Разное

Конгруэнтность математика: Что такое конгруэнтность, чем она отличается от равенства, и где ошибка в Конституции США? / Хабр

ОпубликованоАвторalexxlab

Содержание

Конгруэнтность (геометрия)

Пример конгруэнтности. Два треугольника слева равны, а третий — похожий им. Последний треугольник не совпадает и не похож ни на один из остальных. Конгруэнтность позволяет изменять некоторые свойства, такие как местоположение и ориентацию, но оставляет другие неизменными, например расстояния и углы. Неизмененные свойства называются инварианты.

В геометрия, две фигуры или предметы конгруэнтный если у них то же самое форма и размер, или если он имеет ту же форму и размер, что и зеркальное изображение другого.[1]

Более формально, два набора точки называются конгруэнтный тогда и только тогда, когда одно может быть преобразовано в другое изометрия, т.е. комбинация жесткие движения, а именно перевод, а вращение, а отражение. Это означает, что любой объект можно перемещать и отражать (но не изменять размер) так, чтобы он точно совпадал с другим объектом. Таким образом, две отдельные плоские фигуры на листе бумаги являются конгруэнтными, если мы можем вырезать их, а затем полностью сопоставить. Переворачивание бумаги разрешено.

Эта диаграмма иллюстрирует геометрический принцип конгруэнтности треугольника угол-угол-сторона: для данного треугольника ABC и треугольника A’B’C ‘треугольник ABC конгруэнтен треугольнику A’B’C’ тогда и только тогда, когда: угол CAB конгруэнтен углу C’A’B ‘, а угол ABC конгруэнтен углу A’B’C’, а BC конгруэнтен B’C ‘.

В элементарной геометрии слово конгруэнтный часто используется следующим образом.[2] Слово равный часто используется вместо конгруэнтный для этих объектов.

  • Два отрезки линии конгруэнтны, если имеют одинаковую длину.
  • Два углы конгруэнтны, если имеют одинаковую меру.
  • Два круги конгруэнтны, если они имеют одинаковый диаметр.

В этом смысле, две плоские фигуры совпадают означает, что их соответствующие характеристики являются «конгруэнтными» или «равными», включая не только их соответствующие стороны и углы, но также их соответствующие диагонали, периметры и площади.

Родственная концепция сходство применяется, если объекты имеют одинаковую форму, но не обязательно имеют одинаковый размер. (В большинстве определений конгруэнтность рассматривается как форма подобия, хотя меньшинство требует, чтобы объекты имели разные размеры, чтобы считаться подобными.)

Содержание

  • 1 Определение конгруэнтности многоугольников
  • 2 Конгруэнтность треугольников
    • 2.1 Определение конгруэнтности
      • 2.1.1 Боковой угол
      • 2.1.2 Угол-угол-угол
    • 2.2 CPCTC
  • 3 Определение конгруэнтности в аналитической геометрии
  • 4 Конгруэнтные конические сечения
  • 5 Конгруэнтные многогранники
  • 6 Конгруэнтные треугольники на сфере
  • 7 Обозначение
  • 8 Смотрите также
  • 9 Рекомендации
  • 10 внешняя ссылка

Определение конгруэнтности многоугольников

Оранжевый и зеленый четырехугольники совпадают; синий им не соответствует. У всех троих одинаковые периметр и площадь. (Порядок сторон синего четырехугольника «смешанный», в результате два внутренних угла и одна диагональ не совпадают.)

Для того чтобы два многоугольника были конгруэнтными, они должны иметь равное количество сторон (и, следовательно, равное количество — то же количество — вершин). Два многоугольника с п стороны конгруэнтны тогда и только тогда, когда каждая из них имеет численно идентичные последовательности (даже если по часовой стрелке для одного многоугольника и против часовой стрелки для другого) сторона-угол-сторона-угол -… для п стороны и п углы.

Конгруэнтность многоугольников можно установить графически следующим образом:

  • Сначала сопоставьте и пометьте соответствующие вершины двух фигур.
  • Во-вторых, нарисуйте вектор от одной из вершин одной из фигур к соответствующей вершине другой фигуры. Переведите первая фигура по этому вектору, чтобы эти две вершины совпадали.
  • В третьих, вращать переведенная фигура о совмещенной вершине, пока одна пара соответствующие стороны совпадения.
  • В-четвертых, отражать повернутая фигура около этой совпадающей стороны, пока цифры не совпадут.

Если в какой-то момент шаг не может быть завершен, многоугольники не совпадают.

Конгруэнтность треугольников

Смотрите также: Решение треугольников

Два треугольники конгруэнтны, если соответствующие им стороны равны по длине, а соответствующие им углы равны по мере.

Если треугольник ABC конгруэнтен треугольнику DEF, математически это соотношение можно записать как:

△АBC≅△DEF.{displaystyle riangle mathrm {ABC} cong riangle mathrm {DEF}.}

Во многих случаях достаточно установить равенство трех соответствующих частей и использовать один из следующих результатов, чтобы вывести конгруэнтность двух треугольников.

Форма треугольника определяется с точностью до конгруэнтности путем указания двух сторон и угла между ними (SAS), двух углов и стороны между ними (ASA) или двух углов и соответствующей смежной стороны (AAS). Однако указание двух сторон и прилегающего угла (SSA) может дать два различных возможных треугольника.

Определение конгруэнтности

Достаточно доказательств соответствия между двумя треугольниками в Евклидово пространство можно показать с помощью следующих сравнений:

  • SAS (Сторона-угол-Сторона): если две пары сторон двух треугольников равны по длине, а включенные углы равны при измерении, то треугольники совпадают.
  • SSS (Сторона-Сторона-Сторона): если три пары сторон двух треугольников равны по длине, то треугольники совпадают.
  • КАК (Угол-Сторона-Угол): Если две пары углов двух треугольников равны по размеру, а включенные стороны равны по длине, то треугольники равны.

Постулат ASA внесен Фалес Милетский (Греческий). В большинстве систем аксиом три критерия — SAS, SSS и ASA — устанавливаются как теоремы. в Школьная группа по изучению математики система SAS принимается за один (# 15) из 22 постулатов.

