«Кому нужна математика?»
Математика — царица наук, но многие ли знают, решение каких прикладных задач ей по плечу? На этот вопрос отвечает простая и увлекательная книга Нелли Литвак и Андрея Райгородского «Кому нужна математика?». В этой книге описываются различные разделы прикладной математики, от логистики до математики онлайн-рекламы. Мы решили познакомить читателей N + 1 с фрагментом главы, посвященной криптографии.
Массовый обмен шифровками
Классическая музыка по радио прервалась, и голос диктора стал зачитывать цифры, которые Штирлиц быстро записывал в аккуратные колонки. Диктор называл цифры привычно сухо и четко. «Для него эти цифры всего лишь цифры», — подумал Штирлиц. Когда сообщение закончилось, Штирлиц взял с полки томик Шиллера, открыл на нужной странице и начал превращать цифры в слова. «Центр — Юстасу…»
Сообщение передавалось по открытому радиоканалу, но прочитать его мог только Штирлиц, потому что только он знал, как расшифровать переданные цифры.
Шифрование в том или ином виде существует много тысячелетий. Однако в середине XX века произошла своего рода революция. Если раньше шифровками пользовались, как правило, представители государственных спецслужб (или, если угодно, сами спецслужбы и даже государства), то к 70-м годам XX века стало ясно, что совсем скоро шифрование понадобится самым обычным людям, причем не изредка, а буквально каждый день. Это связано с лавинообразным развитием технологий, плоды которых доступны каждому: компьютеры, сотовые телефоны и тому подобное.
Каждый раз, когда вы вводите свой пароль или номер кредитной карты на сайте, вы отправляете личную конфиденциальную информацию по открытым каналам интернета. У многих к этим каналам есть доступ, например у вашего интернет-провайдера. В принципе перехватить ваше сообщение может даже компьютерщик-любитель с обычным ноутбуком и подходящим для этой цели программным обеспечением. Конфиденциальность информации обеспечивается именно тем, что она передается в виде шифровки.
Каким образом зашифровывается и расшифровывается ежедневный гигантский поток конфиденциальной информации? Естественно, математика, как всегда, опережала технологии и стояла у их истока. Задачами шифрования занимается криптография — очень активная и интересная область математики и информатики.
Ключ к шифру
В зашифрованном сообщении каждая буква заменяется какой-либо другой буквой, числом или знаком. Например, возьмем самый простой шифр. Будем зашифровывать каждую букву следующей буквой алфавита. Вместо А напишем Б, вместо Б — В и так далее, а вместо Я — А. Например, слово ПРИВЕТ будет выглядеть так: РСЙГЁУ
Это очень простой шифр, потому что каждая буква всегда зашифровывается одной и той же буквой, и взломать его — пара пустяков.
Достаточно угадать одно слово в сообщении . Например, мы догадались, что сообщение начинается со слова «привет», и вот в нашем распоряжении уже шифры для шести букв: П, Р, И, В, Е и Т. С их помощью мы можем угадать другие слова, пока наконец не расшифруем весь алфавит. Именно так расшифровал секретные послания Шерлок Холмс в рассказе «Пляшущие человечки».
Конечно, любой серьезный шифр гораздо сложнее. Например, одна и та же буква, скажем А, может каждый раз обозначать разные буквы. Или, как в фильме «Семнадцать мгновений весны», буквы могут быть зашифрованы с помощью цифрового кода. Понятно, что у Штирлица в сборнике Шиллера были не стихи, а ключи для расшифровки секретных сообщений. Если бы у Штирлица не было этой книги, то для него, как и для диктора, цифры так и остались бы только цифрами.
В протоколах интернета ключом может быть всего лишь одно число, которое необходимо «подставить в формулу» для расшифровки. В данном случае «формула» — это очень длинная последовательность достаточно сложных операций.
Если вы сумели перехватить или вычислить ключ противника, то все его секреты — в вашем распоряжении. В этой главе мы расскажем, как с помощью математики удается генерировать ключи для передачи конфиденциальной информации по интернету. Причем завладеть этими ключами невозможно или по меньшей мере очень дорого — для это требуются колоссальные компьютерные ресурсы.
