Иррациональная функция это: Классификация элементарных функций

Содержание

Классификация элементарных функций

Выделяют множество видов элементарных функций, каждый из которых обладает собственным набором свойств. Так, одни можно дифференцировать на определенном промежутке бесконечное число раз, другие являются непрерывными, ортогональными и др. В этой статье мы расскажем об общепринятой классификации элементарных функций.

Что такое элементарные функции

Начнем с базового определения.

Определение 1

Элементарные функции – это такие функции, которые получаются из основных функций с помощью сложения, вычитания, умножения и деления, а также посредством преобразования сложных функций.

Пример 1

Пример элементарной функции – y=arcsin2xx2-3+1-ln(x).

Таким функции бывают:

  • алгебраическими;
  • трансцендентными.

В свою очередь алгебраические функции можно разделить на иррациональные и рациональные (целые рациональные и дробные рациональные).

Рассмотрим каждый вид функций отдельно.

Понятие алгебраических функций

Определение 2

Алгебраические функции – это функции, которые состоят из цифр и букв, соединяющихся друг с другом при помощи знаков сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня и возведения в целую степень.

Иными словами, это те функции, которые можно получить из основных функций f(x)=x и f(x)=1 и любых чисел, проведя с ними необходимые алгебраические действия (вычитание, умножение, сложение, деление и др.)

Пример 2

Так, примером алгебраической функции является y=x2-34x.

Выделяют рациональные и иррациональные алгебраические функции.

Определение 3

Рациональные функции – это те, в которых аргумент не находится под знаком корня (радикала). Они в свою очередь делятся на целые рациональные (т.е. многочлены) и дробные рациональные (выражения, составленные из многочленов).

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 3

Примером первого вида функций является y=12x4+x-1, второго – y=x-ax3+b.

Важно отметить, что в рациональных функциях могут присутствовать иррациональные коэффициенты. Основное условие –– отсутствие аргумента функции под знаком радикала. Так, y=13x2-1 относится не к иррациональным, а к целым рациональным функциям.

Определение 4

Иррациональные функции – это те, которые содержат в себе аргумент под знаком корня (радикала).

Пример 4

Примером такой функции может быть y=x+13.

Понятие трансцендентных функций

Прочие функции, которые нельзя отнести к алгебраическим, относятся к виду трансцендентных.

Определение 5

Трансцендентные функции – это те, которые образуются при помощи логарифмирования, возведения в иррациональную степень или с помощью тригонометрических и обратных тригонометрических преобразований.

Пример 6

Пример такой функции – y=log2x3+23.

При определении вида функции нужно учитывать один важный момент. Если исходная функция может быть упрощена, то определять вид мы будем уже у полученной в итоге преобразований, а не у исходной функции. Так, y=x3+3x2+3x+13 не относится к иррациональным функциям, поскольку при упрощении она становится рациональной y=x3+3x2+3x+13=x+1323=(x+1)2=x2+2x+1 .Функция y=arcsin(sin(3x2+1) является рационально алгебраической, а не трансцендентной, поскольку y=arcsin(sin(3x2+1)=3x2+1.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

иррациональная функция - это... Что такое иррациональная функция?

иррациональная функция
мат. irrational function

Большой англо-русский и русско-английский словарь. 2001.

  • иррациональная точка
  • иррациональная часть

Смотреть что такое "иррациональная функция" в других словарях:

  • Алгебраическая функция —         функция, удовлетворяющая алгебраическому уравнению (См. Алгебраическое уравнение). А. ф. принадлежат к числу важнейших функций, изучаемых в математике. Из них многочлены и частные многочленов [например,                   называются… …   Большая советская энциклопедия

  • ПОДЧИНЕННАЯ ФУНКЦИЯ — (Inferior function; Minder wertige Funktion) наименее дифференцированная из всех четырех психологических функций.При описании психологических функциональных типов Юнгом был сделан акцент на то, что каждый человек, как правило, кроме основной… …   Словарь по аналитической психологии

  • ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — (Auxiliary function) вторая (или третья) функция в составе четырех согласно модели юнговской типологии, способная наряду с первичной или ведущей оказывать со определяющее влияние на сознание.Абсолютное верховенство эмпирически всегда принадлежит… …   Словарь по аналитической психологии

  • ИНТУИЦИЯ — (Intuition) психическая функция, информирующая нас о возможностях, которые несет в себе настоящее; осуществление интуитивного процесса достигается за счет действия бессознательного, проникающего в сознание в виде озарения или инсайта (ср.… …   Словарь по аналитической психологии

  • Типология Юнга — …   Википедия

  • Подстановки Эйлера — Подстановки Эйлера  подстановки, приводящие интегралы вида , где   иррациональная функция, к интегралам от рациональных функций. Предложены Л. Эйлером в 1768 году. Содержание 1 Подстановки …   Википедия

  • ВОЛЯ — (лат. voluntas, англ. will, ит. volonta, нем. Wille, фр. volonte) специфическая способность или сила, не вполне тождественная разуму или отличная от него. В истории европейской философии понятие В. имело два основных значения: 1) способность… …   Философская энциклопедия

  • ЛЮБОВЬ — интимное и глубокое чувство, устремленность на др. личность, человеческую общность или идею. Л. необходимо включает в себя порыв и волю к постоянству, оформляющиеся в этическом требовании верности. Л. возникает как самое свободное и постольку… …   Философская энциклопедия

  • Модель А — используемая в соционике модель функционирования психики человека. Эта модель гипотетически выделяет в психике восемь функций, схематически располагаемых в виде прямоугольника 2х4 в четырёх горизонтальных уровнях и двух вертикальных блоках.… …   Википедия

  • Психософия — теория описания личности, основанная А. Ю. Афанасьевым (4.12.1950 1.7.2005). Изначально была названа психе йогой. Автор был вдохновлен положениями соционики, которые видоизменил. По утверждению автора, система предназначена в первую очередь для… …   Википедия

  • Психе-йога — Психософия теория описания личности, основанная А. Ю. Афанасьевым (4.12.1950 1.7.2005). Изначально была названа психе йогой. Автор отталкивался от положений соционики, которые немного видоизменил. По утверждению автора, система предназначена в… …   Википедия

Рациональные и иррациональные функции по Юнгу

Рациональные и иррациональные функции

Юнг разделил все психологические функции на два класса: рациональные (мышление и чувство) и иррациональные

(интуиция и ощущение). Ученый отмечал, что рациональное есть разумное, соотносящееся с разумом, соответствующее ему, определяя разум, как ориентацию на нормы и объективные ценности, накопленные в социуме.


Иррациональное по Юнгу – это не что-то противоразумное, а лежащее вне разума, на разуме не основанное.

«Мышление и чувство являются функциями рациональными, поскольку решающее влияние на них оказывает момент размышления, рефлексии. Иррациональные же функции суть те, целью которых является чистое восприятие, таковы интуиция и ощущение, потому что они должны для полного восприятия как можно более отрешиться от всего рационального.

В соответствии со своей природой [интуиция и ощущение] должны быть направлены на абсолютную случайность и на всякую возможность, поэтому они должны быть совершенно лишены рационального направления. Вследствие этого я обозначаю их как функции иррациональные, в противоположность мышлению и чувству, которые суть функции,

И рациональный, и иррациональный подход могут сыграть свою роль в решении разных ситуаций. Юнг писал, что слишком большое ожидание или даже уверенность в том, что для каждого конфликта должна существовать возможность разумного разрешения, может помешать его действительному разрешению на иррациональном пути.

Используя введенные понятия, Юнг построил типологию. Для этого он рассмотрел каждую из четырех психологических функций в двух установках: как в экстравертной, так и в интровертной и определил соответственно 8 психологических типов.

Он утверждал, что как экстравертированный, так и интровертированный тип может быть или мыслительным, или чувствующим, или интуитивным, или ощущающим. Подробные описания типов Юнг привел в своей книге «Психологические типы». Для лучшего понимания типологии Юнга сведем все 8 типов в таблицу.

Психологические типы К.Г. Юнга

Рациональные Иррациональные
Экстраверты Экстравертный мыслительный тип
Экстравертный чувствующий тип
Экстравертный ощущающий тип
Экстравертный интуитивный тип
Интроверты Интровертный мыслительный тип
Интровертный чувствующий тип
Интровертный ощущающий тип
Интровертный интуитивный тип

Не следует забывать, что живой человек, хотя и принадлежащий к какому-то из типов личности, не станет всегда проявлять типологические черты. Речь идет лишь о предпочтениях: ему удобнее, легче поступать в соответствии со своим психологическим типом.

Каждый человек успешнее в деятельности, свойственной его типу личности, но он при желании имеет полное право развивать в себе и применять в жизни и в работе и свои слабые качества.

Исследование типологических различий по методике К.Г. Юнга

Исследование проводилось на основе теста, разработанного К.Г. Юнгом, осуществлялось на базе «Новониколаевская СОШ № 3». В опросе участвовало 25 человек в возрасте 16-17 лет.

Диагностическая цель: выявление типологических особенностей личности.

Процедура: на каждый вопрос имеется два варианта ответа, необходимо выбрать наиболее подходящий для ответа и поставить букву, обозначающую этот ответ.

Обработка результатов: подсчитать количество ответов и умножить на пять.

Анализируя результаты, можно сказать, что у 32% учащихся (8 чел.) характеризуется экстраверсия: легки в общении, высокий уровень агрессивности, имеют тенденцию к лидерству, любят быть в центре внимания, легко завязывают контакты, импульсивны, открыты; судят о людях по внешности, не заглядывают внутрь. 12 % (3 чел.) - интроверсия: направлены на мир собственных переживаний, мало контактны, молчаливы, с трудом заводят новые знакомства, не любят рисковать, тяжело переживают разрыв старых связей, высокий уровень тревожности.

Также мы выявили, что у большинства респондентов – 56% (14 чел.) присутствуют слабовыраженные черты обоих типов, их следует отнести к амбивертам. Амбиверты любят бывать в компании, но не прочь вечером посидеть дома с книжкой.

Люди, которые умеют извлекать сильные стороны обоих типов личности – способность к уединению, сосредоточенности и самоанализу интроверта с коммуникабельностью, дружелюбием и открытостью характера экстраверта – обладают преимуществом. Именно они оказываются востребованы там, где необходимы гибкость и умение найти подход к людям. (Приложение 3)

Перейти к разделу: 6. Влияние типов личности на профессиональную направленность

Энциклопедия элементарной математики. Книга 3 (функции и пределы, основы анализа)

Павел Сергеевич Александров, Алексей Иванович Маркушевич, Александр Яковлевич Хинчин

М.-Л., ГТТИ, 1952. 559 с.
Тираж 50000 экз.

Загрузить (Mb)
djvu (7.61) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)

Книга посвящена вопросам анализа, а именно, функциям и пределам. Наряду с учением об элементарных функциях и обстоятельно изложенной теорией пределов, сюда вошли также наиболее элементарные сведения из дифференциального и интегрального исчисления, теории рядов и сведения о функциях комплексного переменного.