  • ААС (Угол-угол-сторона): если две пары углов двух треугольников равны по размеру, и пара соответствующих не включенных сторон равны по длине, то треугольники совпадают. AAS эквивалентен условию ASA тем фактом, что если заданы любые два угла, то это же и третий угол, поскольку их сумма должна составлять 180 °. ASA и AAS иногда объединяются в одно состояние, AAcorrS — любые два угла и соответствующая сторона.[3]
  • RHS (Прямоугольная сторона гипотенузы), также известная как HL (Гипотенуза-Нога): если два прямоугольных треугольника имеют гипотенузы одинаковой длины, а пара более коротких сторон равны по длине, то треугольники равны.
Боковой угол

Условие SSA (side-side-angle), которое определяет две стороны и невключенный угол (также известный как ASS, или angle-side-side) само по себе не доказывает совпадения. Чтобы продемонстрировать соответствие, требуется дополнительная информация, такая как измерение соответствующих углов и в некоторых случаях длины двух пар соответствующих сторон. Есть несколько возможных случаев:

Если два треугольника удовлетворяют условию SSA, а длина стороны, противоположной углу, больше или равна длине соседней стороны (SSA, или длинная сторона-короткий боковой угол), то эти два треугольника совпадают. Противоположная сторона иногда длиннее, когда соответствующие углы острые, но она всегда длиннее, когда соответствующие углы прямые или тупые. Если угол является прямым углом, также известный как постулат гипотенузы (HL) или условие прямоугольной стороны гипотенузы (RHS), третья сторона может быть вычислена с использованием Теорема Пифагора тем самым позволяя применить постулат SSS.

Если два треугольника удовлетворяют условию SSA, а соответствующие углы являются острыми, а длина стороны, противоположной углу, равна длине смежной стороны, умноженной на синус угла, то два треугольника конгруэнтны.

Если два треугольника удовлетворяют условию SSA и соответствующие углы являются острыми и длина стороны, противоположной углу, больше, чем длина смежной стороны, умноженная на синус угла (но меньше длины соседней стороны), тогда нельзя показать, что два треугольника конгруэнтны. Это двусмысленный случай и два разных треугольника могут быть сформированы из данной информации, но дополнительная информация, позволяющая различать их, может привести к доказательству соответствия.

Угол-угол-угол

В евклидовой геометрии AAA (угол-угол-угол) (или просто AA, поскольку в евклидовой геометрии углы треугольника в сумме составляют 180 °) не предоставляет информации о размере двух треугольников и, следовательно, доказывает только сходство а не конгруэнтность в евклидовом пространстве.

Однако в сферическая геометрия и гиперболическая геометрия (где сумма углов треугольника зависит от его размера) AAA достаточно для сравнения на заданной кривизне поверхности.[4]

CPCTC

Этот акроним означает Соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны сокращенный вариант определения конгруэнтных треугольников.[5][6]

Более подробно, это краткий способ сказать, что если треугольники ABC и DEF конгруэнтны, то есть

△АBC≅△DEF,{displaystyle riangle ABCcong riangle DEF,}

с соответствующими парами углов при вершинах А и D; B и E; и C и F, а с соответствующими парами сторон AB и DE; до н. э и EF; и CA и FD, то верны следующие утверждения:

АB¯≅DE¯{displaystyle {overline {AB}} cong {overline {DE}}}
BC¯≅EF¯{displaystyle {overline {BC}} cong {overline {EF}}}
АC¯≅DF¯{displaystyle {overline {AC}} cong {overline {DF}}}
∠BАC≅∠EDF{displaystyle angle BACcong angle EDF}
∠АBC≅∠DEF{displaystyle angle ABCcong angle DEF}
∠BCА≅∠EFD.{displaystyle angle BCAcong angle EFD.}

Утверждение часто используется в качестве обоснования в доказательствах элементарной геометрии, когда требуется заключение о конгруэнтности частей двух треугольников после того, как конгруэнтность треугольников была установлена. Например, если два треугольника конгруэнтны SSS критерии и утверждение, что соответствующие углы конгруэнтны, необходимо в доказательстве, тогда CPCTC может использоваться как обоснование этого утверждения.

Связанная теорема CPCFC, в котором «треугольники» заменены на «фигуры», так что теорема применима к любой паре полигоны или же многогранники которые совпадают.

Определение конгруэнтности в аналитической геометрии

В Евклидова система, соответствие фундаментально; это аналог равенства для чисел. В аналитическая геометрия, конгруэнтность может быть определена интуитивно так: два отображения фигур в одну декартову систему координат конгруэнтны тогда и только тогда, когда любой две точки в первом отображении, Евклидово расстояние между ними равно евклидову расстоянию между соответствующими точками во втором отображении.

Более формальное определение гласит, что два подмножества А и B из Евклидово пространство рп называются конгруэнтными, если существует изометрия ж : рп → рп (элемент Евклидова группа E(п)) с ж(А) = B. Конгруэнтность — это отношение эквивалентности.

Конгруэнтные конические сечения

Два конических участка совпадают, если их эксцентриситет и еще один отличительный параметр, характеризующий их, равны. Их эксцентриситет определяет их формы, равенства которых достаточно для установления сходства, а второй параметр затем устанавливает размер. С двух круги, параболы, или же прямоугольные гиперболы всегда имеют одинаковый эксцентриситет (в частности, 0 в случае кругов, 1 в случае парабол и 2{displaystyle {sqrt {2}}} в случае прямоугольных гипербол) две окружности, параболы или прямоугольные гиперболы должны иметь только одно другое общее значение параметра, определяющее их размер, чтобы они были конгруэнтными.

Конгруэнтные многогранники

Для двух многогранники с таким же номером E ребер, такое же количество лица, и такое же количество сторон на соответствующих гранях, существует набор не более E измерения, которые могут установить, конгруэнтны ли многогранники.[7][8] За кубики, которые имеют 12 граней, необходимо только 9 измерений.

