффектами самоорганизации, наличием хаотических режимов. Единая наука о поведении сложных систем, самоорганизации в Германии названа синергетикой (Г. Хакен), во франкоязычных странах — теорией диссипативных структур (И. Пригожин), в США — теорией динамического хаоса (М. Фейгенбаум). В отечественной литературе принят преимущественно первый термин, наиболее краткий и емкий.
ТЕОРИЯ ХАОСА — раздел математики, изучающий кажущееся случайным или очень сложное поведение детерминированных динамических систем. Динамическая система – это такая система, состояние которой меняется во времени в соответствии с фиксированными математическими правилами; последние обычно задаются уравнениями, связывающими будущее состояние системы с текущим. Такая система детерминирована, если эти правила не включают явным образом элемента случайности.
История теории хаоса . Первые элементы теории хаоса появились еще в XIX веке, однако подлинное научное развитие эта теория получила во второй половине XX века, вместе с работами Эдварда Лоренца из Массачусетского технологического института и франко-американского математика Бенуа Б. Мандельброта. Эдвард Лоренц в свое время рассматривал, в чем возникает трудность при прогнозировании погоды. До работы Лоренца в мире науки господствовало два мнения относительно возможности точного прогнозирования погоды на бесконечно длительный срок.
Первый подход сформулировал еще в 1776 году французский математик Пьер Симон Лаплас. Лаплас заявил, что «…если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами во Вселенной, то он сможет установить соответствующее положение, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в прошлом или в будущем». Этот его подход был очень похож на известные слова Архимеда: «Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир».
Таким образом, Лаплас и его сторонники говорили, что для точного прогнозирования погоды необходимо только собрать больше информации обо всех частицах во Вселенной, их местоположении, скорости, массе, направлении движения, ускорении и т.п. Лаплас думал, чем больше человек будет знать, тем точнее будет его прогноз относительно будущего.
Второй подход к возможности прогнозирования погоды раньше всех наиболее четко сформулировал другой французский математик, Жюль Анри Пуанкаре. В 1903 году он сказал: « Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно.
Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам требуется, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так; может случиться, что малые различия в начальных условиях вызовут очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем.
Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая».
В этих словах Пуанкаре мы находим постулат теории хаоса о зависимости от начальных условий. Последующее развитие науки, особенно квантовой механики, опровергло детерминизм Лапласа. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг открыл и сформулировал принцип неопределенности. Этот принцип объясняет, почему некоторые случайные явления не подчиняются лапласовому детерминизму.
Гейзенберг показал принцип неопределенности на примере радиоактивного распада ядра. Так, из-за очень малых размеров ядра невозможно знать все процессы, происходящие внутри него. Поэтому, сколько бы информации мы не собирали о ядре, точно предсказать, когда это ядро распадется невозможно.
В 1926–1927 голландский инженер Б.Ван-дер-Пол сконструировал электронную схему, соответствующую математической модели сердечных сокращений. Он обнаружил, что при определенных условиях возникающие в схеме колебания были не периодическими, как при нормальном сердцебиении, а нерегулярными. Его работа получила серьезное математическое обоснование в годы Второй мировой войны, когда Дж.Литтлвуд и М.Картрайт исследовали принципы радиолокации.
В 1950 Дж.фон Нейман предположил, что неустойчивость погоды может в один прекрасный день обернуться благом, поскольку неустойчивость означает, что желаемый эффект может быть
В начале 1960-х годов американский математик С.Смейл попытался построить исчерпывающую классификацию типичных разновидностей поведения динамических систем. Поначалу он предполагал, что можно обойтись различными комбинациями периодических движений, но вскоре понял, что возможно значительно более сложное поведение. В частности, он подробнее исследовал открытое Пуанкаре сложное движение в ограниченной задаче трех тел, упростив геометрию и получив при этом систему, известную ныне как «подкова Смейла». Он доказал, что такая система, несмотря на ее детерминированность, проявляет некоторые черты случайного поведения. Другие примеры подобных явлений были разработаны американской и российской школами в теории динамических систем, причем особенно важным оказался вклад В.И.Арнольда. Так начала возникать общая теория хаоса.
То, что чувствительность к начальным данным ведет к хаосу, понял — и тоже в 1963 году — американский метеоролог Эдвард Лоренц . Он задался вопросом: почему стремительное совершенствование компьютеров не привело к воплощению в жизнь мечты метеорологов — достоверному среднесрочному (на 2-3 недели вперед) прогнозу погоды? Эдвард Лоренц предложил простейшую модель, описывающую конвекцию воздуха (она играет важную роль в динамике атмосферы), просчитал ее на компьютере и не побоялся всерьез отнестись к полученному результату. Этот результат — динамический хаос- есть непериодическое движение в детерминированных системах (то есть в таких, где будущее однозначно определяется прошлым), имеющее конечный горизонт прогноза.
