Самостоятельная работа по теме множества и операции над ними 9 класс: Тесты по теме: «Множества и операции над множествами» — Контрольные, тесты… — Алгебра — Точные науки — Методическая библиотека

Содержание

Множества и подмножества. Объединение и пересечение множеств. Алгебра, 9 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Задание множества по словесному описанию (числа) Сложность: лёгкое	1
2.	Множество натуральных и целых чисел Сложность: лёгкое	2
3.	Подмножества рациональных чисел Сложность: лёгкое	1
4.	Множества и подмножества Сложность: лёгкое	2
5.	Множество в виде числового промежутка (линейное неравенство) Сложность: среднее	5
6.	Принадлежность числа множеству Сложность: среднее	2
7.	Пересечение множеств Сложность: среднее	2
8.	Пересечение и объединение множеств Сложность: среднее	2
9.	Круги Эйлера Сложность: сложное	3
10.	Площадь гаража Сложность: сложное	3
11.	Множество в виде числового промежутка (квадратное неравенство) Сложность: сложное	7

Множества и операции над ними, их свойства в 9 классе примеры операций

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Множества и операции над ними

Ребята, мы с вами ввели понятие множеств. Теперь давайте посмотрим, какие операции можно делать с двумя множествами.
Множества очень удобно изображать в виде кругов. Эти круги называются кругами Эйлера, в честь математика – Леонарда Эйлера. На рисунке ниже изображены два множества А и Б в виде кругов Эйлера:
Итак, какие же операции можно производить над множествами?

Пересечением множества А и Б, называется множество состоящее из элементов принадлежащих как А, так и Б. Обозначается как А∩Б. Давайте схематично нарисуем пересечение с помощью кругов Эйлера:
Давайте запишем на математическом языке: $А∩Б = {y| yϵA и yϵБ}$. Пересекать можно любое количество множеств. Если множества не пересекаются то $А∩Б =Ø$

Пример. Найти пересечение множеств: $ а) А={1,3,5,7,9} \; Б={1,2,3,4,5,6}$
b) Множество А состоит из букв слова Математика. Множество Б состоит из букв слова Алгебра. Найти пересечение $А∩Б.$
Решение:
а) Множество А состоит из нечетных чисел первого десятка. Множество Б все натуральные числа до 6. Пересечением множеств будет множество из общих элементов: $А∩Б = {1;3;5}.$
b) Запишем элементы множества $А={А;Е;И;К;М;Т} \; Б={А;Б;Г;Е;Л;Р}.$ Пересечение множеств : $А∩Б ={А;Е}.$
Объединением множеств А и Б называется множество состоящее из всех элементов принадлежащее каждому множеству. Обозначается как $АUБ.$ Давайте так же нарисуем нашу операцию с помощью кругов Эйлера:

Давайте запишем на математическом языке: $ АUБ = {y| yϵA или yϵБ}. $
Объединять так же можно любое количество множеств.

Пример. Объедините множества:
$а) А= {1,3,5,7,9} \; Б={2,4,6,8}\\ b) A= (1;3) \; Б=[2;6].$
с) А – множество всех точек плоскости абсцисса которых больше одного. Б – множество всех точек плоскости ордината которых не больше двух.

Решение:
а) Множество А состоит из нечетных чисел первого десятка. Множество Б состоит из четных чисел первого десятка. Объединением будут все числа первого десятка:
$АUБ = {1;2;3;4;5;6;7;8;9}.$
b) Множество А состоит из всех чисел открытого интервала $(1;3)$. Множество Б состоит из всех чисел интервала $[2;6]$. Объединением АUБ будут все числа принадлежащие сразу двум интервалам.
На интервале от двух до трех, множества содержат одинаковые числа тогда объединение можно записать в виде:
$АUБ=(1;6]$

с) Нашу задачу лучше решить графически: Нарисуем множество точек множества А: Нарисуем множество точек множества Б: Нарисуем объединение:

Задачи с множествами для самостоятельного решения.
1. Найти пересечение множеств: а) $А={1,4,8,10,13}\; Б={2,5,8,10,11,13}$
b) Множество А состоит из букв слова Алгоритм. Множество Б состоит из букв слова Программирование. Найти пересечение $А∩Б.$
с) А – множество всех точек плоскости абсцисса которых больше двух. Б – множество всех точек плоскости ордината которых больше одного.

2. Найти объединение множеств:
а) $А= {10,20,30,40} \; Б={5,15,25,35}$
b) $A= (0;5) \; Б=[-1;3).$
с) Множество А состоит из корней уравнения $(х+5)(х-2)=0.$ Множество Б состоит из решения неравенства х>1.
d) А – множество всех точек плоскости абсцисса которых меньше нуля. Б – множество всех точек плоскости ордината которых больше трех.

КР-1 Множества и операции над ними. Алгебра 8 (угл)

Алгебра 8 класс. Контрольная работа КР-1 Множества и операции над ними для УМК Мерзляк, Поляков (УГЛУБЛЕННОЕ изучение) + ОТВЕТЫ. Цитаты из пособия «Алгебра 8 класс Самостоятельные и контрольные работы» (авт. Мерзляк, Полонский, Рабинович и др., изд-во «Вентана-Граф») использованы в учебных целях.

Контрольная работа № 1 по алгебре в 8 классе (угл.)

КР-1 Множества и операции над ними

OCR-версия контрольной (только текст)

Тема. Множества и операции над ними. Вариант 1.
1. Задайте с помощью перечисления элементов множество A = {}.
2. Запишите все подмножества множества делителей числа 7.
3. Какие из приведённых утверждений являются верными:
4. Какие из приведённых утверждений являются верными:
5. На фирме работает 29 человек. Из них 15 человек знают немецкий язык, 21 — английский и 8 человек знают оба языка. Сколько работников фирмы не знают ни одного из этих языков?
6. Докажите, что множества А и В равны.
7. Докажите, что множество чисел вида , где n е N, счётно.
8. Множество А содержит 25 элементов. Каких подмножеств этого множества больше: с чётным количеством элементов или с нечётным количеством элементов?

ОТВЕТЫ на Контрольную № 1

ВАРИАНТ 1.

№ 1.    A = {2, -7}
№ 2.    A = {1, -1, 7, -7}
№ 3.    1) не верно,   2) не верно,   3) не верно,   4) не верно
№ 4.    1) верно, 2) не верно, 3) не верно, 4) верно, 5) верно, 6) верно.
№ 5.    Ответ: 1 человек
№ 6.    А = В, если их объединение и пересечение совпадает. A ∪ B = {x}. A ∩ B = {x}.
№ 7.   При n = 1 ⇒ 1/2; при n = 2 ⇒ 1/4; при n = 3 ⇒ 1/6 и так далее. Все элементы множества различны и образуют числовую последовательность. Значит, счётно.
№ 8.   1 и 25 (начало и конец) — нечетные числа. Значит, нечетных будет больше.

ВАРИАНТ 2.