Но для начала давайте познакомимся со знаменитой шифровальной машиной «Энигма», которая использовалась немецкой армией во время Второй мировой войны. Это один из самых изощренных шифров той эпохи, когда шифрование еще не было таким массовым и обыденным явлением. А ключ к этому шифру нашел английский математик Алан Тьюринг.
Алан Тьюринг и «Энигма»
Фильм «Игра в имитацию» (2014) — именно об этой потрясающей истории . К сожалению, в нем не объясняется, как устроена «Энигма» и как Тьюринг взломал этот шифр. Наш рассказ хотя бы частично восполнит эти упущенные подробности. Мы воспользуемся видео Кембриджского университета.
Очень рекомендуем посмотреть их, чтобы увидеть «Энигму» в действии (первое и второе).
«Энигма» совсем небольшая, по размеру сравнима с печатной машинкой. Снаружи она состоит из клавиатуры и панели, на которой расположены буквы с подсветкой. Если нажать букву на клавиатуре, скажем A, то на панели высветится другая буква, например Q. Это означает, что в шифровке в этом месте вместо А появится Q. Внутри у машины три вращающихся диска, и их положение меняется после набора каждой буквы. Диск повернулся, провода соединились по-другому, и когда мы в следующий раз нажимаем А, на панели высвечивается уже не Q, а, скажем, G.
В набор «Энигмы» входят пять дисков, использовать можно любые три, в любом порядке. У каждого диска — 26 изначальных положений. И это еще не все. В военном варианте у «Энигмы» была передняя панель с буквами и 10 кабелей. Каждый кабель соединял две любые буквы между собой, и при шифровании они менялись местами. Диски можно было перебрать достаточно быстро, но количество комбинаций на панели было настолько велико, что перебрать их было невозможно.
Всего у «Энигмы» было
158 962 555 217 826 360 000
возможных изначальных установок. Каждые сутки ровно в полночь они менялись. Новое изначальное положение дисков, новые пары букв на панели. Перебрать все комбинации за 24 часа было совершенно нереально. Шифр считался неуязвимым.
Зашифрованное сообщение передавали по радио. У немецкого офицера, который его получал, была такая же машина. Кроме того, он имел секретный документ — установки «Энигмы» на каждый день текущего месяца. Это был ключ к шифру машины. Офицер соединял нужные пары букв, ставил диски в заданное исходное положение, набирал Q, и на панели высвечивалась А. Поступая и дальше таким образом, он расшифровывал секретное сообщение.
Перехватить документ с установками хоть и было непросто, но иногда удавалось, а потом месяц заканчивался и разгадать шифр опять не представлялось возможным.
Алан Тьюринг и его команда совершили настоящий прорыв. Они научились разгадывать шифр каждое утро всего за 20 минут! Мы только вкратце объясним, как им это удалось.
Прежде всего в шифре было слабое место. Буква никогда не превращалась сама в себя. Это стало хоть какой-то зацепкой. Важным оказалось и предположение, что сообщения утром начинаются с чего-то однотипного, например с прогноза погоды. По-немецки wetterbericht. Зная, что буква не превращается сама в себя, мы можем найти слово в начале шифровки, которое в принципе может обозначать wetterbericht. Теперь нужно отыскать такую изначальную установку, чтобы шифр совпал с расшифровкой.
Очень важно определить, какие буквы соединены в пары, потому что здесь вариантов особенно много. Поскольку никаких сведений нет, начинать приходится наобум. Зато дальше из первой догадки следуют сразу несколько других.
Для ускорения процесса Алан Тьюринг сделал две существенные вещи. Во-первых, он понял, что если пара букв оказалась неправильной, то и все другие пары, следовавшие из нее, тоже неправильные. А значит, их уже не надо проверять. Во-вторых, он построил огромную машину, которая с помощью электрического тока позволяла исключить все неправильные пары одновременно.
Оставалось только повторить операцию для каждой позиции дисков, а на это уходило всего 20 минут.
Интересно, что принцип решения Тьюринга заключался не в том, чтобы найти правильный вариант, а в том, чтобы исключить неправильные варианты и сделать это максимально быстро! Это была огромная работа и колоссальное достижение, сильно повлиявшее на ход Второй мировой войны.
Заметим, кстати, что в математике есть понятие «машина Тьюринга», но это вовсе не та машина, которая вычисляла ключ «Энигмы». «Машина Тьюринга» — абсолютно абстрактная концепция, формально описывающая работу компьютера. Это очень важная фундаментальная концепция в математике и информатике, но она выходит за рамки нашей книги.
Подробнее читайте:
Литвак, Нелли. Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир / Нелли Литвак, Андрей Райгородский. — М. : Манн, Иванов и Фербер, 2017. — 192 с.
Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир
Книга о том, как благодаря математике вертится современный мир.
Краткая история
Да, само издательство определяет свою деятельность как приключение и джаз, в котором нет неправильных нот и где невозможно ошибиться (так как все по-своему важно), как сочетание высочайшего профессионализма, искренней любви к чтению и желания развиваться.
«МИФ» начал свою работу в 2005 году, а основателями проекта являются Игорь Манн, Михаил Иванов и Михаил Фербер (на момент создания издательства – маркетологи-практики, в том числе писавшие книги; к примеру, Игорь Манн – автор сразу нескольких книг: «Маркетинг на 100%», «Маркетинговая машина» и «PR на 100%»). Поначалу за год в издательстве выходило около десяти книг, затем «МИФ» стремительно ускорился: если разделить количество дней существования редакции на количество выпущенных ею книг, получится, что очередная новинка в издательстве появляется раз в два дня! «МИФ» одним из первых на территории России начал активно выпускать книги в электронном и аудиоформате, активно участвует в различных научно-просветительских проектах, помогая читателям найти именно свою книгу, некоторые и вовсе делая общедоступными.
Основные серии и направления
Помимо того, что издательство является одним из ведущих поставщиков деловой литературы и научпопа, «МИФ» также славится большим выбором детских и подростковых книг, комиксов, художественной серией «МИФ.
Проза». Книги, изданные «МИФом», неоднократно удостаивались самых разных наград и премий, их бизнес-литература постоянно попадает в рейтинги лучших книг данной сферы. Среди авторов «МИФа»:
- Адриан Сливотски;
- Барбара Минто;
- Ричард Осман;
- Оушен Вуонг;
- Нассим Талеб;
- Ричард Румельт;
- Том Питерс;
- Кармен Мария Мачадо;
- Яна Франк и многие другие.
В 2020 году издательство запустило программу «МИФ.Курсы», на базе которой есть как бесплатные, так и платные образовательные проекты, посвященные разным темам бизнеса, педагогики и психологии.
«МИФ» верит, что каждый раз читатель, открывая книгу, становится созидателем и творцом. Приятное дополнение к блестящему содержанию – особое внимание к оформлению. Все книги издаются на качественной бумаге, приятной как на ощупь, так и на запах, а также нередко с ляссе (!). Все сделано для максимального погружения читателя в книгу, чтобы тот затем уж точно смог познать себя.
За что мы любим «МИФ»?
За открытость всему оригинальному и тонкий нюх на действительно актуальные темы. А еще – посмотрите на сайт издательства, прекрасно иллюстрированный, дополненный комментариями восторженных читателей и репродукциями инстаграмных постов. Вот что значит обратная связь! А вот и несколько наших восторженных инстаграмных постов с книгами издательства.
Math Matters for Careers and Jobs
Существует множество рабочих мест для новых работников в области науки, технологий, инженерии и математики (STEM). Вакансий в сфере STEM становится все больше с каждым днем. Спрос на большее количество работников STEM создает возможности трудоустройства для многих квалифицированных молодых людей. Есть не менее 50 профессий STEM, которые могут выбрать подростки. Ваш ребенок тоже может стать одним из этих новых успешных работников STEM. Пожалуйста, поощряйте их думать об этих работах.
