Иррациональным это: ИРРАЦИОНАЛЬНЫЙ | это… Что такое ИРРАЦИОНАЛЬНЫЙ?

Какие числа называются Иррациональные?

Понятие иррациональности можно встретить в философских учениях, логических концепциях и даже в психологической типологии Карла Юнга. Но нас все-таки интересует математика: что значит иррациональное число и зачем оно нужно.

Определение иррациональных чисел

Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби:

Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби.

Бесконечная периодическая десятичная дробь — это такая дробь, десятичные знаки которой повторяются в виде группы цифр или одного и того же числа.

Примеры иррациональных чисел:

• π = 3,1415926…
• √2 = 1,41421356. ..
• e = 2,71828182…
• √8 = 2.828427…
• -√11= -3.31662…

Множество иррациональных чисел договорились обозначать латинской буквой I.

Действительные

или вещественные числа — это все рациональные и иррациональные числа: положительные, отрицательные и нуль.

Если натуральное число n не является точным квадратом, т. е. n ≠ k², где k ∈ Q, то √n — иррациональное число.

Демо урок по математике

Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.

Свойства иррациональных чисел

Какие числа являются иррациональными мы уже поняли, но это еще не все. Есть еще важная тема для изучения: их основные свойства.

Свойства иррациональных чисел:

• результат суммы иррационального числа и рационального равен иррациональному числу;
• результат умножения иррационального числа на любое рациональное число (≠ 0) равен иррациональному числу;
• результат вычитания двух иррациональных чисел равен иррациональному числу или рациональному;
• результат суммы или произведения двух иррациональных чисел равен рациональному или иррациональному, например: √2 * √8 = √16 = 4).

Онлайн-подготовка к ОГЭ по математике — отличный способ снять стресс и закрепить знания перед экзаменом.

Определение рациональных чисел

А теперь наоборот: рассмотрим противоположное заданной теме определение.

Рациональное число — это такое число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или нуля.

Если число можно получить делением двух целых чисел — это число точно рациональное.

Рациональные числа —  это те, которые можно представить в виде:

где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число.

Рациональные числа – это все натуральные, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.

Множество рациональных чисел принято обозначать латинской буквой Q.

Примеры рациональных чисел:

• десятичная дробь 1,15 — это 115/100;
• десятичная дробь 0,2 — это 1/5;
• целое число 0 — это 0/1;
• целое число 6 — это 6/1;
• целое число 1 — это 1/1;
• бесконечная периодическая дробь 0,33333… — это 1/3;
• смешанное число это 25/10;
• отрицательная десятичная дробь -3,16 — это -316/100.

У рациональных чисел есть определенные законы и ряд свойств — рассмотрим каждый их них. Пусть а, b и c — любые рациональные числа.

Основные свойства действий с рациональными числами Переместительное свойство сложения: a + b = b + a. Сочетательное свойство сложения: (a + b) +c = a + (b + c). Сложение рационального числа и нейтрального элемента (нуля) не изменяет это число: a + 0 = a. У каждого рационального числа есть противоположное число, а их сумма всегда равна нулю: a + (-a) = 0. Переместительное свойство умножения: ab = ba. Сочетательное свойство умножения: (a * b) * c = a * (b * c). Произведение рационального числа и едины не изменяет это число: a * 1 = a. У каждого отличного от нуля рационального числа есть обратное число. Их произведение равно единице: a * a−1 = 1. Распределительное свойство умножения относительно сложения: a * (b + c) = a * b + a * c.

 

Шпаргалки по математике родителей

Все формулы по математике под рукой

Иррациональность Иррациональный | Что такое Иррациональность Иррациональный

      Иррациональность как качество личности – склонность к поведению, которое не может быть постигнуто и объяснено разумом, которое явно не подчиняется законам логики, что  оценивается как «сверхразумное», «противоразумное».

     Когда Мастер заметил, что вера посетителя слишком иррациональна, тот напыщенно ответил: — Я потому и верую, что моя вера иррациональна. — А может, лучше сказать: я верую, потому что я сам иррационален?

     — Дорогой, а правда, что любовь — чувство иррациональное?  — Правда. — Тогда скажи мне что-нибудь такое, совсем-совсем иррациональное… — Ммм… Нууу… А, вот! Корень из минус единицы, деленный на ноль.

    Действительно, любовь и милость иррациональна. Любви, нежности, ласке, милости не требуется рациональности:

    К императору Наполеону пришла мать одного солдата, осужденного на смерть, и просила о помиловании. — Он осужден по справедливости, — сурово сказал император. — Я пришла просить не справедливости, а милости. — Ваш сын не заслужил милости. — Государь, — тихо сказала мать, — милость не заслуживается, её оказывают. Поэтому я и прошу о помиловании. Эти слова глубоко тронули сердце Наполеона, и преступник был прощён.

       Милость выше справедливости. Справедливость рациональна и условна. В отличие от справедливости — способности по-божески, беспристрастно следовать правде, истине в своих поступках и мнениях; действовать на законных и честных основаниях, милость иррациональна.  Милость зависит исключительно от творящего милость.  Милость – это  то,  что иррационально, основано, как в случае с Наполеоном, на прихоти, капризе. Справедливость, рациональность попадают под юрисдикцию закона. А иррациональное, что это такое? Это отсутствие соображений, заботы о законе. Это иррационально. Иррациональное не поддается расчету, регуляции, закону.  Оно не следует законам логики и не может быть постигнуто разумом.

      Иррациональный человек ведёт себя, с точки зрения рациональности, неразумно, его  поведение ориентировано на достижение целей без тщательной предварительной оценки сложившейся ситуации и существующих возможностей. Иррациональность подразумевает по большей части необдуманное проявление (мысль, идею, чувство, решение, поступок) человека, основанное на чувственном или интуитивном порыве.

     Иррациональный человек в большинстве случаев воспринимает окружающую действительность и моделирует решения вне логического обоснования преимуществ одних решений по отношению к возможным другим решениям и не ориентируется в своей деятельности на заранее разработанный алгоритм действий (инструкцию). Чаще всего иррациональное поведение держится на вере человека в позитивном результате при практически полном непонимании, какими именно средствами и методами желаемый результат будет достигаться.

   Принцип иррациональности защищает человека от разрушительной критики собственных мотивов, когда он избегает тщательного предварительного и осознанного моделирования своих действий и поступков, включая оценку перспектив, основанную на существующем опыте. Иррациональное поведение использует ресурсы подсознания, находя нужные ответы и решения спонтанно и непроизвольно уже в процессе активной деятельности.