№ 1.    A = {4, -6}
№ 2.    A = {1, -1, 5, -5}
№ 3.    1) не верно,   2) не верно,   3) не верно,   4) не верно
№ 4.    1) не верно, 2) верно, 3) верно, 4) верно, 5) не верно, 6) не верно.
№ 5.    Ответ: 5 человек
№ 6.    C = D, если их объединение и пересечение совпадает. C ∪ D = {x}. C ∩ D = {x}.
№ 7.   При k = 1 ⇒ 1/3; при k = 2 ⇒ 1/6; при k = 3 ⇒ 1/9 и так далее. Все элементы множества различны и образуют числовую последовательность. Значит, счётно.
№ 8.   1 и 27 (начало и конец) — нечетные числа. Значит, нечетных будет больше.

Алгебра 8 класс. Контрольная работа № 1 «Множества и операции над ними» для УМК Мерзляк, Поляков (УГЛУБЛЕННОЕ изучение) + ОТВЕТЫ. Цитаты из пособия «Алгебра 8 класс Самостоятельные и контрольные работы» (авт. Мерзляк, Полонский, Рабинович и др., изд-во «Вентана-Граф») использованы в учебных целях.

Вернуться к Списку контрольных работ для УМК Мерзляк, Поляков (угл.)

Урок 10. некоторые сведения из теории множеств — Информатика — 10 класс

Информатика, 10 класс. Урок № 10.

Тема — Некоторые сведения из теории множеств

Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором, создателем теории множеств.

Георг Кантор

(1845—1918)

Немецкий математик, создатель теории множеств

Множество — это совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое. Под множеством мы можем понимать: учеников класса, фрукты, деревянные предметы, числа и т. д.

Например:

	Множество учеников класса
	Множество деревянных предметов
	Множество чисел
	Множество фруктов

Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита (A,B,C,D и т. д.).

Множество можно задать перечислением всех его элементов, заключенных в фигурные скобки:


A={Маша, Ваня, Петя….}	B={Банан, яблоко, виноград….}

C={миска, подставка под карандаши, разделочная доска….}	D={1,2,3,4,5….}

Из некоторых элементов одного множества можно составить новое. Тогда такое множество Е принято называть подмножеством D:

D={1,2,3,4,5,6,7,8…}

E={2,4,6,8…}

Для наглядности множества можно изображать в виде окружности, так называемых кругов Эйлера, где элементы, входящие в множество, изображают внутри круга, а остальные вне:

Пересечением множеств называется множество их общих элементов.

Например:

Пусть множество A будет состоять из элементов 1,3,6,9,12,15, а множество B из элементов 2,4,6,8,10,12. Тогда в пересечение этих множеств будет входить 2,6,12:

A={1,3,6,9,12,15}

B={2,4,6,8,10,12}

A⋂B={2,6,12}

Множество может не содержать элементы, тогда оно будет называться пустым.

Если множества не имеют общих элементов, то их пересечение — пустое множество:

С⋂D=ø

Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов:

A={1,3,6,9}

B={2,4,6,8}

A⋃B={1,2,3,4,6,8,9}

Разностью множеств А и В называется множество элементов, принадлежащих множеству А, которые не принадлежат множеству В:

A={1,3,6,9}

B={2,4,6,8}

A\B={1,3,9}

Если множество А является подмножеством B, то дополнением называется разность множества А и В:

A={2,4,6}

B={1,2,3,4,5,6}

Мощностью множества называется число его элементов: A={1,2,3,4,5,6}

|A|=5

Таким образом, мощность непересекающихся множеств будет являться суммой мощностей каждого множества:

A={1,3,5,7}

B={2,4,6,8}

|A⋃B|=8

Для вычисления мощности пересекающихся множеств можно использовать принцип включений и исключений:

|A⋃B|= |A|+|B|–| A⋂B|

A={1,2,3,4,5,6}

B={2,4,6,8}

|A⋃B|=6+4–3=7

Для вычисления мощности пересечения трех множеств принцип включений и исключений выглядит так:

|A⋃B⋃С|= |A|+|B|+|C|–|A⋂B|–|A⋂C|-|B⋂C|+|A⋂B⋂C|

Задание №1.

В классе 17 пловцов, 8 борцов и 13 футболистов. Известно, что в классе 25 детей, а ребят занимающихся футболом и плаваньем — 10, борьбой и плаваньем — 3, борьбой и футболом — 2 и только один ребенок занимается всеми тремя видами спорта. Сколько детей в классе не занимаются спортом?

Дано:

|A|=17, |B|=8, |C|=13

|A⋂B|=3, |A⋂C|=10, |B⋂C|=2

|A⋂B⋂C|=1

по формуле включения:

|A⋃B⋃С|= |A|+|B|+|C|–|A⋂B|–|A⋂C|–|B⋂C|+|A⋂B⋂C|=17+8+13–3–10–2+1=24

Таким образом, в классе 24 ребенка занимаются хотя бы одним видом спорта, ответ 1

Задание №2.

Множество общих элементов двух множеств
Совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое
Число элементов множества
Множество элементов, не входящих в подмножество
Множество, состоящее из всех элементов двух (или более) множеств и не содержащее никаких других элементов

Проверьте свои ответы:

Пересечение
Множество
Мощность
Дополнение
Объединение

Задание №3

Закрасьте область цветом:

Зеленым — R\(P\Q)
Красным — (P⋂R)\Q
Желтым — (P∪Q)\R

Ваше решение должно быть таким:

Неделя литовской культуры-2015

Дни литовской культуры проходят в гимназии с 2003 года, и это стало доброй традицией. За это время реализован не один образовательный проект, гимназия принимала видных деятелей культуры, искусства и литературы Литвы.

Гостями церемонии открытия Недели стали заместитель председателя ассоциации учителей литовского языка в Калининградской области Альгирдас Кормилавичус, фольклорный коллектив «Рутяле» (г. Гурьевск) под руководством Ирены Тирюбы, фольклорный коллектив (художественный руководитель Ирма Куркова) из пос. Переславское «Куполите». Ирена Тирюба рассказала о народных литовских инструментах и особенностях национального костюма.

В рамках реализации гимназического проекта «Неделя литовской культуры» состоялась открытая лекция Б.Н. Адамова для учащихся гимназии. Борис Николаевич Адамов — член правления и один из организаторов Калининградского клуба краеведов, автор книги «Кристионас Донелайтис. Время. Люди. Память». В лекции об известных литовцах Кёнигсберга он особое внимание уделил Людвигу Резе – литовскому поэту, критику, переводчику, профессору и ректору Кёнигсбергского университета.

Тренер баскетбольной команды БФУ им.И. Канта Гедиминас Мелунас провел мастер-класс для баскетбольной команды 5«А» класса. Ребятам были показаны новые техники и приемы игры в баскетбол, которые многому их научили. Время пролетело очень быстро, но тренер обещал встретиться еще раз.

Учащиеся 10-х классов, слушатели Школы юного дипломата, совершили визит в Генеральное консульство Республики Литва. Это событие стало частью программы Дней литовской культуры в гимназии № 40. Учащихся встречали Генеральный консул господин Витаутас Умбрасас и атташе по культуре господин Романас Сенапедис, которые очень тепло и радушно отнеслись к гостям. На встрече обсуждались такие вопросы, как путь дипломата в профессию. Другой интересующей всех участников темой был вопрос молодежного международного сотрудничества. Учащиеся поделились своим впечатлениями от проектов с литовскими школами и гимназиями. Другим вопросом обсуждения стала деятельность консульства в сфере обмена культур на территории Калининградской области.

