Иррациональная функция это – .

Классификация элементарных функций

Классификация элементарных функций

Внимание! Zaochnik не продает дипломы, аттестаты об образовании и иные документы об образовании. Все услуги на сайте предоставляются исключительно в рамках законодательства РФ.

Внимание! Zaochnik не продает дипломы, аттестаты и иные документы об образовании. Все услуги на сайте предоставляются в рамках законодательства РФ.

Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Выделяют множество видов элементарных функций, каждый из которых обладает собственным набором свойств. Так, одни можно дифференцировать на определенном промежутке бесконечное число раз, другие являются непрерывными, ортогональными и др. В этой статье мы расскажем об общепринятой классификации элементарных функций.

Что такое элементарные функции

Начнем с базового определения.

Определение 1

Элементарные функции – это такие функции, которые получаются из основных функций с помощью сложения, вычитания, умножения и деления, а также посредством преобразования сложных функций.

Пример 1

Пример элементарной функции – y=arcsin2xx2-3+1-ln(x).

Таким функции бывают:

• алгебраическими;
• трансцендентными.

В свою очередь алгебраические функции можно разделить на иррациональные и рациональные (целые рациональные и дробные рациональные).

Рассмотрим каждый вид функций отдельно.

Понятие алгебраических функций

Определение 2

Алгебраические функции – это функции, которые состоят из цифр и букв, соединяющихся друг с другом при помощи знаков сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня и возведения в целую степень.

Иными словами, это те функции, которые можно получить и

zaochnik.com

Алгебраические функции

Какими бывают функции?

Чтобы не заблудиться среди огромного разнообразия функций, очень важно выделить признаки той их части, которая называется алгебраическими функциями.

Прежде всего определимся с элементарными функциями.

Определение

Любая функция $f$ считается элементарной, если она задана одним уравнением $y=f\left(x\right)$, составленным из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий и композиций.

В определении применены следующие понятия:

1. Арифметические действия

   Это значит, что над двумя данными произвольными функциями $u\left(x\right)$ и $v\left(x\right)$ в данной области определения можно выполнять сложение $u\left(x\right)+v\left(x\right)$, вычитание $u\left(x\right)-v\left(x\right)$, умножение $u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)$, а также деление $\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)} $. При делении предполагается, что для всех $x$ из данной области определения выполняется условие $v\left(x\right)\ne 0$.

2. Операция композиции

   Операция композиции состоит в следующем. Пусть $y$ является функцией от $u$, то есть $y=f\left(u\right)$. Пусть также в свою очередь, $u$ является функцией независимой переменной $x$, то есть $u=g\left(x\right)$. В этих условиях функция $y=f\left(g\left(x\right)\right)$ называется композицией данных функций $f$ и $g$.

Пример 1

Функция $y=\frac{x\cdot 3^{x} }{\sqrt{2-\cos x} } +\arcsin ^{2} x$ является элементарной. В ней использованы все четыре арифметических действия, основные элементарные функции (постоянная, степенная, показательная, тригонометрическая и обратная тригонометрическая), а также представлены композиции функций в виде $\arcsin ^{2} x$ и $\sqrt{2-\cos x} $.

Все элементарные функции распределяют на алгебраические и трансцендентные (те, которые к алгебраическим не относятся).

Разновидности алгебраических функций

Существует три основных разновидности алгебраических функций.

Целые рациональные функции (многочлены, полиномы)

Это функции вида $y=P\left(x\right)=a_{n} \cdot x^{n} +a_{n-1} \cdot x^{n-1} +\ldots +a_{1} \cdot x+a_{0} $, где $a_{0} ,\; a_{1} ,\; \ldots ,\; a_{n} $ — постоянные действительные числа, называемые коэффициентами, $n$ — целое неотрицательное число. Если $a_{n} \ne 0$, то $n$ называют степенью многочлена.

Пример 2

Многочлен второй степени $y=3\cdot x^{2} -x+5$. Многочлен нулевой степени $y=7$.

Дробно-рациональные функции (рациональные дроби)

Это функции вида $y=\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)} =\frac{a_{n} \cdot x^{n} +a_{n-1} \cdot x^{n-1} +\ldots +a_{1} \cdot x+a_{0} }{b_{m} \cdot x^{m} +b_{m-1} \cdot x^{m-1} +\ldots +b_{1} \cdot x+b_{0} } $, представляющие собой отношение двух многочленов.

Пример 3

Рациональная дробь $y=\frac{x^{2} +1}{7\cdot x^{3} +4\cdot x-2} $.

Иррациональные функции

В состав таких функций входят рациональные функции с нецелыми рациональными показателями степени при использовании арифметических действий. Внешний признак иррациональной функции — наличие корней различной степени.

Пример 4

Иррациональная функция $y=3-\sqrt[{5}]{x^{2} } +\sqrt{\frac{x+1}{x^{2} -1} } $.