      Иррациональные анекдоты.

     Сидит мужик на беpегу Hила и pыбу ловит. Жаpа жуткая, духота, пекло, да еще и pыба не ловится… Час сидит мужик, два сидит, а pыба все не ловится. Вдpуг всплывает кpокодил (К) и так у мужика (М) участливо спpашивает: (К) — Что, жаpко? (М) — Угу… (К) — Душно? (М) — Угу… (К) — (с надеждой…) Может, тогда искупнешься?

    Лежат две курицы в магазине на прилавке, одна наша (русская) другая импортная (американская): Импортная на нашу смотрит и говорит: — Вот посмотри на меня, я хоть вся на ГМО, но такая жирненькая лежу, в такой красивой упаковке, хорошо общипанная, а ты такая худая, не общипанная, синяя. А наша ей в ответ: — Зато я своей смертью умерла!!!

     Иррациональность – Непостижимое поведение.  Психолог  Виктория Колосова пишет: «Иррациональное поведение — это действие, нацеленное на получение результата без заранее обдуманных поступков и оценки. Такое поведение не имеет предварительно осмысленных возможных вариантов развития ситуации, вопроса или задачи. Обычно оно связанно со спонтанным проявлением чувств, эмоций, которые раздражают либо, наоборот, резко успокаивают мысли, возникающие вследствие душевного порыва. Обычно такие люди способны видеть действительность за пределами ее логического объяснения и с преимуществом одних доводов другим. Они ориентируются на поступки без заранее подготовленных алгоритмов действий, получивших название «жизненные инструкции». Чаще всего такое поведение основано на вере самого человека в хороший результат выполняемой работы, при полном практическом непонимании, каким же все-таки образом был достигнут требуемый результат. Иногда у людей находится только одно объяснение — благосклонность судьбы.

    В размышлениях и полученных выводах, как и во всех остальных глобальных законах этого мира, действует правило сохранения энергии. Мыслить по стереотипной схеме зачастую бывает выгодно: тратится меньше сил и необходимого времени. И хорошо, если полученные знания в детстве правильные, тогда человек решает поставленную задачу верным путем. Но если знания иррациональные, тогда человеку повезло в меньшей мере. Основные факторы, почему такие мысли препятствуют правильному мышлению: они спонтанны; уводят человека от основной его деятельности; зачастую срабатывают в ненужных ситуациях; являются причиной появления тревоги и раздражительности. Чем быстрее человек избавится от алогичности в своем мышлении и поступках, тем скорее в его жизни перестанут происходить отрицательные события, психика укрепится, а функциональная деятельность улучшится. Иррационально — это неправильно для человека здравомыслящего».

   Вот яркий образец иррационального поведения:

    В приемной женщина. На вид лет 45. Не модель, отнюдь. Юбка сатиновая, кофта вязаная. На ногах стоптанные туфли. В руках сумка из того же материала в том же состоянии. — Здравствуйте. Проконсультируйте меня, пожалуйста. Я хочу провести генетическую экспертизу отцовства своего ребенка. — А что, у вас есть сомнения? Сколько лет ребенку? — 15 лет, дочка.

     Интересное кино… То есть 15 лет у дамы сомнений не было в том кто отец ребенка. А тут обуяло ее. Хотя чего только в жизни не случается. Может война какая, пропал отец при распаде СССР, еще чего… А тут объявился. Ну и хочет с чадом воссоединиться. Однако странно. Кольцо обручальное у дамы имеется. — Вы хотите подтвердить отцовство для мужа? — Нет. Я хочу установить отцовство и подать в суд на алименты к биологическому отцу. За все 15 лет. — Хм… А в свидетельстве о рождении отцом записан ваш муж? — Ну да… — А он знает о ваших сомнениях? — Ну нет… — Ваш муж отказывается содержать ребенка? — Нет, что вы, он ее очень любит! — То есть при живом муже, который юридически признает себя отцом вашего ребенка и не отказывается от своих обязанностей, вы хотите доказать что биологический отец вашей дочери другой мужчина? — Ну да… — Я так понимаю, у биологического отца резко улучшилось материальное положение? — Эта. . ну.. ну да. Он фирму открыл, машины ремонтирует. Джип купил, дом построил, женился. Так что ж теперь, эта лохудра все получит, а мне значит ничего? — А вы знаете, что если вы докажете, что биологическим отцом вашего ребенка является другой человек, то ваш муж может в свою очередь подать в суд на вас о взыскании средств, потраченных им на содержание чужого ребенка? — Ой… А что, может? Ой, извините, я пойду… Суетливо убегает из комнаты, дверь качается на сквозняке…

     Иррациональный анекдот:

    Идет по Лондону мужик с сапогом на голове. Его останавливается полицейский: — Почему вы с сапогом на голове, сэр?! — Я всегда по средам гуляю с сапогом на голове! — Хорошо, но сегодня четверг!  — Боже, тогда я выгляжу как дурак!!!

Петр Ковалев 2015 год
Другие статьи автора: https://www.podskazki.info/karta-statej/

 

Иррационально свободный / Хабр

Заявление Николая произвело эффект разорвавшейся бомбы. Целую неделю весь офис только о нём и говорит. В курилке, на кухне, в переговорках и высоких кабинетах. Восхищаются, поливают грязью, пытаются анализировать, думают, как бы его уволить. Но все, без исключения, пытаются узнать побольше об этом парне. Понять, как он стал таким.

Чего же такого он там ляпнул?

Самое обычное совещание, с широким кругом приглашённых – программистов, разработчиков, РП, менеджеров, аналитиков, начальников и проч. Обсуждали офисные фетиши – цели, процессы, обязанности, ответственность, провалы. Кто чего должен и обязан. Тут заметили Колю – он сидел в углу и читал книгу. Заметить удалось потому, что Николай – редкий гость на совещаниях. И кто-то из Больших зачем-то спросил: «Коля, а что входит в твои обязанности?».

Коля поднял голову, улыбнулся и ответил: «Чисто по приколу, назовите хоть одну мою обязанность».

Секунд десять все улыбались. Потом задумались. Несколько минут перешёптывались. Никто так ничего и не назвал.

Немного о Коле

Коля – очень хороший программист. Не настолько, чтобы быть Гуру или капризной Звездой и получать какое-то особое отношение. Но отношение к нему, действительно, особое. Правда, до вышеозначенного совещания никто этого не понимал и не осознавал.

