Метод проб и ошибок
Метод проб и ошибок
в решении текстовых задач.
При решении текстовых задач многие учащиеся испытывают затруднения. Главная задача учителя научить решать ученика различные типы текстовых задач. Процесс решения текстовых задач развивает у учащихся логическое мышление, учат находить выход из проблем реальной жизни, дает почувствовать уверенность в своих силах.
Текстовые задачи можно разбить на два основных класса:
Причем это разделение довольно условно. Многие текстовые арифметические задачи можно решить с помощью уравнений, а задачи на составление уравнений (систем уравнений) часто решают по действиям, а если это не получается, то используют метод проб и ошибок или метод перебора.
Мне бы хотелось продемонстрировать решение ряда задач этими методами.
Задача №1
Одна сторона прямоугольного участка земли на 3 м больше другой его стороны. Площадь участка равна 70 м².
Найти размеры этого участка.
Пусть x м ширина участка, (x+3) м – длина участка, а площадь x·(x+3) м²,
что по условию задачи равно 70 м². Чтобы найти размеры участка надо составить уравнение x·(x+3)=70 и решить его. Но в 5ом классе такие учащиеся решать еще не могут. Поэтому попробуем подобрать решение «экспериментально», так называемым методом проб и ошибок.
пусть x=4, т.е. 4·(4+3)=28, 28≠70;
x=6, т.е. 6·(6+3)=54, 54≠70;
x=7, т.е. 7·(7+3)=70, 70=70 верно.
Т.е. мы увидели, что метод проб и ошибок позволяет найти ответ даже в случае, когда математический модель представляет собой новый, не изученный еще объект. Но, решая задачи этим способом, следует помнить, что подбор одного решения не гарантирует полноты решения. Поэтому необходимы обоснования того, что найдены все возможные решения.
В нашей задаче, если бы x было больше 7,то x+310 и x·(x+3)70, если наоборот xx+3 x·(x+3)
Задачи для учащихся.
Переведи условие задачи на математический язык и найди решение методом проб и ошибок.
Площадь прямоугольника равна 68 дм², а длина больше ширины на 13 дм. Каковы стороны этого прямоугольника?
Ширина прямоугольника на 9 см меньше длины, а площадь равна 90 см². Найти стороны прямоугольника.
Найти периметр прямоугольника, площадь которого составляет 18 м², а ширина в 2 раза меньше длины.
Площадь прямоугольника равна 64 дм², а его длина в 4 раза больше ширины. Чему равен периметр прямоугольника?
Длину прямоугольника уменьшили на 3 см, а ширину увеличили на 4 см и получили квадрат. Найти сторону квадрата, если площадь прямоугольника равна 30 см².
После того как ширину прямоугольника увеличили на 1 м, а длину уменьшили на 5 м, получили квадрат. Чему равна площадь квадрата, если площадь прямоугольника 91 м².
Длина прямоугольника на 5 м больше ширины, а площадь составляет 24 м².
каковы стороны этого прямоугольника?Длину прямоугольника уменьшили в 2 раза, а ширину увеличили на 1 дм и получили квадрат. Найти сторону квадрата, если площадь прямоугольника 60 дм².
Найти периметр прямоугольника, у которого ширина на 4 см меньше длины, а площадь составляет 32 см².
каковы стороны этого прямоугольника?10)Одна из сторон прямоугольника на 20 см больше другой. Если
большую сторону уменьшить в 3 раза, а меньшую сторону увеличить
в 2 раза, то площадь нового прямоугольника будет равна 200 см².
Найти стороны данного прямоугольника.
Метод перебора при
нахождении НОД.
Рассмотрим еще один метод – метод перебора. Т.к. предыдущий метод решения задач – метод проб и ошибок не дает уверенности в том, что найдены все искомые значения. Поэтому для обоснования полноты решения требуются дополнительные, иногда очень непростые рассуждения. В этом недостаток метода проб и ошибок. Но он исключен в методе полного перебора.
Полный перебор требует, как правило, больших усилий и большого времени. Однако внимательный анализ условия часто позволяет найти систему перебора, охватывающую все возможные варианты, но более короткую, чем «лобовой» перебор.
Задача. На экскурсию едут 252 ученика школы. Для них заказаны
несколько автобусов. Однако выяснилось, что если заказать
автобусы, вмещающие на 6 человек больше, то автобусов
потребуется на один меньше. Сколько больших автобусов надо
заказать?