10-я юбилейная Неделя Литовской культуры в гимназии № 40 завершилась 20 февраля 2015 г. Почетными гостями церемонии стали руководитель представительства МИД России в Калининграде Павел Анатольевич Мамонтов, Витаутас УМБРАСАС, министр-советник, исполняющий обязанности генерального консула Литовской Республики, заместитель председателя ассоциации учителей литовского языка в Калининградской области Альгирдас Кормилавичус, руководитель общественной кафедры «Образование и дипломатия» гимназии №40, главный специалист-эксперт Представительства МИД России в Калининграде Юлия Изидоровна Матюшина. Были подведены итоги Недели, награждены участники и победители различных конкурсов. В конкурсе чтецов «По следам литовских поэтов» среди учащихся 5-11 классов победителями стали Булаев Дмитрий, ученик 6«С» класса, Балесная Мария, ученица 7«Б» класса, Даудова Деши, читавшая стихотворения на литовском языке. В фотоконкурсе «Путешествие по Литве» победителем конкурса стала творческая группа 8«О» класса (Волошина Тамара, Громазина Арина, Рубцова Лариса Владимировна). Дипломы победителям вручали руководитель представительства МИД России в Калининграде Павел Анатольевич Мамонтов и Витаутас Умбрасас, министр-советник, исполняющий обязанности генерального консула Литовской Республики. Ярким украшением Церемонии закрытия стало выступление народного коллектива лицея № 35 «Жюгелис (žiogelis)» (руководитель Альгирдас Кормилавичус) и музыкального коллектива гимназии № 40 «Канцона» (руководитель Н.В. Литвинова).

Список альбомов пуст.

Многовариантная самостоятельная работа по математике. Тема: «Операции над числовым множеством»

Все знают, как дети любят подсматривать, списывать друг у друга контрольные и самостоятельные работы. Причём умудряются это делать даже под носом у учителя. Единственный выход – дать каждому обучающемуся отдельное задание, чтобы списывать было не у кого. Но как же сложно проверять 25 разных вариантов! Я использую многовариантные проверочные работы.

Само задание даётся в общем виде, но к нему выдается отдельный набор данных для каждого ученика. В этих наборах данных все числа соответствуют определенным первоначальным условиям, которых дети не знают. Поэтому все ответы также соответствуют этим условиям.

В данной работе представлены задания для проверки знания обучающимися операций над множествами. Обычно в школьном курсе математики вводятся две операции над числовыми промежутками: объединения и пересечения множеств. Я дополнительно рассматриваю еще разность множеств.
После определения данных операций на уроке решаются несколько тренировочных заданий. Затем, в зависимости от математической подготовки класса, даются проверочные задания для решения в классе или дома.

Здесь представлены два типа заданий. В каждом из них нужно найти результат операций объединения, пересечения, разности над множествами.

В первом задании используются множества, заданные как числовой промежуток. Концы промежутков удовлетворяют условию: a₁ < b < c < a₂. Во втором нужно выполнить операции над множествами, заданными с помощью неравенств. Числа должны удовлетворять неравенству c₁ < b₁ < b₂ < a < c₂. Подставляя вместо этих переменных числа, удовлетворяющие данному условию, можно подготовить вариант для каждого ученика класса. Проверка осуществляется очень быстро с помощью простой подстановки заданного набора чисел в шаблон ответов.

Работы раздаются на карточках, в которые вписываются ответы.

В данной статье приведены задания в общем виде, числовые данные для 25 вариантов, карточка, которая дается ученику, критерии оценивания работы.

Задания

Критерии оценивания результатов самостоятельной работы.

Каждое задание оценивается отдельно.

1 задание:

Оценка	Правильно решенных заданий	Количество ошибок
«5»	10	0
«4»	9	1
«3»	7-8	2-3

2 задание:

Оценка	Правильно решенных заданий	Количество ошибок
«5»	19-20	0-1
«4»	16-18	2-4
«3»	11-15	5-9

КР-1 Множества и операции над ними. Алгебра 8 (угл)

Контрольная работа № 1 по алгебре в 8 классе (угл.)

КР-1 Множества и операции над ними

Тема. Множества и операции над ними. Вариант 1 (транскрипт)
1. Задайте с помощью перечисления элементов множество A = {}.
2. Запишите все подмножества множества делителей числа 7.
3. Какие из приведённых утверждений являются верными:
4. Какие из приведённых утверждений являются верными:
5. На фирме работает 29 человек. Из них 15 человек знают немецкий язык, 21 — английский и 8 человек знают оба языка. Сколько работников фирмы не знают ни одного из этих языков?
6. Докажите, что множества А и В равны.
7. Докажите, что множество чисел вида , где n е N, счётно.
8. Множество А содержит 25 элементов. Каких подмножеств этого множества больше: с чётным количеством элементов или с нечётным количеством элементов?

ОТВЕТЫ на Контрольную № 1

ВАРИАНТ 1.

№ 1.    A = {2, –7}.
№ 2. {7}, {1}, {1, 7}, ∅.
№ 3.    1) верно,   2) не верно,   3) не верно,   4) верно
№ 4.    1) верно, 2) не верно, 3) не верно, 4) верно, 5) верно, 6) верно.
№ 5.    Ответ: 1 человек.
№ 6.    А = В, если их объединение и пересечение совпадает. A ∪ B = {x}. A ∩ B = {x}.
№ 7.   При n = 1 ⇒ 1/2; при n = 2 ⇒ 1/4; при n = 3 ⇒ 1/6 и так далее. Все элементы множества различны и образуют числовую последовательность. Значит, счётно.
№ 8.   1 и 25 (начало и конец) — нечетные числа. Значит, нечетных будет больше.

ВАРИАНТ 2.

№ 1.    A = {4, –6}.
№ 2. {5}, {1}, {1, 5}, ∅.
№ 3.    1) не верно,   2) не верно,   3) верно,   4) верно
№ 4.    1) не верно, 2) верно, 3) верно, 4) верно, 5) не верно, 6) не верно.
№ 5.    Ответ: 5 человек.
№ 6.    C = D, если их объединение и пересечение совпадает. C ∪ D = {x}. C ∩ D = {x}.
№ 7.   При k = 1 ⇒ 1/3; при k = 2 ⇒ 1/6; при k = 3 ⇒ 1/9 и так далее. Все элементы множества различны и образуют числовую последовательность. Значит, счётно.
№ 8.   1 и 27 (начало и конец) — нечетные числа. Значит, нечетных будет больше.

Вернуться к Списку контрольных работ для УМК Мерзляк, Поляков (угл.)

операций над наборами

Напомним, что набор представляет собой набор элементов.

Данные наборы А а также B , мы можем определить следующие операции:

Операция	Обозначение	Имея в виду
Пересечение	А ∩ B	все элементы, которые есть в обоих А а также B
Союз	А ∪ B	все элементы, которые находятся в А или же B (или оба)
Разница	А — B	все элементы, которые находятся в А но не в B
Дополнение	А ¯ (или же А C )	все элементы, которых нет в А

Пример 1:

Позволять А знак равно { 1 , 2 , 3 , 4 } и разреши B знак равно { 3 , 4 , 5 , 6 } .