Свойства рациональных дробей

Дана рациональная дробь $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)} =\frac{a_{n} \cdot x^{n} +a_{n-1} \cdot x^{n-1} +\ldots +a_{1} \cdot x+a_{0} }{b_{m} \cdot x^{m} +b_{m-1} \cdot x^{m-1} +\ldots +b_{1} \cdot x+b_{0} } $, где $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$ — многочлены. Пусть коэффициенты $a_{n} \ne 0$ и $b_{m} \ne 0$. Тогда указанные многочлены имеют степени $n$ и $m$ соответственно. Данная рациональная дробь определена во всех точках числовой оси, за исключением тех точек, в которых знаменатель $Q\left(x\right)=0$.

Рациональную дробь называют правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть $n

Деление рациональных дробей

Если рациональная дробь является неправильной, то посредством деления числителя $P\left(x\right)$ на знаменатель $Q\left(x\right)$ её можно представить в виде$\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)} =M\left(x\right)+\frac{R\left(x\right)}{Q\left(x\right)} $ или $P\left(x\right)=M\left(x\right)\cdot Q\left(x\right)+R\left(x\right)$, где $\frac{R\left(x\right)}{Q\left(x\right)} $ — правильная рациональная дробь, а многочлены $M\left(x\right)$ и $R\left(x\right)$ — соответственно частное и остаток от деления многочленов. При этом сумма степеней многочленов $M\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$ равна степени многочлена $P\left(x\right)$.

Задача 1

Разделить многочлены $\frac{3\cdot x^{4} -2\cdot x^{3} -x^{2} +7\cdot x-5}{x^{2} -2\cdot x+3} $.

Деление в данном случае возможно, так как степень числителя (четвёртая) больше степени знаменателя (вторая). Деление многочленов выполняем «углом».

Результат деления имеет следующий вид:

\[\frac{3\cdot x^{4} -2\cdot x^{3} -x^{2} +7\cdot x-5}{x^{2} -2\cdot x+3} =3\cdot x^{2} +4\cdot x-2+\frac{-9\cdot x+1}{x^{2} -2\cdot x+3} .\] Здесь $M\left(x\right)=3\cdot x^{2} +4\cdot x-2$ — частное от деления, $R\left(x\right)=-9\cdot x+1$ — остаток от деления.

Сокращение рациональных дробей

Рациональная дробь $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)} $, как и числовая, бывает сократимой или несократимой. Предположим, что данная рациональная дробь является сократимой, так как оба многочлена $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$ имеют общие множители, содержащие переменную $x$. Произведение всех этих множителей называется наибольшим общим делителем данных многочленов, то есть $P\left(x\right)=N\left(x\right)\cdot P_{1} \left(x\right)$ и $Q\left(x\right)=N\left(x\right)\cdot Q_{1} \left(x\right)$, где многочлен $N\left(x\right)$ — наибольший общий делитель. В этом случае данная рациональная дробь приобретает вид $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)} =\frac{N\left(x\right)\cdot P_{1} \left(x\right)}{N\left(x\right)\cdot Q_{1} \left(x\right)} =\frac{P_{1} \left(x\right)}{Q_{1} \left(x\right)} $, где рациональная дробь $\frac{P_{1} \left(x\right)}{Q_{1} \left(x\right)} $ является несократимой, а многочлены $P_{1} \left(x\right)$ и $Q_{1} \left(x\right)$ называются взаимно простыми. Если многочлен $N\left(x\right)$ — какой-то один наибольший общий делитель, то многочлены $C\cdot N\left(x\right)$, где $C$ — произвольная константа, тоже будут наибольшими общими делителями. Общим делителем взаимно простых многочленов может считаться произвольная константа.

Наибольший общий делитель многочленов $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$ можно найти с помощью алгоритма Евклида:

1. пусть $U\left(x\right)$ и $V\left(x\right)$ — это новые обозначения многочленов $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$, причем $U\left(x\right)$ — это тот, который имеет большую степень;
2. делим многочлен $U\left(x\right)$ на многочлен $V\left(x\right)$ и получаем $\frac{U\left(x\right)}{V\left(x\right)} =M\left(x\right)+\frac{P\left(x\right)}{V\left(x\right)} $, где новый многочлен $P\left(x\right)$ представляет собой остаток от деления;
3. обозначаем многочлен $V\left(x\right)$ как $Q\left(x\right)$ и возвращаемся на шаг 1.

Выполнение данного алгоритма повторяем, пока на шаге 2 не будет достигнуто нулевое значение остатка от деления $P\left(x\right)=0$. Тогда предпоследний, отличный от нуля остаток от деления, будет наибольшим общим делителем данных многочленов $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$.

Если полученный по алгоритму Евклида наибольший общий делитель будет иметь вид многочлена $N\left(x\right)$, зависящего от $x$, то данную рациональную дробь $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)} $ можно сократить посредством деления и числителя, и знаменателя на $N\left(x\right)$. Если же наибольший общий делитель будет получен в виде константы, то данную рациональную дробь $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)} $ следует считать несократимой.