Содержание

Предисловие.

Элементарные функции действительного переменного. Пределы последовательностей и функций. Общее понятие функции.
(В.Л.Гончаров)

Глава I. Общие сведения об элементарных функциях и графиках уравнений.
§ 1. Элементарные функции.
§ 2. Графические представления. Приёмы точечных построений.
§ 3. Простейшие преобразования графиков.
§ 4. Прямая и обратная функции.
§ 5. Элементарное исследование функций (постановка вопроса и некоторые общие приёмы).

Глава II. Обзор элементарных функций и их графиков.
§ 6. Классификация рациональных функций.
§ 7. Целые положительные степени.
§ 8. Многочлены первой степени (линейные функции).
§ 9. Многочлены (трёхчлены) второй степени.
§ 10. Многочлены третьей степени.
§ 11. Биквадратные многочлены.
§ 12. Многочлены высших степеней.
§ 13. Целые отрицательные степени.
§ 14. Дробные линейные функции.
§ 15. Дробные функции второй степени.
§ 16. Дробные рациональные функции (общий случай).
§ 17. Алгебраические иррациональные функции.
§ 18. Примеры исследования алгебраических функций.
§ 19. Элементарные трансцендентные функции.
§ 20. Показательная функция.
§ 21. Функции, связанные с показательной.
§ 22. Логарифмическая функция.
§ 23. Функции, связанные с логарифмической.
§ 24. Произвольная степенная функция.
§ 25. Основные (целые) тригонометрические функции: синус и косинус.
§ 26. Простые гармонические колебания.
§ 27. Тригонометрические многочлены.
§ 28. Многочлены Чебышева.
§ 29. Тангенс и другие дробные тригонометрические функции.
§ 30. Представление функций, рационально зависящих от тригонометрических, через одну или две из них.
§ 31. Примеры исследования функций, рационально зависящих от тригонометрических. Тригонометрические уравнения.
§ 32. Обратные тригонометрические функции.
§ 33. Исследование многочленов Чебышева. Их минимальное свойство.

Глава III. Пределы числовых последовательностей и пределы функций.
§ 34. Конечные и бесконечные числовые последовательности.
§ 35. Общее определение бесконечной числовой последовательности.
§ 36. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки.
§ 37. Примеры. Предел как единственная предельная точка.
§ 38. Предел последовательности; классическое определение и основные свойства.
§ 39. Обобщение понятия предела (пределы в "несобственном смысле").
§ 40. Предел функции на бесконечности.
§ 41. Односторонний предел функции в конечной точке.
§ 42. Двусторонний предел. Понятие непрерывности.
§ 43. Примеры непрерывных функций.
§ 44. Пределы при монотонном изменении. Число e.

Глава IV. Пределы последовательностей функций. Свойства непрерывных функций.
§ 45. Простая сходимость.
§ 46. Общее понятие функции одной действительной переменной.
§ 47. Свойства непрерывных функций.
§ 48. Равномерная сходимость последовательности непрерывных функций.
§ 49. Теорема Вейерштрасса-Бернштейна о приближении непрерывной функции с помощью рациональных многочленов.
§ 50. Доказательство теоремы.
§ 51. Определение показательной функции. Продолжение непрерывной функции за пределы всюду плотного множества.
§ 52. Теорема Больцано и проблема существования однозначной обратной функции.
§ 53. Функциональные уравнения и элементарные функции.

Глава V. Общее понятие функции.
§ 54. Соответствие между множествами.
§ 55. Геометрические образы в многомерных пространствах.
§ 56. Пространственные отображения.
§ 57. Метрические пространства.
§ 58. Понятие предела в метрическом пространстве.
§ 59. Топологические пространства.
§ 60. Алгебра множеств. Производное множество. Замкнутость и связность.
§ 61. Непрерывные отображения и их свойства.
§ 62. Гомеоморфные отображения.
§ 63. Верхняя и нижняя границы числовых множеств или последовательностей. Верхний и нижний пределы числовых множеств или последовательностей.

Производные, интегралы и ряды.
(И.П.Натансон)

Введение.

Глава I. Производные.
§ 1. Производная и дифференциал.
     1. Задачи, приводящие к понятию производной.
     2. Определение производной.
     3. Дифференцируемость и непрерывность. Односторонние производные.
     4. Производные простейших элементарных функций.
     5. Дифференцирование обратных функций.
     6. Правила комбинирования формул дифференцирования.
     7. Дифференциал.
     8. Производные и дифференциалы высшего порядка.
     9. Частные производные и полный дифференциал.
§ 2. Важнейшие теоремы о производных.
     10. Теоремы Ферма и Ролля.
     11. Формулы Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя.
     12. Формула Тейлора.
     13. Исследования П.Л.Чебышева и С.Н.Бернштейна.
§ 3. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.
     14. Признаки постоянства и монотонности функции.
     15. Экстремум функции.
     16. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом промежутке.

Глава II. Интегралы.
§ 4. Неопределенные интегралы.
     17. Основные понятия.
     18. Интегрирование с помощью подстановки.
     19. Интегрирование по частям.
     20. Общие замечания по поводу интегрирования элементарных функций.
§ 5. Определённые интегралы.
     21. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла.
     22. Определённый интеграл.
     23. Основные свойства интеграла.
     24. Интеграл, как функция верхнего предела.
     25. Вычисление определённого интеграла с помощью неопределённого.
     26. Формула Валлиса.
     27. Приближённое вычисление определённых интегралов.
§ 6. Приложения интегрального исчисления.
     28. Вычисление площадей.
     29. Вычисление объёмов.
     30. Длина дуги кривой.
     31. Площадь поверхности вращения.
     32. Общие указания по поводу приложений интегрального исчисления и его связей с дифференциальным исчислением.

Глава III. Ряды.
§ 7. Ряды с постоянными членами.
     33. Основные понятия.
     34. Простейшие свойства рядов.
     35. Положительные ряды.
     36. Знакочередующиеся ряды.
     37. Абсолютная сходимость.
     38. Вопрос о перестановке членов ряда. Умножение рядов.
§ 8. Степенные ряды.
     39. Промежуток сходимости.
     40. Свойства суммы степенного ряда.
     41. Разложение логарифма и составление таблиц логарифмов.
     42. Разложение арктангенса и вычисление π.
     43. Общие замечания по поводу разложения функций в степенные ряды.
     44. Биномиальный ряд.
     45. Очерк аналитической теории тригонометрических функций.

Элементарные функции комплексного переменного.
(В.Л.Гончаров)

§ 1. Рациональные функции.
§ 2. Пределы. Ряды.
§ 3. Показательная функция. Синус и косинус.
§ 4. Выражение тригонометрических функций через показательную.
§ 5. Гиперболические и тригонометрические функции.
§ 6. Логарифм.
§ 7. Произвольная степень.
§ 8. Обратные тригонометрические и гиперболические функции.
§ 9. Производная.
§ 10. Интеграл.
§ 11. Приближение функций многочленами.
§ 12. Первообразная функция.
§ 13. Интеграл Коши.
§ 14. Понятие аналитической функции.
§ 15. Свойства аналитических функций.
§ 16. Геометрический смысл аналитических функций.
§ 17. Примеры конформных отображений.

Алфавитный указатель.


Список литературы


Загрузить (Mb)
djvu (7.61) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)


Интегралы от иррациональных функций

Определение 1

Совокупность всех первообразных заданной функции $y=f(x)$, определенной на некотором отрезке, называется неопределенным интегралом от заданной функции $y=f(x)$. Неопределенный интеграл обозначается символом $\int f(x)dx $.

Замечание

Определение 2 можно записать следующим образом:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

Определение 2

Интегрирование функции $y=f(x)$ -- это операция нахождения первообразной от заданной функции $y=f(x)$ (неопределенного интеграла заданной функции $y=f(x)$).

Не от всякой иррациональной функции можно выразить интеграл через элементарные функции. Однако большинство таких интегралов с помощью подстановок можно привести к интегралам от рациональных функций, которые можно выразить интеграл через элементарные функции.. open-mechanics.com/

8. Шубиева, В.Г. Формирование и управление развитием творческого потенциала предпринимательских структур [Текст] : автореф. дис. ... д-ра экон. наук: 08.00.05 / В.Г. Шубиева. - СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2007.

9. Шумпетер, Й. Теория экономического развития (исследование предпринимательской прибыли,

капитала, кредита, процента и цикла конъюнктуры) [Текст] / Й. Шумпетер; общ. ред. А.Г. Милейковского; пер. с нем. В.С. Автономова и др. - М.: Прогресс, 1982. - 455 с.

10. Эггертссон, Т. Экономическое поведение и институты [Текст] : пер. с англ. / Т. Эггертссон. - М.: Дело, 2001. - Разд. 2.3.

11. Macrae, N. The Coming Entrepreneurial Revolution [Text] : A Survey / N. Macrae // The Economist. -1976. - Vol. 25.

УДК 338.24

Е.В. Орлова

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ С УЧЕТОМ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФАКТОРОВ

Исследования в области определения и оценки факторов, влияющих на выбор экономических решений, показали, что, действуя в условиях неопределенности и риска, экономические агенты подвергаются влиянию целого ряда иллюзий, эмоций, ошибочного восприятия информации и других «иррациональных» факторов [1]. Классические экономические теории основаны на предположении о рациональном поведении экономических агентов. В последнее время проводится множество исследований, направленных на изучение движения рыночных цен, поведение инвестора и рынка в целом и др., которые не могут быть описаны классическими моделями с достаточной степенью достоверности. Причина заключается в том, что поведение экономических агентов не является рациональным, т. е. не соответствует основным предпосылкам теории рационального выбора.

1. Идентификация иррациональных факторов поведения лица, принимающего решение. Изучение поведения экономических субъектов в условиях неопределенности и риска позволяет выявить ряд закономерностей, с помощью ко-

торых было бы возможно влиять на один из фундаментальных факторов - «склонность к риску». Понимание этого фактора, изучение влияющих на него характеристик дадут возможность подобрать необходимый инструментарий, который позволит учитывать и влиять на поведение экономических агентов.

Для решения поставленной проблемы необходимо, во-первых, выявить основные причины нерационального поведения, с помощью которых возможно анализировать и контролировать подобные ситуации, избегая, в результате, негативных последствий «некорректного поведения». Во-вторых, необходимо вовремя предсказывать и объективно оценивать действия других участников рынка (как партнеров, так и конкурентов), грамотно используя любые отклонения от «правильной» или «рациональной» линии поведения.

но отнести ошибочное восприятие действительности или неверную оценку реальной ситуации и, как следствие, неверные решения, вызванные сложившимися стереотипами мышления, свойственными практически всем инвесторам в любой сфере деятельности. Ко второй относятся эмоциональные факторы, определяющие поведение инвестора в условиях риска и неопределенности.