Конгруэнтные треугольники на сфере

Основные статьи: Решение треугольников § Решение сферических треугольников, и Сферическая тригонометрия § Решение треугольников

Как и в случае плоских треугольников, на сфере два треугольника, разделяющие одну и ту же последовательность угол-сторона-угол (ASA), обязательно конгруэнтны (то есть у них есть три одинаковые стороны и три одинаковых угла). [9] Это можно увидеть следующим образом: можно разместить одну из вершин с заданным углом на южном полюсе и провести сторону с заданной длиной вверх по нулевому меридиану. Знание обоих углов на обоих концах сегмента фиксированной длины гарантирует, что две другие стороны исходят с однозначно определенной траекторией и, таким образом, встретятся друг с другом в однозначно определенной точке; таким образом, ASA действительна.

Теоремы сравнения сторона-угол-сторона (SAS) и сторона-сторона-сторона (SSS) также верны для сферы; кроме того, если два сферических треугольника имеют одинаковую последовательность угол-угол-угол (AAA), они конгруэнтны (в отличие от плоских треугольников).[9]

Теорема сравнения плоскость-треугольник угол-угол-сторона (AAS) не верна для сферических треугольников.[10] Как и в плоской геометрии, боковой угол (SSA) не подразумевает конгруэнтности.

Обозначение

Обычно для сравнения используется символ равенства с тильда над ним, ≅, соответствующий Unicode символ «примерно равно» (U + 2245). Холлиер, Л. «Слайд 89 из 112».

внешняя ссылка

  • ССС в Разрезать узел
  • SSA в Разрезать узел
  • Интерактивная анимация, демонстрирующая Конгруэнтные многоугольники, Конгруэнтные углы, Конгруэнтные отрезки линии, Конгруэнтные треугольники в Math Open Reference

Конгруэнтные фигуры | Математика

Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.

Текст для быстрого ознакомления (формулы и чертежи качественнее отображаются в PDF файле ниже):

Скачать бесплатно: Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОДОБИЯ ПЛОСКОСТИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. З. А. Скопец, Л. И. Кузнецова

(стр. 227-246)

На главную страницу Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.

§ 4. Конгруэнтные фигуры.  А. М. Абрамов НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ.

П е р в о е о п р е д е л е н и е . Фигура Фх конгруэнтна фигуре
Ф, если существует сохраняющее расстояния отображение
фигуры Ф на Фх.
Так как перемещения сохраняют расстояния, часто употребляется
такой метод доказательства конгруэнтности фигур Ф и Фх:
находится перемещение, при котором образом фигуры Ф является
Фх.
В т о р о е о п р е д е л е н и е . Если существует перемещение,
отображающее фигуру Ф на Фх, то говорят, что фигура Фх конгруэнтна
Ф.
Замечание, сделанное перед этим определением, показывает,
что если фигура Фх конгруэнтна фигуре Ф в смысле второго определения,
то Фх конгруэнтна Фив смысле первого определения.

257 Конгруэнтные фигуры. 

Для доказательства эквивалентности этих двух определений
остается показать, что если существует сохраняющее расстояния
отображение G, область определения которого — фигура Ф, а
множество значений — Фх, то существует и перемещение F (изометрическое
отображение всей плоскости, а не ее подмножества Ф),
при котором образ фигуры Ф — фигура Фх. . Возьмем отличную от Л и Б
точку Xфигуры Ф. НапрямойЛхбх имеется ровно одна точка Х1г
для которой |ЛХ| = |ЛхХх|, |fiX| =|SxXx|. Поэтому и F, и G
переводят X в X’, т. е. F — продолжение G на всю плоскость.
Второй случай: Ф содержит точки А, В, С, не принадлежащие
одной прямой.
Так как G сохраняет расстояния, точки Ах — G (Л), Вх — G (В),
Сх = G (С) также не принадлежат одной прямой, причем | Лх-SxN
= | АВ\, |ВхСх1 = |ВС|, |ЛхСх1 =|ЛС|. Как показано при доказательстве
теоремы 2.1 существует перемещение F, которое, как и
С, переводит Л в Аг, В в Въ С в Сх. Если Ф не содержит других
точек, кроме Л, б и С, теорема доказана. Пусть X — произвольная
точка Ф, отличная от Л, Б, С.
В этом случае мы докажем, что F (X) = G (X), показав, что существует
не более одной точки плоскости, удаленной от Л’ на расстояние
| ЛХ|, от В’ — на |fiX| и от С’— на |СХ|.
В самом деле, имеется не более двух точек Y1 и Y» плоскости,
для каждой из которых расстояние от Ах равно |ЛХ|, а от Вх —
|£Х| (теорема 1. Z . 3 (рис. 9).
Угол 2 при симметрии Sa отображается на конгруэнтный ему
угол. Но луч ОА при симметрии Sa отображается на себя и по условию
Z. 1 Z. 2. Так как по теореме 4.2 от луча О А можно отложить
в данной полуплоскости лишь один угол, конгруэнтный данному,
$а _____
то [ОБ) ==> [ОС). Следовательно, и прямая р при симметрии Sa
отображается на’себя.
Из теоремы 3.4 вытекает, что Sp (а) — а. Поэтому угол 1 при
симметрии Sp отображается на угол 3, т. е. Z. 1 Ш АЗ.
Если две прямые пересекаются, то, как известно, они задают
четыре выпуклых угла. Из доказанной корректности определения
прямого угла следует, что если один из этих четырех углов прямой,
то и все четыре угла прямые.
О п р е д е л е н и е . Дее прямые, образующие при пересечении
прямые углы, называются взаимно перпендикулярными.
Т е о р е м а 4.4. Для любой точки О плоскости и любой прямой
р существует одна и только одна прямая, проходящая через О
и перпендикулярная р.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим два случая.
Первый случай’. О $ р.
а) С у щ е с т в о в а н и е . Пусть О* = Sp (О) и М — точка
пересечения прямых 00′ и р (рис. 10, а). При еимметрии Sp лучи
МО и МО’ отображаются друг на друга, луч MN — на себя. Поэтому
углы OMN и O’MN — смежные и конгруэнтные углы. Это
означает, что прямые 00′ и р перпендикулярны.
б) Е д и н с т в е н н о с т ь . Допустим, что через точку О

260 Конгруэнтные фигуры. 