Задача 2

Сократить рациональную дробь $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)} =\frac{x^{2} +x-6}{x^{3} +2\cdot x^{2} -4\cdot x-3} $.

Сначала по алгоритму Евклида находим наибольший общий делитель многочленов $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$.

Шаг 1. Новые обозначения многочленов $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$:

\[U\left(x\right)=x^{3} +2\cdot x^{2} -4\cdot x-3; V\left(x\right)=x^{2} +x-6.\]

Шаг 2. Результат деления многочленов:

$\frac{U\left(x\right)}{V\left(x\right)} =\frac{x^{3} +2\cdot x^{2} -4\cdot x-3}{x^{2} +x-6} =x+1+\frac{x+3}{x^{2} +x-6} $, где новый многочлен $P\left(x\right)=x+3$ представляет собой остаток от деления.

Задача 3

Переобозначаем $Q\left(x\right)=x^{2} +x-6$ и возвращаемся на шаг 1.

Шаг 1. Новые обозначения многочленов $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$:

\[U\left(x\right)=x^{2} +x-6; V\left(x\right)=x+3.\]

Шаг 2. Результат деления многочленов: $\frac{U\left(x\right)}{V\left(x\right)} =\frac{x^{2} +x-6}{x+3} =x-2$, где остаток от деления $P\left(x\right)=0$.

Таким образом, наибольший общий делитель — это предыдущий, отличный от нуля остаток, то есть $N\left(x\right)=x+3$. Этот наибольший общий делитель представляет собой многочлен, зависящий от $x$, следовательно, сокращение данной рациональной дроби возможно:

\[\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)} =\frac{x^{2} +x-6}{x^{3} +2\cdot x^{2} -4\cdot x-3} =\frac{x-2}{x^{2} -x-1} .\]

spravochnick.ru

9 Вопрос.

Прямая линия — график линейной функции y = ax + b. Функция y монотонно возрастает при a > 0 и убывает при a < 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax — прямая пропорциональность)

Парабола — график функции квадратного трёхчлена у = ах² + bх + с. Имеет вертикальную ось симметрии. Если а > 0, имеет минимум, если а < 0 — максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс — корни соответствующего квадратного уравнения ax² + bx +с =0

Функция вида  ( a , b , c , d – некоторые постоянные) называется дробно-линейной . а, b, с, d — постоянные, причем (иначе мы имели бы линейную функцию) и(иначе произошло бы сокращение и мы получили бы постоянную функцию).

y=lxl f(x)<=0 для любого x. график симметричен относительно оси ординат

10 Вопрос.

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. Обратная функция функцииобычно обозначается, иногда также используется обозначение.

Сложная функция – функция от функции. Если z – функция от у, т.е. z(y), а у, в свою очередь, – функция от х, т.е. у(х), то функция f(x) = z(y(x)) называется сложной функцией (или композицией, или суперпозицией функций) от х.

Очень удобно классификацию элементарных функций представить в виде таблицы.

Элементарные функции

Итак, по приведенной классификации элементарные функции подразделяются наалгебраические и трансцендентные.

Алгебраические функции.

Алгебраическими называют функции, составленные из букв и цифр, соединенных знаками действий сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень и извлечение корня.

Другими словами: алгебраическими называют элементарные функции, которые могут быть получены из двух основных функций f(x)=x и f(x)=1 при помощи любого числа последовательно выполненных алгебраических действий (сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень, извлечение корня) и умножения на числовые коэффициенты.

Например, функция является алгебраической.

Алгебраические функции подразделяются на рациональные и иррациональные.

Рациональные функции.

Рациональными называются алгебраические функции, которые не содержат аргумент под знаком радикала (корня).

Рациональные функции разделяются на целые рациональные функции (многочлены) идробные рациональные (отношение многочленов).

Пример целой рациональной функции: .

Пример дробно-рациональной функции: .

ПРИМЕЧАНИЕ:

Рациональные функции могут содержать и иррациональные коэффициенты (главное, чтобы под знаком радикала не было аргумента функции). Например, — целая рациональная функция, а не иррациональная.

Иррациональные функции.

Иррациональными называются алгебраические функции, содержащие аргумент под знаком радикала (корня).

Примером может являться функция .

Трансцендентные функции.

Трансцендентными называют элементарные функции, которые не являются алгебраическими. (То есть, они образованы при помощи возведения в иррациональную степень, логарифмирования, с использованием тригонометрических и обратных тригонометрических операций).

К примеру, — трансцендентная функция.

studfiles.net

Рациональная функция — Howling Pixel

Рациональная функция — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены.

Определение

Рациональной функцией называется функция вида

Pn(x1,…,xn)Qm(x1,…,xm){\displaystyle {\frac {P_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})}{Q_{m}(x_{1},\dots ,x_{m})}}}

где  Pn(x1,…,xn){\displaystyle P_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})},  Qm(x1,…,xm){\displaystyle Q_{m}(x_{1},\dots ,x_{m})} — многочлены от любого числа переменных.