Грубо говоря, Коля делает, что хочет. А чего не хочет – не делает. Чего Коля хочет или не хочет – никто не знает. Единственный способ узнать – спросить у Коли. Предугадать невозможно.

Коля может назначить встречу с клиентом и не прийти на неё. А может взять и без предупреждения нагрянуть к клиенту в офис.

Коля может не брать трубку, когда ему звонит собственник предприятия-клиента. А может позвонить кладовщику и целый час обсуждать, где лучше мыть машину.

Коля совершенно необъяснимо выбирает задачи. Может взяться за длинную, в несколько недель, тихую спокойную разработку. После ему, естественно, несут следующую, аналогичную. А он отказывается и садится решать очень срочную, но больше слесарную задачу – какую-нибудь поломанную БД починить. Прочитав одно письмо с просьбой об анализе проблемы, Коля его удаляет. Следующее письмо, с аналогичной проблемой – вдумчиво читает, аккуратно отвечает, излагает варианты. Когда его просят решить задачу, он может написать ответ в духе «эту задачу не надо решать». Когда его просят «просто подумать», он присылает почти готовый прототип.

Коля может месяцами не появляться на обязательных совещаниях и мероприятиях. А потом раз – и приползти. Иногда – вообще сам, ни с того ни с сего, совершенно вдруг, организует совещания, конференции и выступления.

Все планы, сроки, проекты, бэклоги, дедлайны Коле по барабану. Он может полгода делать задачу, на которую нужно полдня. А может за полдня сделать то, на что отводился месяц.

Единственное, что в Коле надёжно (но не является его обязанностью): если он взялся, то результат будет великолепен.

Как видите, всё описание трудовых подвигов Коли начинается или с «если», или с «когда». Это не пустые слова, для форсу. Это реальность. Собственно, её Коля и имел в виду.

Ситуация очень странная. Все, абсолютно все привыкли, что Колю надо просить. Не упрашивать или унижаться, а «просить» в противовес «заставлять», «приказывать», «скидывать», «передавать» или «назначать». Настолько привыкли, что уже не замечают. В том числе того, что никак не реагируют на отказ или игнор. Никому и в голову не приходит обижаться, спорить или даже задавать вопросы.

Коля никому ничего не должен. Это было настолько естественно и привычно, что никто даже не задумывался. Лишь явное провозглашение Колей собственной свободы вызвало столь живой отклик всего офиса.

Проблема

Но Коля опять отчебучил. Спустя неделю после своего заявления он, ни с того ни с сего, вдруг объявил «Час развития, на котором я Всё Объясню». Естественно, припёрлись все до единого.

Начал Коля издалека. Рассказал про свою первую работу. Там всё было стандартно: задачи, сроки, проекты, планы, цели, бюджеты, «ваша программа не работает», недосып, валерьянка, первая седина (года в 23). Выгорание, увольнение, пауза в месяц.

Какие-то книжки (утверждает, что не помнит название и автора). Говорит, эзотерика, психология и поведенческая экономика. Долгие раздумья. Решение и стратегия.

Но сначала – о проблеме.

Коля пришёл к выводу, что главная проблема любого сотрудника любой компании – предсказуемость. Любой человек что-то собой Представляет. У него есть привычки, принципы, стандарты, ценности, статистически значимые оценки результатов (в т.ч., например, попадание в сроки). Если понаблюдать, говорит Коля, за любым сотрудником – программистом, аналитиком, менеджером – вы заметите некий «стиль», что ли. Наклонности, перекосы, предпочтительные варианты действий, стандартные реакции на типовые раздражители, одни и те же способы уйти от проблем, «предсказуемое геройство», ожидаемое самокопание, легко читаемые крючки для манипуляции и т.д.

Обращаясь к уже знакомому начальнику с просьбой, вы всегда с высокой вероятностью можете предсказать его реакцию, ответ. Поэтому можете к ним подготовиться – аргументами, контраргументами, цифрами.

Ставя задачу программисту, вы заранее знаете, обрадуется он или загрустит. Один обрадуется задаче по новой технологии, у другого случится паническая атака.

При конфликте с клиентом менеджер ведёт себя по одному и тому же, своему личному шаблону. Один всегда ощетинивается, другой оправдывается, третий обещает «прибить к стенке этих подонков-программистов», четвёртый скажет «нужно собраться и обсудить это отдельно».

Когда близок дедлайн, каждый человек ведёт себя по одному и тому же шаблону. Один паникует и мельтешит, второй сжимает челюсти и не спит ночами, третий бежит увольняться, четвёртый спокойно, рассудительно придумывает, как вывернуться и получить индульгенцию.

Так вот, говорит Коля… Всё это не годится.

Паттерны

Любой паттерн, шаблон, привычное поведение, по мнению Коли, создаёт паразитирующую зависимость. От неё страдают обе стороны – и сотрудник, и его «потребитель» (внешний или внутренний).

Для сотрудника зависимость в том, что он сознательно или подсознательно вынужден всегда действовать так же, как раньше. По сути, свобода выбора есть только в первых итерациях применения (а точнее — становления) профессиональных навыков. Раз выполнил задачу в срок, второй, третий и… Всё, паттерн сформирован. Теперь путь, ценность, критерий правильности только один – всегда выполнять задачу в срок. Любое отклонение воспринимается и сотрудником, и постановщиком, как провал, ошибка, выход из строя.

Никто не хочет провалов и ошибок, несоответствия ожиданиям, поэтому сотрудник вынужден вести себя ровно так, как в предыдущих итерациях. Быть таким, каким его привыкли видеть. Точнее, каким сам приучил видеть себя.

Для «потребителя», или постановщика, или просителя зависимость в том, что он чувствует себя обязанным укладывать свою задачу и все её параметры в некие известные заранее особенности исполнителя. Программист Серёжа принимает задачи только по электронной почте – ага, надо не ходить, а письмо написать. Вася всегда ошибается при оценке срока в два раза – надо не забыть умножить перед тем, как сказать клиенту. Этот начальник всегда плохо воспринимает просьбы о покупке мебели во второй половине дня – слишком плотно кушает в обед – надо, значит, приехать пораньше и сразу к нему.

Как видите, продолжал Коля, эти ребята только усиливают зависимость. Сотрудник следует собственным паттернам, боясь не соответствовать ожиданиям. Постановщик, укладывая свои требования в этот же паттерн, лишь подтверждает его, паттерна, значимость. И в глазах сотрудника, и в собственных («сделал всё, как он любит, и получилось!»).