С точки зрения математики можно считать, что любая динамическая система, что бы она ни моделировала, описывает движение точки в пространстве, называемом фазовым. Важнейшая характеристика этого пространства — его размерность, или, попросту говоря, количество чисел, которые необходимо задать для определения состояния системы. С математической и компьютерной точек зрения не так уж и важно, что это за числа — количество рысей и зайцев на определенной территории, переменные, описывающие солнечную активность или кардиограмму, или процент избирателей, до сих пор поддерживающих президента. Если считать, что точка, двигаясь в фазовом пространстве, оставляет за собой след, то динамическому хаосу будет соответствовать клубок траекторий. Здесь размерность фазового пространства всего 3. Замечательно, что такие удивительные объекты существуют даже в трехмерном пространстве.
2. Порядок и беспорядок
Теория хаоса является достаточно общей, чтобы охватить широкий круг явлений нашего мира и при этом будоражит воображение читателей. Ведь оказалось, что порядок возникает именно из хаоса, а не откуда-нибудь еще! С другой стороны, в современных научных представлениях о хаосе есть много моментов, требующих пристального внимания и углубленного изучения. Пожалуй, вопросов тут больше, чем ответов.
Порядок и беспорядок
Из соображений, которые, возможно, станут ясны ниже, вначале мы обратимся к двум исключительно важным понятиям современной науки: «порядок» и «беспорядок». Обычно нам кажется, что здесь все с самого начала ясно и понятно, но на самом деле это далеко не так. И понятие хаоса, в известной мере, становится интересным и важным именно потому, что только порядком и беспорядком нам тут не обойтись.
Прежде всего – что такое порядок и что такое беспорядок? В каком отношении они находятся друг с другом? И как отличить одно от другого? Вопросы эти, оказывается, отнюдь не тривиальны, в чем мы скоро убедимся.
В повседневной жизни принято полагать, что беспорядок – это отсутствие порядка. Такие понятия встречаются довольно часто, например «холод». Мы употребляем его на каждом шагу и понимаем, что имеется в виду. Более того, мы даже «измеряем» его с помощью термометра. И, тем не менее, холода как такового не существует. Существует тепло, а холод на самом деле является его недостатком. Но мы говорим «холод» так, как будто бы он был чем-то реальным (или, как говорят философы, субстанциальным).
А вот с понятием «беспорядок» все, в известном смысле, обстоит наоборот. Мы используем это слово как обозначение отсутствия чего-то (порядка), что именно и существует само по себе. Но возникает вопрос: а так ли это?
Поясним суть дела на конкретном примере, для чего представим себе письменный стол некоего профессора. Глядя на него, мы, вероятно, решим что все, что находится на нем, свалено в беспорядочную кучу. Однако сам профессор, не глядя, протягивая руку, безошибочно находит нужный ему предмет. И напротив, если уборщица разложит все аккуратными стопками, то профессор не сможет работать так же, как не смогла готовить бабушка в романе Рэя Брэдбери «Вино из одуванчиков» после генеральной уборки, устроенной на кухне тетей.
Может быть, следует признать, что то, что мы привыкли называть беспорядком отнюдь не является отсутствием того, что обычно называют порядком? Впрочем, есть и другой путь: оставить за словом «беспорядок» его привычное значение, и ввести в оборот другой термин для обозначения того, что мы часто, не задумываясь, также называем беспорядком, хотя в действительности имеем в виду нечто совершенно иное.
mirznanii.com
Эдвард Лоренц
Количество просмотров публикации Эдвард Лоренц — 607
Сущность хаоса
Предисловие
Весной 1991-го года я получил приглашение от университета Вашингтона преподать курс лекций, как часть серии, которая была вдохновлена более ранним поколением, проявившим благосклонность и дальновидность Джесси и Джоном Данцем. Лекции должны были проходить до основной аудиенции и я волен был выбирать тему.
Ранее, примерно за тридцать лет, в то время как я проводил обширные эксперименты в теории предсказания погоды, я столкнулся с феноменом, который позже назвали ʼʼхаосомʼʼ — кажущееся непредсказуемым и непоследовательным поведение, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ тем не менее соответствуют точным и часто просто выразимым правилам. Ранние исследователи случайно регистрировали поведение подобного рода, но обычно при самых различных условиях. Часто они не могли даже понять, что видели, и просто принимали это за нечто, мешающее им заниматься иными более важными делами. Моя ситуация была уникальность, я действительно понял, что это, но мои эксперименты терпели неудачу, поскольку я не смог составить определенных уравнений, которые бы решались хаотически. Внезапно, хаос стал чем-то желательным, по крайней мере при определенных обстоятельствах, и в последующие годы я стал все более и более обращаться к этой теме, как к самостоятельному феномену, который крайне важно изучить.
И мне было легко решить, какую выбрать тему для своих лекций. Я принял приглашение и выбрал заглавие ʼʼСущность хаосаʼʼ. В итоге курс из трех лекций принял окончательную форму. Первая была посвящена хаосу и иллюстрировала основные его свойства на простых примерах, а заканчивалась она описанием некоторых родственных феноменов – нелинейность, комплексность и фрактальность – что также иногда называют ʼʼхаосомʼʼ. Вторая лекция имела отношение к глобальному вопросу погоды, как комплексному примеру хаотичной системы. Последняя представляла собой сумму наших знаний о хаосе, предлагающая описание различных хаотичных систем, заканчивающаяся некоторыми философскими концепциями. В рамках ожидаемой аудиенции я избегал математических формул и технических терминов, за исключением некоторых достаточно простых.
Настоящая книга с тем же названием написана в духе лекций Данца. Она содержит тот же материал с дополнительными описаниями, заполняющими пробелы, которые неизбежно возникли в ходе устной презентации. Ведущая лекция была расширена и стала главами 1,2 и 5, в то же время вторая превратилась в главу 3. Последняя лекция с историческим аспектом начинается с открытия Нептуна, прослеживает работу Генри Пуанкаре и его последователей и охватывает мои собственные исследования в хаосе, ставшая главой 4.