Составим таблицу.
Кол-во детей в одном автобусе | Количество автобусов | Общее кол-во детей | |
Большие автобусы | 252 : x | x | 252 |
Маленькие автобусы | 252 : (x+1) | x+1 | 252 |
Т.
к. по условию в большой автобус вмещается на 6 детей больше, чем в маленький, то разность 252 : x — 252 : (x+1) = 6. Значит решением задачи является число X, удовлетворяющее равенству: 252 : x — 252 : (x+1) = 6.
Но можно получить более простую математическую модель этой задачи, обозначив дополнительно буквой Y число детей, которых можно разместить в большом автобусе.
Кол-во детей в одном автобусе | Количество автобусов | Общее кол-во детей | |
Большие автобусы | y | x | 252 |
Маленькие автобусы | y-6 | x+1 | 252 |
Очевидно, что в этом случае математической моделью задачи являются два равенства:
xy = 252;
(x+1)·(y-6) = 252.
Искомые числа x и y должны удовлетворять как первому, так и
второму равенству. Найдем эти числа x и y.
Из равенства xy = 252 можно заметить, что числа x и y не могут быть
больше, чем 252. Однако и в этом случае «лобовой» перебор потребовал бы рассмотрения огромного числа вариантов. Но более внимательный анализ первого равенства показывает, что числа x и y – это парные делители 252: при делении 252 на x получается y, и наоборот. Следовательно, достаточно рассмотреть лишь парные делители числа 252, причем для случая, когда y6 (y-60).
Составим таблицу:
+1
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 14 | 18 | 28 | 36 |
y | 252 | 126 | 84 | 63 | 42 | 36 | 28 | 18 | 14 | 9 | 7 |
— 6
Анализ второго равенства позволяет еще больше сократить число возможных вариантов.
Оно означает, что число (x+1) и (y-6) так же являются парными делителями 252. Из таблицы видно, что такими свойствами обладает только пара x=6, y=42.
Ответ: для экскурсии надо заказать 6 больших автобусов.
Задачи для учащихся.
Сумма цифр двузначного числа равна 15. Если эти цифры поменять местами, то получится число, которое на 27 меньше исходного. Найти эти числа.
Сумма цифр двузначного числа равна 12. число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, составляет 4 /7 исходного числа. Найти эти числа.
Одно из двух натуральных чисел на 4 больше другого. Найди эти числа, если их произведение равно 96.
У причала находилось 6 лодок, часть из которых была двухместными, а часть трехместными. Всего в эти лодки может поместиться 14 человек. Сколько двухместных и трехместных лодок было у причала?
Прямоугольный газон обнесен изгородью, длинна которой 30 м.
Площадь газона 56 м². Найди длины газона, если известно, что они выражаются натуральными числами.В несколько посылок упаковали 36 книг и 54 журнала, распределив их между посылками поровну. В каждой посылке книг на 2 меньше, чем журналов. Сколько получилось посылок?
Произведение двух натуральных чисел равно 72. Найти эти числа, если одно из них больше другого на 6.
На турбазе имеются палатки и домики, общее число которых равно 25. в каждом домике живут 4 человека, а в палатке – 2 человека. Сколько на турбазе палаток и сколько домиков, если всего на этой турбазе отдыхают 70 человек?
Прямоугольный участок земли обнесен забором, длина которого 40 м. Площадь участка 96 м². Найти длины сторон этого участка, если известно, что они выражаются натуральными числами.
Площадь газона 56 м². Найди длины газона, если известно, что они выражаются натуральными числами.Еще один тип задач, которые решаются методом перебора.
Задумано двузначное число, которое на 52 больше произведения своих цифр. Какое число задумано?
Пусть xy – задуманное двузначное число, где x – цифра десятков, а y – цифра единиц.
Тогда их произведение равно xy. Само двузначное число можно записать как 10x+y. По условию 10x+y на 52 больше произведения своих цифр xy. Т.е. должно выполняться равенство 10x+y= xy+52, которое является математической моделью данной задачи.
Решается это уравнение методом перебора. Полный перебор можно провести, рассматривая последовательно все значения x от 1 до 9 и подбирая в каждом случае соответствующее значение y от 0 до 9.