Так, по замкнутой петле обратной связи, паттерн становится железобетонным. Разрывается, увы, только увольнением – в новой компании снова будут первые итерации с «утверждением паттерна». Возможно, удастся сделать его лучше.

Сознательная иррациональность

Итак, если проблема в следовании паттерну, то как её победить? Не следовать паттерну, конечно. Или следовать не паттерну, если угодно. Действовать иррационально и непредсказуемо.

Именно к такому выводу пришёл Коля. Устроился на новую работу, попробовал. Сначала были конфликты, срывы, скандалы. Главный ведь паттерн в том, что у всех есть паттерны. Человек, который ведёт себя иначе, вызывает смешанные чувства – интерес, отторжение, страх, ненависть, зависть и т. д.

Потерпев 2-3 месяца, ведя себя иррационально, Коля стал абсолютно свободен. Никто, включая собственника, не «ставил» ему задачи. Всем ставили, а Коле – нет. Предлагали, просили – да. Но не заставляли.

Коля же вёл себя ровно так, как в нашем офисе, как написано в начале. То брал задачу, то не брал. То просрачивал, то делал в сотни раз быстрее. То отказывался читать запрос, то бегал и приставал с многочасовыми расспросами. И так – абсолютно всё.

Говорит, это очень просто: надо делать то, чего от тебя в данный момент не ожидают. Максимально игнорируя обстоятельства, возможный ущерб, обиды и т.д. Конечно, есть какие-то прям совсем берега, где речь идёт о серьёзных потерях в деньгах, но не в нашей, программистской профессии.

Предупредил, что надо правильно понимать фразу «то, чего не ожидают». Ключевая, говорит, ошибка – тупо делать инверсию. Люди не дураки, быстро заметят этот фокус – «послушай и сделай наоборот».

Не стоит устраивать и подобие карусели, т.е. выбирать варианты поведения по очереди. Или привязываться к дням: в понедельник я добрый, во вторник – злой, в среду конструктивный и т.д. Это будет рациональная иррациональность. А иррациональность должна быть иррациональной.

Главное, по словам Коли, пережить первые пару месяцев. Люди будут в бешенстве. Лучший рецепт прививания собственной иррациональности – собственный же профессионализм. Та самая единственная предсказуемость Коли: если взялся, то результат должен быть прекрасен.

Отдельную проблему представляют новые люди – клиенты, менеджеры, начальники и т.д. Все «старые» привыкли, а новые будут возмущаться. Тут рецепта два: или действовать, как в первые месяцы, или посылать «новых» к «старым». Коля предпочитал второе – отправлял нового менеджера к старому с заданием «иди и узнай, как со мной правильно работать».

Тут стоит упомянуть о тех, кто с Колей, собственно работает.

Клиенты Коли – самые довольные и стабильные в плане денежных поступлений. Проверяется их «довольство» просто. Если позвонить и спросить мнение о Коле, наговорят гадостей. Если тут же предложить заменить Колю кем угодно, устроят бунт.

Менеджеры и РП, работающие с Колей, аналогичного мнения. Спросишь – скажут «очень трудный человек». Предложить переключиться на других программистов – наотрез откажутся. Спросишь причину – «без комментариев».

Никаких розовых соплей и восторженных отзывов. Но зависимость от Коли предельно жёсткая, необъяснимая, уже на уровне рефлекса.

У Коли же зависимостей никаких.

P.S.

Коля так живёт уже 12 лет. Работа у нас — третья с момента перехода к иррациональности. Менял работу потому, что… Скучно.

Иррациональные числа — определение, свойства, примеры, значение

Иррациональные числа — это те действительные числа, которые не могут быть представлены в виде отношения. Другими словами, те действительные числа, которые не являются рациональными числами, известны как иррациональные числа. Гиппас, философ-пифагорейец, открыл иррациональные числа в V веке до нашей эры.

К сожалению, его теория была высмеяна, и он был брошен в море. Но иррациональные числа существуют, давайте заглянем на эту страницу, чтобы лучше понять концепцию, и, поверьте нам, вас не выбросит в море. Скорее, зная эту концепцию, вы также будете знать список иррациональных чисел, разницу между иррациональными и рациональными числами и то, являются ли иррациональные числа действительными числами.

1.	Что такое иррациональные числа?
2.	Свойства иррациональных чисел
3.	Как определить иррациональное число?
4.	Символ иррациональных чисел
5.	Набор иррациональных чисел
6.	Рациональные и иррациональные числа
7.	Рабочие листы по рациональным и иррациональным числам
8.	Часто задаваемые вопросы об иррациональных числах

Что такое иррациональные числа?

Иррациональные числа — это множество действительных чисел, которые не могут быть выражены в виде дроби p/q, где p и q — целые числа. Знаменатель q не равен нулю (q ≠ 0). Кроме того, десятичное расширение иррационального числа не заканчивается и не повторяется.

Иррациональные числа Определение: Иррациональные числа — это действительные числа, которые не могут быть представлены в виде простой дроби. Они не могут быть выражены в виде отношения, такого как p/q, где p и q — целые числа, q≠0. Это противоречие рациональных чисел.

Распространенные примеры иррациональных чисел

Ниже приведены несколько конкретных иррациональных чисел, которые обычно используются.

• ㄫ (пи) — иррациональное число. π=3⋅14159265… Десятичное значение никогда не останавливается ни в какой точке. Поскольку значение ㄫ ближе к дроби 22/7, мы принимаем значение числа пи как 22/7 или 3,14
  (Примечание: 22/7 — рациональное число.)
• √ 2 — иррациональное число. Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник, у которого две равные стороны АВ и ВС имеют длину 1 единицу. По теореме Пифагора гипотенуза AC будет равна √2. √2=1⋅414213⋅⋅⋅⋅
• Число Эйлера e — иррациональное число. е=2⋅718281⋅⋅⋅⋅
• Золотое сечение, φ 1,61803398874989….

Свойства иррациональных чисел

Свойства иррациональных чисел помогают нам выделить иррациональные числа из набора действительных чисел. Ниже приведены некоторые свойства иррациональных чисел:

• Иррациональные числа состоят из непрерывных и неповторяющихся десятичных знаков.
• Это только действительные числа.
• При сложении иррационального и рационального чисел результатом или их суммой является только иррациональное число. Для иррационального числа x и рационального числа y их результат x + y = иррациональное число.
• При умножении любых иррациональных чисел на любое ненулевое рациональное число их произведение будет иррациональным числом. Для иррационального числа x и рационального числа y их произведение xy = иррационально.
• Для любых двух иррациональных чисел их наименьшее общее кратное (НОК) может существовать, а может и не существовать.
• Сложение, вычитание, умножение и деление двух иррациональных чисел могут быть рациональными числами, а могут и не быть.