Одной из важнейших задач, связанных с пониманием поведения инвестора на рынке, является изучение того, какими способами они отбирают, анализируют и интерпретируют доступную им информацию, а затем используют ее для формирования своих принципов и убеждений. Другими словами, необходимо выяснить, как инвестор формирует определенное мнение и приходит к собственной стратегии поведения. Можно выделить три основных ситуации, приводящие к получению неверных оценок и в дальнейшем - к нерациональным действиям. Причиной возникновения данных ситуаций являются заблуждения и предвзятые мнения, связанные именно с эвристическими подходами к оценке полученных данных.

1. Переоценка имеющейся информации. Если инвестор владеет информацией, которая соответствует сложившимся у него стереотипам относительно каких-либо событий, явлений, процессов, причин их возникновения и их будущих последствий, он начинает придавать данной информации слишком большое значение (даже в случае, когда эта информация не приносит никакой пользы для принятия верного решения) и игнорировать действительно значимые факторы. Зачастую складывается мнение, что существует определенная взаимосвязь между событиями и явлениями, не связанными между собой. Следствием этого является ложная корреляция между факторами, которая, в свою очередь, приводит к иллюзии контроля над ситуацией. Экспериментально доказано, что даже если ЛПР знает о бесполезности имеющейся информации, она действует на его подсознание, корректируя процесс оценки некоторого события.

2. Неправильное использование на практике моделей теории вероятностей и математической статистики при оценке достоверной и значимой

информации. Особенно обоснованными и адекватными часто представляются оценки, являющиеся результатом применения математических - вероятностных и статистических методов. Однако именно здесь возникает значительное количество заблуждений, ведущих к необоснованным выводам. Причина состоит в том, что пытаясь оценить вероятность появления того или иного результата из нескольких возможных, обычно полагаются на репрезентативность. При этом широко используются среднестатистические данные, без учета того, что полученные результаты верны лишь для достаточно большого количества экспериментов.

3. Влияние на формирование оценки способа описания ситуации и подачи информации (как значимой, так и бесполезной). Психология инвесторов в восприятии имеющейся информации такова, что различные способы представления данных ведут к получению различных оценок. Например, при необходимости оценить некоторую итоговую величину на основании представленных для визуального восприятия данных, меньшие значения будут даны там, где были меньшие стоящие в начале цифры. На основании этого можно сделать вывод, что информация, которая должна быть самым главным фактором в оценке ситуации принятия важных решений, зачастую оказывает прямо противоположное действие. Не меньший вклад в нерациональность поведения вносят и эмоциональные факторы, заложенные в самой природе человека. Они заставляют инвестора вести себя определенным образом в ситуациях, в той или иной степени связанных с неопределенностью и риском.

Диаграмма причинно-следственной связи факторов иррационального поведения инвестора отражает наиболее существенные факторы и представлена на рис. 1. К наиболее значимым факторам можно отнести следующие:

Средний ожидаемый доход. Предпочтение меньшего дохода, но «наверняка», т. е. со 100 %-й уверенностью, большему доходу, но с некоторой меньшей вероятностью получения.

Фактор представления информации. Заключается в разном восприятии подавляющим большинством инвесторов проблемы, если она

Научно-технические ведомости СПбГПУ 3' 2012. Экономические науки

Рис. 1. Взаимосвязь субъективных факторов склонности инвестора к риску

описана в разных («отрицательных» или «положительных») формулировках и, соответственно, в разных предпочтениях, что очевидным образом противоречит теории рационального выбора.

Учет различий, а не сходств. Упрощая выбор между различными перспективами, инвесторы игнорируют общие черты, сосредотачивая внимание на различиях. Это может приводить к разным предпочтениям в одинаковых ситуациях, если возможны несколько вариантов разложения перспектив на одинаковые и различные компоненты.

Нелинейность предпочтений. С ростом возможных сумм выигрышей или потерь сглаживается значимость одинаковой по абсолютной величине разницы между этими суммами.

Придание большего значения приросту, чем абсолютному изменению. Инвестор воспринимает не столько абсолютное значение своего богатства, сколько его изменения, причем потери всегда кажутся более значимыми, чем эквивалентный доход. Инвесторы более склонны брать

на себя больший риск, чтобы избежать потерь, а не для того, чтобы получить дополнительную прибыль.

Неприятие убытков (потерь). Отрицательные эмоции инвестора, переживаемые в связи с потерями, намного сильнее положительных эмоций, связанных с получением прибыли. Инвестор придает большее значение убыткам, чем прибылям. В реальности инвестиционный проект с одинаковой вероятностью получения прибыли и убытка вряд ли заинтересует инвестора, даже если прибыль оказывается в полтора раза больше убытка.

Риск - компетентность. Большинство инвесторов склонны к большему риску в тех областях, в которых они более компетентны, независимо от того, могут ли их осведомленность и профессионализм каким-либо образом повлиять на вероятность положительного и отрицательного исхода.

Фактор информационного потока. Инвестор часто подвержен влиянию внешних факторов и стороннего мнения, что проявляется даже в том

4

Теоретические основы экономики и управления

случае, если существует уверенность, что источник информации недостаточно компетентен.

Склонность субъективно воспринимать ситуацию. Необъективная оценка существующей информации формирует субъективное, часто ошибочное, мнение и в результате - ошибочные решения.

Фактор повторного инвестирования. Возникают ситуации, когда инвестор уже сделал инвестиционные вложения, потратил определенное время и усилия для реализации определенного проекта и принимает решение продолжать его финансирование только ради своих первичных вложений, хотя перспективы этого проекта уже значительно ухудшились. Вероятность нерационального инвестирования в таких ситуациях может быть прямо пропорциональна объему вложенных ресурсов.

Субъективный контроль. Склонность инвестора к большему риску проектов характеризующиеся большей степенью управляемости и кажущейся возможности влияния на результаты. Подобная ситуация складывается, если инвестору необходимо производить определенные действия, на самом деле не оказывающие прямого влияния на будущий результат.

Принцип консерватизма. Замедленное изменение инвесторами сложившихся убеждений и принципов под влиянием новой информации.

Использование неполной и неточной информации. В определенных ситуациях инвесторы принимают ограниченную информацию за исчерпывающую и достаточную. Это приводит к ее неверной интерпретации и, как следствие, к нерациональному принятию решений.

Фактор детерминированности. Инвестор склонен видеть закономерность там, где в действительности имеет место случайность. Подобная ситуация происходит в случае, когда несколько схожих событий создают убеждение в повторяемости явления.

Некорректное использование инструментальных методов оценки информации. В условиях существования необходимой и достаточной информации инвесторы могут использовать неверные методы для ее оценки.

Склонность к упрощению. Если сложность и неопределенность ситуации увеличивается,

инвестор теряет рациональность и начинает использовать упрощения. В связи с трудностями обработки большого объема сложной информации часть ее может теряться, что приводит к упрощению задачи. Однако важность неучтенной информации зачастую обладает высокой степенью значимости. Это объясняет, почему на рынке хорошо работают достаточно простые подходы, а сложные системы принятия решений, даже если и применяются, то не всегда грамотно.

Субъективная оценка вероятности. Существует различие между фактической вероятностью события и тем, как инвестор оценивает эту вероятность.

Принцип простого доступа. Инвестор придает слишком большое значение информации, к которой есть простой доступ, поэтому частое повторение со временем может восприниматься как неопровержимая истина.

Фактор «медленных» изменений. Больший вес придается общим, а не абсолютным изменениям. Инвесторы могут не учесть нестандартное поведение системы, если оно происходит постепенно, с определенными интервалами во времени.

Фактор наибольшей значимости последних событий. Самым последним событиям, как правило, придается гораздо больший вес. Инвестору может казаться, что его система уже не работает после последовательности убыточных сделок, хотя на самом деле она продолжает работать в рамках вычисленных соотношений прибылей и убытков.

Невысокая склонность к изменению целевых ориентиров. Суть этого явления заключается в том, что в подсознании возникает конфликт между убеждениями (предположениями) и реальностью. Чтобы избежать этого, подсознание разрешает возникающие противоречия, «подстроив» исторические факты под имеющиеся убеждения. Подсознание часто «списывает» возникающие проблемы на «незначительные» недостатки метода, используемого инвестором, вместо того чтобы указать на необходимость его модернизации.

Необъективная оценка активов. Тенденция инвестора запрашивать более высокую стои-

мость за собственные активы, по сравнению с оценкой чужой собственности. Этот эффект достаточно ярко проявляется на примере продажи собственного бизнеса, стоимость которого оценивается исходя из потраченных усилий и средств на создание бизнеса, без учета при этом экономических показателей и стоимости аналогичных активов.

Склонность к риску в зависимости от предыдущих финансовых результатов. Степень неприятия риска во многом зависит от предыдущих инвестиционных результатов. Если они были положительны, то неприятие риска может временно снизиться, и наоборот, после последовательности неудач оно только обостряется, приводит к появлению так называемого страха ошибок.

Повышенный риск на чистую прибыль. Инвестор склонен принимать гораздо больший риск, когда инвестирует средства предыдущих финансовых операций. Склонность рисковать прибылью, полученной от инвестирования, увеличивается.

Фактор выбора альтернатив. Проявляется в том, что при предъявлении всех альтернатив одновременно ЛПР выбирает определенные из них по какому-либо принципу, а при последовательном предоставлении альтернатив концентрирует свой выбор на какой-то одной из них.

Выявленные эффекты и закономерности поведения экономических агентов в условиях неопределенности и риска объясняют многие факты нерационального поведения участников финансового рынка. Особенно ярко нерациональное поведение проявляется в ситуациях неопределенности и риска в предпринимательской, инвестиционной, инновационной, финансовой деятельности. Склонность к риску является одним из наиболее значимых факторов при осуществлении инвестиционной деятельности инновационных проектов. Изучение факторов, влияющих на уровень склонности к риску, определение степени их значимости предоставляет определенные возможности использования этих знаний для влияния на поведение инвестора при принятии им решений.

Необходимо отметить, что эти факторы влияют на склонность к риску подавляющего большинства инвесторов, независимо от их профессиональной подготовки, сферы деятель-

ности и опыта работы. В сложных ситуациях, связанных с неопределенностью и риском, при принятии важных решений инвесторы ведут себя иррационально, совершают ошибки. Учет выявленных факторов склонности инвестора к риску позволит существенно повысить эффективность инвестиционной стратегии и тактики участников рынка.

2. Оценка склонности лица, принимающего решение, к риску и построение функции полезности. Мотивация принятия решений различна для каждого такого субъекта. Она, согласовываясь с объективными ограничениями внешней среды, порождается внутренней целью деятельности. К таким ограничениям можно отнести [4]: объективные факторы внешней среды; внутренние факторы; требование, давление, оказываемое экономическими контрагентами; законодательные нормативные ограничения, определяющие ответственность (уголовную, административную, финансовую) за произведенные управленческие функции и регламентирующие взаимоотношения между участниками экономического процесса; социально-нравственные обязательства определяют тактическую цель, достижение которой при реализации мероприятия будет считаться успехом. Решение о выборе сценария реализации той или иной стратегии происходит под воздействием отношения лица, принимающего решение, к вышеперечисленным факторам.