Потом:

А ∩ B знак равно { 3 , 4 }

А ∪ B знак равно { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

А — B знак равно { 1 , 2 }

А C знак равно { все действительные числа, кроме 1 , 2 , 3 а также 4 }

Пример 2:

Позволять А знак равно { у , z } и разреши B знак равно { Икс , у , z } .

Потом:

А ∩ B знак равно { у , z } А ∪ B знак равно { Икс , у , z } А — B знак равно ∅ А C знак равно { все кроме у а также z }

теория множеств | Символы, примеры и формулы

Теория множеств , раздел математики, который имеет дело со свойствами четко определенных наборов объектов, которые могут иметь или не иметь математическую природу, например числа или функции.Теория менее ценна в прямом применении к обычному опыту, чем как основа для точной и адаптируемой терминологии для определения сложных и изощренных математических понятий.

Между 1874 и 1897 годами немецкий математик и логик Георг Кантор создал теорию абстрактных множеств сущностей и превратил ее в математическую дисциплину. Эта теория выросла из его исследований некоторых конкретных проблем, касающихся определенных типов бесконечных множеств действительных чисел.Набор, как писал Кантор, представляет собой совокупность определенных, различимых объектов восприятия или мысли, задуманных как единое целое. Объекты называются элементами или членами набора.

Теория имела революционный аспект рассмотрения бесконечных множеств как математических объектов, которые находятся на равных с теми, которые могут быть построены за конечное число шагов. С древних времен большинство математиков тщательно избегали введения в свои аргументы фактической бесконечности (т.е., наборов, содержащих бесконечное количество объектов, рассматриваемых как существующие одновременно, по крайней мере, мысленно). Поскольку такое отношение сохранялось почти до конца XIX века, работа Кантора подвергалась серьезной критике, поскольку речь шла о художественной литературе — более того, что она вторгалась в сферу философии и нарушала принципы религии. Однако как только начали находить приложения к анализу, отношение начало меняться, и к 1890-м годам идеи и результаты Кантора получили признание.К 1900 году теория множеств была признана отдельной отраслью математики.

Однако именно тогда было обнаружено несколько противоречий в так называемой наивной теории множеств. Для устранения таких проблем была разработана аксиоматическая основа теории множеств, аналогичная той, которая была разработана для элементарной геометрии. Степень успеха, достигнутого в этом развитии, а также нынешний уровень теории множеств были хорошо выражены в Николя Бурбаки Éléments de mathématique (начат в 1939 г .; «Элементы математики»): «В настоящее время это известно, что логически можно вывести практически всю известную математику из единого источника — теории множеств.”

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

Введение в теорию наивных множеств

Основные концепции множеств

В теории наивных множеств набор — это совокупность объектов (называемых членами или элементами), которые рассматриваются как один объект. Чтобы указать, что объект x является членом набора A , пишут x ∊ A , а x ∉ A указывает, что x не является членом A .Набор может быть определен правилом (формулой) членства или перечислением его членов в фигурных скобках. Например, набор, заданный правилом «простые числа меньше 10», также может быть задан как {2, 3, 5, 7}. В принципе, любое конечное множество может быть определено явным списком его членов, но для определения бесконечных множеств требуется правило или шаблон, указывающий на членство; например, многоточие в {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…} указывает, что список натуральных чисел ℕ продолжается бесконечно. Пустой (или void, или null) набор, обозначенный {} или Ø, не содержит вообще никаких элементов.Тем не менее, он имеет статус набора.

Набор A называется подмножеством набора B (обозначен символами A ⊆ B ), если все элементы A также являются членами B . Например, любой набор является подмножеством самого себя, а Ø — подмножеством любого набора. Если и A ⊆ B и B ⊆ A , то A и B имеют точно такие же элементы. Часть концепции набора состоит в том, что в этом случае A = B ; то есть A и B — это один и тот же набор.

Математика | Операции над множеством (теория множеств)

Union

Объединение множеств A и B, обозначенное A ∪ B, представляет собой набор отдельных элементов, которые принадлежат множеству A или множеству B, или обоим.

Диаграмма Венна для A B

Выше представлена диаграмма Венна для AU B.

   Пример  : Найдите объединение A = {2, 3, 4} и B = {3, 4, 5 };
Решение: A ∪ B = {2, 3, 4, 5}.

Пересечение

Пересечение множеств A и B, обозначенное A ∩ B, является набором элементов, которые принадлежат как A, так и B i.е. набор общих элементов в A и B.

Диаграмма Венна для A ∩ B

Выше представлена диаграмма Венна для A ∩ B.

   Пример  : Найдите пересечение A = {2, 3, 4} и B = {3, 4, 5}
Решение: A ∩ B = {3, 4}.

Непересекающиеся

Два набора называются непересекающимися, если их пересечение является пустым набором. т.е. у наборов нет общих элементов.

Выше представлена диаграмма Венна непересекающейся B.

   Пример  : Пусть A = {1, 3, 5, 7, 9} и B = {2, 4, 6, 8}
A и B - непересекающиеся множества, поскольку оба они не имеют общих элементов.

Разница между наборами

Разница между наборами обозначается как «A — B», которая представляет собой набор, содержащий элементы, которые находятся в A, но не в B. т. Е. Все элементы A, кроме элемента B.

Выше представлена диаграмма Венна для AB.

   Пример  : Если A = {1, 2, 3, 4, 5} и B = {2, 4, 6, 8}, найдите A-B
Решение: A-B = {1, 3, 5}

Дополнение

Дополнение набора A, обозначенное A ^C, является набором всех элементов, кроме элементов в A.Дополнением к множеству A является U — A.

Выше представлена диаграмма Венна для A ^c

   Пример  : Пусть U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9, 10} и A = {2, 4, 6, 8}.
Найдите A ^C
Решение: A ^C = UA = {1, 3, 5, 7, 9, 10}

Сложение и вычитание

Сложение наборов A и B, называемое сложением Минковского , является набором в элементы которого представляют собой сумму каждой возможной пары элементов из 2 наборов (то есть один элемент из набора A, а другой из набора B).
Вычитание множества следует тому же правилу, но с операцией вычитания для элементов. Следует отметить, что эти операции выполняются только с числовыми типами данных. Даже если бы действовал иначе, это было бы только символическое представление без какого-либо значения. Кроме того, легко увидеть, что сложение множеств коммутативно, а вычитание — нет.

Для сложения и последующего вычитания обратитесь к этому ответу.

[Tex] AB = A \ cap \ bar {B} [/ Tex]

Ассоциативные свойства: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C и A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Коммутативные свойства: A ∪ B = B ∪ A и A ∩ B = B ∩ A
Свойство идентичности для Union: A ∪ φ = A
Пересечение Свойство пустого множества: A ∩ φ = φ
Распределительные свойства: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) аналогично для пересечения.

Учебное пособие по теории множеств | Задачи, формулы, примеры

В теории множеств есть свои обозначения и символы, которые многим могут показаться необычными. В этом руководстве мы рассмотрим несколько решенных примеров, чтобы понять, как работает теория множеств и какие задачи можно использовать для решения.

Определение

Набор — это набор объектов.

Обычно изображается в цветочных скобках.