Мое решение превратить лекции в книгу было вдохновлено тем, что хаос, а также связанные с ним концепции – странных аттракторов, базовых границ, периоды двойной бифуркции и подобные им – можно объяснить в книге читателю без матиматического или иного образования, даже не смотря на то, что сам по себе хаос представляет собой новую ветвь математики или даже науки. Подобно тому, как было в лекация, я представил историю хаоса простым языком , за исключением мест, где хотел избежать длинных фраз, я вставил некоторые стандартные термины. Я поместил уместные математические уравнения и их ответвления в приложение, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ не обязательно читать, чтобы понять основной текст, но которые могут существенно помочь читателю с математическим образом мышления.
Конечно, нельзя сказать, что в основном тексте вообще нет математики. Он есть но представляет собой достаточно узкий математический взгляд. К примеру, едва заметив, что одна иллюстрация показывает две доски скользящих вниз на тридцать метров по склону, на дистанции в десять сантиметров друг от друга и заканчиваясь в десяти метрах, вы можете сказать, что тут есть математика. Словесное описание этой иллюстрации склоняется также к математике. В любом случае, хорошее и качественное применение математики в иллюстрациях, я считаю уместным, тем более, что большинство из них получены из компютерного моделирования. И все подано таким образом, что читателю не нужно копаться в формулах или программах, чтобы понять сообщение, содержащееся в иллюстрации.
В создании книги мне помогали множество людей, перед которыми я в долгу. Прежде всего это хочу поблагодарить Фонд Данца, без спонсорской помощи которого я никогда бы не приступил к лекциям на эту тему. Также я должен поблагодарить Вашингтонский Университет за то, что выбрали меня в качестве лектора. Я в неоплатном долгу перед Научным отделом слежения за динамично изменяющимся климатом и соответствующим программным обеспечением. Как и перед руководителем отдела Джеем Фином, за поддержу в моих исследованиях хаоса и атмосферных явления, а также за написание огромного числа программ и компьютерное просчитывание и моделирование, результаты которого стали иллюстрациями в книге. Я бы хотел поблагодарить Джоеля Сломана за перепечатку и ассистирование не только в создании финальной версии рукописи, но и за работу с черновиками. Дину Шпигель за ее помощь в решении компьютерных проблем и Джейн МакНабб за то, что взяла на себя тяжесть административной работы, что в ином случае свалилось бы на меня.
Благодарность Дейву Фульцу из Чикагского Университета за фотографии его экспериментов по отражения и Американское Метеорологическое сообество за то, что позволили ему это. Также благодарности Роберту Датторе и Уилбуру Шпенглеру из Национального Центра по изучению Атмосферы за предоставление записей слежения за многие годы за состоянием погоды в Сингапуре.
Я должен выразить особую признательность Мерри Кастон, прочитавшей рукопись страницу за страницей, за ее мудрые комментарии, заставившие меня сделать множество полезных дополнений и другую помощь. Сесть множество других людей, кому я обязан в какой-либо степени, повлиявших своими словами на идеи в книге. Этой связи я должен в частности упомянуть Роберта Корнетта͵ Джеймса Карри, Роберта Девани, Алана Фаллера, Роберта Гилборна, Филлипа Мерилиса, Тима Палмера, Брюса Стрита͵ Йошике Уеда, Джея Майкла Уоллеса и Джеймса ЙОрна. А также хочу поблагодарить всех тех, кто повлиял на меня незаметным образом и тех анонимных наблюдателей, о которых я могу сказать только одно, что они должны быть упомянуты.
Наконец, я очень благодарен своей жене, Джейн, оказавшей мне моральную поддержку на всем протяжении подготовки книги и за то, что составила мне компания в огромном числе путешествий по сбору материала , а также моих детей Нэнси, Эдварда и Черил – адвоката͵ экономиста и психолога – прекрасно справившихся со своими ролями интеллигентных мирян и внимательно изучавших рукопись на всех стадиях ее создания.
Глава 1
Проблески Хаоса
Все это только выглядит случайным
Слова не являются живыми созданиями. Οʜᴎ не могут дышать, ходить и не обладают теми или иными присущими живым свойствами. Даже не смотря на то, что они служат определенным людям, у них нет собственных уникальных жизней. Слово рождается в языке, имея только одно значение. Но по мере его роста оно может приобрести новое значение, сходное, но все же отличающееся от основного. Часто эти значения являются одним смыслом другого более старого. В наши юные годы мы понимаем, что значат термины ʼʼгорячоʼʼ и ʼʼхолодноʼʼ, но по мере взросления мы открываем, что есть горячие следы и слабое утешение (в оригинале идиоматической фразы – cold comfort – холодный комфорт), или горячее опровержение и холодный прием. В этих случаях привычные термины выступают в тех значениях, не имеющих отношения к измерению температур.
Размещено на реф.рф
В очень раннем возрасте мы учимся тому, что значит слово ʼʼпитьʼʼ, но позднее узнаем, что есть выражение ʼʼты напилсяʼʼ, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ совсем не относится к тому, чтобы выпить обычного сока. Действительно, в случае если он скажет кому-то еще, что мы пьем, он вероятно имеет ввиду не просто то, что мы часто употребляем алкоголь, а то, что пьем для того, чтобы поддерживать здоровье или в силу привычки.