Как определить иррациональное число?

Мы знаем, что иррациональные числа — это только действительные числа, которые не могут быть выражены в виде p/q, где p и q — целые числа, а q ≠ 0. Например, √ 5 и √ 3 и т. д. — иррациональные числа. С другой стороны, числа, которые могут быть представлены в виде p/q, такие, что p и q являются целыми числами и q ≠ 0, являются рациональными числами.

Символ иррациональных чисел

Прежде чем знакомиться с символом иррациональных чисел, давайте обсудим символы, используемые для других типов чисел.

• N — Натуральные числа
• I — Воображаемые числа
• R — Реальные числа
• Q — Рациональные числа.

Действительные числа состоят как из рациональных, так и из иррациональных чисел. (R-Q) определяет, что иррациональные числа могут быть получены путем вычитания рациональных чисел (Q) из действительных чисел (R). Это также можно записать как (R\Q). Следовательно, символ иррациональных чисел = Q’.

Набор иррациональных чисел

Множество иррациональных чисел можно получить, записав несколько иррациональных чисел в скобках. Множество иррациональных чисел можно получить по некоторым свойствам.

• Все квадратные корни, не являющиеся полным квадратом, являются иррациональными числами. {√ 2 , √3 , √5 , √8}
• число Эйлера, золотое сечение и число Пи — одни из самых известных иррациональных чисел. {е, ∅, ㄫ}
• Квадратный корень любого простого числа является иррациональным числом.

Таблица иллюстрирует список некоторых иррациональных чисел .

Иррациональное число	значение
№	3.14159265….
и	2.7182818…..
√2	1.414213562…
√3	1.73205080…
√5	2.23606797….
√7	2.64575131….
√11	3.31662479…
√13	3,605551275…
-√3/2	-0,866025….
∛47	3.60882608

Рациональные и иррациональные числа

Любое число, которое определяется в виде дроби p/q или отношения , называется рациональным числом. Он может состоять из числителя (p) и знаменателя (q), где q не равно нулю. Рациональное число может быть целым числом или целым числом.

• 2/3 = 0,6666 = 0,67. Поскольку десятичное значение является повторяющимся (повторяющимся). Итак, мы приблизили его к 0,67
• √4 = 2 и -2, где 2 и -2 являются целыми числами.

В таблице показано различие между рациональными и иррациональными числами.

Рациональные числа	Иррациональные числа
Может быть выражено в виде дроби или отношения, например, p/q, где q ≠ 0	Нельзя выразить в виде дроби или отношения.
Десятичное расширение завершается или не завершается повторяющимся (повторяющимся)	Десятичное расширение не завершается и не повторяется в любой точке.
Пример: 0,33333, 0,656565.., 1,75	Пример: π, √ 13, e

Интересные факты об иррациональных числах

Есть несколько интересных фактов об иррациональных числах, которые заставляют нас глубже понять почему за чем.

1. Случайное изобретение √2

Квадратный корень из 2 или √2 был первым изобретенным иррациональным числом при вычислении длины равнобедренного треугольника. He used the famous Pythagoras formula a ² = b ² + c ²

AC ² =AB ² +BC ² ⇒ AC ² =1 ² +1 ² ⇒ AC = √ 2

√2 лежит между числами 1 и 2, так как значение равно 1,41421… Таким образом, он обнаружил, что длина AC не может быть выражена в виде дробей или целые числа.

2. Значение числа π

Значение числа π вычисляется приблизительно как более 22 триллиона цифр без конца. Компьютеру потребовалось около 105 дней с 24 жесткими дисками, чтобы вычислить значение числа Пи.

3. Изобретение числа Эйлера e

Число Эйлера впервые было введено Леонардом Эйлером, , швейцарским математиком в 1731 году. Это «e» также называют числом Нейпира , которое в основном используется в логарифмировании. и тригонометрия.

Доказательство иррационального числа:

Давайте разберемся, как доказать, что данный несовершенный квадрат иррационален. Вот пошаговое доказательство того же.

Чтобы доказать: √2 — иррациональное число. 92\end{align}\)

Отсюда следует, что 2 также является простым множителем числа q ² . Опять же из теоремы можно сказать, что 2 также является простым множителем числа q.

Согласно исходному предположению p и q взаимно просты, но полученный выше результат противоречит этому предположению, так как p и q имеют 2 в качестве общего простого делителя, отличного от 1. Это противоречие возникло из-за неверного предположения, что √2 рациональный.

Итак, √2 иррационально.

☛Также читайте

• Докажите, что корень 2 иррационален
• Докажите, что корень 3 иррационален
• Докажите, что корень 5 иррационален
• Докажите, что корень 6 иррационален
• Докажите, что корень 7 иррационален
• Докажите, что корень 11 иррационален

Рабочие листы по рациональным и иррациональным числам

Рабочие листы по рациональным и иррациональным числам помогут лучше понять, почему рациональные и иррациональные числа являются частью действительных чисел. Рабочие листы по рациональным и иррациональным числам включают множество задач и примеров, основанных на операциях и свойствах рациональных и иррациональных чисел. Он состоит из творческих и увлекательных забавных заданий, в которых ребенок может подробно изучить сквозные концепции рациональных и иррациональных чисел с помощью практических иллюстраций.

Рабочие листы по рациональным и иррациональным числам — 1	Скачать PDF
Рабочие листы по рациональным и иррациональным числам — 2	Скачать PDF
Рабочие листы по рациональным и иррациональным числам — 3	Скачать PDF
Рабочие листы по рациональным и иррациональным числам — 4	Скачать PDF

Важные моменты

• Произведение любых двух иррациональных чисел может быть как рациональным, так и иррациональным. Пример (а): Умножьте √2 и π ⇒ 4,4428829… — иррациональное число. Пример (б): Умножьте √2 и √2 ⇒ 2 — рациональное число.
• Множество иррациональных чисел не замыкается в процессе умножения, в отличие от множества рациональных чисел.
• Сложение или умножение двух иррациональных чисел может быть рациональным; например, √2 × √2 = 2. Здесь √2 — иррациональное число. Если его умножить дважды, то конечный результат будет рациональным числом, то есть 2.

☛Статьи по теме

Ознакомьтесь с еще несколькими интересными статьями, посвященными иррациональным числам.