Одна из важнейших нерешенных проблем моделирования процесса принятия решения в экономике - это проблема субъективизма, которая не описывается классическими математическими методами. Для решения некоторых задач предлагается использовать механизм функций полезности. При анализе принятия решения относительно задач финансового характера на производственном предприятии поведение того или иного экономического субъекта изучается на основе теории рационального выбора. Это объясняется тем, что именно на базе такого подхода формируются оптимизационные модели действий. Рациональным считается такое поведение субъекта, при котором он в каждой конкретной ситуации принятия решений осуществляет наилучший выбор из имеющихся

4

^еоретическиеосновыэкономикииуправлени^^

у него возможностей с точки зрения достижения определенной цели, а впоследствии добровольно следует этому выбору. Как показано выше, ряд решений основывается не только на рациональных соображениях, но и на социальных традициях, подсознательных реакциях, моральных установках, разрозненных фактах личного опыта в данной или сходной сфере и т. д. и является результатом иррационального поведения. В ситуации высокой степени неопределенности экономические агенты не способны проанализировать весь комплекс факторов и целей и часто пользуются особыми цепочками фрагментарных рассуждений.

Классический аналитический аппарат теории принятия решений не предполагает учет субъективности в решениях, не исследует причины возникновения и методы взаимного влияния при построении экономических оценок. Для решения задачи выбора решения об инвестиционной стратегии с учетом различной склонности потенциальных инвесторов к риску можно использовать инструментарий, основанный на построении функции полезности Неймана -Моргенштерна [3] (рис. 2).

Несклонность к риску

Безразличие к риску

Склонность к риску

■ Степень склонности к риску

Эффективность, проекта Рис. 2. Типы функций полезности

В рамках этой теории существует три способа определения непрерывных функций полезности: выпуклых вверх, линейных и выпуклых вниз. Выпуклая вверх функция соответствует такому отношению к риску, которое трактует закон убывающей полезности: чем больше объем суммы, которой владеет субъект, тем менее полезен для него единичный прирост этой суммы. Это объясняет осторожное отношение такого лица

к изменениям величины эффективности проектов. Линейная функция определяет нейтральное отношение к риску. Поведение группы людей, определяемое осознанным принятием риска, даже в ситуации, когда они обладают суммами, не близкими к нулю, описывается выпуклыми вниз функциями полезности.

Для построения функции полезности необходимо определить, каким образом характер исследуемых поведенческих альтернатив влияет на вид используемых функций, а также как учесть влияние субъективных факторов. Основной задачей, встающей перед инвестором, является выбор наиболее эффективного вложения средств в инновационный проект (проекты). Практическое применение теории полезности при оценке инвестиционной привлекательности проектов выявило следующие преимущества кривой полезности:

- кривые полезности, являясь выражением индивидуальных предпочтений инвестора, будучи построены один раз, позволяют принимать инвестиционные решения в дальнейшем с учетом его предпочтений, но без дополнительных консультаций с ним;

- функция полезности в общем случае может использоваться для делегирования права принятия решений. При этом логичнее всего использовать функцию полезности высшего руководства, поскольку для обеспечения своего положения при принятии решения оно старается учитывать противоречивые интересы всех контрагентов.

Следует учитывать, что функция полезности может меняться с течением времени, отражая финансовые условия данного момента времени.ЖауЧН0-ТеХНИЧе£КИеВеД0М2£ТИ«СПбГП|У.3'.2212.ЭК2Н0МИЧе£КИе«НаУКИ

1,0 0,9 0.8 0,7 0,6 0.5 0.4 0.3 0.2 0,1 0

Зона 1

Зона 2

Безрисковая стратегия

Зона 3

Рисковая стратегия

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0.7 0,8 0,9 1,0

Прибыль

Рис. 3. Функция склонности инвестора к риску и стратегии инвестирования

инвестора к риску при принятии им управленческих решений. Реализация нечеткой модели осуществляется в среде MATLAB с использованием модуля Fuzzy Logic Toolbox. В качестве исходных данных выступают переменные - выявленные субъективные (иррациональные) факторы поведения инвестора. Сформирована база правил «если - то», на основе которой исходные данные обрабатываются нечеткой моделью и генерируется выходная переменная - склонность инвестора к риску. Значения всех переменных модели пронормированы в интервал от 0 до 1. Были проведены имитационные эксперименты, в результате которых была сформирована кривая влияния иррациональных факторов на степень склонности инвестора к риску. Итоговые результаты этих экспериментов показаны рис. 3.

Множество значений кривой, отражающей степень склонности к риску, можно условно разделить на зоны, определяющие стратегии инвестирования (рисковую, безрисковую). Области, характеризующиеся ростом величины склонности инвестора к риску при увеличении эффективности проекта (выраженную его доходом или прибылью), соответствуют рисковой

стратегии инвестирования. Снижение склонности к риску с ростом доходности проекта характеризует безрисковую стратегию инвестора.

Таким образом, поведение экономических агентов не всегда является рациональным и часто не может быть адекватно описано с помощью теорий рационального поведения. Нами выявлены основные причины и факторы нерационального поведения, с помощью которых возможно анализировать и контролировать субъективное поведение экономических агентов (инвесторов).

С учетом сложных причинно-следственных связей иррациональных факторов и для определения степени их влияния на склонность инвестора к риску применяется нечеткая модель. Эта модель используется для построения функции полезности как объективной основы выбора поведенческих альтернатив. Практическое использование функции полезности можно найти в задачах выбора экономических решений, например выбора инновационных проектов, а также при реализации других инвестиционных решений. Это позволит повысить качество и результативность принимаемых управленческих решений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Tversky, A. Advances in Prospect Theory: Cumulative Representation of Uncertainty [Text] / A. Tversky, D. Kahneman // Journal of Risk and Uncertainty. - 1992. -№ 5.

2. Орлова, Е.В. Склонность к риску как фактор влияния на принятие инвестиционного решения [Текст] / Е.В. Орлова // Воспроизводственный потенциал региона: матер. IV Междунар. науч.-практ. конф. -

Уфа: БГУ, 2010. - С. 35-39.

3. Нейман, Д. Теория игр и экономическое поведение [Текст] / Д. Нейман, О. Моргенштерн. - М.: Наука, 1970. - 780 с.

4. Коровин, Д.И. Об учете субъективных факторов при построении функции полезности [Текст] / Д.И. Коровин // Аудит и финансовый анализ. - 2006. -№ 1. - С. 79-92.

4 Интегрирование иррациональных и тригонометрических функций

Лекция 4. Интегрирование иррациональных и тригонометрических  функций.

Интегрирование рациональных функций от тригонометрических функций.

1.      , где R( ) – рациональная функция своих аргументов.

 Такие интегралы всегда можно взять универсальной тригонометрической подстановкой (лекция 1)

2.      .

А) Если  нечетна по sin x, то делают подстановку t = cos x.

Рекомендуемые файлы

Б) Если  нечетна по cos x, то делают подстановку t = sin x.

В) Если  не меняет знака при изменении знака sin x или cos x, то делают подстановку t = tg x.

Пример. . Здесь мы имеем случай В). Подстановкой  этот интеграл сводится к интегралу .

3. Интегралы

сводятся к табличным интегралам от синуса и косинуса, если преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму по формулам

Пример.

4.      Интегралы вида  

a)      Если m или n – нечетное положительное число, то sin x или cos x вносят под дифференциал.

Пример.

b)      Если m, n – четные положительные числа, то применяют формулы удвоения аргумента  

Пример.  

c)      , где m – целое положительное число, берутся с использованием формул .

Пример.

= -

d)     В общем случае интегралы вида   вычисляются по рекуррентным формулам с использованием основного тригонометрического тождества.

Пример.

                                                                                                                    

= .

Интегрирование иррациональных функций.

Каких-либо общих методов интегрирования для всего класса иррациональных функций неизвестно, да и вряд ли такие методы можно придумать.

Общая идея состоит в том, чтобы придумать рационализирующую подстановку, т. е. найти такую  замену переменных, чтобы в новых переменных интеграл был бы интегралом от рациональной функции. А, как показано на прошлой лекции, интегралы от рациональных функций всегда можно взять.

Ниже приводятся некоторые интегралы, для которых известны рационализирующие подстановки.

1. , где R( ) – рациональная функция аргументов. Рационализирующая подстановка , где .

Пример.  - интеграл от рациональной функции, если взять .

2. . Этот интеграл можно представить в виде = , а затем искать коэффициенты полинома n-1 степени и константу, дифференцируя обе части, приводя дроби к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной.

Пример.  .

Дифференцируем обе части

.

Приводим к общему знаменателю

. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем . Теперь, выделяя полный квадрат, получаем в правой части разложения «длинный логарифм»:

.

3. В интегралах вида  рационализирующая подстановка .

Пример. . Применяем подстановку .

 = . Это интеграл, рассмотренный выше в п.2.

4. Дифференциальный бином. , где  - рациональные числа. Такие интегралы берутся только в трех случаях (условия П.Л.Чебышева):

а) p – целое  (подстановкой , где ),

б)- целое  (подстановкой ),

в) - целое   (подстановкой).

Пример. Показать, что в интеграле  - целое и равно 2. Показать, что подстановка - рационализирующая.

5. Интегралы вида  сводятся к одному из трех типов интегралов:

а), для которого рационализирующие подстановки ,

б) ,  с подстановками  ,

Вместе с этой лекцией читают "12.1 Государственная землеустроительная служба России".

в) , с подстановками .

Упражнение. Вычислить интегралы .

«Неберущиеся» интегралы.

Это интегралы, которые не могут быть вычислены в элементарных функциях. Для таких интегралов приходится вводить специальные символы. Так получается потому, что класс интегралов от элементарных функций шире, чем класс элементарных функций (интегрирование – это переход от частного к общему – обобщение, а дифференцирование – это переход от общего к частному – уточнение).

Примеры.  и многие другие интегралы. Для них составляются специальные таблицы, которые можно найти в различных учебниках и справочниках.

исчислений - как оценить этот предел иррациональной функции?

Глядя на различные комментарии OP, кажется, что учебники, которым он следит, не хорошего качества, и вместо того, чтобы предлагать пошаговый подход к ограничениям, они пытаются научить их множеству уловок.