Такая функция определена во всех точках, кроме тех, в которых знаменатель Qm(x1,…,xm){\displaystyle Q_{m}(x_{1},\dots ,x_{m})} обращается в ноль.

Частным случаем являются рациональные функции одной переменной:

R(x)=P(x)Q(x){\displaystyle R(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}}, где P(x){\displaystyle P(x)} и Q(x){\displaystyle Q(x)} — многочлены.

Другим частным случаем является отношение двух линейных функций — дробно-линейная функция.

Свойства

Правильные дроби

Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями. Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если это не так.

Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби

Pn(x)Qm(x)=Pn−m′(x)+Pm−1″(x)Qm(x){\displaystyle {\frac {P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}}=P’_{n-m}(x)+{\frac {P_{m-1}^{»}(x)}{Q_{m}(x)}}}

Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения (x−a)k{\displaystyle (x-a)^{k}} (a{\displaystyle a} — вещественный корень Q(x){\displaystyle Q(x)}) либо (x2+px+q)k{\displaystyle (x^{2}+px+q)^{k}} (где x2+px+q{\displaystyle x^{2}+px+q} не имеет действительных корней), причём степени k{\displaystyle k} не больше кратности соответствующих корней в многочлене Q(x){\displaystyle Q(x)}. На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.

C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским^[1].

См. также

Примечания

1. ↑ M. Ostrogradsky. De l’intégration des fractions rationnelles. — Bulletin de la classe physico-mathématique de l’Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg. — 1845. — Vol. IV. — Col. 145—167, 286—300.

Абелев интеграл

А́белев интеграл — интеграл от алгебраической функции вида:

∫z0z1R(z,w)dz   (1),{\displaystyle \int \limits _{z_{0}}^{z_{1}}R(z,w)dz~~~(1),}

где R(z,w){\displaystyle R(z,w)} — любая рациональная функция от переменных z{\displaystyle z} и w{\displaystyle w}, связанных алгебраическим уравнением

F(z,w)=a0(z)wn+a1(z)wn−1+⋯+an(z)=0   (2).{\displaystyle F(z,w)=a_{0}(z)w^{n}+a_{1}(z)w^{n-1}+\cdots +a_{n}(z)=0~~~(2).}

с целыми рациональными по z{\displaystyle z} коэффициентами aj(z),j=0,1,⋯,n{\displaystyle a_{j}(z),j=0,1,\cdots ,n}. Уравнению (2) соответствует компактная риманова поверхность F{\displaystyle F}, n{\displaystyle n}-листно накрывающая сферу Римана, на которой z,w{\displaystyle z,w}, а следовательно, и R(z,w){\displaystyle R(z,w)}, рассматриваемые как функции точки поверхности F{\displaystyle F}, однозначны.

Алгебраическая функция

Алгебраическая функция — элементарная функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть неявно задана с помощью алгебраического уравнения.

Формальное определение:

Функция F(x1,x2,…,xn){\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})} называется алгебраической в точке A=(a1,a2,…,an){\displaystyle A=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}, если существует окрестность точки A{\displaystyle A}, в которой верно тождество

P(F(x1,x2,…,xn),x1,x2,…,xn)=0.{\displaystyle P(F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0.}

где P{\displaystyle P} есть многочлен от n+1{\displaystyle n+1} переменной.

Функция называется алгебраической, если она является алгебраической в каждой точке области определения.

Например, функция действительного переменного F(x)=1−x2{\displaystyle F(x)={\sqrt {1-x^{2}}}} является алгебраической на интервале (−1,1){\displaystyle (-1,1)} в поле действительных чисел, так как она удовлетворяет уравнению

F2+x2=1.{\displaystyle F^{2}+x^{2}=1.}

Существует аналитическое продолжение функции F(x)=1−x2{\displaystyle F(x)={\sqrt {1-x^{2}}}} на комплексную плоскость, с вырезанным отрезком [−1,1]{\displaystyle [-1,1]} или с двумя вырезанными лучами (−∞,−1]{\displaystyle (-\infty ,-1]} и [1,∞){\displaystyle [1,\infty )}. В этой области полученная функция комплексного переменного является алгебраической и аналитической.

Известно, что если функция является алгебраической в точке, то она является и аналитической в данной точке. Обратное неверно. Функции, являющиеся аналитическими, но не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными.

Дивизор (алгебраическая геометрия)

В алгебраической геометрии дивизоры являются обобщением подмногообразий некоторого алгебраического многообразия коразмерности 1. Существуют два различных таких обобщения — дивизоры Вейля и дивизоры Картье (названы в честь Андре Вейля и Пьера Картье), эти понятия эквивалентны в случае многообразий (или схем) без особенностей.