проходят два перпендикуляра к прямой
р (рис. 11,6). Тогда, как это следует из
теоремы 4.2, прямые О А и О В при симметрии
Sp отображаются на себя. Так как эти
прямые пересекаются в точке О, отсюда получаем,
что эти прямые имеют вторую общую
точку O’— Sp (О). Но через две точки
проходит единственная прямая, поэтому
(ОА) = (ОВ). Это противоречит сделанному
допущению.

Конгруэнтные фигуры 2

Второй случай1. О £ р.
а) С у щ е с т в о в а н и е . Z.2,
в силу транзитивности отношения конгруэнтности
фигур Z. Г Z. 2′, т. е. (ОА’) J. р.
б) Е д и н с т в е н н о с т ь . Допустим, что через точку О € р
проходят два перпендикуляра р и р’ к прямой а (рис. 11, б). Тогда
луч ОР’ содержится в одном из углов АОР и РОВ. Пусть для определенности
[OP’) а Z-РОВ. При симметрии с осью ОР угол РОВ
отображается на угол РОА (эти углы прямые), луч ОР’ — на некоторый
луч ОР», содержащийся в угле РОА и отличный от луча
ОР. При этом Z-P»OA /-Р’ОВ. Это противоречит теореме 4.2:
от луча ОА в полуплоскости с границей ОА отложены два угла
(Z-P’OA и Z.POA), конгруэнтные углу Р’ОВ.
С доказательством этой теоремы нетрудно сделать вывод, что
медиатриса любого отрезка является серединным перпендикуляром
этого отрезка.
О п р е д е л е н и е . Луч ОМ угла АО В называется биссектрисой
этого угла, если углы АОМ и ВОМ, являющиеся подмножествами
данного угла, конгруэнтны.
Т е о р е м а . 4 . 5 . Для любого угла плоскости, отличного от развернутого,
существует биссектриса этого угла и притом только
одна.
Д о к а з а т е л ь с т в о . 1. Существование. Если прямая АВ —
граница развернутого угла, то любой луч с началом О € (А В),
перпендикулярный к прямой АВ и содержащийся в данном развернутом
угле (рис. 12, а), является его биссектрисой. Отметим, что
неединственность биссектрисы развернутого угла вытекает из того
обстоятельства, что в отличие от других углов вершина (край->;
няя точка) развернутого угла не единственна.

261 Конгруэнтные фигуры. 

Если угол АО В — выпуклый (рис. 12, б), его биссектриса —
луч с началом О, содержащий середину М отрезка CD (С (: [ОА),
D (; [ОВ), |ОС|= |OD|). Действительно, \ОМ\ — ось симметрии
угла АОВ, а точка М — внутренняя точка этого угла, так как
Z-AOB — выпуклая фигура.
Луч ON, противоположный лучу ОМ, — биссектриса невыпуклого
угла АОВ.
2. Единственность. Если ОК и ОМ — различные биссектрисы
угла АОВ (рис. 13), то симметрии Sok и Som отображают угол на
себя. Кроме того, Е (/L.AOB) = Z.AOB. Но существует не более
двух перемещений, отображающих один из данных конгруэнтных
углов на другой (см. доказательство теоремы 4.2.) Противоречие.
Допустив, что существует более одной биссектрисы у невыпуклого
угла, приходим к противоречию с только что доказанной единственностью
биссектрисы выпуклого угла.

262 Конгруэнтные фигуры. 

На главную страницу Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.
Школьная математика.  Математика в школе.

Конгруэнтные фигуры

≅ — Конгруэнтность (геометрическое равенство): U+2245 cong

U+2245

Нажмите, чтобы скопировать и вставить символ

Техническая информация

Название в ЮникодеApproximately Equal To
Номер в Юникоде

U+2245

HTML-код

≅

CSS-код

\2245

Мнемоника

≅

РазделМатематические операторы
Версия Юникода:1. 1 (1993)

Значение символа

Конгруэнтность (геометрическое равенство). Математические операторы.

Символ «Конгруэнтность (геометрическое равенство)» был утвержден как часть Юникода версии 1.1 в 1993 г.

Свойства

Версия1.1
БлокМатематические операторы
Тип парной зеркальной скобки (bidi)Нет
bmg
224C
Композиционное исключениеНет
Изменение регистра2245
Простое изменение регистра2245

Кодировка

Кодировкаhexdec (bytes)decbinary
UTF-8E2 89 85
226 137 133		1484634111100010 10001001 10000101
UTF-16BE22 4534 69877300100010 01000101
UTF-16LE45 2269 341769801000101 00100010
UTF-32BE00 00 22 45
0 0 34 69		877300000000 00000000 00100010 01000101
UTF-32LE45 22 00 0069 34 0 0115985612801000101 00100010 00000000 00000000

Наборы с этим символом:

  • ∑

    Математические знаки

Конгруэнтность (Конгруэнтность) — значение, определение, примеры

LearnPracticeDownload

В геометрии конгруэнтность означает идентичность по форме и размеру. Конгруэнтность может быть применена к отрезкам прямых, углам и фигурам. Любые два отрезка называются конгруэнтными, если они равны по длине. Два угла называются равными, если они равны. Два треугольника называются равными, если их соответствующие стороны и углы равны. Давайте узнаем больше о конгруэнтности и конгруэнтных фигурах в этой статье.

1. Конгруэнтное значение в геометрии
2. Конгруэнтные фигуры
3. Конгруэнтные и подобные фигуры
4. Часто задаваемые вопросы о Congruent

Конгруэнтное значение в геометрии

Слово «конгруэнтный» означает «точно равный» по форме и размеру. Даже когда мы поворачиваем, переворачиваем или поворачиваем фигуры, они остаются одинаковыми. Например, нарисуйте два круга одинакового радиуса, затем вырежьте их и наложите друг на друга. Мы заметим, что они будут накладываться друг на друга, то есть располагаться полностью друг над другом. Это показывает, что две окружности конгруэнтны. Следующие окружности называются конгруэнтными, так как они имеют одинаковый радиус и могут располагаться точно друг над другом. Символ, который используется для обозначения соответствия цифр, — «≅». Поскольку окружность A конгруэнтна окружности B, мы можем выразить этот факт следующим образом: окружность A ≅ окружность B.