Для большинства обычных задач с лимитами достаточно основных правил лимитов и некоторых стандартных лимитов:

1) $ \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x) \ pm g (x) = \ lim_ {x \ to a} f (x) \ pm \ lim_ {x \ to a} g (x ) $

2) $ \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x) \ cdot g (x) = \ lim_ {x \ to a} f (x) \ cdot \ lim_ {x \ to a} g (x ) $

3) $ \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} \ frac {f (x)} {g (x)} = \ dfrac {{\ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x)}} { {\ displaystyle \ lim_ {x \ to a} g (x)}} $ при условии, что $ \ lim_ {x \ to a} g (x) \ neq 0 $.{x} - 1} {x} = 1, \, \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ log (1 + x)} {x} = 1 $$

Далее мы подходим к конкретному вопросу здесь $$ \ lim_ {h \ to 0} \ frac {5} {\ sqrt {5h + 1} + 1} $$ Нам не нужно думать, что это рациональная функция или нет, но просто обратите внимание, что это выражение вида $ f (h) / g (h) $, где $ f, g $ - некоторые функции, и, следовательно, должно применяться правило 3). Ясно, что для числителя $ f (h) = 5 $ мы видим, что $ \ lim_ {h \ to 0} 5 = 5 $, и нам нужно посмотреть, есть ли предел знаменателя $ g (h) = \ sqrt {5h + 1 } + 1 $ существует и отличен от нуля.Если мы видим форму $ g (h) $, она выглядит как сумма двух функций, и, следовательно, можно применить правило 1). Таким образом, мы можем написать

$ \ displaystyle \ begin {выровнено} \ lim_ {h \ to 0} \ frac {5} {\ sqrt {5h + 1} + 1} & = \ dfrac {{\ displaystyle \ lim_ {h \ to 0} 5 }} {{\ displaystyle \ lim_ {h \ to 0} \ {\ sqrt {5h + 1} + 1 \}}} \\ & = \ dfrac {5} {{\ displaystyle \ lim_ {h \ to 0} \ {\ sqrt {5h + 1} + 1 \}}} \\ & = \ dfrac {5} {{\ displaystyle \ lim_ {h \ to 0} \ sqrt {5h + 1} + \ lim_ {h \ to 0} 1}} \\ & = \ frac {5} {1 + 1} = \ frac {5} {2} \ end {align}

долл. США

Чтобы представить контрастный пример, мы пытаемся вычислить $$ \ lim_ {h \ to 0} \ frac {h} {\ sqrt {5h + 1} - 1} $$. и числитель, и знаменатель равны 0 $, и, следовательно, правило 3) не может быть применено точно, потому что предел знаменателя равен 0 $.Пришло время произвести некоторые манипуляции, чтобы данная функция могла быть представлена ​​в форме, которая избегает ограничения знаменателя $ 0 $. Такая манипуляция выполняется при правильном предположении, что $ h \ neq 0 $. Тогда

$ \ displaystyle \ begin {align} \ lim_ {h \ to 0} \ frac {h} {\ sqrt {5h + 1} - 1} & = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {h} {\ sqrt {5h + 1} - 1} \ cdot \ frac {\ sqrt {5h + 1} + 1} {\ sqrt {5h + 1} + 1} \\ & = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {h \ {\ sqrt {5h + 1} + 1 \}} {5h} \\ & = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {\ sqrt {5h + 1} + 1} {5} \\ & \ text {(как в предыдущем примере)} \\ & = \ frac {2} {5} \ end {align}

долл. США

Как видно из различных вопросов о предельных значениях на этом веб-сайте, большинство новичков в области исчисления пытаются использовать такие концепции, как непрерывность, производная, L'Hospital и даже расширения рядов для решения простых предельных задач (большинство ответов, приведенных здесь, также пытаются использовать эти методы).Очень жаль, что новички недооценивают силу простых правил ограничений (упомянутых выше) и переходят на концепции высокого уровня. ИМХО, новичку, изучающему ограничения впервые, будет лучше, если он полностью не осознает эти высокоуровневые концепции (которые в конечном итоге получены из более простой концепции ограничений) и вместо этого сосредоточится на правилах ограничений.

рациональных функций | Безграничная алгебра

Введение в рациональные функции

Рациональная функция - это такая функция, что [latex] f (x) = \ frac {P (x)} {Q (x)} [/ latex], где [latex] Q (x) \ neq 0 [/ latex] ; область определения рациональной функции может быть вычислена.

Цели обучения

Описать рациональные функции, включая их области

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Рациональная функция - это любая функция, которую можно записать как отношение двух полиномиальных функций, где многочлен в знаменателе не равен нулю.
  • Область [latex] f (x) = \ frac {P (x)} {Q (x)} [/ latex] - это набор всех точек [latex] x [/ latex], знаменатель которых [latex] ] Q (x) [/ latex] не равно нулю.
  • Ограничения области рациональной функции можно определить, установив знаменатель равным нулю и решив. Значения [latex] x [/ latex], при которых знаменатель равен нулю, называются сингулярностями и не находятся в области определения функции.
Ключевые термины
  • домен : набор всех входных значений ([latex] x [/ latex]), по которым определяется функция.
  • рациональная функция : любая функция, значение которой может быть выражено как частное двух многочленов (где многочлен в знаменателе не равен нулю).
  • особенности : Значения [latex] x [/ latex], при которых рациональная функция не определена, для которых знаменатель [latex] Q (x) [/ latex] равен нулю.
  • вертикальная асимптота : вертикальная прямая линия, к которой кривая приближается произвольно близко, уходя в бесконечность.
  • знаменатель : Число или выражение, записанное под чертой в дробной части (например, [latex] 2 [/ latex] в [latex] \ frac {1} {2} [/ latex]).

Рациональные функции

Рациональная функция - это любая функция, которую можно записать как отношение двух полиномиальных функций.Ни коэффициенты многочленов, ни значения, принимаемые функцией, не обязательно являются рациональными числами.

Любая функция одной переменной [latex] x [/ latex] называется рациональной функцией тогда и только тогда, когда она может быть записана в форме:

[латекс] f (x) = \ dfrac {P (x)} {Q (x)} [/ латекс]

, где [латекс] P [/ латекс] и [латекс] Q [/ латекс] являются полиномиальными функциями от [латекса] x [/ латекса] и [латекса] Q (x) \ neq 0 [/ latex].

Обратите внимание, что каждая полиномиальная функция является рациональной функцией с [latex] Q (x) = 1 [/ latex].Функция, которую нельзя записать в виде многочлена, например [latex] f (x) = \ sin (x) [/ latex], не является рациональной функцией. Однако прилагательное «иррациональное» обычно не используется для обозначения функций.

Постоянная функция, такая как [latex] f (x) = \ pi [/ latex], является рациональной функцией, поскольку константы являются многочленами. Обратите внимание, что сама функция рациональна, хотя значение [latex] f (x) [/ latex] иррационально для всех [latex] x [/ latex].

Область рациональной функции

Область определения рациональной функции [latex] f (x) = \ frac {P (x)} {Q (x)} [/ latex] - это набор всех значений [latex] x [/ latex], для которых знаменатель [латекс] Q (x) [/ латекс] не равен нулю.

В качестве простого примера рассмотрим рациональную функцию [latex] y = \ frac {1} {x} [/ latex]. Домен состоит из всех значений [latex] x \ neq 0 [/ latex].

Ограничения домена могут быть рассчитаны путем нахождения сингулярностей, которые представляют собой значения [latex] x [/ latex], для которых знаменатель [latex] Q (x) [/ latex] равен нулю. Рациональная функция не определена для таких значений [latex] x [/ latex], и эти значения исключаются из набора предметных областей функции.

Факторизация числителя и знаменателя рациональной функции помогает выявить особенности алгебраических рациональных функций.2 [/ latex] должно быть равно [latex] -2 [/ latex]. Поскольку это условие не может быть удовлетворено действительным числом, область определения функции - все действительные числа.

Асимптоты

Рациональная функция может иметь не более одной горизонтальной или наклонной асимптоты и много возможных вертикальных асимптот; их можно рассчитать.

Цели обучения

Определите, когда асимптота рациональной функции будет горизонтальной, наклонной или вертикальной

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Асимптота кривой - это линия, расстояние между которой и кривой приближается к нулю, поскольку они стремятся к бесконечности.
  • Существует три вида асимптот: горизонтальная, вертикальная и наклонная.
  • Рациональная функция имеет не более одной горизонтальной асимптоты или наклонной (наклонной) асимптоты и, возможно, несколько вертикальных асимптот.
  • Вертикальные асимптоты встречаются в особенностях рациональной функции или точках, в которых функция не определена. Они возникают только в сингулярностях, где соответствующий линейный множитель в знаменателе остается после отмены.
  • Существование горизонтальной или наклонной асимптоты зависит от степеней полиномов в числителе и знаменателе
    .
Ключевые термины
  • асимптота : прямая линия, к которой кривая приближается произвольно близко, уходя в бесконечность.
  • наклонный : Непрямой или перпендикулярный; ни параллельно, ни под прямым углом к ​​основанию; косой; склонен.
  • рациональная функция : любая функция, значение которой может быть выражено как частное двух многочленов (где многочлен в знаменателе не равен нулю).

Типы асимптот

В аналитической геометрии асимптота кривой - это такая линия, что расстояние между кривой и линией приближается к нулю, поскольку они стремятся к бесконечности.

Существует три вида асимпт: горизонтальная , вертикальная и наклонная . Горизонтальные асимптоты кривых - это горизонтальные линии, к которым график функции приближается, поскольку [latex] x [/ latex] стремится к [latex] + \ infty [/ latex] или [latex] - \ infty [/ latex]. Горизонтальные асимптоты параллельны оси [latex] x [/ latex].

Вертикальные асимптоты - это вертикальные линии, вблизи которых функция неограниченно растет. Они параллельны оси [латекс] y [/ латекс].

Асимптота, которая не является ни горизонтальной, ни вертикальной, называется наклонной (или наклонной) асимптотой. Это диагональные линии, так что разница между кривой и линией приближается к [латексу] 0 [/ латексу], поскольку [латекс] x [/ латекс] стремится к [латексу] + \ infty [/ latex] или [латексу] - \ инфты [/ латекс].

Каждый тип асимптоты показан на графике ниже.

График с асимптотами: График функции с горизонтальной ([latex] y = 0 [/ latex]), вертикальной ([latex] x = 0 [/ latex]) и наклонной асимптотой (синяя линия).

Пример 1

Рассмотрим график уравнения [latex] f (x) = \ frac {1} {x} [/ latex], показанный ниже. Координаты точек на кривой имеют вид [latex] (x, \ frac {1} {x}) [/ latex], где [latex] x [/ latex] - это число, отличное от 0.

График [latex] f (x) = 1 / x [/ latex]: Обе оси [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] являются асимптотами.

Обратите внимание, что по мере того, как положительные значения [latex] x [/ latex] становятся все больше и больше, соответствующие значения [latex] y [/ latex] становятся бесконечно малыми.Однако независимо от того, насколько большим становится [латекс] x [/ latex], [latex] \ frac {1} {x} [/ latex] никогда не бывает [latex] 0 [/ latex], поэтому кривая никогда не касается [ латекс] х [/ латекс] -ось. Ось [latex] x [/ latex] - это горизонтальная асимптота кривой.

Аналогичным образом, когда положительные значения [латекс] x [/ латекс] становятся все меньше и меньше, соответствующие значения [латекс] y [/ латекс] становятся все больше и больше. Таким образом, кривая тянется все дальше и дальше вверх по мере приближения к оси [латекс] y [/ латекс].[Latex] y [/ latex] -ось - это вертикальная асимптота кривой.