Однако этот перебор можно сократить, если заметить, что первая часть данного равенства больше 52. Значит, и первая его часть, т.е. задуманное число, больше 52. Поэтому неизвестное число x не меньше 5, и можно рассматривать только пять значений x – от 5 до 9.
При x=5 будем иметь равенство 50+y=5y+52, оно невозможно, т.к. 50+yy+52.
При x=6 60+y=6y+52 | -y
60=5y+52
5y=8 невозможно для натурального y.
При x=7 70+y=7y+52
70=6y+52
6y=18
y=3 Число 73
При x=8 80+y=8y+52
80=7y+52
7y=28
y=4 Число 87
При x=9 90+y=9y+52
38=8y невозможно
Таким образом, задумано либо 73, либо 84.
Условие задачи не дает возможности ответить на этот вопрос. Поэтому два ответа: 73 или 84.
Задачи для учащихся.
Метод перебора используется при доказательстве общих утверждений, где необходимо вводить буквенные обозначения.
Например: Доказать, что сумма любых трех последовательных натуральных чисел делится на 3.
1 сл. 1,2,3 1+2+3=6, 6:3=2
2 сл. 5,6,7 5+6+7=18, 18:3=6
3 сл. 21,22,23 21+22+23=66 66:3=22
и т.д.
Возьмем произведение натурального числа и обозначим его n. Тогда следующие за ним два числа соответственно равны n+1 и n+2.
Их сумма: n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1) делится на 3, т.к. один из множителей делится на 3.
2.1. Метод проб и ошибок
Естественные науки / Методы инженерного творчества / 2.1. Метод проб и ошибок
В работах психологов, в воспоминаниях ученых и изобретателей описывается примерно одно и то же: человек сталкивается со сложной проблемой, постоянно мысленно ищет решение, перебирая варианты, пробует, ошибается и, наконец, находит.
Это и есть метод перебора вариантов или, как его чаще называют, метод проб и ошибок (МПиО) – древнейший способ поиска нового, который является исторически первым методом технического творчества. Он заключается в поочередном выдвижении идей, их оценки; если решения не нравятся, их отбрасывают и выдвигают новые. Есть задачи, которые иначе как перебором вариантов не решить. Например, такая: дано пять стаканов с бесцветной жидкостью внешне совершенно одинаковых. Известно, что сливание двух каких-то жидкостей дает смесь красного цвета. Как найти эту пару жидкостей? Придется переливать наугад. В этой задаче нет творчества. Единственно, что можно сделать, это исключить повторные сливания.
Методом проб и ошибок создавались первые кремневые ножи и луки, пушки и ветряные мельницы, здания и корабли. Это был долгий путь, требовавший больших жертв, гибели множества неудачных конструкций. Но развитие техники ускорялось, и метод проб и ошибок становился все менее пригодным. Невозможно строить тысячи образцов, чтобы отобрать наилучшую конструкцию атомного реактора или быстроходного крейсера.
Эффективность перебора зависит от сложности задачи, ее можно охарактеризовать количеством проб, которые необходимо сделать для получения гарантированного результата – решения задачи.
История изобретательства показывает, что это количество может колебаться в очень широких пределах – от десятка проб для самых простых задач до сотен тысяч — для сложных. Метод проб и ошибок достаточно эффективен, когда речь идет о необходимости перебрать девять-двадцать вариантов, а при решении более сложных задач приводит к большим потерям сил и времени (рис. 2.1).
Неэффективность МПиО для решения сложных задач долгое время компенсировали за счет увеличения числа людей, работающих над той или иной проблемой. Но к середине XX века стало очевидно, что даже самое полное использование людских ресурсов не может обеспечить необходимых темпов производства изобретений. Появилась общественная потребность в простых и доступных каждому методах поиска нового. Сегодня известно свыше полусотни различных методов поиска нового [7, 8, 15, 19, 23].
Далеко не все они одинаково полезны. Среди них есть и непроверенные, надуманные, искусственно формализованные, не дающие никакого практического выхода. Ряд методов имеет ограниченное применение: в определенных условиях, для определенного типа задач.
Рассмотрим основные методики активизации творческого мышления, которые можно разбить на две большие группы: методы психологической активизации (методы увеличения хаотичности поиска) и методы систематизированного перебора вариантов.