• Десятичное представление иррациональных чисел
• Рациональные числа
• Рационализировать знаменатель
• Является ли пи рациональным или иррациональным числом

 

Примеры иррациональных чисел

1. Пример 1: Джон играет со своим другом в игру «Бросьте кости с числами». Джон делает ход и бросает кубик. Он получает 5. Если он получает 5, он должен собрать все иррациональные числа у своего друга. Помогите Джону собрать все иррациональные числа, не пропустив ни одного. {е, -5, √9 , √13 , π, -2/8}

   Решение:

   -5 — целое число. √9 — идеальный квадрат. -2/8 имеет повторяющееся конечное десятичное значение. Эти числа являются рациональными числами. Иррациональные числа — это e, √13, π. Поэтому Джон собрал все иррациональные числа, а именно e, √13 и π.

2. Пример 2: У Джейд есть коробка с четырьмя иррациональными числами. Джейд хочет только одно иррациональное число, которое ближе всего к 3 и не должно превышать 3. Помогите Джейд найти правильное число. Иррациональные числа в коробке √3 , √6 , √10 , √5.

   Решение:

   Сначала найдем значение этих иррациональных чисел. √3 = 1,732020.., √6 = 2,449489. ., √10 = 3,162277.., √5 = 2,236067… Таким образом, √6 = 2,449489… ближе всего к 3. Следовательно, √6 является ближайшим числом до 3.

перейти к слайдуперейти к слайду

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, что стоит за математикой, с нашими сертифицированными экспертами

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по иррациональным числам

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы об иррациональных числах

Что такое иррациональные числа в математике?

Иррациональные числа — это набор действительных чисел, которые не могут быть выражены в виде дробей или отношений. Пример: π, √2, e, √5

Как определить иррациональное число?

Ибо любое число, не являющееся рациональным, считается иррациональным. Иррациональные числа можно записать в виде десятичных дробей, но точно не в виде дробей. Кроме того, эти числа, как правило, имеют бесконечные неповторяющиеся цифры справа от десятичной запятой.

Рациональные и иррациональные числа — одно и то же?

Нет, рациональные и иррациональные числа не совпадают. Все числа, представленные в виде p/q, где p и q — целые числа, а q не равно 0, — рациональное число. Примеры рациональных чисел: 1/2, -3/4, 0,3 или 3/10. Принимая во внимание, что мы не можем выразить иррациональные числа в виде p/q.

В чем разница между рациональными и иррациональными числами?

Рациональные числа — это те, которые заканчиваются или не заканчиваются повторяющимися числами, а иррациональные числа — это те, которые не заканчиваются и не повторяются после определенного количества знаков после запятой.

Является ли 2/3 иррациональным числом?

Нет, 2/3 не иррациональное число. 2/3 = 0,666666…. повторяющееся десятичное число. Следовательно, 2/3 — рациональное число.

Почему рациональные и иррациональные числа входят в набор действительных чисел?

Числа, которые могут быть представлены в виде десятичных дробей, считаются действительными числами. Если мы говорим о рациональных и иррациональных числах, обе формы чисел могут быть представлены в виде десятичных знаков, следовательно, и рациональные числа, и иррациональные числа находятся в множестве действительных чисел.

Почему Пи — иррациональное число?

Пи определяется как отношение длины окружности к ее диаметру. Значение Пи всегда постоянно. Пи (π) приблизительно равно 3,14159265359… и является непрерывающимся неповторяющимся десятичным числом. Следовательно, «пи» — иррациональное число.

Сколько иррациональных чисел лежит между корнем 2 и корнем 3?

У нас может быть бесконечно много иррациональных чисел между корнем 2 и корнем 3. Несколько примеров иррациональных чисел между корнем 2 и корнем 3: 1,575775777…, 1,4243443… и 1,6869.70…

Являются ли иррациональные числа непрерывающимися и неповторяющимися?

Да, иррациональные числа не прекращаются и не повторяются. Конечные числа — это те десятичные знаки, которые заканчиваются после определенного количества знаков после запятой. Например, 1,5, 3,4, 0,25 и т. д. являются конечными числами. Все конечные числа являются рациональными числами, поскольку их легко записать в виде p/q. В то время как неконечные и неповторяющиеся числа считаются бесконечным десятичным расширением иррациональных чисел.

Почему иррациональные числа называют сурдами?

Слово surd относится к выражению, которое включает квадратный корень, кубический корень или другие символы корня. Surds используются для точного написания иррациональных чисел. Все сурды считаются иррациональными числами, но все иррациональные числа не могут считаться сурдами. Иррациональные числа, которые не являются корнями алгебраических выражений, таких как π и e, не являются поверхностными.

В защиту иррационального

Рационализация — это форма сжатия, которая накладывает сетку на наш мир и пытается переделать его, чтобы он соответствовал его форме. Цель рационального мышления — разбить сложную и бесконечную реальность на мелкие кусочки и воссоздать их в логической системе. В вычислительной технике рационализация — это процесс, посредством которого такие явления, как действия, идентичность и эмоции, расщепляются, отделяются, редуцированы, стандартизируются и иным образом преобразуются в вычисляемые данные и отображаются в машинах.

Это процесс рационализации, который позволяет такой компании, как DoorDash, использовать вычислительные алгоритмы для определения «оптимальной» скорости доставки, а затем наказывать своих сотрудников за несоблюдение заранее определенных результатов. Чтобы поверить в эффективность и надежность такой системы, мы должны сначала признать, что DoorDash способен измерять и моделировать сложный ряд сложных взаимосвязей, включая модели трафика, желания потребителей, поведение работников, цены и многое другое, а затем из всей этой информации можно сделать действенные прогнозы. Чтобы принять это, требуется вера в то, что каждая часть сложной системы познаваема, измерима и фиксирована. Это идеология рациональности в действии.

Но мир не рационален! Мир на самом деле иррационален! Оно хаотично, экспансивно, взаимозависимо и неисчислимо. Машины, в частности, слишком негибки в своей логике и слишком ограничены в своей способности осмысленно захватывать мир. Тем не менее, мы продолжаем наделять их все большей властью. В государственном и частном секторах для руководства нашими взаимодействиями используются автоматизированные системы управления, основанные на транзакционных отношениях и предполагаемой способности оптимизировать результаты. Работники DoorDash скажут вам первыми, что эти системы формируют поведение, переделывая действия и явления, которые они должны моделировать, и в результате излучают бесчисленный вред — от стимулирования небезопасной скорости вождения до подавления заработной платы.