Асимптоты рациональных функций

Рациональная функция имеет не более одной горизонтальной или наклонной асимптоты и, возможно, несколько вертикальных асимптот.

Вертикальные асимптоты возникают только тогда, когда знаменатель равен нулю. Другими словами, вертикальные асимптоты возникают в особенностях или точках, в которых рациональная функция не определена. Вертикальные асимптоты возникают только в сингулярностях, когда соответствующий линейный множитель в знаменателе остается после сокращения.

Например, рассмотрим функцию:

[латекс] f (x) = \ dfrac {(x-1) (x + 2)} {(x-1) (x + 1)} [/ latex]

Из линейных множителей в знаменателе можно определить, что существуют две особенности: [latex] x = 1 [/ latex] и [latex] x = -1 [/ latex]. Однако линейный коэффициент [латекс] (x-1) [/ latex] отменяется коэффициентом в числителе. Таким образом, единственная вертикальная асимптота для этой функции - [latex] x = -1 [/ latex].

Степень числителя и степень знаменателя определяют, существуют ли горизонтальные или наклонные асимптоты.

Существование горизонтальной асимптоты зависит от степени полинома в числителе ([латекс] n [/ латекс]) и степени полинома в знаменателе ([латекс] m [/ латекс]). Возможны три случая:

  1. Если [latex] n> m [/ latex], то горизонтальной асимптоты нет (Однако, если [latex] n = m + 1 [/ latex], то существует наклонная асимптота).
  2. Если [latex] n
  3. Если [латекс] n = m [/ latex], то существует горизонтальная асимптота и уравнение:

[латекс] \ quad \ quad y = \ frac {\ text {Коэффициент члена наивысшей степени в числителе}} {\ text {Коэффициент члена наивысшей степени в знаменателе}} [/ latex]

Когда числитель рациональной функции имеет степень ровно на единицу больше знаменателя, функция имеет наклонную (наклонную) асимптоту.2 (x + 1)} [/ латекс].

Обратите внимание, что, исходя из линейных множителей в знаменателе, сингулярности существуют при [latex] x = 1 [/ latex] и [latex] x = -1 [/ latex]. Также обратите внимание, что один линейный коэффициент [латекс] (x-1) [/ latex] отменяется с числителем. Однако один линейный коэффициент [латекс] (x-1) [/ латекс] остается в знаменателе, потому что он возведен в квадрат. Следовательно, существует вертикальная асимптота при [latex] x = 1 [/ latex]. Линейный коэффициент [латекс] (x + 1) [/ latex] также не отменяет; таким образом, вертикальная асимптота также существует при [latex] x = -1 [/ latex].2 + 16} [/ латекс].

Поскольку многочлены в числителе и знаменателе имеют одинаковую степень ([latex] 2 [/ latex]), мы можем определить, что существует одна горизонтальная асимптота и нет наклонной асимптоты.

Коэффициент при наивысшей степени мощности равен [латекс] 2 [/ латекс] в числителе и [латекс] 1 [/ латекс] в знаменателе. Следовательно, горизонтальная асимптота имеет вид:

[латекс] y = \ frac {2} {1} = 2 [/ латекс]

Решение проблем с помощью рациональных функций

[latex] x [/ latex] -перехваты рациональных функций находятся путем установки полинома в числителе равным [latex] 0 [/ latex] и решения для [latex] x [/ latex].

Цели обучения

Используйте числитель рациональной функции, чтобы найти ее нули

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Перехваты [latex] x [/ latex] (также известные как нули или корни) функции - это точки, где график пересекает ось [latex] x [/ latex]. Рациональные функции могут иметь ноль, один или несколько [latex] x [/ latex] -перехватов.
  • Для любой функции перехватчики [latex] x [/ latex] являются значениями [latex] x [/ latex], для которых функция имеет нулевое значение: [latex] f (x) = 0 [/ latex] .
  • Для рациональных функций существуют перехватчики [latex] x [/ latex], когда числитель равен [latex] 0 [/ latex]. Для [латекс] f (x) = \ frac {P (x)} {Q (x)} [/ latex], если [latex] P (x) = 0 [/ latex], то [latex] f (x ) = 0 [/ латекс].
Ключевые термины
  • знаменатель : Число или выражение, записанное под линией в виде дроби (например, [латекс] 2 [/ латекс] в [латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс]). 2 - x - 1} [/ латекс]

    Рациональные функции можно изобразить на координатной плоскости.Мы можем использовать алгебраические методы для вычисления их [latex] x [/ latex] -перехватов (также известных как нули или корни), то есть точек, где график пересекает ось [latex] x [/ latex]. Рациональные функции могут иметь ноль, один или несколько [latex] x [/ latex] -перехватов.

    Для любой функции перехватчики [latex] x [/ latex] являются значениями [latex] x [/ latex], для которых функция имеет нулевое значение: [latex] f (x) = 0 [/ latex] .

    В случае рациональных функций, перехватчики [latex] x [/ latex] существуют, когда числитель равен [latex] 0 [/ latex].2 - 3x + 2 \\ & = (x - 1) (x - 2) \ end {align} [/ latex]

    Решения для этого многочлена: [latex] x = 1 [/ latex] или [latex] x = 2 [/ latex]. Это означает, что эта функция имеет [latex] x [/ latex] -перехваты в [latex] 1 [/ latex] и [latex] 2 [/ latex].

    Пример 2

    Найдите [latex] x [/ latex] -перехваты функции:

    [латекс] f (x) = \ dfrac {1} {x} [/ латекс]

    Здесь числитель является константой, поэтому его нельзя установить равным [латекс] 0 [/ латекс].2 - 10} [/ latex]: [latex] x [/ latex] -перехватчики существуют в [latex] x = - \ sqrt {2}, 0, \ sqrt {2} [/ latex].

    Упрощение, умножение и деление рациональных выражений

    Рациональное выражение можно рассматривать как дробь, и им можно управлять с помощью умножения и деления.

    Цели обучения

    Практика упрощения, умножения и деления рациональных выражений

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Рациональное выражение - это частное двух многочленов, где многочлен в знаменателе не равен нулю.
    • Рациональные выражения часто можно упростить, удалив термины, которые можно вычесть из числителя и знаменателя. Это могут быть числа или функции [latex] x [/ latex].
    • Рациональные выражения можно перемножать. Числители каждого умножаются вместе, а также их знаменатели. Иногда можно упростить получившуюся дробь.
    • Рациональные выражения можно разделить друг на друга. Это соответствует правилам деления дробей, где дивиденд умножается на обратную величину делителя. 0 [/ latex].Важно отметить, что поскольку все показатели положительные, невозможно разделить на [латекс] х [/ латекс].

    Рациональное выражение - это дробь, содержащая многочлены, где многочлен в знаменателе не равен нулю. Как и дробь, состоящая из чисел, рациональное выражение можно упрощать, умножать и делить. Правила выполнения этих операций часто отражают правила упрощения, умножения и деления дробей. Выполнение этих операций с рациональными выражениями часто включает в себя выведение полиномиальных выражений из числителя и знаменателя.2 + 5x + 2} [/ латекс]

    Это выражение необходимо сначала разложить на множители, чтобы получить выражение

    [латекс] \ displaystyle \ frac {(x + 2) (x + 3)} {(2x + 1) (x + 2)} [/ латекс]

    , что после исключения общего множителя [латекс] (x + 2) [/ latex] из числителя и знаменателя дает упрощенное выражение

    [латекс] \ displaystyle \ frac {x + 3} {2x + 1} [/ латекс]

    Умножение рациональных выражений

    Рациональные выражения можно умножать и делить аналогично дробям. 2 + x - 2} [/ латекс]

    Выражение не подлежит дальнейшему упрощению.

    Неполные дроби

    Частичное разложение на дробь - это процедура, используемая для уменьшения степени числителя или знаменателя рациональной функции.

    Цели обучения

    Практика разбиения рациональной функции на частичные дроби

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Частичное дробное разложение - это процедура, используемая для уменьшения степени числителя или знаменателя рациональной функции, и включает в себя разделение одного отношения на несколько более простых соотношений.С математической точки зрения, дробное разложение превращает функцию вида [латекс] \ frac {f (x)} {g (x)} [/ latex], где [latex] f [/ latex] и [latex] g [ / latex] оба многочлены в функцию вида [latex] \ sum_ {j} \ frac {f_ {j} (x)} {g_ {j} (x)} [/ latex], где [latex] g_ {j} (x) [/ latex] - многочлены, которые являются множителями [latex] g (x) [/ latex].
    • Основная мотивация разложения рациональной функции на сумму более простых дробей состоит в том, чтобы упростить выполнение линейных операций над суммой. 3 -7x -6} = \ frac {1} {x + 2} + \ frac {3} {x-3} + \ гидроразрыв {4} {x + 1} [/ латекс]

      С математической точки зрения, расширение частичной дроби используется для изменения рациональной функции в форме [латекс] \ frac {f (x)} {g (x)} [/ latex], где [latex] f [/ latex] и [latex] g [/ latex] - многочлены в функцию вида [latex] \ sum_ {j} \ frac {f_ {j} (x)} {g_ {j} (x)} [/ latex].Знаменатели членов этого суммирования, [латекс] g_ {j} (x) [/ latex], являются многочленами, которые являются множителями [latex] g (x) [/ latex], и, как правило, имеют более низкую степень.

      Основная мотивация разложения рациональной функции на сумму более простых дробей состоит в том, чтобы упростить выполнение линейных операций над суммой. Сокращение сложных математических задач с помощью частичной декомпозиции дроби позволяет нам сосредоточиться на вычислении каждого отдельного элемента разложения, а не на более сложной рациональной функции.

      Шаги к разложению рациональной функции

      Допустим, у нас есть рациональная функция [latex] R (x) = \ frac {f (x)} {g (x)} [/ latex], где степень числителя меньше степени знаменателя. Предположим, что [latex] R (x) [/ latex] имеет знаменатель, который учитывается в других выражениях, как [latex] g (x) = P (x) \ cdot Q (x) [/ latex]], и что нет повторяющиеся корни.

      Первый шаг к разложению функции [латекс] R (x) [/ latex] - разложить ее знаменатель на множители:

      [латекс] \ Displaystyle R (x) = \ frac {f (x)} {(x - a_1) (x - a_2) \ cdots (x - a_p)} [/ латекс]

      где [латекс] a_1,…, a_p [/ latex] - корни [латекса] g (x) [/ latex].

      Тогда мы можем записать [латекс] R (x) [/ latex] как сумму частичных дробей:

      [латекс] R (x) = \ frac {c_1} {(x - a_1)} + \ frac {c_2} {(x - a_2)} + \ cdots + \ frac {c_p} {(x - a_p)} [/ латекс]

      где [латекс] c_1,…, c_p [/ latex] - константы.