Конгруэнтные фигуры

Конгруэнтность любых двух фигур можно увидеть, если их можно расположить точно друг над другом. Слово «конгруэнтность» используется для выражения отношения двух фигур, которые считаются конгруэнтными. Другими словами, если любые две геометрические фигуры можно наложить друг на друга, они называются конгруэнтными фигурами. Это свойство применимо ко всем фигурам, таким как треугольники, четырехугольники и так далее. Помимо фигур, отрезки и углы также называются конгруэнтными, если они имеют одинаковую меру. Обратите внимание на следующий рисунок, чтобы понять, что означают конгруэнтные цифры.

Конгруэнтные и подобные фигуры

Существует разница между конгруэнтными и подобными фигурами. Конгруэнтные фигуры имеют одинаковые соответствующие длины сторон и соответствующие углы равны. Однако подобные фигуры могут иметь одинаковую форму, но их размер может быть разным.

Например, обратите внимание на следующие треугольники, которые показывают разницу между конгруэнтными и подобными фигурами. На конгруэнтных фигурах видно, что все соответствующие стороны и углы равны. Однако, если мы обратим внимание на подобные фигуры, мы увидим, что соответствующие углы равновелики, но стороны не равной длины.

Конгруэнтность треугольников

Два треугольника называются конгруэнтными, если их стороны равны по длине, углы равны и их можно наложить друг на друга.


На приведенном выше рисунке треугольники Δ ABC и Δ PQR равны. Это означает, что соответствующие углы и соответствующие стороны в обоих треугольниках равны.
Стороны: AB = PQ, BC = QR и AC = PR;
Углы: ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q и ∠C = ∠R.
Следовательно, Δ ABC ≅ Δ PQR
Ниже приведены теоремы о конгруэнтности или критерии конгруэнтности треугольников, которые помогают доказать конгруэнтность треугольников.

  • SSS (боковой, боковой, боковой)
  • SAS (боковой, угловой, боковой)
  • ASA (угол, сторона, угол)
  • AAS (угол, угол, сторона)
  • RHS (прямой угол-гипотенуза-сторона или теорема о катете гипотенузы)

Ссылки по теме

Ознакомьтесь со следующими страницами, посвященными конгруэнтности и конгруэнтности фигур.

  • Свойства треугольника
  • Треугольники
  • Равные углы
  • Конгруэнтность треугольников
  • Формула ССС
  • Соответствующие углы
  • САС

 

Конгруэнтные примеры

  1. Пример 1: Два четырехугольника, показанные ниже, равны . Какой угол в четырехугольнике PQRS соответствует углу ∠WXY в четырехугольнике WXYZ?

    Решение:

    Отождествим соответствующие части в обоих четырехугольниках.


    ∠WXY отмечен четырьмя дугами в четырехугольнике WXYZ.
    ∠QRS также отмечен четырьмя дугами в четырехугольнике PQRS. Это показывает, что они равны, что означает, что ∠QRS совпадает с ∠WXY. Следовательно, ∠WXY соответствует ∠QRS.

  2. Пример 2. У Эммы есть четыре квадрата со следующими длинами сторон: квадрат A, сторона = 5 дюймов, квадрат B, сторона = 7 дюймов, квадрат C, сторона = 5 дюймов, квадрат D, сторона = 8 дюймов. Ей нужны два квадрата, которые можно расположить ровно один над другим. Поможешь ей выбрать конгруэнтные квадраты?

    Решение: Квадраты с одинаковыми сторонами будут накладываться друг на друга, потому что они конгруэнтны. Итак, Эмма должна найти два квадрата, у которых длины сторон абсолютно одинаковы. В приведенном списке мы видим, что стороны квадрата A и квадрата C имеют одинаковую длину, то есть 5 дюймов. Таким образом, Эмма может выбрать квадраты A и C, потому что их можно расположить точно друг над другом.

перейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о конгруэнтности

Что такое конгруэнтные фигуры?

Конгруэнтные фигуры – это фигуры, у которых стороны одинаковой длины и углы одинаковой величины. Другими словами, когда одна фигура накладывается на другую, фигуры называются конгруэнтными фигурами. Они точно подходят друг к другу, даже когда их поворачивают или переворачивают.

Как доказать, что треугольники конгруэнтны?

Два треугольника называются конгруэнтными, если их соответствующие стороны равны по длине и их соответствующие углы равны по размеру.

Каковы свойства конгруэнтности?

Свойства конгруэнтности применимы к линиям, углам и фигурам. Их можно перечислить следующим образом: рефлексивное свойство, симметричное свойство и транзитивное свойство.

  • Рефлексивное свойство конгруэнтности гласит, что отрезок, угол или фигура всегда конгруэнтны сами себе. Например, ∠P≅∠P
  • Свойство симметричности говорит о том, что если одна фигура конгруэнтна другой, то и вторая конгруэнтна первой. Для любых двух углов P и Q, если ∠P ≅∠Q, то ∠Q ≅∠P.
  • Транзитивное свойство конгруэнтности утверждает, что если прямая 1 конгруэнтна прямой 2, а прямая 2 конгруэнтна прямой 3, то прямая 1 также конгруэнтна прямой 3.

Какая фигура имеет конгруэнтные стороны?

Квадрат — единственная фигура, у которой все стороны равны и все углы равны.

Каковы 5 критериев соответствия треугольников?

В следующем списке показаны критерии равенства треугольников или теоремы, доказывающие сходство треугольников.

  • SSS (боковой, боковой, боковой)
  • SAS (боковой, угол, боковой)
  • ASA (угол, сторона, угол)
  • AAS (угол, угол, сторона)
  • RHS (прямой угол-гипотенуза-сторона или теорема о катете гипотенузы)

Всегда ли вертикальные углы равны?