Чтобы противостоять этой реконфигурации и смягчить этот вред, мы должны отказаться от рациональности и принять принципиально иррациональное мировоззрение. Если рациональность утверждает, что мир измерим, познаваем, оптимизируем и автоматизируем, принятие иррационального означает отказ от этой идеологии. Принятие иррациональности допускает множество интерпретаций, противоречий, необъяснимости. Это дает нам возможность превратить акт создания смысла в совместное социальное упражнение, а не в то, что можно автоматизировать и забыть. В конечном счете, программа иррациональности требует, чтобы мы использовали мощь наших машин через форму демократического надзора, которая признает ложные обещания рационального управления и настаивает на том, что при отсутствии уверенности мы должны работать вместе, чтобы организовать общество. Иррациональность прославляет сомнения, потому что только если будущее неизвестно, мы можем его строить.

Рационализация — процесс абстрагирования на службе вычислительных рассуждений — долгое время была характерной чертой естественных наук, математики и философии. Конечно, те, кто находится у власти, часто применяют инструменты теоретического исследования на практике. Начиная с конца девятнадцатого и начала двадцатого века трудовые процессы были организованы рационально, что принесло огромную пользу ранним промышленникам. В послевоенный период кибернетики и специалисты по теории игр, многие из которых работали в вооруженных силах США, предположили, что они могут выйти за рамки простых числовых уравнений или дискретных производственных процессов и рационально описывать гораздо более сложные явления, используя недавно разработанные вычислительные машины.

Примерно в конце Второй мировой войны были представлены первые электронные компьютеры общего назначения. Данные, вводимые в эти машины, были числовыми, они были подвергнуты механическому кодированию математических формул, а на выходе было решенное уравнение. Удивительное нововведение, которое — при условии, что входные данные были введены правильно, а машинные операции — правильно закодированы — давало точный и надежный результат. Повышенное внимание к обратной связи вскоре сделало возможным процесс, известный как «машинное обучение» с помощью нейронных сетей — метод, который был возрожден в последнее десятилетие, чтобы вызвать новый бум ИИ, вызванный прорывами в области компьютерного зрения и обработки естественного языка.

Машинное обучение сортирует огромное количество хаотичных данных и, используя адаптивные алгоритмы, приближается к определенному расположению информации, исключая другие возможные интерпретации. Но для того, чтобы произошло какое-либо вычисление, процесс рационализации должен сначала создать машиночитаемые наборы данных. Явления реального мира необходимо «информировать», рассортировав их по категориям и присвоив им фиксированные значения.

Возьмем, к примеру, большинство программ для распознавания изображений. Независимо от того, является ли целью идентификация почерка или вражеских комбатантов, обычно создается обучающий набор данных, состоящий из цифровых изображений, которые сами по себе являются закодированным расположением пикселей. Этот начальный процесс захвата цифрового изображения представляет собой форму уменьшения и сжатия; подумайте о разнице между закатом, который вы видите, и тем, как тот же закат выглядит, когда он публикуется в Instagram. Этот математический перевод необходим, чтобы машины могли «видеть» или, точнее, «читать» изображения.

Но для целей такого машинного обучения необходима дальнейшая рационализация, чтобы сделать данные пригодными для использования. Цифровое изображение идентифицируется и маркируется людьми-операторами. Может быть, это набор рукописных примеров числительного два или изображения дронов с поля боя. В любом случае кто-то, часто низкооплачиваемый краудворкер на такой платформе, как Amazon Mechanical Turk, решает, что имеет смысл в изображениях — что изображения представляют — так, чтобы у алгоритмов была цель, к которой нужно стремиться.

Набор помеченных изображений загружается в программное обеспечение, которому поручено находить в нем закономерности. Во-первых, границы идентифицируются в закодированном расположении пикселей. Затем определяются более крупные формы. Оператор наблюдает за результатами и регулирует параметры, чтобы направить систему на оптимальную производительность. Это 2? Это вражеский комбатант или гражданское лицо?

После того, как этот результат считается приемлемым, в систему загружаются новые немаркированные изображения и запрашивается их идентификация. Эти новые данные вместе с обратной связью о функциональной точности его начального вывода — «да, это 2» — используются для дальнейшей точной настройки алгоритма, оптимизация которого в значительной степени автоматизирована. Этот базовый процесс применим к большинству систем машинного обучения: вводятся рациональные данные, и посредством ассоциации, обратной связи и уточнения машина «учится» обеспечивать лучшие результаты.

Но рациональные данные — ненадежная основа для обучения. Те начальные этапы процесса машинного обучения, когда явления переводятся в код, когда иррациональное рационализируется, а реальный мир обрабатывается данными, требуют пристального внимания. И по мере того, как явления, которые мы просим программное обеспечение интерпретировать, становятся более сложными, поскольку этим системам поручено перейти от распознавания того, что изображение содержит лицо, к распознаванию конкретного лица, к распознаванию эмоции на этом лице, к определению того, какие действия могут произойти. от кого-то в определенном эмоциональном состоянии — тем более скептически мы должны относиться к любым генерируемым предполагаемым прозрениям.

Процесс преобразования мира в код упрощен. Существует аналогичное сокращение маркировки данных по определенным категориям — никогда не будет достаточно категорий, чтобы представить все возможности. В бесконечно сложном и постоянно меняющемся мире любое однозначное представление невозможно. И все, что потеряно в этих исходных обучающих данных, будет невидимо для систем машинного обучения, которые на них построены.

Далекий от того, чтобы быть нейтральным процессом, создание обучающих данных в своей основе является социальным и субъективным. Для этого требуется, чтобы люди определяли доступные категории и соответствующим образом маркировали данные. Сопутствующие предположения, предубеждения и различия, сделанные этими людьми, необходимы для создания «рациональных» данных, и после кодирования они определяют возможности и ограничения того, что системы машинного обучения могут «обучить».

Для ясности: все формы создания знаний являются социальными и субъективными, а не только машинным обучением. Разница в том, что другие способы осмысления мира признают свою ошибочность. Например, в научных кругах разработаны различные методы проверки новой информации, такие как экспертная оценка. Проблемы не всегда решаются, но есть процессы, которые помогают создавать смысл коллективно.

Создание смысла не может быть автоматизировано, потому что иррациональный мир не может быть закодирован рационально. Системы машинного обучения с их огромной вычислительной мощностью могут выявлять новые способы организации информации и предлагать новые формы восприятия. Но любые заявления об объективности, сделанные от имени этих систем, должны быть полностью проигнорированы.

Более того, эти системы активно участвуют в формировании общества в соответствии с создаваемыми ими моделями. Когда варианты человеческой деятельности сводятся к набору «оптимальных» вариантов, доступных через сгенерированную машиной рекомендацию, другие варианты действий — и, следовательно, другие возможные будущие результаты — исключаются. Мы не можем допустить, чтобы это сокращение наложило ограничения на мир, в котором мы живем. Вместо этого, если мы хотим спасти эти системы, мы обязаны неустанно исследовать, кто и что представляет собой «данные», как они создаются, какие закономерности мы в них ищем и что мы делаем с всплывающими на поверхность выводами. Эти вопросы должны быть поставлены на самые широкие общественные форумы, а решения о том, как реагировать, должны приниматься демократическим путем. Тогда эти вопросы нужно задавать снова и снова.

Процесс рационализации и технологии, которые он обеспечивает, имеют социальное происхождение и после развертывания оказывают социальное воздействие. В конечном счете, мы должны принять их коллективную природу и коллективно реагировать на них. Это означает организацию рабочих в точке рационализации и организацию субъектов данных для сопротивления до тех пор, пока их требования о вкладе в развитие этих систем не будут удовлетворены. Мы создаем технологические системы так же, как они делают нас, и мы можем их переделать или разрушить. Когда мы осознаем свою роль в совместном создании технологических систем и возьмем коллективный контроль над этим процессом, кто знает, к каким инновациям это может привести?

Уилл Лакман получает степень магистра анализа и визуализации данных в аспирантуре Городского университета Нью-Йорка и является соучредителем Рабочей группы технических действий Нью-Йорка и Демократических социалистов Америки.

1.2: Рациональные и иррациональные числа

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

60295

• JJP Veerman
• Portland State University via PDXOpen: Open Educational Resources6

  Мы начнем с нескольких результатов, которые нам понадобятся в оставшейся части этого подраздела.

  Теорема 1.7: принцип правильного порядка

  Любое непустое множество \(S\) в \(\mathbb{N} \cup \{0\}\) имеет наименьший элемент.

  Доказательство

  Предположим, что это неверно. Выберите \(s_{1} \in S\). Тогда существует другое натуральное число \(s_{2}\) в \(S\) такое, что \(s_{2} \le s_{1}-1\). После конечного числа шагов мы переходим к нулю, что означает, что в \(S\) меньше 0 элементов. Это противоречие.

  Обратите внимание, что любое непустое множество \(S\) целых чисел с нижней границей может быть преобразовано добавлением целого числа \(b \in N_{0}\) в непустое \(S+b\) в \(N_{0}\). Тогда \(S + b\) имеет нижнюю границу, а значит, и \(S\). Кроме того, непустое множество \(S\) целых чисел с верхней гранью также может быть преобразовано в непустое \(-S+b\) в N0. Здесь \(-S\) обозначает набор элементов S, умноженный на \(-1\). Таким образом, мы имеем следующее следствие принципа упорядоченности.

  Следствие 1.8

  Пусть — непустое множество \(S\) в \(\mathbb{Z}\) с нижней (верхней) границей. Тогда \(S\) имеет наименьший (самый большой) элемент.

  Определение 1.9

  Элемент \(x \in \mathbb{R}\) называется рациональным, если он удовлетворяет условию \(qx-p = 0\), где \(p\) и \(q \ne 0\) равны целые числа. В противном случае оно называется иррациональным числом. Множество рациональных чисел обозначается \(\mathbb{Q}\).

  Обычный способ выразить это состоит в том, что рациональное число может быть записано как \(\frac{p}{q}\). Однако преимущество выражения рационального числа в виде решения многочлена степени 1 состоит в том, что это естественным образом приводит к определению 1.12.

  Теорема 1.10

  Любой интервал в \(\mathbb{R}\) содержит элемент \(\mathbb{Q}\). Мы говорим, что \(\mathbb{Q}\) плотно в \(\mathbb{R}\).

  Доказательство

  Пусть \(I = (a, b)\) с \(b > a\) любым интервалом в \(\mathbb{R}\). Из следствия 1.8 мы видим, что существует n такое, что \(n > \frac{1}{b-a}\). В самом деле, если бы это было не так, то \(\mathbb{N}\) было бы ограничено сверху и, следовательно, имело бы наибольший элемент \(n_{0}\). Но если \(n_{0} \in \mathbb{N}\), то и \(n_{0}+1\). Это приводит к противоречию, поэтому указанное выше неравенство должно выполняться.

  Отсюда следует, что \(nb-na > 1\). Таким образом, интервал \((na, nb)\) содержит целое число, скажем, \(p\). Итак, мы имеем это \(na

  Суть следующего доказательства состоит в том, что мы берем интервал и увеличиваем его до тех пор, пока не узнаем, что в нем есть целое число, а затем снова уменьшаем его.

  Теорема 1.11

  \(\sqrt{2}\) иррационально.

  Доказательство

  92\) кратно 4. Таким образом, \(s\) должно быть четным. Это противоречит предположению, что \(\gcd (r, s) = 1\).

  Совершенно ясно, кто такие рациональные числа. Но кто или где остальные? Мы только что видели, что \(\sqrt{2}\) иррационально. Нетрудно заметить, что сумма любого рационального числа плюс \(\sqrt{2}\) также иррациональна. Или что любое рациональное ненулевое кратное \(\sqrt{2}\) иррационально. То же самое верно для \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}\) и так далее. Мы рассмотрим это в упражнении 1. 7. Отсюда нетрудно увидеть, что иррациональные числа тоже плотны (упражнение 1.8). В упражнении 1.15 мы докажем, что число \(e\) иррационально. Доказательство того, что \(\pi\) иррационально, немного сложнее, и его можно найти в [9].0063 1 ][раздел 11.17]. В главе 2 мы будем использовать основную теорему арифметики, теорему 2.14, для построения других иррациональных чисел. В заключение, в то время как рациональность рассматривается за чистую монету, для доказательства иррациональности числа могут потребоваться некоторые усилия, даже если их гораздо больше, как мы увидим в разделе 1.4.

  ---

  Эта страница под названием 1.2: Рациональные и иррациональные числа распространяется в соответствии с лицензией CC BY-NC, ее автор, ремикширование и/или куратор — Дж. Дж. П. Вирман (PDXOpen: Открытые образовательные ресурсы).

  1. Наверх
  • Была ли эта статья полезной?

  1. Тип изделия

     Раздел или страница

     Автор

     Дж.

     No related posts.