Точно такая же история произошла со словом ʼʼхаосʼʼ. Это древнее слово, в изначальном смысле определяющее отсутствие каких-либо систем и погружение всего сущего в неразбериху. При этом часто хаосом называют просто отсутствие того или иного порядка, который должен быть в настоящий момент. Несмотря на возраст, от начала жизни до смертного одра это знакомое слово сопровождает нас. При этом у него есть множество сходных слов, сходных между собой, но технически имеющих различные значение.
Не удивительно, что спустя годы, данный термин употребляется многими учеными для описания какой-либо разновидности случайности. Интересен пример, приведенный в книге ʼʼПорядок вне Хаосаʼʼ, написанной нобелевским лауреатом Ильёй Пигогином и его коллегой Изабель Стенджейрс. Эти авторы имели дело с различными дезорганизованными системами, имеющих спонтанную природу, просто бесформенной жидкой массой, которая после охлаждения принимала форму кристалла. Поколение или два ранее математик Роберт Винер иногда даже употреблял хаос во множественном числе. Он писал о хаосах или нескольких хаосах, когда ссылался к системам молекул, формирующих газ или случайному скоплению водяных капель, образующих облако.
При этом слово упорно оставалось в употреблении, хотя наука в середине семидесятых годов часто в научной литературе описывала ту или иную его разновидность. Можно даже сказать, что существует несколько разновидностей хаоса. В этой книге мы очень близко познакомимся с одним из них. Существует множество процессов, таких как колебание маятника в часах, качение камня с горы или разбивание океанских волн о берег, в которых используются те или иные процессы. Среди них, возможно таких как камень или волны, кроме колебаний маятника, есть процессы, выглядящие случайными, но на деле таковыми не являющимися. Я должен использовать термин хаос для общего описания процессов подобного вида – появляющихся так, словно действующих по воле случая, а на деле подчиняющихся точным законам. Это использование спорно, но часто употребляется в технических работах сегодня и научные труды о хаосе, хотя уже очевидна вся двусмысленность этого слова.
Читая подобные работы сегодня, мы должны помнить о том, что за этим словом могут скрываться различные значения. Иногда это будет феномен, описывающий вещи, имеющие случайный характер в пространстве, а не во времени, подобно диким цветам, случайно растущим в поле. С другой стороны, все здесь скорее запутано и достаточно сложно, нежели случайно, как в рисунке восточного ковра. Ситуация усложняется еще и тем, что сегодня часто используются другие термины, вроде нелинейности, комплексности, фрактальности, вместо хаоса и в его значении, что дает несколько интерпретаций событий. В последней главе я скажу несколько слов об этих сходных выражениях.
В бестеллере ʼʼХаос: Создание новой наукиʼʼ, где рассматривается хаос с нескольких точек зрения, Джеймс Глейк полагает, что теория хаоса имеет все шансы быть основным конкурентом теории относительности и квантовой механики по влиянию на научную мысль. Сбудется или нет это предсказание, очевидно одно, что ʼʼновая наукаʼʼ без вопросов взяла с места в карьер и имеет все шансы на то, чтобы стать фаворитом в ученой среде. Системы, описываемые как примеры хаоса, часто можно наблюдать без телескопов или микроскопов, и они бывают записаны без замедляющих или наоборот сверхскоростных видеокамер.
Размещено на реф.рф
Феномен хаоса просто является нашей ежедневной реальностью, подобно падению листа с ветки или развевающегося на ветру флага, а также процессы смены климата или даже можно взять саму жизнь как есть.
Я стараюсь использовать термины ʼʼполагаюʼʼ и ʼʼпредположительноʼʼ, поскольку есть кое-что, что можно сказать об этом феномене, что не вполне подходит под определение ʼʼслучайныйʼʼ. Материальные физические системы могут иметь по крайней мере небольшое число истинных случайностей. Даже казалось бы регулярное движение маятника в часах может иметь небольшие отклонения от траектории, вследствие случайного движения воздушных потоков или вибрации стены, возникающей от ходящих поблизости людей или от проезжающих на улице машин. В случае если хаос в действительности состоит из вещей не случайных и только кажущихся таковыми, может ли существовать в повседневной жизни небольшое число настоящих случайностей, подчиняющихся математической абстракции? Не могут ли такие ограничения несколько уменьшить универсальное значение полученных данных?
Чтобы ответить на данный вопрос, нет крайне важно сти притягивать за уши определение хаоса, включая в него феномены небольших случайностей, и не нужно делать вывод, что небольшие случайности становятся причиной большой случайности. Факт состоит в том, что процессы реального мира, происходящие случайно – такие как падение листа или колыхание флага – могут квалифицироваться, как хаос, который будет продолжаться в случайном порядке, даже если кто-то уберет истинную случайность.
На практике возможно очистить реальную систему от действительной случайности и наблюдать соответствующую последовательность, но часто мы можем догадаться, что будет, просто изучив вопрос теоретически. Большинство теоретических работ реальных феноменов являются приближенными. Научные попытки объяснить движение простого маятника, который изначально не является хаотичной системой, пренебрегают такими вещами, как вибрация и воздушные потоки, оставляя такие вещи более практичным инженерам. Часто он или она даже не обращают внимание на суть работы часов с маятником, на такие вещи как внутреннее трение, а также что-либо подобное. В результате карандашно-бумажная система является только моделью, но такая, с которой очень удобно работать. Кажется логичным, назвать реальную физическую систему хаотичной, в случае если это очень реалистичная модель. При этом и в той системе, где случайность подавляется, все же возникает случайное поведение.
Пинбол и бабочки