      Чтобы завершить процесс, мы должны определить значения этих коэффициентов [latex] c_i [/ ​​latex]. Чтобы найти коэффициент, умножьте связанный с ним знаменатель на рациональную функцию [латекс] R (x) [/ latex]:

      [латекс] c_i = (x - a_i) R (x) [/ латекс]

      Это даст выражение со значением [latex] x [/ latex].2 (x + 3)} [/ latex], для которого [latex] x = 1 [/ latex] является повторяющимся корнем), необходимо предпринять дополнительные шаги для декомпозиции функции.

    • Для рациональной функции [latex] R (x) = \ frac {f (x)} {g (x)} [/ latex], если степень [latex] f (x) [/ latex] больше, чем или равна степени [latex] g (x) [/ latex], функция не может быть разложена прямым способом. Необходимо выполнить евклидово деление [латекса] f [/ latex] на [latex] g [/ latex] с использованием полиномиального деления в столбик, в результате чего [latex] f (x) = E (X) g (x) + h (x) [/ латекс].Разделив на [латекс] g (x) [/ latex], получим [латекс] \ frac {f (x)} {g (x)} = E (x) + \ frac {h (x)} {g (x )} [/ latex], который затем можно выполнить разложение на [latex] \ frac {h (x)} {g (x)} [/ latex].

    Интегрирование иррациональных функций

    Некоторые типы интегралов, содержащие иррациональные выражения, можно свести к интегралам от рациональных функций, сделав соответствующую замену.

    Такие преобразования интеграла называют его рационализацией.

    В этом разделе мы рассмотрим несколько полезных замен, которые могут помочь с иррациональными интегралами.2}} \) можно оценить с помощью тригонометрических и гиперболических замен.


    Решенные проблемы

    Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение.

    Пример 1

    Найдите интеграл \ ({\ large \ int \ normalsize} {{\ large \ frac {{\ sqrt {x + 9}}}} {x} \ normalsize} dx}. \)

    Пример 2

    Найдите интеграл \ (\ int {\ large {\ frac {{dx}} {{x - \ sqrt x}}} \ normalsize}. \)

    Пример 3

    Вычислите интеграл \ (\ int {\ large {\ frac {{dx}} {{\ sqrt x + 1}}} \ normalsize}.\)

    Пример 4

    Вычислить интеграл \ (\ int {\ sqrt [3] {{5x - 1}} dx}. \)

    Пример 5

    Найдите интеграл \ (\ int {\ large {\ frac {x} {{\ sqrt {x + 1}}}} \ normalsize dx}. \)

    Пример 6

    Найдите интеграл \ (\ int {x \ sqrt {2x - 3} dx}. \)

    Пример 7

    Вычислить интеграл \ (\ int {\ large {\ frac {{dx}} {{x \ sqrt {x - 4}}}} \ normalsize}. \)

    Пример 8

    Вычислите интеграл \ (\ int {{\ large \ frac {{\ sqrt x - 1}} {{\ sqrt x + 1}} \ normalsize} dx}.\)

    Пример 9

    Вычислить интеграл \ ({\ large \ int \ normalsize} {\ large \ frac {{dx}} {{x + \ sqrt [3] {x}}} \ normalsize}. \)

    Пример 10

    Вычислить интеграл \ (\ int {\ large {\ frac {{dx}} {{\ sqrt x + \ sqrt [3] {x}}}} \ normalsize}. \)

    Пример 11

    Вычислить интеграл \ (\ int {\ large {\ frac {{dx}} {{\ sqrt [3] {x} + 1}}} \ normalsize}. \)

    Пример 12

    Вычислите интеграл \ (\ int {\ large \ frac {{dx}} {{\ sqrt [5] {x} - 1}} \ normalsize}.2}, \; \;} \ kern0pt {dx = 2udu.} \]

    Отсюда

    \ [{\ int {\ frac {{dx}} {{\ sqrt x + 1}}}} = {\ int {\ frac {{2udu}} {{u + 1}}}} = {2 \ int {\ frac {u} {{u + 1}} du} = 2 \ int {\ frac {{u + 1 - 1}} {{u + 1}} du}} = {2 \ int {\ left ({1 - \ frac {1} {{u + 1}}} \ right) du}} = {2u - 2 \ ln \ left | {u + 1} \ right | + C} = {2 \ sqrt x - 2 \ ln \ left | {\ sqrt x + 1} \ right | + C. 2} du}} {5}.3}}}} {2}} + {C.} \]

    Рациональные функции

    Рациональная функция определяется как частное от многочлены в которой знаменатель имеет степень не менее 1 . Другими словами, в знаменателе должна быть переменная.

    Общий вид рациональной функции: п ( Икс ) q ( Икс ) , куда п ( Икс ) и q ( Икс ) являются многочленами и q ( Икс ) ≠ 0 .

    Примеры:

    у знак равно 3 Икс , у знак равно 2 Икс + 1 Икс + 5 , у знак равно 1 Икс 2

    Родительской функцией рациональной функции является ж ( Икс ) знак равно 1 Икс а график - это гипербола .

    В домен и диапазон это набор всех действительных чисел, кроме 0 .

    Домен: { Икс | Икс ≠ 0 } Диапазон: { у | у ≠ 0 }

    Исключенное значение

    В рациональной функции исключенное значение - это любое Икс -значение, которое делает значение функции у неопределенный.Значит, эти значения следует исключить из области определения функции.

    Например, исключенное значение функции у знак равно 2 Икс + 3 составляет –3. То есть когда Икс знак равно - 3 , значение у не определено.

    Итак, область определения этой функции состоит из всех действительных чисел, кроме - 3 .

    Асимптоты

    An асимптота это линия, к которой график функции приближается, но никогда не касается.В родительской функции ж ( Икс ) знак равно 1 Икс , как Икс - и у -оси - это асимптоты. График родительской функции будет приближаться к асимптотам, но никогда не касается их.

    Рациональная функция в виде у знак равно а Икс - б + c имеет вертикальную асимптоту при исключенном значении, или Икс знак равно б , и горизонтальная асимптота при у знак равно c .

    Смотрите также: Графическое отображение рациональных функций

    Что такое иррациональная функция? - AnswersToAll

    Что такое иррациональная функция?

    Иррациональная функция - это функция с переменной в подкоренном выражении: Например: f (x) = √x. Упражнение: начертите график функции f (x) = √ (x + 2)

    Как узнать, что функция иррациональна?

    Иррациональная функция - это функция, аналитическое выражение которой имеет независимую переменную под корневым символом.В этом параграфе мы будем рассматривать только иррациональные функции типа f (x) = g (x) n с рациональной функцией.

    Является ли иррациональная функция функцией?

    Строгое определение иррациональной функции отсутствует. Можно сказать, что иррациональная функция - это функция, которую нельзя записать как частное двух многочленов (но это определение не используется). Обычно функция, которая включает переменные в корень, называется иррациональной функцией.

    Является ли 7.787887888 иррациональным числом?

    А.Да; у него есть повторяющийся узор.

    Является ли 3,142 иррациональным числом?

    Примеры иррациональных чисел: π (отношение длины окружности к ее диаметру) и квадратные корни из большинства положительных целых чисел, например 2. 7 22 = 3,142857…, одно рациональное число между ними равно 3,142.

    Является ли 3.14159 рациональным или иррациональным?

    Число «пи» или π (3,14159…) является распространенным примером иррационального числа, поскольку оно имеет бесконечное количество цифр после десятичной точки.

    Почему √ 3 - иррациональное число?

    Квадратный корень из 3 - это положительное действительное число, которое при умножении на само себя дает число 3. Его более точно называют главным квадратным корнем из 3, чтобы отличить его от отрицательного числа с тем же свойством. Квадратный корень из 3 - иррациональное число.

    Является ли | - 3 иррациональным числом?

    Объяснение: Определение иррационального числа состоит в том, что это число не может быть записано как дробная часть двух целых чисел.Все они являются дробями двух целых чисел. Это означает, что −3 может быть выражено как дробь двух целых чисел, и поэтому это не является иррациональным.

    Является ли sqrt 5 иррациональным?

    Это иррациональное алгебраическое число. Первые шестьдесят значащих цифр его десятичного разложения: По состоянию на ноябрь 2019 года его числовое значение в десятичном формате было вычислено как минимум до 2000 цифр. …

    2 из 5 рационально или иррационально?

    Ответ. Это иррациональное число, потому что, если мы посмотрим на определение рациональных чисел, тогда: Рациональные числа: числа, которые имеют форму p / q, где p и q оба являются целыми числами.

    5 рациональных или иррациональных?

    5 - рациональное число, потому что его можно выразить как частное двух целых чисел: 5 ÷ 1.

    Является ли 65.4349224 рациональным или иррациональным?

    Ответ: Нерационально. Пошаговое объяснение: Нам присвоили номер / b>.

    2500 - это рационально или иррационально?

    2500 рационально, потому что его можно превратить в дробь. Рациональное число - это число, которое можно записать в виде отношения. Это означает, что его можно записать в виде дроби, в которой числитель (число вверху) и знаменатель (число внизу) являются целыми числами.

    Какие есть примеры рациональных и иррациональных чисел?

    Примеры рациональных чисел: ½, ¾, 7/4, 1/100 и т. Д. Примеры иррациональных чисел: √2, √3, пи (π) и т. Д.

    Алгебра - рациональные функции

    Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

    Похоже, вы используете устройство с "узкой" шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

    Раздел 4-8: Рациональные функции

    В этом заключительном разделе нам нужно обсудить построение графиков рациональных функций.Вероятно, лучше всего начать с довольно простого, и мы можем обойтись без особых знаний о том, как они работают.

    Давайте нарисуем график \ (f \ left (x \ right) = \ frac {1} {x} \). Во-первых, поскольку это рациональная функция, нам нужно быть осторожными с делением на ноль. Итак, из этого уравнения мы видим, что нам нужно избегать \ (x = 0 \), поскольку это даст деление на ноль.

    Теперь давайте просто подставим некоторые значения \ (x \) и посмотрим, что мы получим.

    \ (х \) \ (е (х) \)
    -4 -0,25
    -2 -0,5
    -1 –1
    -0,1 -10
    -0,01 -100
    0.01 100
    0,1 10
    1 1
    2 0,5
    4 0,25

    Итак, по мере увеличения \ (x \) (положительного и отрицательного) функция сохраняет знак \ (x \) и становится все меньше и меньше. Точно так же, когда мы приближаемся к \ (x = 0 \), функция снова сохраняет тот же знак, что и \ (x \), но начинает становиться довольно большим.Вот набросок этого графика.

    Во-первых, обратите внимание, что график состоит из двух частей. Почти все рациональные функции будут иметь графики, состоящие из нескольких частей, подобных этому.

    Затем обратите внимание, что на этом графике нет никаких перехватов. Это достаточно легко проверить сами.

    Напомним, что граф будет иметь \ (y \) - точку пересечения \ (\ left ({0, f \ left (0 \ right)} \ right) \). Однако в этом случае мы должны избегать \ (x = 0 \), и поэтому этот график никогда не пересечет ось \ (y \).Он действительно подходит очень близко к оси \ (y \), но никогда не пересечет и не коснется ее, и поэтому не будет пересекаться с \ (y \).

    Затем напомним, что мы можем определить, где граф будет иметь \ (x \) - точки пересечения, решив \ (f \ left (x \ right) = 0 \). Для рациональных функций это может показаться беспорядком. Однако есть приятный факт о рациональных функциях, который мы можем здесь использовать. Рациональная функция будет равна нулю при определенном значении \ (x \), только если числитель равен нулю при этом \ (x \), а знаменатель не равен нулю при этом \ (x \).Другими словами, чтобы определить, равна ли когда-либо рациональная функция нулю, все, что нам нужно сделать, это установить числитель равным нулю и решить. Когда у нас есть эти решения, нам просто нужно убедитесь, что ни один из них не делает знаменатель равным нулю.

    В нашем случае числитель равен единице и никогда не будет равен нулю, поэтому эта функция не будет иметь \ (x \) - перехватов. Опять же, график будет очень близко к оси \ (x \), но никогда не коснется и не пересечет ее.

    Наконец, нам нужно обратить внимание на тот факт, что график очень близко подходит к осям \ (x \) и \ (y \), но никогда не пересекает их.Поскольку в самой оси нет ничего особенного, мы будем использовать тот факт, что ось \ (x \) на самом деле является линией, заданной \ (y = 0 \), а ось \ (y \) - действительно строка, заданная \ (x = 0 \).

    В нашем графике, когда значение \ (x \) приближается к \ (x = 0 \), график становится очень большим по обе стороны от линии, заданной \ (x = 0 \). Эта линия называется вертикальной асимптотой .

    Кроме того, поскольку \ (x \) становится очень большим, как положительным, так и отрицательным, график приближается к линии, заданной \ (y = 0 \).Эта линия называется горизонтальной асимптотой .

    Вот общие определения двух асимптот.

    1. Линия \ (x = a \) представляет собой вертикальную асимптоту , если график неограниченно увеличивается или уменьшается на одной или обеих сторонах линии по мере того, как \ (x \) приближается к \ (x = a \).
    2. Линия \ (y = b \) является горизонтальной асимптотой , если график приближается к \ (y = b \), когда \ (x \) неограниченно увеличивается или уменьшается.m} + \ cdots}} \]

      , где \ (n \) - наибольший показатель в числителе, а \ (m \) - наибольший показатель в знаменателе.

      Тогда мы имеем следующие факты об асимптотах.

      1. График будет иметь вертикальную асимптоту в точке \ (x = a \), если знаменатель равен нулю в точке \ (x = a \), а числитель не равен нулю в точке \ (x = a \).
      2. Если \ (n
      3. Если \ (n = m \), то линия \ (\ displaystyle y = \ frac {a} {b} \) является горизонтальной асимптотой.
      4. Если \ (n> m \) не будет горизонтальных асимптот.

      Процесс построения графика рациональной функции довольно прост. Вот.

      Процесс построения графика рациональной функции
      1. Найдите перехватчики, если они есть. Помните, что \ (y \) - точка пересечения задается как \ (\ left ({0, f \ left (0 \ right)} \ right) \), и мы находим \ (x \) - точки пересечения, устанавливая числитель равен нулю и решает.
      2. Найдите вертикальные асимптоты, установив знаменатель равным нулю и решив.
      3. Найдите горизонтальную асимптоту, если она существует, используя вышеизложенный факт.
      4. Вертикальные асимптоты разделят числовую прямую на области. В каждом регионе на графике не менее одной точки в каждом регионе. Эта точка сообщит нам, будет ли график выше или ниже горизонтальной асимптоты, и, если нам нужно, мы должны получить несколько точек, чтобы определить общую форму графика.
      5. Нарисуйте график.

      Обратите внимание, что набросок, который мы получим в процессе, будет довольно грубым, но это нормально. Это все, что нам действительно нужно - это базовое представление о том, на что будет смотреть график.

      Давайте взглянем на пару примеров.

      Пример 1 Нарисуйте график следующей функции. \ [f \ left (x \ right) = \ frac {{3x + 6}} {{x - 1}} \] Показать решение

      Итак, начнем с перехвата.Перехватчик \ (y \) равен,

      \ [f \ left (0 \ right) = \ frac {6} {{- 1}} = - 6 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ left ({0, - 6} \ right ) \]

      \ (x \) - перехватов будет,

      \ [\ begin {align *} 3x + 6 & = 0 \\ x & = - 2 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ left ({- 2,0} \ right) \ end { выровнять*}\]

      Теперь нам нужно определить асимптоты. Давайте сначала найдем вертикальные асимптоты.

      \ [x - 1 = 0 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} x = 1 \]

      Итак, у нас есть одна вертикальная асимптота. Это означает, что теперь есть две области \ (x \) 's. Это \ (x <1 \) и \ (x> 1 \).

      Теперь наибольший показатель степени в числителе и знаменателе равен 1, и поэтому на линии будет горизонтальная асимптота.

      \ [y = \ frac {3} {1} = 3 \]

      Теперь нам просто нужны точки в каждой области \ (x \) ’.Поскольку точки пересечения \ (y \) и \ (x \) уже находятся в левой области, нам не нужно набирать там очки. Это означает, что нам просто нужно получить точку в нужном регионе. На самом деле не имеет значения, какое значение \ (x \) мы выберем здесь, нам просто нужно, чтобы оно было достаточно маленьким, чтобы оно поместилось на нашем графике.

      \ [f \ left (2 \ right) = \ frac {{3 \ left (2 \ right) + 6}} {{2 - 1}} = \ frac {{12}} {1} = 12 \ hspace { 0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ left ({2,12} \ right) \]

      Хорошо, сложив все это вместе, мы получим следующий график.2} - 9}} \] Показать решение

      Ладно, начнем с перехвата. 2} - 9 = 0 \ hspace {0.25 дюймов} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} x = \ pm 3 \]

      Итак, в этом случае у нас будет три области нашего графа: \ (x <- 3 \), \ (- 3 3 \).

      Кроме того, наибольший показатель степени в знаменателе равен 2, а поскольку в числителе нет \ (x \), наибольший показатель степени равен 0, поэтому ось \ (x \) будет горизонтальной асимптотой.

      Наконец, нам нужны очки. Здесь мы будем использовать следующие моменты.

      \ [\ begin {align *} f \ left ({- 4} \ right) & = \ frac {9} {7} & \ hspace {0,25in} & \ left ({- 4, \ frac {9} { 7}} \ right) \\ f \ left ({- 2} \ right) & = - \ frac {9} {5} & \ hspace {0,25in} & \ left ({- 2, - \ frac {9 } {5}} \ right) \\ f \ left (2 \ right) & = - \ frac {9} {5} & \ hspace {0,25in} & \ left ({2, - \ frac {9} { 5}} \ right) \\ f \ left (4 \ right) & = \ frac {9} {7} & \ hspace {0,25 дюйма} & \ left ({4, \ frac {9} {7}} \ вправо) \ end {align *} \]

      Обратите внимание, что вместе с точкой пересечения \ (y \) у нас фактически есть три точки в средней области.2} - 4x = x \ left ({x - 4} \ right) = 0 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25in} x = 0, \, \, x = 4 \]

      Итак, у нас снова два, и три области, которые мы получили, это \ (x <0 \), \ (0 4 \).

      Далее, наибольший показатель как в числителе, так и в знаменателе равен 2, поэтому, поскольку на линии будет горизонтальная асимптота,

      \ [y = \ frac {1} {1} = 1 \]

      Теперь одно из пересечений \ (x \) - находится в крайней левой области, поэтому нам не нужны там точки.Другой перехватчик \ (x \) находится в средней области. Итак, нам понадобится точка в крайней правой области, и, как отмечалось в предыдущем примере, мы захотим получить еще пару точек в средней области, чтобы полностью определить ее поведение.

      \ [\ begin {align *} f \ left (1 \ right) & = 1 & \ hspace {0,25 дюйма} & \ left ({1,1} \ right) \\ f \ left (3 \ right) & = - \ frac {5} {3} & \ hspace {0,25 дюйма} & \ left ({3, - \ frac {5} {3}} \ right) \\ f \ left (5 \ right) & = \ frac {{21}} {5} & \ hspace {0.25 дюймов} & \ left ({5, \ frac {{21}} {5}} \ right) \ end {align *} \]

      Вот набросок этой функции.

      Обратите внимание, что на этот раз средняя область не имеет такого же поведения на асимптотах, как мы видели в предыдущем примере. Это может происходить и будет происходить довольно часто. Иногда поведение на двух асимптотах будет таким же, как в предыдущем примере, а иногда оно будет иметь противоположное поведение на каждой асимптоте, как мы видим в этом примере.Из-за этого нам всегда нужно будет получать пару баллов в этих типах регионов, чтобы точно определить, каким будет поведение.

      Rational Function: определение, уравнения и примеры - видео и стенограмма урока

      Примеры рациональных функций

      Только что полученное вами определение может показаться несколько сложным, поэтому давайте рассмотрим несколько примеров рациональных функций:

      Функция R ( x ) = ( x ^ 2 + 4 x ). 2 - 9 x + 2 также является многочленом.(-2/3) + 4, не является многочленом, поскольку показатель степени x не является неотрицательным целым числом.

      Вертикальные асимптоты

      Одно из самых уникальных свойств рациональной функции - то, что она может иметь вертикальные асимптоты. Во-первых, нам, вероятно, следует определить вертикальную асимптоту. Вертикальная асимптота со значением x - это когда значение нашей функции приближается к положительной или отрицательной бесконечности, когда мы оцениваем нашу функцию при значениях, приближающихся к x (но не равным x ).

      Этот пример может помочь прояснить идею вертикальной асимптоты:

      Мы видим, что существует вертикальная асимптота, когда x = 1, поскольку функция приближается к отрицательной бесконечности, когда мы приближаемся к 1 слева, а функция приближается к положительной бесконечности, когда мы приближаемся к 1 справа.

      Нахождение вертикальных асимптот

      Как нам найти вертикальные асимптоты (если они есть), если нам дана рациональная функция? Мы можем использовать следующую теорему:

      Теорема: Пусть R ( x ) - рациональная функция без общих множителей между числителем и знаменателем.2 + x = 0. Разлагая левую часть на множители, получаем x ( x + 1) = 0. Следовательно, x = 0 и -1. Наши вертикальные асимптоты существуют при x = 0 и x = -1.

      Вы, наверное, думаете. . . Подождите, мы не использовали числитель! Мы должны были? Что ж, технически мы использовали числитель, так как нам нужно было убедиться, что между числителем и знаменателем нет общих множителей. Но когда дело доходит до вычисления вертикальных асимптот, мы используем только знаменатель!

      Рассмотрим другой пример.2 + 1 = 0 не имеет реальных решений, единственная вертикальная асимптота получается из x + 3 = 0. Следовательно, единственная вертикальная асимптота возникает при x = -3.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *