Лоуренс теория хаоса: Теория хаоса

Теория хаоса. Идеи, принципы, история

Однажды зимой 1961 года Эдвард Лоренц, метеоролог из Массачусетского технологического института проводил на громоздком и неуклюжем институтском ламповом компьютере простые симуляции погоды с помощью программы, которую сам написал. Он хотел повторить одну конкретную симуляцию, но не стал начинать с нуля — что всегда занимало много времени, — а взял исходные данные с распечатки предыдущего прогона. Он отошел налить себе чашку кофе, оставив компьютер работать, и вернулся, ожидая, что получит на выходе точное повторение предыдущего результата. К удивлению Лоренца, результат повторного прогона имел мало общего с результатом предыдущего.

Теория хаоса – это наука о сложных нелинейных динамических системах. Отцом теории хаоса считается американский метеоролог Эдвард Лоренц

Сперва Лоренц подумал, что в компьютере перегорела одна из ламп, но вскоре догадался, что все не так просто. Исходные данные, которые он ввел, компьютер округлял с шести знаков после запятой до трех — на распечатке, но не в памяти. Ученый предполагал, что столь малое отклонение — примерно одна тысячная — едва ли окажет существенное влияние на результат. Но именно это и произошло. Едва заметное различие в начальных условиях привело к огромным различиям в результатах.

Научные модели

Чтоб как-то совладать со сложностью природных явлений — к примеру, климата, — ученые создают модели — упрощенные аналоги реальных явлений, позволяющие обнаружить и математически описать те или иные закономерности. Принято считать, что поведение моделей детерминировано: будущее состояние модели может быть полностью выведено из ее нынешнего состояния на основе математических закономерностей. Этот процесс может проходить через множество итераций — повторений, каждое из которых будет использовать результаты предыдущей итерации как исходные данные, позволяя делать все более и более долгосрочные прогнозы.

Именно таким методом пользовался Лоренц в 1961 году. И всего через несколько итераций программа выдала два совершенно разных результата на основе одних и тех же исходных данных, поставив под сомнение всю методологию. Модель, очевидно, повела себя непредсказуемо и произвела случайный результат: она продемонстрировала — хотя такой терминологии тогда еще не существовало — хаотическое поведение.

Чайки и бабочки

Почему симуляция Лоренца повела себя хаотически? Уравнения, используемые в предсказании погоды, описывают изменение некоторых существенных параметров, таких как температура, влажность, скорость и направление ветра. Важная особенность всех этих параметров в их взаимозависимости: например, уровень влажности зависит от температуры, а температура, в свою очередь, — от влажности.

В математических терминах это означает, что переменные являются функциями самих себя, и отношения между ними описываются нелинейными уравнениями, то есть на графике эти уравнения невозможно представить в виде прямой.

Одно из важнейших свойств системы нелинейных уравнений — чувствительность к начальным условиям, которая так удивила Лоренца в 1961 году. Позже он доказал, что эта чувствительность не зависит от сложности, поскольку проявляется и в более простых моделях (например, конвекции), которые описываются всего тремя нелинейными уравнениями. В 1963 году один из коллег метеоролога заметил, что если идеи Лоренца верны, то «чайка одним взмахом крыла может изменить погоду во всем мире». К 1972 году живое существо, способное нарушить баланс в атмосфере, стало еще меньше — вышедшая в этом году статья Лоренца называлась «Может ли взмах крыла бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?». Так появился «эффект бабочки».

Порядок из беспорядка

«Оказывается, за фасадом порядка может скрываться пугающий хаос, — заметил американский ученый и писатель Дуглас Хофштадтер в 1985 году, — а внутри хаоса все равно скрывается пугающий порядок». Хаотические системы непредсказуемы, но это не значит, что их нельзя описать. Они вовсе не беспорядочны в обыденном, бытовом смысле. Уже в 1963 году простая модель конвекции, предложенная Лоренцом, показала поразительную упорядоченность: ее графическим выражением оказался дивной красоты абстрактный рисунок, напоминающий крылья бабочки, линии которого никогда не повторяются и не пересекаются. «Аттрактор Лоренца», как позже назвали изображение, стал первой из многочисленных топологических моделей хаотических систем, в которых плоскости складывались и растягивались, воспроизводя поведение и траекторию нелинейных систем. В 1970 году Бенуа Мандельброт и его коллеги разработали новую — фрактальную — геометрию, в которой появление порядка из хаоса демонстрируется нерегулярными фигурами, имеющими свойство самоподобия — их нерегулярность повторяется независимо от масштаба.

«Если даже в наших часах больше нет механизма, так с чего ему быть в нашем мире?»  Иэн Стюарт, британский математик, 1989

Лоренц заключил, что долгосрочное прогнозирование погоды может быть в принципе невозможно, но этим выводы из теории хаотического поведения систем отнюдь не ограничиваются. Сложная система взаимозависимых факторов, определяющая климат, не уникальна — большинство и физических, и биологических систем имеют такой же характер, они описываются нелинейными уравнениями, и, следовательно, их модели будут неизбежно демонстрировать хаотическое поведение. Теория хаоса распространилась на множество научных дисциплин, связанных лишь присущей предметам их изучения беспорядочностью: турбулентность в динамике жидкостей, флуктуации в динамике популяций, циклы заболеваний в эпидемиологии, фибрилляции сердца в физиологии человека, движение планет и звезд в астрономии, потоки машин в городском трафике. С философской точки зрения способность хаотических с виду систем проявлять почти гипнотическую и завораживающе прекрасную упорядоченность позволяет нам надеяться, что Вселенная все-таки познаваема, и смириться с ее почти неприличной беспорядочностью.

Монтировкой теории хаоса по механизму ньютоновских «часов»

Еще в 1960 году большинство ученых, в том числе и Эдвард Лоренц, посчитали бы, что незначительное отклонение в исходных данных не имеет большого значения. До появления теории хаоса предполагалось, что мир в целом работает согласно механистической, детерминистской модели, которую тремя веками раньше предложил Ньютон (словно безмерно сложный часовой механизм). С такой точки зрения природные явления, в частности погоду, сложно предсказать просто потому, что они сами по себе исключительно сложны; но в принципе такое предсказание возможно, если удастся полностью понять все участвующие в формировании явления физические процессы и получить доступ ко всем необходимым данным. И надежность прогнозов, в том числе и метеорологических, зависит исключительно от качества исходных данных. Теория хаоса полностью опровергла это предположение.

Поиски смысла в беспорядке

Понятие «эффект бабочки» применяется, как правило, в естественных науках, а обозначается им особое свойство некоторых хаотичных систем, согласно которому, даже небольшое воздействие на систему может иметь самые непредсказуемые и крупные последствия в каком-то другом месте и в другой момент времени

Термин «эффект бабочки» быстро приобрел широкую популярность, но его истинное значение часто понимают неправильно. Обычно, говоря об «эффекте бабочки», имеют в виду, что зачастую причиной важных событий становятся мелочи, но на самом деле понятие это несколько шире. Взмах крыла бабочки становится причиной торнадо только в ограниченном смысле: торнадо могло бы и не возникнуть, если бы бабочка не взмахнула крылом, но на его появление так или иначе влияют миллионы, если не миллиарды, других факторов. Благодаря «эффекту бабочки» удалось оценить, насколько пугающе чувствительна система в целом даже к самым незначительным происходящим внутри нее событиям. А из этого следует, что определить все причины того или иного события в системе практически невозможно. Если даже совсем незначительные события, в том числе и те, о которых мы в принципе не можем ничего знать, способны вызвать изменения всей системы, вполне вероятно, что полностью детерминированная система окажется при этом совершенно непредсказуемой.

Поделиться ссылкой

Читать онлайн «Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление» — Мадрид Карлос — RuLit

Однако влияние советской школы этим не ограничивалось: во время холодной войны основные результаты, полученные советскими математиками, были переведены на английский. Европейские и американские математики смогли ознакомиться с ними благодаря трудам Соломона Лефшеца (1884–1972), которые пришлись как нельзя кстати. Этот инженер-химик родился в Москве, учился в Париже, переехал в США, где в результате несчастного случая (во время эксперимента произошел взрыв) потерял обе руки, после чего он начал заниматься математикой. Математика помогла Лефшецу справиться с сильной депрессией, и позднее он даже получил должность преподавателя в Принстоне. Чтобы писать на доске, ученый использовал пластиковые протезы и перед лекциями просил учеников прикрепить кусочек мела к его правой руке. Его сотрудничество с советскими математиками по окончании Второй мировой войны сыграло важнейшую роль в развитии теории динамических систем, а вместе с ней — ив развитии зарождавшейся теории хаоса.

Лоренц: кофе, компьютер, бабочка

Вернемся в Соединенные Штаты. Там в 1963 году юный метеоролог из MIT по имени Эдвард Нортон Лоренц (1917–2008), который учился у Биркхофа в Гарварде, сформулировал модель из трех обыкновенных дифференциальных уравнений для описания движения потока жидкости под действием градиента температур. Эта модель представляла собой упрощенное описание конвекции в атмосфере, то есть движение потоков горячего и холодного воздуха в условиях заметной разницы температур: горячий воздух поднимается вверх и, достигнув верхних слоев атмосферы, охлаждается, после чего вновь опускается к поверхности Земли. При некоторых значениях постоянных дифференциальные уравнения модели описывали начало нестационарной конвекции.

Однажды во время поиска численных решений с помощью компьютера Royal МсВее LGP-30, первого персонального компьютера в мире, Лоренц отлучился выпить чашку кофе и, вернувшись, обнаружил, что система демонстрирует крайне нестабильное, хаотическое поведение. Компьютер распечатал список очень странных значений, в которых не прослеживалось какой-либо закономерности. Лоренц счел, что произошла какая-то ошибка, и повторил расчеты. Но всякий раз он получал те же необычные результаты. Списки чисел начинались с почти одинаковых значений, которые затем становились принципиально различными. Лоренц по счастливой случайности столкнулся с феноменом чувствительности к начальным условиям.

Он заметил, что система была крайне неустойчивой даже при малейших изменениях. Незначительное изменение начальных условий приводило к тому, что конечные состояния системы оказывались принципиально разными. Предоставим слово самому Лоренцу:

«Два неотличимо различающихся состояния могут породить два существенно различных состояния. Если допущена какая-либо ошибка при наблюдении текущего состояния системы (а для реальных систем это, по всей видимости, неизбежно), то дать надежный прогноз состояния системы в далеком будущем будет невозможно».

Позаимствованный Лоренцем образ в итоге занял важное место в науке: взмах крыльев бабочки в Бразилии мог вызвать торнадо в Техасе. Это явление получило название эффект бабочки. И действительно, представим, что маленькая бабочка сидит на ветке дерева в далекой Амазонии и время от времени раскрывает и закрывает крылья. Допустим, что она взмахнула крыльями ровно два раза. Так как атмосфера — это хаотическая система, чувствительная к начальным условиям, малейшее отклонение потоков воздуха рядом с бабочкой может в конечном итоге вызвать ураган над Техасом спустя несколько месяцев.

Этот феномен стал широко известен в 1972 году, когда на заседании Американской ассоциации содействия развитию науки Лоренц выступил с докладом на тему «Может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?», хотя еще в 1963 году один метеоролог так прокомментировал результаты исследования Лоренца: «Если эта теория верна, то взмах крыльев чайки может навсегда изменить погоду».

Популярная метафора о взмахе крыльев бабочки стала известной благодаря Лоренцу, а выражение «чувствительность к начальным условиям» ввел американский математик Гукенхеймер уже в 1970-е. В любом случае результат один: в силу хаотической динамики изначально совпадающие траектории постепенно отделяются друг от друга и расходятся.

Подобно спискам чисел, графики, приведенные Лоренцем в статье, изображали ряд колебаний, которые возрастали и в конечном итоге становились хаотическими.

Теория Хаоса. Когда настоящее определяет будущее… | Лутфи Рамадан | Интуиция

Наука

Когда настоящее определяет будущее, но приблизительное настоящее не определяет будущее приблизительно

Изображение Герда Альтманна на Pixabay

Теория хаоса — это исследование случайности и непредсказуемого поведения в системе, подчиняющейся детерминистическим законам , что означает, что конкретное начальное условие всегда развивается одним и тем же образом. Теория хаоса утверждает, что небольшое изменение начальных условий может привести к совершенно другому поведению. Это также известно как эффект бабочки , введенный Эдвардом Лоренцем из идеи, что простое взмах крыльев бабочки может вызвать ураган через несколько недель.

Эдвард Лоренц был математиком и метеорологом, который объединил две дисциплины для создания теории хаоса. В 1950-х годах Эдвард Лоренц искал способ прогнозировать погоду. В эксперименте по моделированию прогноза погоды он устанавливает начальные условия равными 0,506 вместо 0,506127. В результате получился другой прогноз. Из этого он сделал вывод, что погода должна измениться в мгновение ока. Небольшое изменение начальных условий имеет огромные долгосрочные последствия. Это показывает, что даже детальное моделирование атмосферы не может дать точных долгосрочных прогнозов погоды, потому что мы никогда не знаем начальных условий достаточно точно, чтобы точно предсказать погоду после определенного момента времени. Этой крошечной десятичной разницы достаточно, чтобы в долгосрочной перспективе давать крайне неточные прогнозы.

Условия возникновения хаоса

Существуют три обязательных математических свойства для классификации системы как хаотической:

1. Чувствительность к начальным условиям
2. Топологическое перемешивание
3. Плотность периодических орбит

9000 Чувствительность к начальным условиям известный как эффект бабочки. Эдвард Лоренц разработал упрощенную математическую модель атмосферной конвекции. Модель представляет собой систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений, известную как Уравнения Лоренца :

Изображение из Википедии

With:

• x скорость конвекции
• y горизонтальное изменение температуры
• z вертикальное изменение температуры by Wikipedia

  На приведенном выше графике использовалось уравнение Лоренца. Начальные условия для x и z остались прежними, но y были изменены между 1,001, 1,0001 и 1,00001. Значения ро, сигмы и бета составили 45,9.2, 16 и 4 соответственно.

  Как видно из графика, даже малейшая разница в начальных значениях и приводит к значительным изменениям примерно через 12 итераций в трех случаях. Это пример чувствительной зависимости от начальных условий. Системы, чувствительные к начальным условиям, называются хаотическими, но недостаточно чувствительной зависимости только от начальных условий. Рассмотрим систему, сгенерированную картой x → 1,5 x

  Изображение автора

  С исходными x = 0,2 и исходными x =0,21. Обратите внимание, что после нескольких итераций красная и синяя линии начали двигаться сами по себе . Эта система чувствительна к начальным условиям, но не хаотична. Поскольку система умножает x на 1,5, любая небольшая разница между начальными точками увеличивается в 1,5 раза на каждой итерации. Независимо от начального условия, каждое начальное условие в конечном итоге будет приближаться к положительной или отрицательной бесконечности, поэтому асимптотическое поведение при заданном наборе начальных условий очень предсказуемо.

  Топологическое смешение означает, что оно будет развиваться в одном и том же регионе в течение определенного периода времени, а затем, в конце концов, пересечется с любым другим данным регионом.

  Изображение из Википедии

  На приведенном выше графике показаны шесть итераций набора состояний x и y , пройденных через логистическую карту. Светло-синий (первая итерация) указывает на начальное состояние, которое образует круг. Видно, что с течением времени происходит перемешивание. Темно-синий (шестая итерация) показывает, что точки почти полностью разбросаны в фазовом пространстве.

  Это показывает, что две соседние точки в сложной системе в конечном итоге окажутся в очень разных позициях после некоторых итераций. Логистическая карта имеет следующее уравнение:

  Изображение автора, иллюстрированное из Википедии

  Чтобы расширить пространство состояний логистической карты до двух измерений, было создано второе состояние следующим образом:

  Изображение автора, иллюстрированное из Википедии

  Плотность Периодические орбиты означают, что каждая точка в фазовом пространстве произвольно близка к набору начальных условий. Простейшим примером систем с плотностью периодических орбит является одномерная логистическая карта, определяемая х → 4 х (1 — х ).

  Изображение автора

  На приведенном выше графике показаны 50 итераций логистической карты, определенной как x → 2. 1 x (1 — x ). Обратите внимание, что орбита притягивается к определенному значению примерно около 0,5 с течением времени.

  Изображение автора

  Теперь, если мы увеличим значение r до 3,1, чтобы логистическая карта определялась как x → 3,1 x (1 — x ). Обратите внимание, что орбита превращается в период из 2 циклов, поскольку значение циклично вокруг 0,7 и 0,5. Он называется 2-м циклом, потому что для завершения одного цикла требуется 2 итерации.

  Изображение автора

  Теперь, если мы увеличим значение r до 3,5, чтобы логистическая карта определялась как x → 3,5 x (1 — x ), орбита превращается в период из 4 циклов. поскольку значение циклично вокруг 0,87, 0,38, 0,82 и 0,5. Как и раньше, это поведение является стабильным, потому что система циклически повторяет 4 значения и в конечном итоге с течением времени будет сходиться к этим значениям.

  Изображение автора

  Теперь, если мы увеличим значение r до 4. Обратите внимание, что больше нет периодического поведения. Орбита никогда не повторяется точно так же. Такое поведение нестабильно, потому что орбита продолжает вращаться неравномерно. Следовательно, логистическая карта, определяемая x → 4 x (1 — x ) считается хаотическим, потому что орбита подходит сколь угодно близко к начальной точке, но никогда не сойдется к периодической орбите.

  Странный аттрактор

  Вспомните логистическую карту, о которой мы говорили. На самом деле это функция, определяемая:

  Изображение автора

  Карта — это просто еще один способ сказать о функции. Как мы видели ранее, эта функция создает хаос при определенном параметре r .

  Изображение автора

  На приведенном выше графике показано начальное состояние 0,2 для нескольких значений р. Зеленая линия, полученная при значении r , равном 0,5, со временем сходится к 0. Аналогичное поведение происходит с синей, черной, фиолетовой и коричневой линией, они сходятся к определенному значению.

  Изображение автора

  Даже если мы изменим начальный x синей линии на 0,9, она все равно сходится к определенному значению с течением времени. Такая величина называется аттрактором .

  Изображение автора

  Оранжевая линия, которая имеет значение r , равное 3,5, система колеблется между четырьмя значениями и в конечном итоге сходится к этим значениям. Этот аттрактор называется предельным циклом .

  Изображение автора

  Красная линия со значением r , равным 4,0, приводит к хаотическому поведению, как мы упоминали ранее. Эта система имеет странный аттрактор , вокруг которого система колеблется вечно, никогда не повторяясь в точности так же. В приведенном выше примере x превращается в 0,611 после 50 итераций. Состояние на последней итерации называется конечным состоянием .

  Бифуркация

  Те графики, которые мы видели ранее, показывают, как x изменяется со временем при различных значениях r , но мы видели только r из 0,5, 1,0, 1,5, 2,0, 2,5, 3,0, 3,05 и 3,05 и r . . Для дальнейшего изучения мы создадим бифуркационную диаграмму . Бифуркация — это еще один термин для разделения на две части. Ось X равна r значение от 0,0 до 4,0, а ось Y составляет x в конечном состоянии каждого r .

  Изображение автора

  На приведенном выше графике показано разделение периодов стабильных орбит от 1 к 2, к 4, к 8, к 16, к 32 и т. д. Если мы посмотрим ближе к интервалу r между 2,7 и 3,3, он показывает:

  Изображение автора

  Обратите внимание, что разделение происходит, когда r приближается к 3.0. Вспомните красочные графики, о которых мы говорили ранее, это на самом деле серая линия, имеющая 2 точки.

  Изображение автора

  Теперь мы смотрим ближе к r между 3,35 и 3,525, другое разделение происходит вокруг r значение 3,449. Следовательно, оранжевая линия на нашем предыдущем графике имеет период 4.

  Изображение автора

  Увеличьте еще больше, и теперь мы видим еще одно разделение, происходящее вокруг r со значением 3,544. Обратите внимание на периодическую модель? от 2 до 4 и теперь 8 периодов, это называется удвоение периода . Выбрав определенное значение r мы можем получить любой период, какой захотим, если он равен степени двойки, потому что он каждый раз удваивается. Если мы увеличим масштаб до следующей ветви, мы увидим период 16, а затем он будет удваиваться по мере увеличения значения r . Неважно, насколько сильно мы увеличиваем масштаб, мы будем видеть один и тот же паттерн снова и снова, поэтому он считается фракталом . К сожалению, наш график имеет низкое качество и не может показать его четко.

  Константы Фейгенбаума

  Вспомните бифуркационную диаграмму, которую мы создали ранее. Точки разделения расположены неравномерно, вместо этого они становятся все меньше и меньше, как р увеличивается.

  Изображение автора

  Высота и ширина вил уменьшаются в постоянном соотношении. Отношение ∆1 к ∆2 примерно такое же, как ∆2 к ∆3. Это отношение приближается к значению 4,669, что означает, что отношение ∆1 к ∆2 близко к 4,669, а ∆2 к ∆3 еще ближе к 4,669, и так далее. Фейгенбаум доказал соотношение, и оно названо в честь его имени , константа Фейгенбаума . Что интересно, константа Фейгенбаума универсальна, означает, что она имеет одинаковое значение для всех функций f(x), которые отображают интервал в себя и имеют один квадратичный максимум. Постоянная Фейгенбаума оказывается очень важной константой в математике. Это аналог π в геометрии и e в исчислении.

  Множество Мандельброта

  Изображение из Википедии

  Множество Мандельброта — один из самых красивых фракталов в математике. Это набор значений c на комплексной плоскости, для которых орбита 0 при итерации квадратичного отображения остается ограниченной.

  Изображение автора из Википедии

  При начальных z = 0 комплексное число c является частью множества Мандельброта, если значение z_t остается ограниченным независимо от того, сколько мы повторяем функцию. Если число увеличивается до бесконечности, это означает, что c не является частью множества Мандельброта.

  Изображение из Википедии

  На приведенном выше графике показано значение множества Мандельброта, черная область указывает на то, что c является частью множества Мандельброта.

  Изображение автора

  Например, c = 1 в правом углу графика не является частью множества Мандельброта, потому что с течением времени оно будет увеличиваться до бесконечности.

  Изображение автора

  Вопреки этому, -1 находится в черной области, что означает, что это часть множества Мандельброта, оно колеблется между 2 значениями -1 и 0. Но какое это имеет отношение к хаосу?

  Изображение от Jonny Hyman

  Бифуркация на самом деле находится под множеством Мандельброта. Все числа в основной кардиоиде (тот самый большой круг) сходятся к определенному значению, это аналогично значению r между 0 и 3 в бифуркации. Все числа на основном диске колеблются между двумя значениями, это аналогично тому, что r значение между 3 и 3,44 в бифуркации, они имеют период 2. Удвоение периода продолжается по мере того, как мы уменьшаем c и в конечном итоге попадаем в хаос, точно так же, как мы увеличиваем r в бифуркации .

  Заключение

  Каждое решение, которое вы принимали за всю свою жизнь, побуждало вас прочитать эту статью.

  Литература

  Аттрактор

  В математической области динамических систем аттрактор — это набор числовых значений, к которым стремится система…

  en.wikipedia.org

  Что такое Теория Хаоса?

  Хаос — это наука неожиданностей, нелинейности и непредсказуемости. Он учит нас ожидать неожиданного…

  fractalfoundation.org

  теория хаоса | Определения и факты

  Теория хаоса в механике и математике, изучение явно случайного или непредсказуемого поведения систем…

  www.britannica.com

  Теория хаоса | Великолепная математика и естественные науки Wiki

  Теория хаоса — это исследование определенного типа систем, возникших из некоторых начальных условий.

  Небольшой…

  блестящий.org

  Эффект бабочки: все, что вам нужно знать об этой мощной ментальной модели

  Эффект бабочки — это часто неправильно понимаемое явление, при котором небольшое изменение начальных условий может привести к…

  fs.blog

  Теория хаоса

  Теория хаоса — это исследование динамических систем, чрезвычайно чувствительных к начальным условиям. Если бы мы…

  mathsbyagirl.wordpress.com

  Система Лоренца

  Система Лоренца — это система обыкновенных дифференциальных уравнений, впервые изученная Эдвардом Лоренцем и Эллен Феттер. Это…

  en.wikipedia.org

  Логистическая карта

  Логистическая карта представляет собой полиномиальное отображение (эквивалентно, рекуррентное отношение) степени 2, часто упоминаемое как архетип…

  en.wikipedia.org

  Орбита (динамика)

  В математике при изучении динамических систем орбитой называется совокупность точек, связанных функцией эволюции…

  en. wikipedia.org

  Хаос в одном невинном уравнении

  Что такое хаос?

  medium.com

  Теория хаоса и логистическая карта

  Использование Python для визуализации хаоса, фракталов и самоподобия для лучшего понимания границ знаний и…

  В математике, в частности в теории бифуркаций, константы Фейгенбаума — это две математические константы, которые обе…

  en.wikipedia.org

  Логистическая карта

  В этом Флонге будет обсуждаться одна из самых известных динамических систем, логистическая карта. Логистическая карта-это…

  www.complexity-explorables.org

  Mitchell Feigenbaum (1944–2019), 4.66920160910299067185320382 … Стивен Wolfram Phisings

  9000

  382 ITIGENBARINGARINGARINGARINGARINGARINGARINGARINGARINGARINGARINGARINGARINGARIALSIRSINGARIALS.10283382 ITIGENBARINGARINGARINGARINGAR16.10283382. И это проявляется довольно повсеместно в определенных видах…

  writings.stephenwolfram. com

  Логические ребра — * Бифуркационные диаграммы и константа Фейгенбаума

  Выбирается начальное значение x между 0 и 1. Приведенный выше расчет повторяется много раз, что дает ряд…

  site.google.com

  Единственное уравнение, которое правит миром

  Уравнение связывает возбуждение нейронов, конвекцию жидкости, множество Мандельброта и многое другое. обязательно изменится…

  medium.com

  Numberphile

  Это Numberphile. В основном мы публикуем видео о математике и вообще о цифрах.

  www.numberphile.com

  Complexity Explorer

  Complexity Explorer предлагает онлайн-курсы, учебные пособия и ресурсы, необходимые для изучения сложных систем…

  www.complexityexplorer.org

  3009005 Сентябрь 2006 г. Еще в 1970-х и 1980-х годах математики, работающие в области, называемой динамическими системами, использовали…

  plus.maths.org

  Это уравнение изменит ваш взгляд на мир — Veritasium

  Логистическая карта объединяет популяции животных, конвекцию жидкости, возбуждение нейронов, множество Мандельброта и многое другое…

  www. veritasium.com

  Хаотическая бабочка Эдварда Лоренца | Galileo Unbound

  Эффект бабочки — один из наиболее широко известных принципов теории хаоса. Это стало мемом, распространяющимся через популярную культуру в фильмах, книгах, телешоу и даже в случайных разговорах.

  Может ли взмах крыльев бабочки во Флориде вызвать ураган в Нью-Йорке?

  Происхождение эффекта бабочки, что неудивительно, — это образ похожего на бабочку набора траекторий, который был сгенерирован Эдвардом Лоренцем в одной из первых компьютерных симуляций теории хаоса.

  Бабочка Лоренца

  Выдержки из Galileo Unbound (Оксфорд, 2018) стр. 215

  Когда Эдвард Лоренц (1917 – 2008) был ребенком, он запомнил все квадраты до десяти тысяч. Этот очевидный интерес к математике привел его к получению степени магистра в Гарварде в 1919 году.40 под руководством Георга Биркгофа. Магистерская диссертация Лоренца была посвящена аспекту римановой геометрии, но его набег на нелинейную динамику был вызван вмешательством Второй мировой войны. Всего за несколько месяцев до того, как он получил докторскую степень по математике в Гарварде, японцы разбомбили Перл-Харбор.

  В начале 1942 года Лоренц оставил программу докторантуры в Гарварде, чтобы присоединиться к ВВС США для обучения на синоптика, и он прошел курсы прогнозирования и метеорологии в Массачусетском технологическом институте. После получения второй степени магистра, на этот раз по метеорологии, Лоренца отправили на Гавайи, затем на Сайпан и, наконец, на Гуам. Его областью знаний был сильный ветер, который был важен для высотных бомбардировок в последние месяцы войны в Тихом океане. После капитуляции Японии Лоренц вернулся в Массачусетский технологический институт, где продолжил изучение метеорологии, получив докторскую степень в 1919 г.48 с тезисом о применении уравнений гидродинамики для прогнозирования движения штормов.

  Одним из коллег Лоренца по Массачусетскому технологическому институту был Норберт Винер (1894–1964), с которым он иногда играл в шахматы во время обеда в клубе факультета. Винер опубликовал свою знаменательную книгу «Кибернетика: управление и связь в животном и машине » в 1949 году, которая возникла из-за явно приземленной проблемы управления артиллерийским вооружением во время Второй мировой войны. Будучи абстрактным математиком, Винер пытался применить свою кибернетическую теорию к сложностям погоды, но он разработал теорему о нелинейной гидродинамике, которая, по-видимому, показывала, что линейная интерполяция с достаточным разрешением будет достаточна для прогнозирования погоды, возможно, даже на большие расстояния. прогнозирование. Многие преподаватели метеорологического факультета приняли эту теорему, потому что она согласовывалась с общепринятой практикой того дня, когда завтрашняя погода предсказывалась с помощью линейной регрессии на основе измерений, сделанных сегодня. Однако Лоренц был настроен скептически, получив подробное представление об атмосферных энергетических каскадах, поскольку более крупные вихри индуцировали более мелкие вихри на всем пути вниз до молекулярного уровня, рассеиваясь в виде тепла, а затем снова возвращаясь вверх, когда тепло приводило в действие крупномасштабную конвекцию. Это явно не та система, которая поддается линеаризации. Поэтому Лоренц решил решить модели нелинейной гидродинамики, чтобы проверить эту гипотезу.

  Даже с компьютером в руках атмосферные уравнения нужно было упростить, чтобы сделать расчеты более удобными. Лоренц был больше ученым, чем инженером, и больше метеорологом, чем синоптиком. Он без колебаний делал упрощающие предположения, если они сохраняли правильное феноменологическое поведение, даже если они больше не позволяли точно прогнозировать погоду.

  Он сократил количество атмосферных уравнений до двенадцати. Прогресс был хорошим, и к 1961, он завершил большое начальное численное исследование. Он сосредоточился на непериодических решениях, которые, как он подозревал, будут значительно отклоняться от предсказаний, сделанных линейной регрессией, и это предположение было подтверждено его числовым выводом. Однажды, когда он проверял свои результаты, он решил сэкономить время, начав вычисления на полпути, используя средние результаты предыдущего запуска в качестве начальных условий. Он набрал трехзначные числа с бумажной распечатки и пошел в холл выпить чашку кофе. Вернувшись, он посмотрел на распечатку двенадцати переменных и с разочарованием обнаружил, что они не связаны с предыдущим полноценным прогоном. Он сразу заподозрил неисправную вакуумную лампу, как это часто случалось. Но, присмотревшись к числам, он понял, что сначала они очень хорошо соответствовали первоначальному ряду, но затем стали расходиться все быстрее и быстрее, пока не потеряли всякую связь с числами первого ряда. Его начальные условия были правильными с точностью до одной тысячной, но эта небольшая ошибка увеличивалась экспоненциально по мере продвижения решения.

  В этот момент Лоренц вспомнил, что он «стал довольно взволнованным». Он видел полный провал предсказуемости в науке об атмосфере. Если бы из-за мельчайших ошибок возникало радикально иное поведение, то никакие измерения никогда не были бы достаточно точными, чтобы их можно было использовать для долгосрочного прогнозирования. На более фундаментальном уровне это был разрыв с давней традицией в науке и технике, которая цеплялась за веру в то, что небольшие различия производят небольшие эффекты. Вместо этого Лоренц обнаружил, что детерминированное решение его 12 уравнений экспоненциально чувствительно к начальным условиям (известным сегодня как SIC).

  Уравнения Лоренца

  В течение следующих месяцев он смог показать, что SIC является результатом непериодических решений. Чем больше Лоренц знакомился с поведением своих уравнений, тем больше он чувствовал, что 12-мерные траектории имеют повторяющуюся форму. Он пытался визуализировать эту форму, чтобы получить представление о ее характере, но трудно визуализировать вещи в двенадцати измерениях, и прогресс был медленным. Затем Лоренц обнаружил, что когда решение было непериодическим (необходимое условие для SIC), четыре переменные устанавливались до нуля, оставляя всю динамику оставшимся трем переменным.

  Лоренц сузил уравнения неустойчивости атмосферы до трех переменных: функция тока, изменение температуры и линейное отклонение температуры. Единственным параметром в функции потока является то, что известно как число Прандтля. Это безразмерное число, которое представляет собой отношение кинетической вязкости жидкости к ее коэффициенту термической диффузии и является физическим свойством жидкости. Единственным параметром изменения температуры является число Рэлея, которое представляет собой безразмерный параметр, пропорциональный разности температур между верхним и нижним слоями жидкости. Последним параметром в уравнении линейного отклонения температуры является отношение высоты слоя жидкости к ширине конвекционных валов. Окончательная упрощенная модель задается уравнениями течения

  Бабочка

  У Лоренца наконец появилась динамическая система с тремя переменными, отображающая хаос. Более того, у него было трехмерное пространство состояний, которое можно было визуализировать напрямую. Он провел свои симуляции, исследуя форму траекторий в трехмерном пространстве состояний для широкого диапазона начальных условий, и траектории действительно всегда укладывались в ограниченные области пространства состояний. Во всех случаях они расслаблялись до своего рода поверхности, которая была элегантно искривлена, с узорами в виде крыльев, как у бабочки, поскольку точка состояния системы следовала за ее динамикой во времени. Аттрактор уравнений Лоренца был странный . Позднее, в 1971 г., Давид Рюэль (1935 г.р.), бельгийско-французский физик-математик, назвал это «странным аттрактором», и это название стало стандартной частью языка теории хаоса.

  Первое графическое изображение аттрактора бабочки показано на рис. 1, нарисованном Лоренцем для его публикации 1963 года.

  Рис. 1 Выдержки из заголовка, реферата и разделов статьи Лоренца 1963 года. Его трехмерные уравнения потока создают траектории, которые релаксируют на трехмерный «странный аттрактор 9».0048».

  Используя наши современные возможности построения графиков, трехмерный характер бабочки показан на рис. 2

  Рис. 2 Хаотическая бабочка Эдварда Лоренца

  Проекция на плоскость x-y показана на рис. 3. В полном трехмерном пространстве состояний траектории никогда не перекрываются, но в проекции на двумерную плоскость траектории движутся друг над другом и под ним.

  Рис. 3 Проекция бабочки на плоскость x-y с центром в начале координат.

  Причина, по которой его называют странным аттрактором, заключается в том, что все начальные условия релаксируют на странный аттрактор, однако каждая траектория на странном аттракторе экспоненциально отделяется от соседних траекторий, демонстрируя классическое свойство хаоса SIC. Итак, вот элегантная коллекция траекторий, которые, конечно, не просто случайный шум, но детальное предсказание по-прежнему невозможно. Детерминированный хаос имеет значимую структуру и порождает красивые узоры без фактической «случайности».

  Программа Python

   #!/usr/bin/env python3
  # -*- кодировка: utf-8 -*-
  """
  Создано Пн Апр 16 07:38:57 2018
  @автор: нольте
  Введение в современную динамику, 2-е издание (Oxford University Press, 2019)
  Модель Лоренца атмосферной турбулентности
  """
  импортировать numpy как np
  импортировать matplotlib как mpl
  импортировать matplotlib.colors как цвета
  импортировать matplotlib. cm как cmx
  из scipy импортировать интегрировать
  из matplotlib импорт см
  из matplotlib импортировать pyplot как plt
  из mpl_toolkits.mplot3d импортировать Axes3D
  из matplotlib.colors импортировать cnames
  из анимации импорта matplotlib
  plt.close('все')
  струя = см = plt.get_cmap('струя')
  значения = диапазон (10)
  cNorm = colors.Normalize(vmin=0, vmax=values[-1])
  scalarMap = cmx.ScalarMappable(norm=cNorm, cmap=jet)
  defsolve_lorenz(N=12, angle=0.0, max_time=8.0, sigma=10.0, beta=8./3, rho=28.0):
   рис = plt.figure()
   топор = fig.add_axes([0, 0, 1, 1], проекция = '3d')
   топор.ось('выкл')
   # подготовить пределы осей
   ax.set_xlim((-25, 25))
   ax.set_ylim((-35, 35))
   топор.set_zlim((5, 55))
   def lorenz_deriv(x_y_z, t0, сигма=сигма, бета=бета, ро=ро):
   """Вычислите производную по времени системы Лоренца."""
   х, у, г = х_у_г
   return [сигма * (y - x), x * (rho - z) - y, x * y - бета * z]
   # Выберите случайные начальные точки, равномерно распределенные от -15 до 15
   np.
    random.seed(1)
   x0 = -10 + 20 * np.random.random ((N, 3))
   # Решаем траектории
   t = np.linspace(0, max_time, int(500*max_time))
   x_t = np.asarray([интегрировать.odeint(lorenz_deriv, x0i, t)
   для x0i в x0])
   # выбираем разные цвета для каждой траектории
   # цвета = plt.cm.viridis(np.linspace(0, 1, N))
   # цвета = plt.cm.rainbow(np.linspace(0, 1, N))
   # цвета = plt.cm.spectral(np.linspace(0, 1, N))
   цвета = plt.cm.prism (np.linspace (0, 1, N))
   для я в диапазоне (N):
   х, у, г = х_т[я,:,:].Т
   линии = ax.plot(x, y, z, '-', c=colors[i])
   plt.setp(линии, ширина линии=1)
   ax.view_init (30, угол)
   plt.show()
   вернуть т, х_т
  т, х_т = решить_лоренц (угол = 0, N = 12)
  пл.рисунок(2)
  строки = plt.plot(t,x_t[1,:,0],t,x_t[1,:,1],t,x_t[1,:,2])
  plt.setp(линии, ширина линии=1)
  строки = plt.plot(t,x_t[2,:,0],t,x_t[2,:,1],t,x_t[2,:,2])
  plt.setp(линии, ширина линии=1)
  строки = plt.plot(t,x_t[10,:,0],t,x_t[10,:,1],t,x_t[10,:,2])
  plt.
   
   
   
  No related posts.