Математические знания очень важны для профессий STEM и многих других профессий.
Например, людям, которые имеют дело с деньгами, нужны математические способности. Эти рабочие места включают людей, которые работают в банках, магазинах и на предприятиях. Рабочие, которые строят или ремонтируют вещи, используют математику в своей работе. Например, автомеханики, занимающиеся развал-схождением колес, нуждаются в математике, чтобы преуспеть в том, что они делают. Медицинские техники, медсестры и врачи также должны использовать математику. Например, им нужна математика для лечения пациентов, понимания медицинских тестов и работы с медицинским оборудованием. На самом деле, математика является базовым навыком в большинстве профессий. Таким образом, математические навыки очень важны для будущего вашего подростка и успеха в работе. На математическом форуме доктор Математика говорит о важности математики в образовании вашего ребенка.
Преимущества работы в области STEM
Министерство торговли США сообщает о больших преимуществах работы в области STEM.
- Ожидается рост количества рабочих мест в сфере STEM = когда ваш ребенок закончит среднюю школу или колледж, появится на больше рабочих мест в областях STEM
- работники STEM зарабатывают больше денег (на 26% выше) = рабочие места STEM оплачиваются лучше , чем другие рабочие места, независимо от уровня образования вашего ребенка
- Выпускники основных колледжей STEM получают более высокие заработки = получение степени по любой профессии STEM приведет к зарабатывать больше денег
- Работники STEM имеют более низкий уровень безработицы = если ваш ребенок работает в любой из областей STEM, у него будет больше шансов сохранить работу
Чтобы получить работу, человек должен иметь математические знания и математические навыки.
Этим математическим навыкам учат в школе. К сожалению, многие подростки просто не знают, насколько важна для них математика. Они не видят связи между математическими навыками, которые они изучают в школе, и работой, которая может быть у них в будущем. Вот почему они могут не заботиться о выполнении домашнего задания по математике. Вот почему они могут быть невнимательными на уроках математики. Вот почему они могут не стараться изо всех сил выполнять математические задания и тесты. Родители могут влиять на представления своих детей о ценности математики. Родители также могут влиять на рабочие привычки своих детей. Один из способов сделать это — поговорить со своими детьми о пользе знания математики для их будущей работы и карьеры. Пожалуйста, поделитесь со своими подростками тем, что вы здесь узнали. Помогите своим детям добиться успеха в жизни, объяснив им, насколько важна математика.
Видео Math Matters резюмирует отчет Министерства торговли США о важности профессий STEM.
Пожалуйста, посетите Career Cornerstone Center
, чтобы ознакомиться с ресурсами по планированию карьеры для математиков.
На этом веб-сайте вы найдете информацию о вакансиях, связанных с математикой, подготовке к карьере, профили математиков, заработок и многое другое.
Также посетите страницу Почему я должен учить математику?
ресурс. Вы и ваш ребенок найдете здесь ответы на многие вопросы, которые часто задают подростки. Кроме того, вы найдете список заданий, в которых используется математика.
Наконец, посмотрите отзывы, которые мы записали. Из этих отзывов вы узнаете, как латиноамериканцы и латиноамериканцы используют математику в своей работе.
Преимущества математики для непрерывного образования
Прохождение многих математических курсов в старшей школе поможет вашему ребенку, когда он или она пойдет в колледж, технические училища и на профессиональные курсы. Когда ваши подростки будут иметь необходимые математические навыки, они будут чувствовать себя более подготовленными к занятиям по математике на уровне колледжа. На самом деле, их математические знания помогут им во всех курсах, связанных с STEM, и во многих классах, не связанных с STEM.
Они будут чувствовать себя более уверенно перед лицом новых вызовов. У них будет больше шансов преуспеть в этих курсах и окончить колледжи. Поэтому для них важно хорошо успевать по математике в средней и старшей школе. Если они будут усердно учиться, это поможет им.
Газета The Washington Post сообщает, что наиболее высокооплачиваемая работа связана с профессиями, связанными с STEM. Работа в сферах, связанных с бизнесом, требующих математики, таких как бухгалтерский учет и маркетинг, также хорошо оплачивается. Все эти специальности требуют математических знаний и навыков. Например, средняя базовая зарплата специалиста по информатике составляет 70 000 долларов в год. Средняя базовая зарплата инженера-механика составляет 68 000 долларов в год. Лица со степенью медсестры зарабатывают около 59 000 долларов в год в качестве базовой заработной платы. Базовая заработная плата не включает льготы, премии и другие компенсации, которые работники получают в дополнение к базовой заработной плате.
Видеоролик Math Matters обобщает отчет Washington Post о пятидесяти специальностях колледжей с самыми высокими заработками.
Другие преимущества изучения математики
Изучение математики имеет и другие преимущества для вашего ребенка. Департамент математики Колледжа Дьюка Тринити сообщает, что изучение математики помогает вашему ребенку развить навыки аналитического мышления. Это также улучшает способности вашего ребенка решать проблемы. Решение проблем и аналитические навыки очень желательны на многих должностях. У ваших подростков будет больше шансов найти работу, если они разовьют эти навыки в школе. Они также будут лучше сдавать тесты и экзамены, которые сдают в школе и колледже, если знают, как решать задачи.
Карьера в математике растет, как и их годовая зарплата; однако есть еще одно большое преимущество изучения математики. Занятия, связанные с математикой, обещают высокий уровень удовлетворенности работой. Удовлетворенность работой заставляет людей чувствовать себя лучше в своей жизни.
Видео Math Matters обобщает отчет Тринити-колледжа Герцога о росте карьеры в области математики и их преимуществах.
Подростки не всегда осознают важность школьных занятий по математике. Кроме того, они не всегда видят связь своих школьных занятий по математике с их будущим. Тем не менее, исследования показывают, что когда они осознают ценность, они больше интересуются учебой и работают усерднее. Родители могут помочь подросткам обнаружить наиболее значимые для них связи. Говоря со своими детьми о важности математики для их будущей жизни, вы можете мотивировать их больше заниматься изучением математики. Это участие поможет им освоить новые математические навыки и добиться успеха в дальнейшей жизни.
Какая математика нам нужна
Основные выводы
- Когда респондентов попросили оценить математику по шкале от 1 (крайне неважно) до 10 (чрезвычайно важно) для повседневного использования, респонденты поставили математику на второе (7) справа после английского (8).
- В то время как более 75% респондентов сообщили об изучении геометрии и алгебры, менее 50% из них считают эти предметы важными в своей повседневной жизни.
- По мнению респондентов, наиболее важными повседневными навыками, связанными с математикой, являются составление бюджета (76,7%), использование компьютера (64,8%) и понимание кредита (58,1%).
Ваши воспоминания об изучении математики в начальной школе могут быть испорчены часами, проведенными за кухонным столом, пытаясь понять деление в длинном столбце или выучить таблицу умножения. Вы можете даже почувствовать волнение, когда вспомните о яростных попытках закончить тест по геометрии до истечения времени. Многие выросли с настоящим пренебрежением к математике, чувством, которое может сохраняться и во взрослой жизни. Тем не менее, если вы хорошо разбираетесь в математике и даже получаете от этого удовольствие, это может иметь множество положительных и неожиданных последствий для вашей жизни. На самом деле, Phys.
org недавно сообщил, что может даже существовать корреляция между математикой и спортивными навыками.
Бесспорно то, что наличие хорошей математической базы, как было доказано, прокладывает путь к будущему успеху как в учебе, так и в реальной жизни. Чтобы оценить отношение людей к собственному образованию и то, как оно применимо к их взрослой жизни, мы опросили 1005 респондентов об их личном опыте получения математического образования в детстве и подростковом возрасте.
Люди против алгебры
Математика сама по себе является очень широким предметом, от арифметики до исчисления. Но какие из этих направлений на самом деле воспринимаются как полезные в практическом смысле?
Из сотен взрослых британцев и американцев, которых мы опросили относительно их математического образования до совершеннолетия, выходцы из Соединенного Королевства чаще, чем американцы, изучали определенные разделы математики до 18 лет. Почти все британцы изучали арифметику и числа до достижения совершеннолетия, в то время как менее трех четвертей американцев.
Арифметику и числа также считали важными 87,2% и 83,6% респондентов соответственно, а это означает, что, вероятно, часть американцев никогда не изучала навыки, которые они считают наиболее важными.
Основная причина непопулярности некоторых предметов заключалась в том, что их считали трудными для понимания. Алгебра была признана наименее любимой из всех подкатегорий: 24,4% участников назвали ее своим самым ненавистным математическим предметом. Рассуждения, хотя и не так не любили, как алгебру, в основном не любили из-за отсутствия полезных ресурсов и плохого преподавания. Что касается более позитивного момента, то около 17% участников аккредитовали онлайн-ресурсы для обучения как положительное улучшение их опыта обучения. Third Space Learning предлагает обширную библиотеку основных онлайн-ресурсов по математике и ресурсы по пересмотру математики GCSE.
Несмотря на то, что респонденты назвали алгебру наименее любимым уроком математики, успехи в этом предмете могут быть хорошим предвестником будущих достижений в старшей школе и за ее пределами.
Американский институт исследований сообщил, что успехи в алгебре I и алгебре II в средней и старшей школе являются сильным показателем будущих успехов в
высших учебных заведениях.
За пределами класса
Хотя не все математические темы популярны, какие из них на самом деле более актуальны в реальном мире?
Что касается практических навыков, то 76,7% считают составление бюджета самым важным жизненным навыком, требующим знания математики, а использование компьютера заняло второе место (64,8%). И наоборот, наименее важным жизненным навыком, требующим математики, считалось планирование поездки, и только 30,5% считают его необходимым. Из всех реальных задач, которые включают математику на любом уровне, три повторяющиеся темы, связанные с этими навыками, — это арифметика, числа и рассуждение. Такие предметы, как геометрия, статистика, алгебра и исчисление, были связаны с какими-либо жизненно важными навыками менее чем на 8%.
Важность составления бюджета невозможно переоценить.
Согласно Invesopedia, составление бюджета может привести ко многим положительным финансовым результатам, таким как осведомленность, достижение долгосрочных целей по крупным покупкам и более счастливая пенсия.
Математика имеет значение
В более общем смысле, какое место среди других академических предметов занимает математика? Мы собрали мысли наших респондентов, чтобы выяснить, насколько важна математика и легко ли ее выучить.
Более 1000 работающих респондентов из США и Великобритании были опрошены по ряду вопросов о математике, как в школьной жизни, так и во взрослой жизни. Согласно опросу, математика была названа вторым по важности предметом для изучения как в категориях общих знаний, так и в категориях повседневного использования.
Что касается легкости изучения математики, почти 50% респондентов не считают ее легкой. Интересно отметить, что метод обучения (лично или онлайн) не изменил общего мнения относительно простоты изучения математики. Онлайн-обучение математике Third Space Learning с целенаправленным математическим вмешательством оказалось очень эффективным.
Математика не только важна для повседневного использования, но и может быть использована в качестве прогнозной модели будущего успеха. В исследовании, проведенном в Университете Рутгерса, было показано, что успехи в математике в раннем детстве положительно коррелируют с памятью и мышлением ребенка, среди других более сложных моделей поведения, в более позднем детстве и во взрослой жизни.
Измененное отношение
Восприятие математики и сложности ее изучения может сильно измениться в зависимости от способа ее изучения. Но что, по мнению наших респондентов, было наиболее оптимальным способом его изучения?
Среди наших респондентов 54,1% согласились с тем, что способ изучения математики был оптимальным, но те, кто считал математику очень важной для повседневного использования, почти на 30% менее склонны к такому мнению. Чуть более 65% считают, что сосредоточение внимания на концепциях и общем понимании важнее, чем решение сложных проблем, хотя люди старше 36 лет менее склонны соглашаться с этим утверждением.
