Операции над иррациональными числами
На множестве иррациональных чисел можно ввести четыре основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление; но ни для одной из перечисленных операций множество иррациональных чисел не обладает свойством замкнутости. Например, сумма двух иррациональных чисел может быть числом рациональным.
Например. Найдем сумму двух иррациональных чисел $0,1010010001 \ldots$ и $0,0101101110 \ldots$ . Первое из этих чисел образовано последовательностью единиц, разделенных соответственно одним нулем, двумя нулями, тремя нулями и т.д., второе — последовательностью нулей, между которыми поставлены одна единица, две единицы, три единицы и т.д.:
$$0,1010010001 \ldots+0,0101101110 \ldots=0,111111=0,(1)=\frac{1}{9}$$
Таким образом, сумма двух заданных иррациональных чисел есть число $\frac{1}{9}$ , которое является рациональным.
Пример
Задание. {2}$ и
$n$ делятся на 3, следовательно, дробь $\frac{m}{n}$ можно сократить на 3. Но по предположению дробь
$\frac{m}{n}$ несократима. Полученное противоречие и доказывает, что число $\sqrt{3}$ непредставимо в виде дроби
$\frac{m}{n}$ и, следовательно, иррационально.
Что и требовалось доказать.
Читать дальше: что такое кратное число.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Максимально иррационально: как лауреат Нобелевской премии показал экономистам человека
Автор фото: Imago/TASS
17:5809 октября 2017
2087просмотров
17:5809 октября 2017
Лауреат Нобелевской премии по экономике смог сделать эту науку более человечной, доказав другим ученым, что покупатель и инвестор — не вымышленные существа из учебника, а живые люди.

Нобелевскую премию в области экономики получил американский ученый Ричард Талер, снявшийся в кинофильме «Игра на понижение», а также выполнявший обязанности советника 44-го президента США Барака Обамы. Награды он удостоился за «за вклад в исследование поведенческой экономики». Один из членов комиссии, принимавшей решение о том, кому стоит отдать премию, отметил, что Ричард Талер сделал экономику более человечной.
Экономист действительно на протяжении многих лет изучал то, как психология влияет на экономическое поведение людей, в том числе как потребители принимают решения, руководствуясь чувствами и эмоциями. Сам Ричард Талер на вопрос о том, как он намерен потратить нобелевскую премию, пообещал, что постарается сделать это «максимально иррационально». Примерно так всегда и поступали объекты его исследований.
Иррациональность во всем
Талер к человеческой иррациональности всегда относился с пониманием, говоря, что проблема вовсе не в ней, а в модели, которую используют экономисты. Последние, по мнению исследователя, не учитывают участие в экономических процессах не вымышленных существ, а людей, которыми движут эмоции, настроение и множество других факторов.
Вот, например, среди наблюдений Талера из области потребительского поведения — тот факт, что ценность зонта неизбежно растет в дождь, но компанию, которая захочет на этом заработать, потребители непременно осудят.
Талер также много исследовал понятие «справедливость» и то, как оно вписывается в повседневные экономические процессы. Например, тот факт, что бутылка обычной воды может стоить в несколько раз дороже, если ее продают в баре дорогого отеля, вполне вписывается в представления потребителя о справедливом ценообразовании. Что касается постоянно низкой цены — то ей, по замечаниям Талера, многие предпочитают скидки, так как покупка по сниженному ценнику больше удовлетворяет человеческое желание купить товар подешевле.
Выбирать и зарабатывать
Тем, что принято считать «предположительно незначительными факторами», по мнению Талера, можно объяснить не только поведение покупателей, но инвесторов. На решение последних может повлиять погода, тот факт, голоден человек или сыт, и даже то, какие результаты накануне продемонстрировала его любимая команда.