Использование метода проб и ошибок для решения проблем
К Эксфорсис | 20 июля 2006 г. |Решение проблем
Использование метода проб и ошибок для решения проблем
Некоторые сложные проблемы можно решить методом проб и ошибок. Метод проб и ошибок обычно хорош для проблем, когда у вас есть несколько шансов найти правильное решение.
Однако это не лучший метод для проблем, которые не дают вам многократных шансов найти решение.
Примером ситуаций, когда вы не хотели бы использовать метод проб и ошибок, является обезвреживание бомбы или выполнение операции на пациенте. В таких случаях ошибка может привести к катастрофе. Метод проб и ошибок лучше всего использовать, когда он применяется к ситуациям, которые дают вам много времени и безопасности, чтобы найти решение.
Кроме того, метод проб и ошибок также является отличным способом получения знаний. По сути, человек, который использует метод проб и ошибок, попытается найти метод, чтобы убедиться, что это хорошее решение. Если это не очень хорошее решение, они пробуют другой вариант. Если метод работает, человек, использующий его, получил правильное решение проблемы. Однако бывают ситуации, когда вариантов слишком много, и человек не может просмотреть их все, чтобы выяснить, какой из них работает лучше всего. В этом случае человек захочет использовать тот вариант, который имеет наилучшие шансы на успех.
Если это не сработает, они могут попробовать следующий лучший вариант, пока не найдут хорошее решение.
Существует ряд важных факторов, которые делают метод проб и ошибок хорошим инструментом для решения проблем. Цель проб и ошибок не в том, чтобы выяснить, почему проблема была решена. Он в основном используется для решения проблемы. Хотя это может быть хорошо в некоторых областях, это может не сработать в других. Например, хотя метод проб и ошибок может быть полезен при поиске решений механических или инженерных проблем, он может оказаться бесполезным для определенных областей, где возникает вопрос, «почему» решение работает. Метод проб и ошибок в первую очередь хорош для областей, где решение является наиболее важным фактором. Это часто имеет место в математических курсах, которые преподаются в средней школе или колледже.
Большинство учителей математики уделяют особое внимание методу проб и ошибок при поиске решения задач, и многие из них не тратят много времени на объяснение того, «почему» решение работает.
Одна из причин этого заключается в том, что у большинства учителей математики есть ограничения по времени. Тем не менее, некоторые студенты, посещающие курсы математики в колледже, могут узнать больше о том, почему определенные решения работают. Еще одним хорошим аспектом метода проб и ошибок является то, что он не пытается использовать решение как способ решения более чем одной проблемы. Метод проб и ошибок в основном используется для поиска единственного решения одной проблемы.
Метод проб и ошибок — это не метод поиска наилучшего решения и не метод поиска всех решений. Это метод решения проблем, который просто используется для поиска решения. Одним из самых мощных преимуществ этой техники является то, что она не требует от вас больших знаний. Однако это может потребовать от вас большого терпения. Метод проб и ошибок обычно используется для открытия новых лекарств, и он также играет важную роль в научном методе. Некоторые также считают, что органическая эволюция — это форма проб и ошибок, потому что случайные мутации будут происходить до тех пор, пока они не принесут успеха.
Метод проб и ошибок также является отличным инструментом для изобретателей. Изобретатель сначала представит устройство, которое он хотел бы изобрести, а затем он может пройти через процесс проб и ошибок, чтобы найти наилучшие способы изобретения устройства. Хотя метод проб и ошибок является чрезвычайно мощным инструментом, который можно использовать для решения проблем, он также имеет некоторые недостатки. Я кратко упомянул об этом в первом абзаце. Метод проб и ошибок неэффективен в ситуациях, когда ошибка может привести к серьезной травме или смерти. Хорошим примером тому могут служить попытки преодоления звукового барьера, которые предпринимались авиационными инженерами. Хотя им это удалось, многие пилоты погибли, потому что использовали метод проб и ошибок. В ситуации и ошибка часто приводила к крушению самолета.
Решение линейных уравнений с одной переменной методом проб и ошибок
- Математические сомнения
- Линейные уравнения
- Одна переменная
- Методы решения
Линейные уравнения с одной переменной можно решить методом проб и ошибок.
Из-за проверки линейного уравнения для различных значений его часто называют методом грубой силы. Точно так же в этом методе фактически угадывается значение переменной. Поэтому его также называют угадывающим методом решения линейных уравнений с одной переменной.