Например, :
Набор натуральных чисел = {1,2,3,…..}
Набор целых чисел = {0,1,2,3,… ..}

Каждый объект называется элементом множества.

Набор, который содержит все элементы данной коллекции, называется универсальным набором и представлен символом «µ», произносимым как «mu».

Для двух комплектов A и B,

n (AᴜB) — количество элементов, присутствующих в любом из наборов A или B.
n (A∩B) — количество элементов, присутствующих в обоих наборах A и B.
n (AᴜB) = n (A) + (n (B) — n (A∩B)

Для трех комплектов A, B и C,

n (AᴜBᴜC) = n (A) + n (B) + n (C) — n (A∩B) — n (B∩C) — n (C∩A) + n (A∩B∩C )

Рассмотрим следующий пример:

Вопрос: В классе из 100 учеников 35 увлекаются естественными науками, а 45 — математикой.10 нравятся оба. Сколько нравится любой из них, а скольким не нравится ни один из них?

Решение :

Общее количество студентов, n (µ) = 100

Количество студентов, изучающих естественные науки, n (S) = 35

Количество студентов-математиков, n (M) = 45

Количество студентов, которым нравятся оба, n (M∩S) = 10

Количество студентов, которым нравится тот или иной из них,

n (MᴜS) = n (M) + n (S) — n (M∩S)

→ 45 + 35-10 = 70

Количество студентов, которым ничего не нравится = n (µ) — n (MᴜS) = 100 — 70 = 30

Самый простой способ решить проблемы с наборами — это нарисовать диаграммы Венна, как показано ниже.

Как говорится, одна картинка стоит тысячи слов. Одна диаграмма Венна может помочь решить проблему быстрее и сэкономить время. Это особенно верно, когда в проблеме задействовано более двух категорий.

Давайте посмотрим еще несколько решенных примеров.

Задача 1: В классе 30 учеников. Среди них 8 студентов изучают английский и французский языки. Английский язык изучают 18 студентов. Если каждый студент изучает хотя бы один язык, сколько всего студентов изучают французский язык?

Решение :

Диаграмма Венна для этой проблемы выглядит так.

Каждый студент изучает хотя бы один язык. Следовательно, нет никого, кто попадает в категорию «ни то, ни другое».

Итак, в этом случае n (EᴜF) = n (µ).

В задаче упоминается, что всего 18 изучают английский язык. Это НЕ означает, что 18 изучают ТОЛЬКО английский язык. Только когда в задаче упоминается слово «только», мы должны считать это так.

Сейчас 18 изучают английский язык, а 8 — оба. Это означает, что 18-8 = 10 изучают ТОЛЬКО английский.

n (µ) = 30, n (E) = 10

n (EᴜF) = n (E) + n (F) — n (E∩F)

30 = 18+ n (Ж) — 8

п (Ж) = 20

Таким образом, общее количество студентов, изучающих французский язык = 20.

Примечание : Вопрос касался только общего числа студентов, изучающих французский язык, а не тех, кто изучает ТОЛЬКО французский язык, что было бы другим ответом, 12.

Наконец, диаграмма Венна выглядит так.

Задача 2: Среди студентов 50 играли в крикет, 50 играли в хоккей и 40 играли в волейбол.15 играли в крикет и хоккей, 20 играли в хоккей и волейбол, 15 играли в крикет и волейбол и 10 играли во все три. Если каждый учащийся сыграл хотя бы одну игру, найдите количество учеников и сколько из них играли только в крикет, только в хоккей и только в волейбол?

Решение :

n (C) = 50, n (H) = 50, n (V) = 40

п (C∩H) = 15

п (H∩V) = 20

п (C∩V) = 15

п (C∩H∩V) = 10

Количество учащихся, сыгравших хотя бы одну игру

n (CᴜHᴜV) = n (C) + n (H) + n (V) — n (C∩H) — n (H∩V) — n (C∩V) + n (C∩H∩V)

= 50 + 50 + 40-15-20-15 + 10

Общее количество студентов = 100.

Позвольте обозначить количество людей, которые играли только в крикет и волейбол.
Пусть b обозначает количество людей, которые играли только в крикет и хоккей.
Пусть c обозначает количество людей, которые играли только в хоккей и волейбол.
Пусть d обозначает количество людей, сыгравших во все три игры.

Соответственно d = n (CnHnV) = 10

Теперь, n (CnV) = a + d = 15

п (CnH) = b + d = 15

п (HnV) = c + d = 20

Следовательно, a = 15–10 = 5 [только крикет и волейбол]

b = 15–10 = 5 [только крикет и хоккей]

c = 20–10 = 10 [только хоккей и волейбол]

№студентов, которые играли только в крикет = n (C) — [a + b + d] = 50 — (5 + 5 + 10) = 30

Количество учеников, которые играли только в хоккей = n (H) — [b + c + d] = 50 — (5 + 10 + 10) = 25

Количество учеников, которые играли только в волейбол = n (V) — [a + c + d] = 40 — (10 + 5 + 10) = 15

В качестве альтернативы мы можем решить эту проблему быстрее с помощью диаграммы Венна.

Диаграмма Венна для данной информации выглядит так.

Вычитание значений на пересечениях из отдельных значений дает нам количество учеников, сыгравших только одну игру.

Тест по теории множеств: решите эти задачи на практике

Проблема 1

В группе было 115 человек, удостоверения личности которых проверялись. У некоторых был паспорт, у некоторых были удостоверения личности избирателя, а у некоторых и то, и другое. Если у 65 был паспорт, а у 30 были оба, у скольких из них были только удостоверения личности избирателя, а не паспорт?

A. 30
B. 50
C. 80
D. Ничего из вышеперечисленного

Ответ 1

Б.

Пояснение

Построим диаграмму Венна для данной информации.

n (PᴜV) = n (P) + n (V) — n (P∩V)

115 = 65 + n (В) — 30

п (В) = 80

Люди с только идентификатором избирателя = 80-30 = 50

Задача 2

Среди группы людей 40% любили красный, 30% — синий и 30% — зеленый. 7% понравились и красный, и зеленый, 5% понравились и красный, и синий, 10% понравились и зеленый, и синий. Если 86% из них понравился хотя бы один цвет, какой процент людей понравились все три?

А.10
B. 6
C. 8
D. Нет

Ответ 2

Пояснение :

n (RᴜBᴜG) = n (R) + n (B) + n (G) — n (R∩B) — n (B∩G) — n (R∩G) + n (R∩G∩B)

86 = 40 + 30 + 30-5-10-7 + n (R∩G∩B)

Решение дает 8.

наборов заданий для средней школы по математике

Активные игры

Эти игры потребуют большого пространства для игры.

Catch Me

Материалы

Каталожные карточки с одним набором условных обозначений на каждой
Каждому учащемуся понадобится по одной карточке, поэтому могут потребоваться копии, однако постарайтесь, чтобы номера каждого символа оставались равными.

Подготовка к уроку

Напишите на доске шесть вышеперечисленных наборов.