Ричард Талер стал основоположником теории «либертарианского патернализма», основанной на его наблюдениях. Эта теория направлена на то, чтобы подталкивать человека к оптимальному выбору, продиктованному разумом, а не эмоциями. Вместе с Сайстейном Кассом Талер выпустил книгу «Толчки», посвященную тому, как организации могут помогать людям делать более рациональный выбор. Саму систему подталкивания покупателей к определенному решению авторы книги называют архитектурой выбора.
В книге «Новая поведенческая экономика» Ричард Талер продолжает уже начатый разговор о психологии влияния, объясняет, почему же все-таки люди нарушают правила так называемой традиционной экономики, и рассказывает, какую выгоду может извлечь бизнес.
Лента новостей
Только бизнес новости
Показать ещё
«Я знаю, что это иррационально, но я не могу избавиться от этого чувства».

Терапевт и писатель Кортни Армстронг объясняет, почему наши эмоции могут взять верх над нашими мыслями и как вы можете исцелиться.
Испытывали ли вы когда-нибудь ноющую неуверенность в себе или неуверенность в себе, которые, как вы знаете, иррациональны, но не можете избавиться от них? Часто это происходит потому, что мы все еще носим с собой то, что я называю негативным воплощенным убеждением , которое непреднамеренно слилось с нашим ощущением себя.
Например, 48-летний Джон был разочарован необъяснимым опасением, которое он испытал, не соглашаясь со своим отцом. Когда я помогла Джону проследить эти чувства до более раннего воспоминания, он вспомнил случай, когда его отец, чемпион по гандболу, одним махом руки швырнул пищащую мышь в кухонную стену. Позже Джон вспомнил еще одно воспоминание о том, как его отец нанес аналогичный удар ему в лицо, когда Джон набросился на него в подростковом возрасте. Позже отец Джона извинился за то, что так сильно ударил его, и никогда больше не бил его, но Джон все еще чувствовал себя неловко рядом с ним после всех этих лет.
Пока мы изучали убеждения Джона, связанные с этими детскими переживаниями, он сказал: «У меня сложилось впечатление, что если ты перейдешь к папе, он тебя врежет! Несмотря на то, что я рационально знаю, что мой отец не ударит меня сейчас, я думаю, что на каком-то уровне я все еще чувствую это».
Как формируются эмоциональные воспоминания
Неадекватные реакции, подобные реакции Джона, обычно формируются в ответ на предшествующие эмоционально заряженные события. Когда происходит событие, связанное с интенсивным эмоциональным возбуждением, эмоции действуют как клей, который мгновенно закрепляет опыт в заученном пути, поэтому для этого не требуется много повторений. Ваш разум, вероятно, сделал то же самое, когда вы впервые коснулись горячей плиты. Это неизгладимое знание предназначено для того, чтобы защитить вас и не дать вам причинить себе вред.
Часто процесс извлечения событий из нашего прошлого и помещения их в надлежащий контекст происходит со временем без терапии. Например, вы научились не прикасаться к плите, когда она горячая, но поняли, что вам не нужно совсем избегать плит. Когда мы помещаем событие в этот сознательный контекст, оно называется явной памятью . Явная память — это память, которую мы можем извлечь сознательно и описать без особого эмоционального возбуждения, потому что мы сохранили ее в рамках адаптивной структуры. С другой стороны, имплицитная память – это память, которая хранится в виде прочувствованного опыта, который не был полностью интегрирован сознательно в текущий контекст, время или пространство. Имплицитные воспоминания включают поведенческое обучение, эмоциональные реакции и телесные ощущения, в которых отсутствует ощущение прихода из прошлого. Что касается эмоционального мозга, поведение, которое вы использовали, чтобы пережить неразрешенное событие, по-прежнему актуально и необходимо для вашего выживания.