Линейные уравнения с одной переменной в основном представлены в четырех математических формах. Итак, давайте выучим их все, чтобы понять, как решать линейные уравнения с одной переменной математически методом проб и ошибок.
Форма сложения
$x+6 = 9$ — это линейное уравнение с одной переменной.
| $х$ | $L.H.S$ | $=$ | $Значение$ | $Пробная версия$ |
| $0$ | $0+6$ | $=$ | $6 \, (\ne 9)$ | $Ошибка$ |
| 1$ | $1+6$ | $=$ | $7 \, (\ne 9)$ | $Ошибка$ |
| 2$ | $2+6$ | $=$ | $8 \, (\ne 9)$ | $Ошибка$ |
| 3$ | $3+6$ | $=$ | $9$ | $Истина$ |
Подставьте разные значения вместо $x$ в левой части уравнения и посмотрите на значение выражения.
В этом примере попытки от $x = 0$ до $x = 2$ являются ошибочными.
При $x = 3$ значение выражения в левой части равно $9$ и в точности равно правой части уравнения. Итак, попытки угадать значение переменной можно прекратить.
Следовательно, решение линейного уравнения с одной переменной равно $3$.
Форма вычитания
$15-p = 20$ представляет собой линейное уравнение с одной переменной.
| $р$ | $L.H.S$ | $=$ | $Значение$ | $Пробная версия$ |
| $0$ | $15-0$ | $=$ | $15 \, (\ne 20)$ | $Ошибка$ |
| $-1$ | $15-(-1)$ | $=$ | $16 \, (\ne 20)$ | $Ошибка$ |
| $-2$ | $15-(-2)$ | $=$ | $17 \, (\ne 20)$ | $Ошибка$ |
| $-3$ | $15-(-3)$ | $=$ | $18 \, (\ne 20)$ | $Ошибка$ |
| $-4$ | $15-(-4)$ | $=$ | $19 \, (\ne 20)$ | $Ошибка$ |
| $-5$ | $15-(-5)$ | $=$ | $20$ | $Правда$ |
В этом линейном уравнении значение правой части уравнения равно $20$, что превышает $15$.
Испытания от $x = 0$ до $x = -4$ неверны, но верно для $x = -5$. Следовательно, корень этого линейного уравнения с одной переменной равен $-5$.
Форма умножения
$9t = 27$ — линейное уравнение с одной переменной.
| $t$ | $L.H.S$ | $=$ | $Значение$ | $Пробная версия$ |
| $0$ | $9 \times 0$ | $=$ | $0 \, (\ne 27)$ | $Ошибка$ |
| 1$ | $9\раз 1$ | $=$ | $9 \, (\ne 27)$ | $Ошибка$ |
| 2$ | 9$\умножить на 2$ | $=$ | $14 \, (\ne 27)$ | $Ошибка$ |
| 3$ | 9$\умножить на 3$ | $=$ | $27$ | $Истина$ |
Сделайте несколько попыток, подставляя разные значения в $t$ в левой части уравнения и наблюдайте значение выражения для каждого значения.
От $t = 0$ до $t = 2$ попытки являются ошибочными, но это верно для $t = 3$.
Следовательно, решение $t$, равное $3$, называется корнем линейного уравнения с одной переменной.
Форма деления
$\dfrac{z}{3} = 2$ — линейное уравнение с одной переменной.
| $t$ | $L.H.S$ | $=$ | $Значение$ | $Пробная версия$ |
| $0$ | $\dfrac{0}{3}$ | $=$ | $0 \, (\ne 2)$ | $Ошибка$ |
| 1$ | $\dfrac{1}{3}$ | $=$ | $0,3333 \, (\ne 2)$ | |
| $2 $ | $\dfrac{2}{3}$ | $=$ | $0,6667 \, (\ne 2)$ | $Ошибка$ |
| 3$ | $\dfrac{3}{3}$ | $=$ | $1 \, (\ne 2)$ | $Ошибка$ |
| 4$ | $\dfrac{4}{3}$ | $=$ | $1.3333 \, (\ne 2)$ | $Ошибка$ |
| $5$ | $\dfrac{5}{3}$ | $=$ | $1,6667 \, (\ne 2)$ | $Ошибка$ |
| 6$ | $\dfrac{6}{3}$ | $=$ | $2$ | $Истина$ |
Подставьте разные значения вместо $x$ в левой части уравнения и получите значение.