Люди с годовым доходом 75 тысяч долларов и выше на 18% чаще, чем те, кто зарабатывает меньше, считают, что задачи со словами улучшают математическое обучение. Кроме того, люди с более высоким доходом на 50% чаще верят в шаблонный подход к математике, чем в изучение ряда методов.
Соединенные Штаты заняли 38-е место по математике в Программе международной оценки учащихся (PISA), которая является одним из крупнейших межнациональных тестов для 15-летних во всем мире. Несмотря на этот неудовлетворительный рейтинг, нет оснований полагать, что американцы от природы хуже разбираются в математике по сравнению с представителями других национальностей. Скорее всего, все дело в ранних учебных планах и отношении к математике.
USA Today поднимает хороший вопрос в статье, опубликованной в 2020 году; математика преподается в других странах иначе, чем в Соединенных Штатах. В то время как другие страны сосредотачиваются на творческом мышлении для решения сложных задач, большинство учебных программ в США по-прежнему сосредоточены на запоминании и формулах.
Этот устаревший подход, вероятно, удерживает страну от глобального рейтинга по математике. В статье также предполагается, что линейное преподавание математических предметов может быть одним из факторов, способствующих этому. Другие страны подходят к этому вопросу интегративно; включение тем алгебры, геометрии, статистики и многого другого в течение одного учебного года.
Новый способ обучения?
Когда лучше всего изучать каждый раздел математики? Мы спросили респондентов нашего опроса, когда они изучили эти темы и как бы они построили свой идеальный учебный план по математике.
Большинство опрошенных людей изучали арифметику, числа, рассуждения и геометрию в возрасте до или в возрасте 10 лет, а алгебру и статистику — в возрасте от 11 до 14 лет. половина изучила этот предмет в более позднем подростковом возрасте. Участников также попросили решить, в каком порядке, по их мнению, должны преподаваться математические предметы. Основываясь на этих рейтингах, все согласны с тем, что статистику следует преподавать перед алгеброй, несмотря на то, что опрос показал, что учащиеся с большей вероятностью сначала изучают алгебру.
Хотя респонденты могут согласиться с тем, что математические предметы следует преподавать линейно, необходимо использовать комплексный подход к изучению математики. Интегративный подход к математике фокусируется на нескольких предметах одновременно, а не только на одном. В исследовании, опубликованном Национальным советом учителей математики, утверждается, что учащиеся старших классов, получающие интегративную учебную программу, с большей вероятностью превзойдут тех, у кого есть учебная программа по конкретному предмету.
Яркое будущее
В современном мире математика — это не просто то, что вам нужно, чтобы получить аттестат о среднем образовании. У предмета и его подтем есть реальные приложения, которые могут улучшить многие аспекты жизни от составления бюджета до покупок. Однако, по словам наших респондентов, математика не всегда проста. Американские респонденты с меньшей вероятностью, чем британские респонденты, выучили основные математические понятия до 18 лет, и все респонденты обнаружили, что непонимание и плохое преподавание повлияли на их изучение определенных предметов.
Общее мнение заключалось в том, что подход к математике через призму реальных проблем при лучшем понимании математических концепций был лучшим способом эффективного обучения. Если вы ищете способ исправить фундаментальные пробелы в знаниях учащихся, а также повысить их навыки решения проблем и уверенность в себе, посетите сайт Third Space Learning для получения дополнительной информации. С помощью премиального финансирования учеников и Национальной программы репетиторства расширьте возможности учащихся и помогите им сделать первые шаги на пути к успешному будущему.
Методология и ограничения
Для этого исследования мы опросили 504 работающих респондента из Великобритании через Prolific и 501 работающего респондента из США через Amazon MTurk. 55,5% респондентов идентифицировали себя как женщины, 44% — как мужчины, а остальные 0,5% — как небинарные. Кроме того, средний возраст респондентов составил 35,2 года со стандартным отклонением 9,7 года.
Основным ограничением этой части исследования является его зависимость от самоотчета, который сталкивается с несколькими проблемами, такими как, помимо прочего, атрибуция, преувеличение, предвзятость относительно новизны и телескопирование.