Травмы «малой Т» могут быть хуже, чем травмы «большой Т»
По иронии судьбы, я обнаружил, что травмы «маленькой Т» часто имеют более навязчивый и коварный эффект, чем «травмы большой Т». В случае травм типа «Большая Т», таких как катастрофа, война или изнасилование, клиенты часто лучше понимают, что они не были причиной события и делали то, что делали, чтобы выжить. С небольшой Т-травмой, такой как опыт неодобрения, предательства или пренебрежения, люди часто чувствуют, что они были причиной чьего-то поведения. Клиенты, пострадавшие от малых травм, часто испытывают повторяющиеся чувства стыда, вины, ненависти к себе, беспокойства или депрессии без ясной причины. Точно так же они часто считают себя недостойными, непривлекательными, ущербными или просто «плохими», не понимая почему. Я называю это воплощает убеждения , потому что они проявляются скорее в виде чувств, а не рациональных мыслей. Воплощенное убеждение ощущается как неотъемлемая истина о личности, от которой невозможно отказаться.
Каковы ваши воплощенные убеждения?
К счастью, вы можете исцелить и изменить свои воплощенные убеждения. Первый шаг — определить, где вы их узнали. Загрузите мой рабочий лист «Обнаружение воплощенного убеждения », чтобы сделать это. Следующий шаг — определить, во что вы хотите верить вместо этого. Что вы знаете сейчас, чего не знали тогда? Например, Джон понял уже во взрослом возрасте, что отец больше его не ударит. Он хотел, чтобы его эмоциональный мозг понял, что его отец теперь был безопасным человеком, чтобы быть рядом с ним физически. Более того, несмотря на то, что отец Джона все еще имел склонность критиковать Джона или не соглашаться с его мнением, Джон знал, что отец в основном его уважал. Он не хотел, чтобы его эмоциональный мозг путал несогласие с мнением с неодобрением того, кем был Джон как личность.
Изменение вашего воплощенного убеждения
Как только вы определили, каким должно быть ваше новое воплощенное убеждение, вы должны показать свой эмоциональный мозг через опыт . Вы не можете просто думать о том, чтобы оно стало реальностью, или уговорить себя на это. Почему? Потому что эмоциональная часть нашего мозга не говорит словами и не понимает логики. Он учится только через опыт. К счастью, эмоциональный мозг может учиться на опыте управляемых образов. Вы можете учить свой эмоциональный мозг, живо представляя «эмоциональную правду», которую вы хотите, чтобы он знал сейчас. Для этого вы вызываете воспоминание об исходном событии, когда вы узнали негативное убеждение, и обновляете это воспоминание новым опытом, используя образы.
Джон сделал это, вспомнив, как его отец ударил его, а затем представил, как вступает в эту сцену во взрослом состоянии. Он обнял себя 11-летнего себя в воображаемой сцене, чтобы утешить его и оттащить от отца в более безопасную часть дома. Затем он представил, как его «старшее я» объясняет своей младшей части, что его отец позже признает, что он слишком остро отреагировал и никогда больше не ударит Джона. Он показал моменты «младшего Джона» в будущем, когда его отец выражал, как он гордился им, например, когда он закончил колледж, а позже заботился о своем отце в больнице. Благодаря этим воображаемым сценам Джон внезапно смог увидеть, насколько уязвимым был его отец. Он понял, что его отец, возможно, боялся, что Джон не уважает его, и реагировал из-за собственных обид. Как только Джон смог передать это знание своему эмоциональному мозгу через образы, его воплощенные убеждения тоже изменились. Он не боялся находиться рядом с отцом. Он воспринимал свою критику менее лично. Он начал видеть в своем отце уязвимого человека со слабостями и неуверенностью, как и все мы! И когда Джон расслабился рядом с отцом, его отец тоже начал расслабляться. Невысказанный стыд и напряжение, которые были там в течение многих лет — в течение 9 лет.0004 оба
Кортни Армстронг, LPC, частный терапевт и автор книг The Therapeutic «Ага!» и Трансформация травматического горя .
«Из всех семинаров, которые я посетил за последнее время, этот семинар был наиболее информативным.