Дробно-линейная функция

Дробно-линейная функция — функция вида

f(z1,z2,…,zn)=a1z1+a2z2+⋯+anzn+bc1z1+c2z2+⋯+cnzn+d{\displaystyle f(z_{1},z_{2},…,z_{n})={\frac {a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}+\cdots +a_{n}z_{n}+b}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d}}}

где z=(z1,…,zn){\displaystyle z=(z_{1},…,z_{n})} — комплексные или вещественные переменные, ai,b,ci,d{\displaystyle a_{i},b,c_{i},d} — комплексные или вещественные коэффициенты.

Часто термин «дробно-линейная функция» используется для её частного случая — преобразования Мёбиуса.

Дробь

Обиходное наименование косой черты (символа «⁄») (другое, распространённое по большей части в английском языке, название символа — солидус, или слэш), например, в номерах домов. Так номер дома «5/17» читается «пять дробь семнадцать»

Дробь — разновидность поражающих элементов, которыми снаряжаются патроны гладкоствольного оружия.

Быстрые, частые, отрывистые звуки. Например, барабанная дробь. (см. барабанный рудимент)

На флоте, команда «дробь!» — прекращение огня.

«Барабанная дробь» (англ. The Sound of Drums) — эпизод британского научно-фантастического сериала «Доктор Кто».

Интерполяционная атака

Интерполяционная атака — в криптографии тип криптоаналитической атаки в блочных шифрах.

Для взлома блочных шифров существовало 2 вида атак: дифференциальный криптоанализ и линейный криптоанализ. Со временем были представлены некоторые блочные шифры, на примере которых была доказана их безопасность от дифференциальных и линейных атак. Такими шифрами являлись шифры: KN-Cipher и SHARK. Тем не менее, в конце 90-х годов Томас Якобсен и Ларс Кнудсен показали, что эти шифры легко взломать, введя новую атаку под названием интерполяционная атака.

В этой атаке, алгебраическая функция используется для представления S-Box. Это может быть простое квадратичная функция, полином или рациональная функция над полем Галуа. Еe коэффициенты могут быть определены с помощью стандартных методов интерполяции Лагранжа, с использованием известных открытых текстов как точек данных. Кроме того, выбранные открытыe тексты могут быть использованы для упрощения уравнений и оптимизировать атаку.

В простейшем варианте интерполяционная атака выражает зашифрованный текст в виде многочлена от текста. Если многочлен имеет относительно низкое число неизвестных коэффициентов, то с набором пар открытого текста / зашифрованного текста, полином может быть восстановлен. Зная полиномом восстановления, атакующий имеет представление о шифровании без точного знания секретного ключа. Интерполяционная атака невозможна, если использовать не непрерывную функцию.

Интерполяционная атака также может быть использована для восстановления секретного ключа.

Квадратичная функция одной переменной

Квадратичная функция — целая рациональная функция второй степени вида f(x)=ax2+bx+c{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}, где a≠0{\displaystyle a\neq 0} и a,b,c∈R{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }. Уравнение квадратичной функции содержит квадратный трёхчлен. Графиком квадратичной функции является парабола. Многие свойства графика квадратичной функции так или иначе связаны с вершиной параболы, которая во многом определяет положение и внешний вид графика.

Линейная функция

Линейная функция — функция вида

y=kx+b{\displaystyle y=kx+b} (для функций одной переменной).

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

Графиком линейной функции является прямая, с чем и связано её название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

Наипростейшая дробь

Наипростейшей дробью n{\displaystyle n}-ой степени называется рациональная функция вида

Rn(z)=∑k=1n1z−zk,{\displaystyle R_{n}(z)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{z-z_{k}}},}

где n{\displaystyle n} принимает натуральные значения, а точки zk∈C{\displaystyle z_{k}\in C}, являющиеся полюсами функции Rn{\displaystyle R_{n}}, не обязательно геометрически различны. Другими словами, наипростейшая дробь есть логарифмическая производная некоторого комплексного многочлена

Qn(z)=C∏k=1n(z−zk),{\displaystyle Q_{n}(z)=C\prod _{k=1}^{n}(z-z_{k}),}

таким образом,

Rn(z)=Qn′(z)Qn(z).{\displaystyle R_{n}(z)={\frac {Q_{n}'(z)}{Q_{n}(z)}}.}

Передаточная функция

Переда́точная фу́нкция — один из способов математического описания динамической системы. Используется в основном в теории управления, связи и цифровой обработке сигналов. Представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной стационарной системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.

В теории управления передаточная функция непрерывной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача расчета САР сводится к определению ее передаточной функции. При расчете настроек регуляторов широко используются достаточно простые динамические модели промышленных объектов управления. Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной для разных систем.

Подстановки Эйлера

Подстановки Эйлера — подстановки, приводящие интегралы вида ∫R(x,ax2+bx+c)dx{\displaystyle \int R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})dx}, где R(x,ax2+bx+c){\displaystyle R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})} — рациональная функция, к интегралам от рациональных функций. Предложены Л. Эйлером в 1768 году.

Разложение дробей при интегрировании

В интегрировании, разложение дробей позволяет интегрировать рациональные функции. Любая рациональная функция может быть представлена в виде суммы некоторого многочлена и некоторого числа дробных функций. Каждая дробь имеет знаменатель в виде многочлена первой или второй степени, причём многочлен в знаменателе, в свою очередь, также может быть возведён в некоторую положительную целую степень. (В случае комплексной переменной, знаменатели являются многочленами первой степени, и эти многочлены могут быть возведены в целую положительную степень). Если знаменатель является многочленом первой степени, возведённым в некоторую целую положительную степень, то числитель дроби является постоянным числом. Если знаменатель является многочленом второй степени (или некоторой целой положительной степенью такого многочлена), то числитель является многочленом первой степени.

Решение Исаака Барроу для интеграла от секанса было первым случаем использования разложения дробей в интегрировании..

Рациональное выражение

Рациональное выражение — алгебраическое выражение, не содержащее радикалов (корней n-ой степени). Это одна или несколько алгебраических дробей (отношений многочленов), соединённых между собой знаками арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления, возведения в целую степень и знаками последовательности этих действий (обычно скобками различного вида). Например:

Семнадцатая проблема Гильберта

Семнадцатая проблема Гильберта — одна из 23 проблем Гильберта, которые Давид Гильберт высказал в 1900 году на II Международном конгрессе математиков в Париже и которые оказали исключительное влияние на развитие математики в XX веке. Формулировка задачи по Гильберту такова:

Эмиль Артин дал положительное решение этого вопроса в 1927 году, но его решение было неконструктивным. Алгоритмическое решение было найдено Чарльзом Дельзеллом в 1984 году.

Степенная функция

Степенна́я фу́нкция — функция y=xa{\displaystyle y=x^{a}}, где a{\displaystyle a} (показатель степени) — некоторое вещественное число. К степенным часто относят и функцию вида y=kxa{\displaystyle y=kx^{a}}, где k — некоторый (ненулевой) коэффициент. Существует также комплексное обобщение степенной функции. На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.

Теорема Каратеодори — Фейера

Теорема Каратеодори — Фейера:

Пусть

P(z)= c0+ c1z+…+cn−1zn−1{\displaystyle P(z)=~c_{0}+~c_{1}z+\ldots +c_{n-1}z^{n-1}}

многочлен, P≢0{\displaystyle P\not \equiv 0}. Существует единственная рациональная функция

R(z)=R(z, c0, c1,…, cn−1){\displaystyle R(z)=R(z,~c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1})}

вида

R(z)=λα¯n−1+α¯n−2z+…+α¯0zn−1α0+α1z+…+αn−1zn−1, λ>0,{\displaystyle R(z)=\lambda {{\bar {\alpha }}_{n-1}+{\bar {\alpha }}_{n-2}z+\ldots +{\bar {\alpha }}_{0}z^{n-1} \over \alpha _{0}+\alpha _{1}z+\ldots +\alpha _{n-1}z^{n-1}},\ \lambda >0,}

регулярная в |z|⩽1{\displaystyle \left|z\right|\leqslant 1} и имеющая в своём разложении в ряд Маклорена n{\displaystyle n} первых коэффициентов, равных соответственно c0, c1,…, cn−1{\displaystyle c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1}}. Эта функция, и только она, реализует наименьшее значение

Mf=sup|z|<1|f(z)

howlingpixel.com

иррациональная функция — это… Что такое иррациональная функция?



иррациональная функция

мат. irrational function

Большой англо-русский и русско-английский словарь. 2001.

• иррациональная точка
• иррациональная часть

Смотреть что такое «иррациональная функция» в других словарях:

• Алгебраическая функция —         функция, удовлетворяющая алгебраическому уравнению (См. Алгебраическое уравнение). А. ф. принадлежат к числу важнейших функций, изучаемых в математике. Из них многочлены и частные многочленов [например,                   называются… …   Большая советская энциклопедия

• ПОДЧИНЕННАЯ ФУНКЦИЯ — (Inferior function; Minder wertige Funktion) наименее дифференцированная из всех четырех психологических функций.При описании психологических функциональных типов Юнгом был сделан акцент на то, что каждый человек, как правило, кроме основной… …   Словарь по аналитической психологии

• ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — (Auxiliary function) вторая (или третья) функция в составе четырех согласно модели юнговской типологии, способная наряду с первичной или ведущей оказывать со определяющее влияние на сознание.Абсолютное верховенство эмпирически всегда принадлежит… …   Словарь по аналитической психологии

• ИНТУИЦИЯ — (Intuition) психическая функция, информирующая нас о возможностях, которые несет в себе настоящее; осуществление интуитивного процесса достигается за счет действия бессознательного, проникающего в сознание в виде озарения или инсайта (ср.… …   Словарь по аналитической психологии

• Типология Юнга — …   Википедия

• Подстановки Эйлера — Подстановки Эйлера  подстановки, приводящие интегралы вида , где   иррациональная функция, к интегралам от рациональных функций. Предложены Л. Эйлером в 1768 году. Содержание 1 Подстановки …   Википедия

• ВОЛЯ — (лат. voluntas, англ. will, ит. volonta, нем. Wille, фр. volonte) специфическая способность или сила, не вполне тождественная разуму или отличная от него. В истории европейской философии понятие В. имело два основных значения: 1) способность… …   Философская энциклопедия

• ЛЮБОВЬ — интимное и глубокое чувство, устремленность на др. личность, человеческую общность или идею. Л. необходимо включает в себя порыв и волю к постоянству, оформляющиеся в этическом требовании верности. Л. возникает как самое свободное и постольку… …   Философская энциклопедия

• Модель А — используемая в соционике модель функционирования психики человека. Эта модель гипотетически выделяет в психике восемь функций, схематически располагаемых в виде прямоугольника 2х4 в четырёх горизонтальных уровнях и двух вертикальных блоках.… …   Википедия

• Психософия — теория описания личности, основанная А. Ю. Афанасьевым (4.12.1950 1.7.2005). Изначально была названа психе йогой. Автор был вдохновлен положениями соционики, которые видоизменил. По утверждению автора, система предназначена в первую очередь для… …   Википедия

• Психе-йога — Психософия теория описания личности, основанная А. Ю. Афанасьевым (4.12.1950 1.7.2005). Изначально была названа психе йогой. Автор отталкивался от положений соционики, которые немного видоизменил. По утверждению автора, система предназначена в… …   Википедия

dic.academic.ru

Рациональная функция — это… Что такое Рациональная функция?

Рациональная функция — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид

где  ,   — многочлены от любого числа переменных.

Частным случаем являются рациональные функции одного переменного:

, где P(x) и Q(x) — многочлены.

Другим частным случаем является отношение двух линейных функций — дробно-линейная функция.

Свойства

Правильные дроби

Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями. Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если наоборот.

Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби

Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения (a — вещественный корень Q(x)) либо (где не имеет действительных корней), причём степени k не больше кратности соответствующих корней в многочлене Q(x). На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.

C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским.

См. также

dic.academic.ru

Рациональная функция • ru.knowledgr.com

В математике рациональная функция — любая функция, которая может быть определена рациональной частью, т.е. алгебраической частью, таким образом, что и нумератор и знаменатель — полиномиалы. Коэффициенты полиномиалов не должны быть рациональными числами, они могут быть взяты в любой области К. В этом случае каждый говорит о рациональной функции и рациональной части по K. Ценности переменных могут быть взяты в любой области Л, содержащей K. Тогда область функции — набор ценностей переменных, для которых знаменатель не ноль, и codomain — L.

Изменяя определение, чтобы использовать классы эквивалентности набор рациональных функций становится областью.

Определения

Функция вызвана рациональная функция, если и только если она может быть написана в форме

:

где и полиномиалы в, и не нулевой полиномиал. Область является набором всех пунктов, для которых знаменатель не ноль.

Однако, если и имеют не постоянный многочленный самый большой общий делитель, то урегулирование и производит рациональную функцию

:

то

, которое может иметь большую область, чем и равно на области Ее, является общим использованием, чтобы определить и, который должен расширить «непрерывностью» область к тому из Действительно, можно определить рациональную часть как класс эквивалентности частей полиномиалов, где две части (x)/B (x) и C (x)/D (x) считают эквивалентными если (x) D (x) =B (x) C (x). В этом случае эквивалентно.

Примеры

Рациональная функция не определена в. Это асимптотически к как x бесконечность подходов.

Рациональная функция определена для всех действительных чисел, но не для всех комплексных чисел, с тех пор если бы x были квадратным корнем (т.е. воображаемая единица или ее отрицание), то формальная оценка привела бы к делению на нуль: который не определен.

Постоянная функция, такая как f (x) = π является рациональной функцией, так как константы — полиномиалы. Обратите внимание на то, что сама функция рациональна, даже при том, что ценность f (x) иррациональна для всех x.

Каждая многочленная функция — рациональная функция с. Функция, которая не может быть написана в этой форме, такой как, не является рациональной функцией. «Иррациональное» прилагательное обычно не используется для функций.

Рациональная функция равна 1 для всего x кроме 0, где есть сменная особенность.

Сумма, продукт или фактор (за исключением подразделения нулевым полиномиалом) двух рациональных функций являются самостоятельно рациональной функцией. Однако процесс сокращения к стандартной форме может непреднамеренно привести к удалению таких особенностей, если заботу не соблюдают. Используя определение рациональных функций как классы эквивалентности обходит это, так как x/x эквивалентен 1/1.

Ряд Тейлора

Коэффициенты серии Тейлора любой рациональной функции удовлетворяют линейное отношение повторения, которое может быть найдено, установив рациональную функцию, равную ее сериалу Тейлора и собравшись как условия.

Например,

:

Умножаясь через знаменателем и распределением,

:

:

После наладки индексов сумм, чтобы получить те же самые полномочия x, мы получаем

:

Объединение как условия дает

:

Так как это сохраняется для всего x в радиусе сходимости оригинального ряда Тейлора, мы можем вычислить следующим образом. Так как постоянный термин слева должен равняться постоянному термину справа из этого следует, что

:

Затем с тех пор нет никаких полномочий x слева, все коэффициенты справа должны быть нолем, от который из этого следует, что

:

:

С другой стороны любая последовательность, которая удовлетворяет линейное повторение, определяет рациональную функцию, когда используется в качестве коэффициентов ряда Тейлора. Это полезно в решении таких повторений, с тех пор при помощи разложения элементарной дроби мы можем написать любую рациональную функцию как сумму факторов формы 1 / (топор + b) и расширить их как геометрический ряд, дав явную формулу для коэффициентов Тейлора; это — метод создания функций.

Абстрактная алгебра и геометрическое понятие

В абстрактной алгебре понятие полиномиала расширено, чтобы включать формальные выражения, в которых коэффициенты полиномиала могут быть взяты от любой области. В этом урегулировании, данном область Ф и некоторых неопределенных X, рациональное выражение — любой элемент области частей многочленного кольца F [X]. Любое рациональное выражение может быть написано как фактор двух полиномиалов P/Q с Q ≠ 0, хотя это представление не уникально. P/Q эквивалентен R/S, для полиномиалов P, Q, R, и S, когда PS = QR. Однако, с тех пор F [X] уникальная область факторизации, есть уникальное представление для любого рационального выражения P/Q с P и полиномиалами Q самой низкой степени и Q, выбранного, чтобы быть monic. Это подобно тому, как часть целых чисел может всегда писаться уникально в самых низких терминах, уравновешивая общие факторы.

Область рациональных выражений обозначена F (X). Эта область, как говорят, произведена (как область) по F (необыкновенный элемент) X, потому что F (X) не содержит надлежащего подполя, содержащего и F и элемент X.

Сложные рациональные функции

В сложном анализе, рациональная функция

:

отношение двух полиномиалов со сложными коэффициентами, где Q не нулевой полиномиал и P, и у Q нет общего фактора (это избегает f взятие неопределенной стоимости 0/0). Область и диапазон f обычно берутся, чтобы быть сферой Риманна, которая избегает любой потребности в специальном режиме в полюсах функции (где Q (z) 0).

Степень рациональной функции — максимум степеней его учредительных полиномиалов P и Q. Если степень f — d, то уравнение

:

имеет d отличные решения в z за исключением определенных ценностей w, названного критическими значениями, где два или больше решения совпадают. Функция f может поэтому считаться покрытием d-сгиба w-сферы z-сферой.

Рациональные функции со степенью 1 вызваны преобразования Мёбиуса и формируют группу автоморфизмов сферы Риманна. Рациональные функции — представительные примеры мероморфных функций.

Понятие рациональной функции на алгебраическом разнообразии

Как полиномиалы, рациональные выражения могут также быть обобщены к n indeterminates X…, X, выйдя на поле частей F [X…, X], который обозначен F (X…, X).

Расширенная версия абстрактной идеи рациональной функции используется в алгебраической геометрии. Там область функции алгебраического разнообразия V сформирована как область частей координационного кольца V (более точно сказал, Zariski-плотного аффинного открытого набора в V). Его элементы f рассматривают как регулярные функции в смысле алгебраической геометрии на непустых открытых наборах U, и также можно заметить как морфизмы к проективной линии.

Заявления

С

этими объектами сначала сталкиваются в школьной алгебре. В более передовой математике они играют важную роль в кольцевой теории, особенно в строительстве полевых расширений. Они также обеспечивают пример неархимедовой области (см. Архимедову собственность).

Рациональные функции используются в числовом анализе для интерполяции и приближении функций, например приближениях Паде, введенных Анри Паде. Приближения с точки зрения рациональных функций хорошо подходят для компьютерных систем алгебры и другого числового программного обеспечения. Как полиномиалы, они могут быть оценены прямо, и в то же время они выражают более разнообразное поведение, чем полиномиалы.

Рациональные функции используются, чтобы приблизить или смоделировать более сложные уравнения в науке и разработке включая (i) области и силы в физике, (ii) спектроскопия в аналитической химии, (iii) кинетика фермента в биохимии, (iv) электронная схема, (v) аэродинамика, (vi) концентрации медицины в естественных условиях, (vii) функции волны для атомов и молекул,

(viii) оптика и фотография, чтобы улучшить резолюцию изображения, и (ix) акустика и звук.

См. также

• Разложение элементарной дроби

• Элементарные дроби в интеграции

• Область функции алгебраического разнообразия

Внешние ссылки

• Динамическая визуализация рациональных функций с JSXGraph

---

ru.knowledgr.com