Мое словесное определение хаоса с одной стороны помогает ухватить саму сущность вопроса, а с другой пожалуй, заставит многих математиков вздрогнуть. Возможно большинство людей в своей повседневной жизни даже не подозревает, как сильно математика зависит от определений. Часто смысл определения передается настолько достоверно, насколько точно подобраны для него слова. Понятное дело, что прежде, чем кто-то создаст твердую теорию феномену, этому кому-то крайне важно получить недвусмысленное определение события.
Сегодня пример разговорного определения неоднозначен, поскольку ʼʼслучайностьʼʼ сама по себе имеет два различных определения, хотя, как мы можем видеть, это разногласие должна быть легко устранено указанием определенного намерения. Еще серьезнее выглядит простое утверждение ʼʼвыглядит случайнымʼʼ, что не должна быть темой строгого обсуждения, поскольку то, что видит один человек, совсем не обязательно то же самое, что наблюдает другой. Все это заставляет нас выработать рабочее определение хаоса, при этом сохраняя разговорный дух.
В соответствии с узким определением случайности, это случайная последовательность событий, в которой каждое последующее событие следует за предыдущим. Обычно, это принято понимать так, что есть неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ случайное событие, а за ним следует другое, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ может случиться в любое время. Известный пример, часто служащий парадигмой случайности, это бросание монеты. В ней есть орел и решка. Очевидно, что здесь бывают только две вещи, при чем одна следует за другой. В процессе действительной случайности, возможность выпадения орла при бросании монеты составляет 50% или около того. И это справедливая вероятность, в случае если только мы не кидаем монету так сильно, что она начинает терять форму. В случае если мы уже знаем возможность, при этом зная каким вышел последний бросок, то мы никоим образом не сможем догадаться, каким будет следующий результат броска.
Правда, зная результаты достаточного числа броской одной и той же монеты, можно предположить с высокой степенью вероятности, когда выпадет орел. В случае если в процессе бросков орел выпадает 55% всех попыток, мы можем предположить, что монета имеет дефекты, и эта возможность справедлива, а эти 55% можно будет предсказать с большей вероятностью, чем те 50, что мы предполагали ранее.
Монета — ϶ᴛᴏ пример полной случайности. Это разновидность той случайности, когда мы думаем о случайных номерах или хотим использовать генератор случайных числе. В соответствии с более широким определением случайности — ϶ᴛᴏ неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ простое событие, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ может породить за собой одно из нескольких других случайных событий, при этом даже не обязательно, что это произойдет и будет что-то дальше. То, что случится в действительности, зависит о того, что только что случилось. К примеру, как и в случае с бросанием монет, что часто ассоциируется со случайными играми, можно предложить перетасовку карт в колоде. Этот процесс только предположительно случаен, поскольку, даже если тасующим бы пожелал – к примеру, в случае если с каждой стороны колоды он запланировал снимать стопку точно в середине а затем позволял одной карте падать на стол из одной стопки, а затем из другой – то в любом случае, он не смог бы точно контролировать мускульное усилие в пальцах, чтобы делать математически точную тасовку, в случае если конечно он не гений тасовки. И даже данный процесс нельзя назвать полностью случайным, поскольку одна тасовка не может изменить весь порядок карт в колоде. А вот несколько тасовок вполне способны справиться с этой задачей.
Детерминистическая последовательность состоит по сути в том, что только одно событие может случиться дальше; на этом основан великий закон эволюции. Случайность в широком смысле слова, следовательно, является отсутствием детерминизма. Эту разновидность случайности я и намереваюсь описать словом ʼʼхаосʼʼ, то есть как нечто, что выглядит случайно.
Бросание монеты и перемешивание колоды карт — ϶ᴛᴏ процессы, которые имеют в своей базе дискретные шаги – последовательное бросание и перемешивание. Для большого числа последовательностей, таких как скорость автомобиля на шоссе, концепция следующего события теряет свое значение. Тем не менее, оно все еще может определяться как случайное в широком смысле слова, и можно сказать, что более чем одно событие, такие как смена скорости авто, возможно в определенное время в будущем. В этом случае мы как бы приближаем будущее время к настоящему, то есть к узкой полосе возможностей – машина может моментально остановиться в плотном траффике или резко повысить скорость через десять секунд, но не через одну секунду. Математики обнаружили интересную возможность ввести концепцию полной случайности в происходящих процессах, хотя представить эти процессы и обрисовать их природу достаточно сложно.
Системы, которые меняются детерминистически в прогрессии, как математические модели колеблющегося маятника, катящегося камня и волны, разбивающейся о берег, а также системы, которые меняются в непоследовательной случайность – возможно реальный маятник, камень или волна – технически известны, как динамические системы. И по крайней мере в случае с моделями, состояние системы должна быть описано определенными значениями или переменными. Для модели маятника существуют две переменные – положение и скорость качания — этого достаточно; скорость может рассматриваться как положительной, так и отрицательной, в соответствии с тем направлением, куда в данный момент совершается колебание. Для модели камня снова требуется знать положение и скорость, но если взять более реалистичную модель, потребуются новые переменные, описывающие ориентацию в пространстве и кручение. Разбивающаяся о берег волна, в случае если описывать ее реалистичную модель, также потребует уже дюжин переменных или даже сотни.
Возвращаясь к хаосу, мы можем описать его поведение, как детерминистичное или близкое к тому, что случается в осязаемой системе, где происходит достаточно большое число случайностей, но при этом все не выглядит детерминестически. Это значит, что состояние в настоящее время полностью или почти полностью определяет будущее, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ не обязательно будет именно таким. Как детерминестическое поведение может выглядеть случайным? В случае если действительно идентичные состояния случаются в двух или более случаях, вряд ли случиться так, что идентичные состояния обязательно будут следовать друг за другом. Не исключено, что они будут восприниматься по-разному. То, что может случиться, вместо того что почти случилось, но не вполне, бывают идентичными состояниями, которые проявляются подобным образом, как состояния, которые следуют друг за другом, тогда как наблюдаются они различно. Действительно, в некоторых динамических системах обычно два идентичных состояния могут следовать друг за другом, но при этом они не будут соответствовать двум состояниям, выбранным случайно в длительной последовательности событий. Системы в которых это случается называются зависимыми от начальных условия. С некоторыми поправками, которые рассмотрены сейчас, подобные системы могут служить приемлемыми определениями хаоса, в том смысле какой я вкладываю в это слов в данной книге.
ʼʼНачальные состоянияʼʼ не обязательно те, что возникают при создании системы. Часто они являются началом эксперимента или вычисления, но они также могут лежать на любом временном промежутке интересном наблюдателю. Так для одного человека это будут начальные состояния, а для другого серединные состояния или даже конечные.
Возникающие при этом ощущения воспринимаются реальней, чем возникающая разница между двумя состояниями, возникающими в со временем. К примеру, детерминистская система, в которой начальное различие одной еденицы между двумя состояниями будет постепенно увеличиваться до содни единиц, в то время как начальная разница сотой единицы или даже миллионной будет постепенно увеличиваться также до сотен единиц, даже не смотря на то, что более позднее увеличение будет неизбежно требовать больше времени. Существуют другие детерминистские систему, в которых начальное различие одной единицы будет увеличиваться до сотен единиц, но начальное отличие сотой единицы будет увеличиваться только до одной единицы. Систему такого типа называют хаотичными, в то же время другие не рассматриваются как хаотичные, даже не смотря на то, что они имеют сходные свойства.
Поскольку хаос отличается детерминестичностью, или около того, случайные игры должны быть совершенно непредсказхуемы и давать нам простые примеры, но в реальности игры не настолько случайны. Среди устройств, способных создавать видимость хаоса, можно назвать монеты или карты, а также пинбол. В идеале последний нужно взять в его ретро-варианте, без лопаток или сверкающих огней, а с простыми рычажками, чтобы управлять мячиком, пока он не свалится в яму.
Одной прекрасной весной в тридцатых годах, когда я мои годы проходили в Дармуте, внезапно в местных хозяйственных магазинчиках и закусочных появилось несколько пинбол-мащин. Вскоре многие студенты стали победителями в этой игре, но еще больше терпело неудачу и большое число десятицентовиков. Прошло неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ время, прежде чем городские власти решили убрать машины, поскольку они нарушали закон об азартных играх. При этом они успели одуматься, поскольку поняли, что умение в игре стоит большего, нежели слепой случай. По этой причине аппараты легализовали.
При этом стоит задуматься над тем, что будь оно так, то все студенты рано или поздно отточили бы свое мастерство и стали бы выигрывать постоянно. Этого не случилось потому, что существовал хаос. Подобно успешным броскам монеты или тасовке колоды карт, всегда существовало некое ʼʼсобытиеʼʼ, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ определялось как именно мячик ударится о биту. Событие состояло частично от биты, задающей направление мячика и скорости мяча, оттолкнувшегося от биты. Заметим, что я использую скорость в ее техническом смысле слова, чтобы указать на зависимость скорости с направлением движения, как на просто положение с некоторой ссылкой, подразумевающей дистанцию вместе с направлением перемещения.
Допустим, что два мяча отскакивают один за другим от одной биты в слегка различных направлениях. Когда мячи снова достигают биты, их положение будет немного ближе, в сравнении с расстоянием между битами, но не обязательно близко, сравнительно с диаметром мяча. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, в случае если один мяч ударяется о биту прямо и отправляется в положение, откуда он прилетел, то другой может удариться под наклоном и отравиться в правый угол. Приблизительно это произошло на рисунке 1, который показывает пути центров двух мячей, которые запустил игрок с почти равными скоростями. Мы видим, что угол между двумя путями может легко возрасти вдесятеро, когда бы ни ударился мячик о биту, и тогда один мяч полностью потеряет биту, а по другому будет удар.
Размещено на реф.рф
Таким образом игроку крайне важно будет увеличить его или ее контроль в десятеро, чтобы ударить другой битой в нужном направлении.
Конечно, пинбол-машина на рисунке 1 является математической моделью, а траектории движения мячей были рассчитаны на компьютере. Модель включала противодействующий эффект трения, а также потерю энергии при ударе мяча о биту или о стенки, но в реальной машине, мячик получает некоторый крутящий момент от удара биты, что может служить стартовой позицией удара другой битой. Отсюда нельзя сделать вывод, что подобное поведение хаотично – поскольку траектория зависит от начальной скорости.
Даже в таком случае, модель остается несостоятельной в плане обеспечения идеального примера хаоса, поскольку хаотичное поведение прекращается сразу после последнего удара битой. В случае если, к примеру, отдельный мяч ударяется только семью битами на пути вниз, он может получить миллион начальных направлений в пределах десяти градусов, но изменение в десять миллионов вариантов потребует всего одного градуса. Чтобы учесть все требования для хаоса, машина должна быть бесконечно длинной – такое возможно в модели, но не в реальности – или также если удерживать мяч в игре бесконечно долго. Любое изменения направление, даже на миллионную миллионной градуса, может стать причиной выхода за пределы десяти градусов.
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, учитывая различные зависимости в любой системе, невозможно сделать точные предсказания или даже предварительно спрогнозировать что-то на отдаленное будущее.
Рисунок 1. Пинболл-машина. Отображенные кривые являются траекториями центров двух мячей, которые начали свой путь с почти равными скоростями. Радиус мячей указан расстоянием между битой и резко меняется в направлении траектории.
Это предположительное утверждение, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ мы не можем измерить полностью избавившись от сомнений. Мы не можем определить это на глаз, до ближайшей десятой градуса и даже не до целого градуса, в каком направлении будет двигаться мячик. Это значит, что мы не можем предсказать, до ближайших десяти градусов направление мяча после одного или двух ударов о биту, в связи с этим мы не можем предсказать какая именно бита ударит по мячу в третий или четвертый раз. Умное электронное оборудование может измерить направление до ближайшей тысячной градуса, но это вряд ли даст возможность точно предсказать поведение двух или трех бит. Как мы сможем понять из дальнейшего содержания книги, зависимость от различных факторов является главной причиной хорошо известной неудачи с предсказанием точного прогноза погоды.
Я упомянул два типа процессов – те что происходят шаг за шагом, как сортировка карт в колоде, а также те, что происходят на протяжении определенного времени, подобно переключению скоростей или положению авто на шоссе. С точки зрения динамических систем подобные типы не обязательно не связаны. Игра в пинболл может служить иллюстрацией к фундаментальной связи между ними.
Допустим, что мы наблюдаем 300 мячей, как они бегают внутри машины. Это дает нам возможность составить диаграмму, содержащую 300 точек. Каждая точка будет указывать положение центра одного из мячей, когда мяч ударяется первой битой. Последняя диаграмма должна быть представлена, как полная карта движений, хотя она будет немного искаженной. Очень близкие пространства кластеров очков на первой диаграмме, могут появиться как узнаваемый кластер на второй. Динамические системы, которые различаются дискретными шагами, как пинболл-машины, где ʼʼсобытияʼʼ это удары биты, принято называть маппингом. Математический инструмент для построения маппинга — ϶ᴛᴏ дифференциальные уравнения.. Система дифференциальных уравнений — ϶ᴛᴏ определенный набор формул, которые вместе выражают значением всех возможностей в следующем шаге в числовых терминах текущего шага.
Я рассматривал игру в пинболл, как последовательность событий, но, конечно, движение мяча между ударами настолько точно управляется физическими законами, насколько точно совершаются обратные удары битой. По этой причине, в том же ключе, мы рассматриваем движение монеты, пока она в воздухе. Почему же поздние процессы должны быть случайными, а ранние хаотичными? Между любыми двумя бросаемыми монетами существует человеческое вмешательство, в связи с этим исход одного броска определяет исход следующего. Что касается мяча, единственное человеческое влияние на его траектория случается перед первым ударом биты, в случае если только игрок не овладел мастерством управления машиной без активации значка TILT.
Поскольку мы можем наблюдать мяч между ударами, то имеем возможность построить диаграммы, показывающие положения центров 300 мячей в последовательности почти одинаковых временных промежутков, скажем каждые пятьдесят секунд вместо только моментов ударов. И снова диаграмма будет полномасштабной картой предшествующих ударов. Теперь, однако, мы заметим лишь небольшое изменение от одной диаграммы к другой и появится своеобразный плавный переход через всю последовательность. Динамические системы, изменяющиеся во времени, подобно маятнику и катящемуся камню и, очевидно, пинбол-машина, в случае если рассматривать момент полного движения мяча, технически известны, как потоки. Математический инструмент для выражения потоков это дифференциальные уравнения. Системы дифференциальных уравнений представлены совокупностью формул, показывающих состояние, в которых все переменные меняются в настоящее время, то есть можно сказать, что это меняющиеся сейчас значения переменных.
Когда игра в пинболл воспринимается как поток, вместо маппинга, и в качестве модели используется достаточно простая система дифференциальных уравнений, становится возможным решить эти уравнения. Полное решение будет содержать выражения, дающие значения переменных в любое данное время в числовых терминах в любое представленное время. Когда рассматриваются моменты последовательных ударов биты, выражения будут вычисляться ничем иным, как системой дифференциальных уравнений. Таким образом из потока будет получаться маппинᴦ.
Действительно, мы можем создать маппинг из любого потока, просто рассматривая поток как совокупность выбранных временных промежутков. В случае если не существует особых событий, подобных удару о биту, мы можем выбрать те промежутки, какие пожелаем – к примеру, каждый час. Очень часто, когда поток определен системой дифференциальных уравнений, у нас недостаточно удобных значений, чтобы решить их – некоторые дифференциальные уравнения по определению нерешаемы. В этом случае, даже несмотря на то что дифференциальные уравнения связанные с маппингом должны давать существующее отношений, мы не можем обнаружить, как именно они выглядят. Стоит сказать, что для некоторых реально существующих системы мы даже не обладаем всеми знаниями, чтобы сформулировать дифференциальные уравнения; можем ли мы написать уравнения, реалистично описывающее набегающие волны, со всеми их пузырьками и пеной, которые ветер заставляет разбиваться о скалистый берег?
В случае если игра в пинболл — ϶ᴛᴏ хаос, а бросание монеты это полная случайность, очевидно, что они не могут служить популярными символами хаоса, поскольку монета — ϶ᴛᴏ символ случайности. Тем более, что далеко позади в соревновании на символизм побеждает бабочки, поскольку она появляется в книге Джеймса Глейка, где вступительная глава названа ʼʼЭффект бабочкиʼʼ.
Данное выражение имеет довольно туманное происхождение. Впервые оно, вероятно, появилось на лекции в Вашингтоне в 1972 году, озаглавленной ʼʼМожет ли один взмах крыльев бабочки в Бразилии спровоцировать торнужно в Техассе?ʼʼ. Я избегаю отвечать на данный вопрос, но отмечают, что если один взмах может привести к торнужно, что в принципе не реально, то это могло бы быть равно успешному предотвращению возможного торнужно. Я также замечаю, что один взмах не может иметь эффект на погоду больший, чем любой взмах любого крыла любой бабочки, без упоминания активности других факторов, включая наш собственный. Данная лекция представлена в оригинальном виде в Приложении 1.
Рисунок 2. Бабочка.
Немного неясны истоки происхождения фразы, как первоначального определения хаотичной системы, которые я детально изучал. Существуют небольшие графические отображения особой коллекции состояний, известных как ʼʼстранные аттракторыʼʼ, которые по форме напоминают бабочку, в связи с этим их так и назвали. На Рисунке 2 мы видим одну бабочку; именно эти окружности появились на внутренней обложке книги Глейка. Все люди, кому я говорил об это, полагают, что эффект бабочки был назван как раз в честь этих аттракторов. Возможно, так и есть.
Некоторые люди также говорили мне об истории Рея Бредберри ʼʼИ грянул громʼʼ, написанной задолго до вашингтонской встречи. В ней смерть доисторической бабочки, и невозможность ее дальнейшего воспроизводства, запускает цепную реакцию, изменяющую постепенно реальность наших дней.
До вашингтонской встречи я иногда использовал чайку, как символ осознаваемой зависимости. Переключение на бабочку было действительно сделано руководителем сессии, метеорологом Филипом Мерилеесом, который не смог вместе со мной установить точно, когда термин впервые попал в заголовки программы. Фил недавно уверял меня, что не знаком с историей Бредбери. Возможно, что бабочка с ее кажущейся хрупкостью и слабостью, естественный символ чего-то небольшого, что может спровоцировать великое.
Другие символы ссылаются к чайке. В роман Джорджа Р. Стюарта ʼʼШтормʼʼ, копию которой сестра дала мне на рождество, когда она впервые узнала, что я хочу стать метеорологом, по сюжету считалось, что человек, чихнувший в Китае, может вызвать сильный снегопад в Нью-Йорке. Сказанное профессором Стюартом, было просто эхом того, о чем в реальном мире давно говорили реальные метеорологи уже многие годы, иногда в шутку, а иногда всерьез.
Оно не попадает в ритм
Существует большое число известных состояний в кардиологии, называемых аритмии; некоторые из них бывают даже фатальны. Сердце начинает биться с нерегулярными интервалами, а иногда просто в разнобой, вместо того чтобы работать как метроном. Можно легко догадаться, что аритмии это своеобразный символ хаоса. Ясно, что должно быть отсутствие какого-либо порядка, но если рассмотреть внимательно, как все происходит или любой процесс, отклоняющийся от ритма, можно все равно найти определенную зависимость.
Точные определения не всегда подходят. В случае если описывать хаос в терминах явной зависимости, можно обнаружить, насколько трудно определить точно феномен хаоса.
Пинболл-машина на этом фоне не должна создавать проблем. В случае если мы наблюдаем как катаются мячики и замечаем их положение и скорость в некий ʼʼначальныйʼʼ момент времени, то должно быть достаточно просто для нас поставить новый катящийся мяч в то же положение и сообщить ему те же скорость и направление, а затем проследить, будет ли он соблюдать ту же траекторию, как и предыдущий; возможно, что и нет, в случае если мой анализ был правильным. В случае если вместо этого у нас есть система из флага, развевающегося на вет
referatwork.ru
No related posts.

Теория хаоса и другие явления, ставшие научными открытиями

Прощайте, Ньютон и Эйнштейн!

Фракталы и аттракторы

Илья Пригожин – философ нестабильности

Памяти Эдварда Нортона Лоренца: Наука и техника: Lenta.ru

Предыстория: демон Лапласа

Три знака после запятой

Эффект бабочки

Неожиданная структура

Теория хаоса

Теория хаоса и другие явления, ставшие научными открытиями

Прощайте, Ньютон и Эйнштейн!

Фракталы и аттракторы

Илья Пригожин – философ нестабильности

Теория хаоса

Теория хаоса • ru.knowledgr.com

Введение

Хаотическая динамика

Чувствительность к начальным условиям

Топологическое смешивание

Плотность периодических орбит

Странные аттракторы

Минимальная сложность хаотической системы

Системы толчка

Непосредственный заказ

История

Различение случайного от хаотических данных

Заявления

Информатика

Биология

Другие области

См. также

Научная литература

Статьи

Учебники

Полутехнические и популярные работы

Внешние ссылки

Теория хаоса

Эдвард Лоренц

Добавить комментарий Отменить ответ