Да, вертикальные углы всегда конгруэнтны, потому что согласно теореме о вертикальных углах, когда две прямые пересекаются друг с другом, образующиеся противоположные углы всегда равны (конгруэнтны). Эти углы называются вертикально противоположными углами или вертикальными углами.

Какое другое слово для конгруэнтного?

Конгруэнтные означает «идентичные» по форме и размеру. Конгруэнтные фигуры также называют совпадающими фигурами. Эти формы могут накладываться друг на друга и могут располагаться точно одна над другой.

Что делает углы равными?

Углы называются конгруэнтными, если их величины в градусах или радианах совпадают. Если ∠P = ∠Q, то оба угла называются равными.

Загрузить БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

Рабочие листы по конгруэнтным треугольникам

Рабочие листы по математике и визуальный учебный план

3.1 Конгруэнтность

$\def\iff{\mbox{iff}}$

Как и многие концепции, которые мы увидим, конгруэнтность прост, возможно, вам знаком, но чрезвычайно полезным и мощным в изучении теории чисел. Если $n$ — натуральное число, мы говорим, что целые числа $a$ и $b$ равны соответствует по модулю $n$, и писать $a\equiv b\pmod n$, если они имеют одинаковый остаток от деления на $n$. (по остатку из разумеется, имеется в виду уникальное число $r$, определяемое Алгоритм деления.) Это обозначение и многое другое элементарной теории конгруэнтности, обязан знаменитому немецкому математик Карл Фридрих Гаусс, конечно выдающийся математик своего времени и, пожалуй, величайший математик всех времен.

Пример 3.1.1 $\{…,-6,1,8,15,…\}$ конгруэнтны по модулю 7, потому что их остатки при делении на 7 равно 1. $\{…,-4,4,12,20,…\}$ — все конгруэнтны по модулю 8, так как их остатки от деления на 8 равны 4. $\квадрат$

Вот удивительно полезный результат.

Лемма 3.1.2 $a\equiv b\pmod n$ тогда и только тогда, когда $n|(a-b)$.

Доказательство. Разобьем доказательство на две части:

(только если) Если $a\equiv b\pmod n$, то существуют целые числа $q$, $q’$ и $r$, где $a=qn+r$ и $b=q’n+r$. Так $a-b=(qn+r)-(q’n+r)=(q-q’)n$, что означает $n|a-b$.

(if) Предположим, что $n|a-b$, поэтому существует $x$ с $a-b=xn$, то есть $a=b+xn$. Предположим, что $r$ — остаток от деления $n$ в $b$; нам нужно показать, что $r$ также является остатком на деление $n$ на $a$. Поскольку $b=qn+r$, имеем $a=b+xn=qn+r+xn=(q+x)n+r$. Таким образом, когда $n$ делится на $a$, остаток равен $r$ по желанию.$\qed$

Если значение $n$ ясно из контекста, мы часто пишем просто $а\экв б$. Конгруэнтность целых чисел имеет много общих свойств с равенством; мы перечисляем несколько здесь.

Теорема 3.1.3 Сравнение по модулю $n$ удовлетворяет следующему:

    1. $a\equiv a$ для любого $a$;

    2. Из $a\equiv b$ следует $b\equiv a$;

    3. Из $a\equiv b$ и $b\equiv c$ следует $a\equiv c$;

    4. $a\equiv 0$ тогда и только тогда, когда $n|a$;

    5. $a\equiv b$ и $c\equiv d$ влекут $a+c \equiv b+d$; 9j$. Убедитесь, что вы заметили, как часто мы использовали лемма 3.1.2.$\qed$

    Части 5–8 можно обобщить, сказав, что в любом выражении включая $+,-,\cdot$ и положительные целые показатели (т. 2\экв 1$, поэтому он никогда не конгруэнтен $2$ или $3$. $\квадрат$

    Пример 3.1.5 Найдите все целые числа $x$ такие, что $3x-5$ делится на $11$. Помещать в несколько более привычных терминах, мы пытаются решить конгруэнтность $3x\equiv 5\pmod {{11}}$ для $x$, как бы мы ни пытались решить уравнение для неизвестного. Предположим, что $3x\equiv 5$ и посмотрим, что это говорит нам о $x$. Так как $4\cdot 3=12\экв 1$, $$ 3x\equiv 5 \подразумевается 4\cdot 3 x\equiv 4\cdot 5\подразумевается 12x\экв 20 \подразумевает х\экв 9. $$ Итак, если $3x\equiv 5$, то $x\equiv 9$ или $x\in\{…, -13, -2, 9, 20, …\}$. Мы также хотим знать, что на самом деле все эти значения являются решениями, то есть если $x\equiv 9$, то $3x\equiv 5$. Это легкий. (Верно?) $\квадрат$

    Пример 3.1.6 Вы, вероятно, знакомы со старым правилом («отбрасывание девяток»), согласно которому целое число делится на 9, если и только если сумма его цифр делится на 9. Вот доказательство. Предположим, что $x$ — некоторое положительное целое число, и когда мы записываем его в десятичной форме форма выглядит как $d_kd_{k-1}… d_1d_0$ (где каждый $d_i$ находится между 0 и 9i=1\pmod 9$ за каждый $я$. Это означает, что $$ х\эквив d_k+d_{k-1}+… +d_1+d_0 \pmod 9. $$ На самом деле это доказывает больше, чем нам нужно. Он говорит, что целое число и сумма его цифр конгруэнтна по модулю 9. В частности, одно конгруэнтно 0 (то есть делится на 9) тогда и только тогда, когда другое. $\квадрат$

    Карл Фридрих Гаусс. Гаусс (1777–1855) был вундеркинд и, возможно, величайший математик всех времен (если такие рейтинги что-то значат; конечно, он был бы почти в всеобщий список пяти лучших математиков по таланту, достижения и влияние). Пожалуй, самая известная история о Гаусс рассказывает о своей победе над рутинной работой. Как рассказывает Карл Бойер История: «Однажды, чтобы занять класс, учительница учащиеся складывают все числа от одного до ста, инструкции, что каждый должен положить свой планшет на стол, как только он выполнил задание. Почти сразу же Карл положил планшет на стол, говоря: «Вот он!» учитель посмотрел на него пренебрежительно в то время как другие работали усердно. m p_1p_2\cdots p_r$, для любого $m\ge 0$ и различных 9п}+1$ для некоторого $n$. К сожалению, неизвестно, существуют ли бесконечное число простых чисел Ферма.)