Я узнал много новых навыков и подходов к терапии – то, что я действительно могу использовать. Я обнаружил, что этого фрагмента часто не хватает на семинарах, на которых я был. Отношение Кортни, стиль преподавания, использование ролевых игр, средств массовой информации и т. д. было здорово!»
— Бекки Дэвидсон LCSW, Чаттануга, Теннесси
«Я посещала многочисленные тренинги Кортни. Она потрясающий терапевт, вдохновляющий и понимающий тренер, а также невероятный писатель. Кортни приносит все, что она знает, из терапевтического процесса. к неврологии и делает все это понятным и интересным. Любой, кто получит возможность тренироваться с ней, увидеть ее профессионально или прочитать одну из ее книг, будет рад, что они сделали это!»
— Тара Дикхербер LPC, Сент-Чарльз, Миссури
«Позвольте мне воспользоваться этой возможностью, чтобы сказать, что посещение онлайн-курса Кортни было — бесспорно — одним из лучших решений, которые я принял как в профессиональном, так и в профессиональном плане.
лично. У нее есть способ преподавания, который не только информативный, но и увлекательный и доступный. То, чему я научился, уже оказало огромное влияние на мою практику и мировоззрение».
— Кристин Тоттердейл Dip Hyp, CS, MHS, Соединенное Королевство
«Кортни представила один из самых прибыльных семинаров по травмам, которые я когда-либо посещал.
— Алан Бэттл Доктор философии, руководитель отдела клинической психологии, Медицинская группа UT
ее предметная область (устойчивость и травматический стресс среди других областей) и в целом один из самых добрых и щедрых людей, которых вы могли встретить. Я надеюсь, что у вас будет возможность увидеть или прочитать ее работы».
— Билл О’Хэнлон Спикер и автор более 30 книг
День Пи 2022 — Это иррационально!!!
Снова день Пи! Ну, не удивляйтесь так — это происходит каждые 365 дней плюс-минус день или около того. Осталось ли что-нибудь сказать после стольких размышлений об этом самом трансцендентном из чисел? Забудьте о трансцендентном – это иррационально!
У числа Пи так много интересных свойств, что оно действительно заслуживает отдельного дня, и 14 марта 2022 года — хороший день для того, чтобы по…
Хорошо, бит 2022 бесполезен, но 3 и 14 — это три цифры в десятичном разложении числа Пи, поэтому, возможно, нам просто придется довольствоваться этим, если только мы не сможем отмотать часы назад до 227 года, что будет известное рациональное приближение 22/7.
На чем я хочу сосредоточиться в этот день числа Пи, так это, возможно, на наименее привлекательном аспекте числа Пи — его иррациональности. Звучит хорошо — как число может быть настолько сумасшедшим, что оно иррационально? Потому что это не значит нелогично — это просто означает, что это не отношение, то есть не рационально, а скорее рационально. То есть вы не можете найти два целых числа, целых для вас и для меня, таких, что a/b равно точно Пи. Независимо от того, какой a или b вы выберете, в значении, которое вы используете для Pi, будет ошибка.
Долгое время я радовался этой идее. Ведь иррациональных чисел больше, чем рациональных. На самом деле, большинство чисел, с которыми мы работаем, иррациональны. Если вы выберете число из шляпы (большой шляпы), оно почти наверняка будет иррациональным. Вы никогда не увидите хорошего аккуратного целого числа или даже полезного компактного отношения, такого как 22/7. Иррациональные числа затмевают все остальные виды чисел.
Итак, Пи, иррациональность не заслуживает особого внимания. За исключением того, что оно связано с пространством, в котором мы находимся, — евклидовым пространством. Вселенная может быть искривленной и неевклидовой, но наш маленький клочок пространства локально евклидов, точно так же, как любая поверхность плоская, если подойти к ней достаточно близко. Это принцип дифференциальной геометрии, о котором стоит узнать.
Дело в том, что, хотя иррациональных чисел может быть слишком много, чтобы волноваться, не так уж много точных описаний конкретных иррациональных чисел. Чтобы было понятнее, рассмотрим задачу написания программы для вывода определенного числа. Каждая программа, которую вы пишете, представляет собой строку двоичных битов, и вы можете, если хотите, прочитать эту строку двоичных битов как число. То есть у каждой программы есть число, обычно называемое числом Гёделя, и это означает, что для каждой программы существует целое число, а для каждого целого числа — программа — но подождите, мы уже знаем, что существует гораздо больше иррациональных чисел, чем целых чисел, и поэтому подавляющее количество иррациональных вещей, у которых нет программ, которые их печатают!!
Большинство иррациональных чисел вообще нельзя записать никаким образом — у них даже нет символов, чтобы отличить их, как пи или е. Большинство чисел настолько обыкновенны, что у них нет никаких свойств, выделяющих их среди других чисел. Это числа, которые существуют, но без каких-либо ярлыков.
Разговор о темной материи и темной энергии — это темные числа!
Теперь рассмотрим на мгновение круг радиуса один. Его окружность равна 2Pi, что иррационально. Итак, теперь представьте, что вы разворачиваете окружность, как будто это кусок веревки. Теперь у вас есть иррациональная длина, что означает, что не существует пары целых чисел a и b, для которых a/b является длиной. А теперь представьте, что я прошу вас начать с какой-то точки и пройти по кругу. Для этого вам нужно сделать шаг размера a и сделать n шагов, чтобы добраться до конца, но это означает, что n*a = 2Pi или Pi = n*a/2, но так как n*a — целое число, а 2 — это целое число, к которому вы не можете вернуться точно с того же места, с которого начали, шагами любого размера.
Почему это происходит?
Вы можете обобщить Пи на отношение периметра к ширине ряда объектов. Например, Пи(квадрат) равно 4L/(L/2)=2, поэтому число Пи для квадрата не только рациональное, но и целое. Если вы продолжите складывать стороны — пятиугольник, шестиугольник и т. д., вы получите значение числа Пи, которое всегда является рациональным, и значение, которое медленно сходится в направлении числа Пи для круга, — но число Пи для n-сторонней фигуры, Пи (n ) становится иррациональным только тогда, когда n стремится к бесконечности.
В некоторых неевклидовых геометриях число Пи не является иррациональным, а в некоторых даже непостоянным, так что я думаю, мы можем заключить, что его иррациональность в некотором роде является следствием жизни в плоском евклидовом пространстве.
Но, конечно, число Пи не просто иррационально, оно трансцендентно, и это приводит нас к другой истории, возможно, в следующем году…
- Доктор Майк Джеймс, основатель и главный редактор веб-сайта I Programmer, также автор The Programmer’s Guide To Theory , который, как следует из его подзаголовка «Объяснение великих идей» , предназначен для представления фундаментальных идей информатики в неформальной и в то же время информативной форме.
Дополнительная информация
https://www.piday.org/
Связанные статьи
День Пи 2021 — Дай мне Пи!
День числа Пи 2020 — размышление о числах
Google побил рекорд числа пи в день 9 числа пи0007
Невычислимые и другие числа
Сегодня День числа Пи 2018, и Google примет участие в этом с дудлом
День Пи 2017 — Почему Пи?
(Пицца) День Пи
С Днем Пи!
Пи День века
Жизнь Пи — Да, это день Пи
Празднуйте день числа Пи, в нем собраны все человеческие знания
вычислено 60-триллионная двоичная цифра числа пи в квадрате
Yahoo! Доходит до 2-х квадриллионного бита числа Пи — это ноль
В поисках Пи
Руководство программиста по Transfinite
Чтобы получать информацию о новых статьях на сайте I Programmer, подпишитесь на нашу еженедельную рассылку, подпишитесь на RSS-канал и следите за нами в Twitter, Facebook или Linkedin.