Инструкции

Раздайте по одной карточке каждому студенту.
Встаньте у доски и попросите студентов выстроиться в линию у противоположной стены комнаты.
Вызовите инструкции для учащихся, чтобы они двигались к вам на основе идентификатора их карты. Например:
«Сделайте шаг вперед, если ваша карта предназначена для создания нового набора из всех чисел в двух других наборах».
» Дважды прыгните вперед, если ваша карта даст набор {4}. »
Для подсказок, которые могут иметь более одного ответа (например, подмножество или пересечение), попросите учащихся объяснить, почему они продвинулись вперед.
Первый ученик, который подошел к вам, занимает ваше место, в то время как другие ученики возвращаются на место старта.
Играйте, пока позволяет время, меняйте лидеров каждый раз, когда ученик достигает лидера.

Group Me

Материалы

Подготовка

Напишите на доске указанные выше шесть наборов.

Инструкции

Раздайте каждому студенту по одной карточке.
Попросите учащихся написать набор чисел на основе операции записи набора (например, подмножество, пересечение или объединение), полученной из любой комбинации исходных шести наборов.
После того, как все закончили создание нового набора, попросите их смешаться по комнате и сгруппироваться с помощью операции, использованной для создания их наборов.
Например, все учащиеся, использовавшие объединения, должны объединяться, а все учащиеся, написавшие подмножества, должны объединяться.
Задание — Не позволяйте учащимся разговаривать в это время! Они должны расположиться по группам просто на основе сходства между результирующими наборами.

Сгруппированные задания

Эти задания потребуют, чтобы ваши ученики были сгруппированы до начала задания.

Что за набор?

Материалы

Наборы карточек с номерами 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6 (по одному на группу)

Подготовка к уроку

Напишите на доске указанные выше шесть наборов.

Инструкции

Разделите студентов на группы по 5-7 человек.
Дайте по одному набору чисел каждой группе.
Ссылаясь на наборы на доске, назовите такую задачу, как «Объединение А и Е».
Первая группа, поднявшая карточки с правильными числами, отражающими ответ на ваш вопрос, получает балл.
Продолжайте столько, сколько хотите. Побеждает команда, набравшая наибольшее количество очков в конце игры.
Задание — Вместо того, чтобы обозначать проблему словами, напишите проблему на доске в обозначениях, например «A U B». Это потребует от студентов практики распознавания символов, используемых в обозначениях множеств.

Make It

Материалы

Игральные кости (необязательно) — один набор на группу

Инструкции

Разделите класс на группы по три или четыре человека.
Попросите группы создать настольную игру (или игру на бумаге), предназначенную для закрепления концепций математического набора. При желании разрешите использовать игральные кости.
Напомните группам, что они должны написать свод правил из своей игры.
Дайте время группам поменяться местами и сыграть в игры друг друга.

Teach It

Материалы или подготовка не требуются, однако это может работать лучше всего в качестве долгосрочного проекта, когда в классе выделяется время для мозгового штурма, при котором основная часть работы должна быть выполнена вне класса.

Инструкции

Разделите учащихся на пары.
Назначьте каждой паре единое понятие набора (например, объединение, подмножество, надмножество и т. Д.). (Необязательно: разрешите учащимся выбирать свои собственные концепции.)
Попросите каждую группу составить план урока на 5–15 минут, чтобы изложить концепцию, которую они получили в классе.Уроки должны включать:
Определение понятия / термина
Символ, используемый для термина в обозначении набора
отработанных примеров
Примеры самостоятельной работы одноклассников
Обзор ответов на самостоятельные задачи и время на вопросы
Дайте студентам время для презентации своих уроков.

Самостоятельная работа

Эти задания можно выполнять независимо, однако рекомендуется, чтобы учащимся было предоставлено время для обмена работ и выполнения заданий друг друга.

Викторина на соответствие

Инструкции

Попросите учащихся создать викторину из 10 вопросов. Им потребуется:
Напишите не менее трех наборов в начале их викторины.
В один столбец запишите наборы, созданные из исходных наборов, с помощью операции над наборами.
В другом столбце запишите обозначение набора, которое соответствует наборам, созданным на первой стороне (например, A U B).
Они не должны указывать обозначение набора непосредственно напротив результирующего набора.

Кроссворд или поиск слов

Инструкции:

Учащиеся должны составить кроссворд, используя термины, относящиеся к заданной системе обозначений. Они также могут использовать примеры задач в качестве ответов в своих головоломках.
Для учащихся, не обладающих навыками, необходимыми для разгадывания кроссворда, предложите им построить поиск по словам, включающий термины, связанные с набором обозначений.

Теория множеств | Введение в математику колледжа

Для нас естественно разделить элементы на группы или наборы и рассмотреть, как эти наборы пересекаются друг с другом.Мы можем использовать эти наборы для понимания взаимоотношений между группами и для анализа данных опросов.

Основы

Коллекционер произведений искусства может владеть коллекцией картин, а меломан — коллекцией компакт-дисков. Любая коллекция предметов может составить набор .

Набор

Набор представляет собой набор отдельных объектов, называемых элементами набора

Набор можно определить, описав его содержимое или перечислив элементы набора, заключенные в фигурные скобки.

Пример 1

Некоторые примеры наборов, определенных описанием содержимого:

Множество всех четных чисел
Набор всех книг о путешествии в Чили

Ответы

Некоторые примеры наборов, определенных путем перечисления элементов набора:

{1, 3, 9, 12}
{красный, оранжевый, желтый, зеленый, синий, индиго, фиолетовый}

Набор просто определяет содержимое; порядок не важен.Набор, представленный {1, 2, 3}, эквивалентен набору {3, 1, 2}.

Обозначение

Обычно мы будем использовать переменную для представления набора, чтобы облегчить обращение к этому набору позже.

Символ ∈ означает «является элементом».

Набор, не содержащий элементов, {}, называется пустым набором и обозначается ∅

Пример 2

Пусть A = {1, 2, 3, 4}

Чтобы отметить, что 2 является элементом множества, мы должны написать 2 ∈ A

Иногда коллекция может содержать не все элементы набора.Например, Крису принадлежат три альбома Мадонны. Хотя коллекция Криса — это набор, мы также можем сказать, что это подмножество большего набора всех альбомов Мадонны.

Подмножество

Подмножество набора A — это другой набор, который содержит только элементы из набора A , но может не содержать все элементы A .

Если B является подмножеством A , мы пишем B ⊆ A

Правильное подмножество — это подмножество, которое не идентично исходному набору — оно содержит меньше элементов.

Если B является правильным подмножеством A , мы пишем B ⊂ A

Пример 3

Рассмотрим эти три набора:

A = набор всех четных чисел
B = {2, 4, 6}
C = {2, 3, 4, 6}

Здесь B ⊂ A , поскольку каждый элемент B также является четным числом, так же как и элемент A .

Более формально мы могли бы сказать B ⊂ A , поскольку если x ∈ B , то x ∈ A .

Верно также, что B ⊂ C .

C не является подмножеством A , поскольку C содержит элемент 3, который не содержится в A

Пример 4

Предположим, что набор содержит пьесы «Много шума из ничего», «Макбет» и «Сон в летнюю ночь». Какой большой набор это может быть подмножество?

Здесь есть много возможных ответов. Один из них — пьесы Шекспира. Это также подмножество всех когда-либо написанных пьес.Это также часть всей британской литературы.

Попробовать

Набор A = {1, 3, 5}. Какой большой набор это может быть подмножество?

Союз, пересечение и дополнение

Обычно наборы взаимодействуют. Например, вы и ваш новый сосед по комнате решили устроить домашнюю вечеринку, и вы оба приглашаете свой круг друзей. На этой вечеринке объединяются два набора, хотя может оказаться, что есть друзья, которые были в обоих наборах.

Союз, пересечение и дополнение

Объединение двух наборов содержит все элементы, содержащиеся в любом наборе (или в обоих наборах).Объединение имеет обозначение A ⋃ B. Формально x ∊ A ⋃ B , если x ∈ A или x ∈ B (или оба)

Пересечение двух наборов содержит только элементы, которые есть в обоих наборах. Пересечение обозначено как A ⋂ B. Формально x ∈ A ⋂ B , если x ∈ A и x ∈ B.

Дополнение набора A содержит все, что есть , а не в наборе A . Дополнение обозначается как A ’, или A, ^c, или иногда ~ A .

Пример 5

Рассмотрим комплектов:

A = {красный, зеленый, синий}
B = {красный, желтый, оранжевый}
C = {красный, оранжевый, желтый, зеленый, синий, фиолетовый}

Найдите следующее:

Найти A ⋃ B
Найти A ⋂ B
Найти A ^c ⋂ C

Ответы

Объединение содержит все элементы в любом наборе: A ⋃ B = {красный, зеленый, синий, желтый, оранжевый} Обратите внимание, что мы перечисляем красный только один раз.
Пересечение содержит все элементы в обоих наборах: A ⋂ B = {красный}
Здесь мы ищем все элементы, которые являются , а не в наборе A , а также находятся в C . A ^c ⋂ C = {оранжевый, желтый, фиолетовый}

Попробовать

Используя наборы из предыдущего примера, найдите A ⋃ C и B ^c ⋂ A

Обратите внимание, что в приведенном выше примере было бы сложно просто попросить A ^c , поскольку все, от цвета фуксии до щенков и арахисового масла, входит в комплект.По этой причине дополнения обычно используются только на перекрестках или когда у нас есть универсальный набор.

Универсальный набор

Универсальный набор — это набор, который содержит все интересующие нас элементы. Это должно определяться контекстом.

Дополнение относительно универсального набора, поэтому A ^c содержит все элементы универсального набора, которых нет в A .

Пример 6

Если бы мы обсуждали поиск книг, универсальный набор мог бы включать все книги в библиотеке.
Если бы мы группировали ваших друзей на Facebook, универсальный набор состоял бы из всех ваших друзей на Facebook.
Если вы работали с наборами чисел, универсальный набор мог бы состоять из целых чисел, всех целых чисел или всех действительных чисел

Пример 7

Предположим, что универсальным набором является U = все целые числа от 1 до 9. Если A = {1, 2, 4}, то A ^c = {3, 5, 6, 7, 8, 9}.

Как мы видели ранее с выражением A ^c ⋂ C , операции над множествами могут быть сгруппированы вместе.Символы группировки можно использовать так же, как и с арифметикой — для принудительного выполнения порядка операций.

Пример 8

Предположим, что H = {кошка, собака, кролик, мышь}, F = {собака, корова, утка, свинья, кролик} и W = {утка, кролик, олень, лягушка, мышь}

Найти ( H ⋂ F ) ⋃ W
Найти H ⋂ ( F ⋃ W )
Найти ( H ⋂ F ) ^c ⋂ W

Решения

Начнем с перекрестка: H ⋂ F = {собака, кролик}.Теперь мы объединяем этот результат с W : ( H ⋂ F ) ⋃ W = {собака, утка, кролик, олень, лягушка, мышь}
Начнем с объединения: F ⋃ W = {собака, корова, кролик, утка, свинья, олень, лягушка, мышь}. Теперь мы пересекаем этот результат с H : H ⋂ ( F ⋃ W ) = {собака, кролик, мышь}
Начинаем с пересечения: H ⋂ F = {собака, кролик}. Теперь мы хотим найти элементы W , которые равны , а не в H ⋂ F. ( H ⋂ F) ^c ⋂ W = {утка, олень, лягушка, мышь}

Диаграммы Венна

Чтобы визуализировать взаимодействие множеств, Джон Венн в 1880 году подумал об использовании перекрывающихся кругов, опираясь на аналогичную идею, которую использовал Леонард Эйлер в восемнадцатом веке. Эти иллюстрации теперь называются Диаграммы Венна .

Диаграмма Венна

Диаграмма Венна представляет каждый набор в виде круга, обычно рисуемого внутри контейнера, представляющего универсальный набор.Перекрывающиеся области указывают на элементы, общие для обоих наборов.

Базовые диаграммы Венна могут иллюстрировать взаимодействие двух или трех наборов.

Пример 9

Создайте диаграммы Венна для иллюстрации A ⋃ B , A ⋂ B и A ^c ⋂ B

A ⋃ B содержит все элементы из набора или .

A ⋂ B содержит только те элементы в обоих наборах — в перекрытии кругов.

A ^c будет содержать все элементы , а не в наборе A . A ^c ⋂ B будет содержать элементы в наборе B , которых нет в наборе A .

Пример 10

Используйте диаграмму Венна, чтобы проиллюстрировать ( H ⋂ F ) ^c ⋂ W

Начнем с идентификации всего в наборе H ⋂ F

Теперь ( H ⋂ F ) ^c ⋂ W будет содержать все , а не в указанном выше наборе, который также находится в наборе W .

Пример 11

Создайте выражение, представляющее выделенную часть показанной диаграммы Венна.

Элементы в выделенном наборе — это в наборах H и F , но их нет в наборе W . Таким образом, мы могли бы представить этот набор как H ⋂ F ⋂ W ^c

Попробовать

Создайте выражение для обозначения выделенной части диаграммы Венна, показанной

Мощность

Часто нас интересует количество элементов в наборе или подмножестве.Это называется мощностью множества.

Мощность

Количество элементов в наборе — это мощность этого набора.

Мощность множества A часто обозначается как | A | или n ( A )

Пример 12

Пусть A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и B = {2, 4, 6, 8}.

Какая мощность у B ? A ⋃ B , A ⋂ B ?

ответов

Мощность элемента B равна 4, поскольку в наборе 4 элемента.

Мощность элемента A ⋃ B равна 7, поскольку A ⋃ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}, который содержит 7 элементов.

Мощность элемента A ⋂ B равна 3, поскольку A ⋂ B = {2, 4, 6}, который содержит 3 элемента.

Пример 13

Какова мощность P = набор английских названий месяцев года?

ответов

Количество элементов этого набора равно 12, поскольку в году 12 месяцев.

Иногда нас может интересовать мощность объединения или пересечения множеств, но мы не знаем фактических элементов каждого набора. Это обычное дело в геодезии.

Пример 14

В опросе 200 человек спрашивают «Какой напиток вы пьете утром» и предлагают варианты выбора:

Только чай
Только кофе
И кофе, и чай

Предположим, 20 сообщают только чай, 80 сообщают только кофе, 40 сообщают и то, и другое. Сколько людей пьют чай по утрам? Сколько людей не пьют ни чая, ни кофе?

ответов

На этот вопрос проще всего ответить, создав диаграмму Венна.Мы видим, что людей, пьющих чай, можно найти, добавив тех, кто пьет только чай, к тем, кто пьет и то, и другое: 60 человек.

Мы также можем видеть, что те, кто не пьет, не входят ни в одну из трех других групп, поэтому мы можем подсчитать их, вычтя из мощности универсального набора, 200.

200-20-80-40 = 60 человек, которые не пьют.

Пример 15

В ходе опроса задается вопрос: «Какими онлайн-сервисами вы пользовались за последний месяц?»

Твиттер
Facebook
Использовали оба

Результаты показывают, что 40% опрошенных использовали Twitter, 70% использовали Facebook и 20% использовали оба.Сколько людей не использовали ни Twitter, ни Facebook?

ответов

Пусть T будет набором всех людей, которые использовали Twitter, а F будет набором всех людей, которые использовали Facebook. Обратите внимание, что, хотя мощность F составляет 70%, а мощность T составляет 40%, мощность F ⋃ T не просто 70% + 40%, так как это учитывает тех, кто использует оба услуги дважды. Чтобы найти мощность F ⋃ T , мы можем сложить мощность F и мощность T , а затем вычесть те, которые находятся в пересечении, которые мы посчитали дважды.В символах,

n ( F ⋃ T ) = n ( F ) + n ( T ) — n ( F ⋂ T )
n ( F ⋃ T ) = 70% + 40% — 20% = 90%

Теперь, чтобы узнать, сколько людей не использовали ни одну из служб, мы ищем мощность ( F ⋃ T ) c . Поскольку универсальный набор содержит 100% людей и мощность F ⋃ T = 90%, мощность ( F ⋃ T ) c должна быть остальными 10%.

Предыдущий пример проиллюстрировал два важных свойства

Свойства мощности

n ( A ⋃ B ) = n ( A ) + n ( B ) — n ( A ⋂ B )

n ( Ac ) = n ( U ) — n ( A )

Обратите внимание, что первое свойство также можно записать в эквивалентной форме, решив мощность пересечения:

n ( A ⋂ B ) = n ( A ) + n ( B ) — n ( A ⋃ B )

Пример 16

Было опрошено пятьдесят студентов, и их спросили, будут ли они проходить курс социальных наук (SS), гуманитарных наук (HM) или естественных наук (NS) в следующем квартале.

21 проходили курс SS	26 проходили курс HM
19 проходили курс NS	принимали 9 SS и HM
7 принимали ПС и НС	10 принимали HM и NS
3 брали все три	7 не принимали

Сколько студентов проходят только курс SS?

ответов

Может быть полезно взглянуть на диаграмму Венна.Из приведенных данных известно, что в районе е учатся 3 студента, а в районе х — 7 студентов.

Поскольку 7 студентов проходили курсы SS и NS, мы знаем, что n ( d ) + n ( e ) = 7. Поскольку мы знаем, что в регионе 3 3 студента, должно быть 7 — 3 = 4 студентов в районе д .

Аналогичным образом, поскольку есть 10 студентов, изучающих HM и NS, в том числе регионы e и f , в регионе f должно быть 10 — 3 = 7 студентов.

Поскольку 9 студентов изучали SS и HM, должно быть 9 — 3 = 6 студентов в регионе b .

Теперь мы знаем, что 21 студент проходил курс SS. Сюда входят студенты из регионов a, b, d, и e . Поскольку мы знаем количество студентов во всех регионах, кроме регионов –, мы можем определить, что 21–6–4–3 = 8 студентов находятся в регионах –.

8 студентов проходят только курс SS.

Попробовать

Было опрошено сто пятьдесят человек, и их спросили, верят ли они в НЛО, призраков и снежного человека.

43 верили в НЛО	44 верили в призраков
25 верили в снежного человека	10 верили в НЛО и привидения
8 верили в призраков и снежного человека	5 верили в НЛО и снежного человека
2 верили во все три

Сколько опрошенных верили хотя бы в одно из этих утверждений?

Часть первая: Соединение математики с работой и жизнью | Математика в средней школе в действии: эссе и примеры для обучения всех учащихся

большая часть необходимых нам данных по Японии просто недоступна, потому что рынок Японии менее развит, чем в США.S. Данные водительских прав, данные о доходах и образе жизни — все это здесь обычное дело и недоступно там. До сих пор американские розничные торговцы мало занимались ни одной из стран, поэтому у нас нет опыта, на который мы могли бы опираться. Мы все слышали, как сложно будет открыть торговые операции в Японии, но последние тенденции продаж среди продавцов компьютеров и автозапчастей намекают на облегчение трудностей.

«Планируется открывать три магазина в год по 5 000 квадратных футов каждый. Мы ожидаем, что производительность будет составлять 700 долларов за квадратный фут, что более чем вдвое превышает опыт американских розничных торговцев в США.С. но на 45% меньше, чем в наших магазинах. Кроме того, цены будут на 20% выше, чтобы компенсировать стоимость земли и зданий. Стоимость активов примерно вдвое выше, чем в США, но стоимость рабочей силы немного меньше. Пособия более тщательно покрываются государством. Конечно, есть большая неопределенность в планируемых объемах продаж. Цены будут покрывать некоторую неопределенность, но они все еще ниже, чем товары сопоставимого качества, уже предлагаемые в Японии.

«Позвольте мне перейти к конкурсу и рассказать вам, что мы узнали.Мы установили долгосрочные отношения с 500-1000 семьями в каждой стране. Это сопоставимо с нашей практикой в США. Эти семьи не знают, что они работают конкретно с нашей компанией, так как это исказило бы их отчетность. Они держат нас в курсе своего каталога и опыта покупок, независимо от компании, у которой они покупают. Размер выборки достаточно велик, чтобы быть значимым, но, конечно, вы должны быть осторожны с небольшими различиями.

«Все семьи получают наш каталог и каталоги от нескольких наших конкурентов.Они соответствуют стилю жизни, доходам и демографическим характеристикам людей, которых мы хотим видеть в качестве клиентов. Они опытные покупатели по каталогам, и это исказит их отзывы по сравнению с покупателями по каталогам.

«Один из конкурентов рассылает один каталог на 100 страниц в квартал. Ассортимент продукции довольно узок — 200 товаров из 3000 товаров внутри страны. Они выбрали товары, которые вряд ли вызовут проблемы с посадкой: в основном верхняя одежда и трикотажные рубашки, не много штанов, в основном мужские, а не женские.Копия их каталога написана на кандзи, но стиль немного неестественный, как нам говорят, вероятно, потому, что он был написан на английском и переведен, но нам нужно проверить эту гипотезу. Напротив, мы просто отправили им по почте тот же каталог, который мы используем в США, даже на английском языке.

«Отзывы клиентов были довольно четкими. Они предпочитают наш более широкий ассортимент в соотношении 3: 1, хотя и не покупают большую часть товаров. Как подсчитали конкуренты, продажи сосредоточены на верхней одежде и трикотажных изделиях, а мы получить больше продаж, по-видимому, потому, что им нравится смотреть каталог и проводить с ним больше времени.Опять же, нам нужны дальнейшие испытания. Другая гипотеза состоит в том, что наша торговая марка просто более известна.