    Гаусс опубликовал относительно немного своих работ, но с 1796 по 1814 гг. вел небольшой дневник, всего девятнадцать страниц, содержащий 146 кратких заявления. Этот дневник оставался неизвестным до 1898 года. во многом широта его гения и его приоритет во многих открытия. Снова цитируя Бойера: «Неопубликованные меморандумы Гаусса висела, как дамоклов меч, над математикой первой половины девятнадцатого века. Когда произошло важное новое событие объявлено другими, часто оказывалось, что Гаусс идею ранее, но разрешил ей остаться неопубликованной».

    Диапазон вклада Гаусса поистине ошеломляющий, в том числе некоторые глубокие и все еще стандартные результаты, такие как Quadratic Reciprocity Теорема и Основная теорема алгебры . Он посвятил большую часть своей дальнейшей жизни посвятил астрономии и статистике и сделал значительный вклад во многие другие области. Его имя прилагается ко многим математическим объектам, методам и теоремам; ученики физики лучше всего его знают как тезку стандартной единицы магнитного поля. интенсивность, гаусс .

    Информация здесь взята из История математики , автор Карл Бойер, Нью-Йорк: John Wiley & Sons, 1968.

    Пример 3.1.1 Для заданных значений $n$ и $a$ найдите число $b\in \{0,1,… , n-1\}$, для которых $a\equiv b\pmod n.$

      а) $n=7$, $a=30$

      б) $n=9$, $a=69$

      в) $n=2$, $a=123{,}472{,}461$

      г) $n=6$, $a=-60$

      д) $n=11$, $a=-63$

      е) $n=17$, $a=-38$

    Пример 3.1.2 Если $a=nq+r$, то не обязательно, что $r$ остаток от деления $a$ на $n$; например, $20=6\cdot2+8$, но 8$, конечно, не остаток, когда мы делим 20$ на 6$. В лемме 3.1.2 мы показал, что $a=(q+x)n+r$, и сделал из этого вывод, что остаток на деление $a$ на $n$ равно $r$. Объясните, почему этот вывод оправдан.

    Пример 3.1.3 Докажите части (5) и (7) в теорема 3. 1.3. (Для части 7 вы можете докажите $ac\equiv bc\equiv bd$.)

    Пример 3.1.4 Докажите часть (8) из части (7) в теорема 3.1.3 по индукции.

    Пример 3.1.5 Какие цифры могут стоять на месте единиц правильного квадрата?

    Пример 3.1.6 Докажите, что $x\equiv 9 \pmod{11}$ тогда и только тогда, когда $3x\equiv 5\pmod{11}$.

    Пример 3.1.7 Найдите все $x$ такие, что $7x+3$ делится на $9$.

    Пример 3.1.8 Предположим, что $n$ и $m$ — натуральные числа. Покажи это $$ ma\equiv mb \pmod {{mn}}\quad\iff\quad a\equiv b\pmod n. $$ (См. упражнение 5 раздела 2.2.) 93-x$ делится на $6$.

    Пример 3.1.11 Найдите правило, похожее на пример 3.1.6, который определяет, когда трехзначный число делится на 7, и докажите, что оно работает.

    Пример 3.1.12 Найдите остаток от деления 111111110888888895 на 9.

    Что такое Конгруэнтность? — Определение, факты и примеры

    Значение конгруэнтности

    Если две фигуры можно расположить точно друг над другом, они называются конгруэнтными фигурами.

    Если вы положите один ломтик хлеба на другой, вы обнаружите, что оба ломтика имеют одинаковую форму и размер.

    Термин «конгруэнтный» означает в точности одинаковую форму и размер. Эта форма и размер должны оставаться одинаковыми, даже когда мы переворачиваем, поворачиваем или вращаем фигуры.

    Примеры конгруэнтных фигур

    Две бабочки одинаковой формы и размера

    Два конфетных мороженых одинаковой формы и размера

    Два кубика лего одинаковой формы и размера

    Символ Конгруэнтности

    Конгруэнтность представлена ​​символом- ‘ ≅ ’

    Поскольку конгруэнтность объектов подразумевает одинаковую форму и размер; символ конгруэнтности состоит из двух символов, расположенных один над другим. Существует символ тильды « » , который представляет сходство по форме, а «=» представляет равенство по размеру.

    Следовательно, конгруэнтность представлена ​​символом ‘ ≅ ‘

    Если два объекта A и B конгруэнтны друг другу, мы запишем это как: A ≅ B

    Конгруэнтные отрезки

    конгруэнтны, если их форма и размер одинаковы.

    Внимательно посмотрите на изображение выше.  

    Поскольку AB и PQ являются отрезками прямой, они имеют одинаковую форму. Длина отрезка AB равна 5 см и PQ также равна 5 см. Следовательно, длины обоих отрезков равны друг другу.

    Итак, если две или более прямых равны по длине, говорят, что они конгруэнтны друг другу.

    Следовательно, отрезки AB и PQ конгруэнтны друг другу.

    Следовательно, он будет представлен в виде отрезка AB ≅ отрезка PQ.

    Конгруэнтные углы

    На приведенной выше диаграмме ∠ ABC = 40 °, , тогда как ∠ PQR = 40 °.

    Если мы накладываем или перекрываем ∠ ABC на ∠ PQR, мы обнаружим, что оба угла равны друг другу.

    Согласно правилу, два угла равны, если меры обоих углов равны друг другу.

    Следовательно, ∠ ABC ≅ ∠ PQR 

    Конгруэнтные окружности

    На приведенной выше диаграмме радиус окружности A представлен радиусом OR, тогда как радиус окружности B представлен OP.

    Форма обоих кругов одинакова и размер тоже одинаков, так как длина радиусов OR и OP равна 2 см каждый.

    Согласно условию конгруэнтности, если радиусы двух окружностей равны по длине, то обе окружности конгруэнтны друг другу. Это также означает, что оба круга можно легко разместить друг над другом.

    Таким образом, окружность A конгруэнтна окружности B и может быть записана как окружность A   ≅ окружность B.

    Конгруэнтные треугольники

    Треугольник имеет 3 стороны и 3 угла, поэтому, чтобы треугольники были равны, все 3 стороны и углы должны быть равны.

    Заметим, что:

    Сторона AC = EG, AB = EF и BC = FG,

    и ∠ A = ∠ E, ∠ B = ∠ F и ∠ C = ∠ G

    Следовательно, ABC   11 901 .

    Всякий раз, когда два или более треугольника конгруэнтны, их соответствующие стороны и углы также конгруэнтны по правилу соответствующих частей конгруэнтных треугольников (CPCT), 

    Разница между конгруэнтными фигурами и подобными фигурами

    Существенная разница между конгруэнтными фигурами и подобными фигурами заключается в том, что: равны друг другу. На двух похожих фигурах формы выглядят одинаково. Это потому, что соответствующие углы равны. Однако длины соответствующих сторон не равны друг другу.

    Согласно приведенной выше диаграмме, конгруэнтные фигуры представлены ABC и DEF, тогда как аналогичные фигуры представлены MNO и XYZ

    Что касается конгруэнтных фигур, EF,

    ∠ A = ∠ D, ∠ B = ∠ E и ∠ C = ∠ F

    Следовательно, ABC ≅  DEF, так как соответствующие углы и длины соответствующих сторон равны друг другу.

    Принимая во внимание, что в отношении аналогичных фигур.

    Равны только углы, которые равны ∠ M = ∠ X, ∠ N = ∠ Y и ∠ O = ∠ Z. 

    Длины соответствующих сторон не равны друг другу.

    Следовательно, MNO и XYZ похожи друг на друга.

    Однако они не конгруэнтны друг другу.

    Решенные примеры

    Пример 1. Два угла ∠ ABC и ∠ XYZ равны друг другу?

    Решение:

    Мера ∠ ABC = 40° и ∠ XYZ = 60°.

    Согласно правилу, два угла равны, если меры обоих углов равны друг другу.

    Мера ∠ ABC не равна мере ∠ XYZ.

    Следовательно,  ∠ ABC не конгруэнтно  ∠ XYZ.

    Пример 2: Два треугольника MNO и XYZ равны. Укажите соответствующие стороны и углы, которые будут равны.

    Решение:

    Учитывая, что ∆MNO ≅ ∆XYZ

    Согласно CPCT все три соответствующие стороны и углы конгруэнтных треугольников ∆MNO и ∆XYZ будут равны друг другу.

    Следовательно,

    Mn = xy

    NO = YZ

    MO = XZ

    также,

    ♂ M = ♂ x, N = потряно ниже фигуры похожи или конгруэнтны друг другу?

    На приведенной выше диаграмме длина радиуса OL равна 2 см, тогда как OM равна 1 см.

    Чтобы две окружности были конгруэнтны друг другу, длина радиуса обеих окружностей должна быть равна друг другу.

    Следовательно, обе окружности подобны друг другу, но не конгруэнтны друг другу.

    Заключение

    Мы понимаем, что одинаковые формы и размеры называются конгруэнтными в геометрии. В конгруэнтных фигурах форма и размер должны оставаться одинаковыми, когда мы переворачиваем, поворачиваем или даже вращаем фигуры. И в конгруэнтной форме две фигуры могут быть размещены друг над другом.

    С помощью SplashLearn ваш ребенок может в увлекательной форме изучить эту главу с помощью решенных примеров. SplashLearn является лучшей и самой надежной платформой для каждого ребенка, чтобы укрепить основы математики вашего ребенка. Эта образовательная онлайн-платформа делает обучение легким и увлекательным для вашего ребенка.

    CTA

    Вы ищете образовательную онлайн-платформу, которая одновременно развлекательная и образовательная? Вы хотите, чтобы ваш ребенок изучал и практиковал математику, развлекаясь? Тогда не ждите слишком долго!

    Зарегистрируйтесь в SplashLearn и повысьте уверенность своего ребенка в изучении математики.

    Практические задачи

    Конгруэнтные фигуры равны по размеру

    Конгруэнтные фигуры могут перекрываться

    Конгруэнтные фигуры не равны по форме

    Конгруэнтные фигуры можно вращать

    Правильный ответ: Конгруэнтные фигуры не равны по форме
    Ответ III. Конгруэнтные фигуры равны и по форме.

    65°

    55°

    40°

    Ничего из вышеперечисленного

    Правильный ответ: 55°
    Ответ II, 55°. В случае двух равных треугольников соответствующие углы равны. △ABC и △MNO, если угол A равен 55°, угол M также будет равен 55°.

    ∠B

    ∠C

    ∠A

    Ничего из вышеперечисленного

    Правильный ответ: ∠C
    Правильный ответ II. Если △ABC ≅ △PQR, то угол C будет равен соответствующему углу R.

    Часто задаваемые вопросы

    Когда мы можем сказать, что две фигуры равны?

    Две фигуры можно назвать конгруэнтными, если они имеют одинаковую форму и одинаковый размер.

    Могут ли конгруэнтные фигуры быть разных размеров?

    Нет, конгруэнтные фигуры не могут иметь разные размеры. Вместо этого фигуры называются конгруэнтными, если они имеют одинаковую форму и одинаковый размер. Фигуры одинаковой формы и разных размеров называются подобными.

    Все конгруэнтные фигуры подобны?

    Да, все конгруэнтные фигуры подобны.

    Могут ли конгруэнтные формы или фигуры быть зеркальными отражениями?

    Да, конгруэнтные фигуры можно рассматривать как зеркальные отражения, поскольку они имеют одинаковую форму и одинаковый размер.

    No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *