Конгруэнтные отношения это: Конгруэнтность. Что такое «Конгруэнтность»? Понятие и определение термина «Конгруэнтность» – Глоссарий

Что такое конгруэнтность, или чем вредны хорошие манеры — T&P

«Теории и практики» продолжают объяснять смысл часто употребляемых выражений, которые зачастую используются в разговорной речи в абсолютно неправильном значении. В очередном выпуске рубрики — что думал Ларошфуко о дураках, в чем опасность неправильных подарков и почему пикапер должен быть конгруэнтным.

«Конгруэнтность» — слово, которое мы знаем из школьной программы по геометрии. Геометрические фигуры (или тела) конгруэнтны, если одна из них может быть переведена в другую с помощью движения — сдвига, вращения или зеркального отображения. Но, закончив школу, мы узнаем, что этот термин может иметь и другие значения, в том числе и в сфере человеческих отношений. Попробуем в них разобраться.

Латинское слово congruō означает «я совпадаю, я соглашаюсь». И в естественных науках, как и в точных, конгруэнтность означает эквивалентность предметов друг другу. Но перейдя в гуманитарные науки буквальное «совпадение» начинает приобретать новое, метафорическое значение. Так появилось психологическое определение конгруэнтности.

Эту закономерность сформулировал еще Ларошфуко: «Стоит дураку нас похвалить, как он уже не кажется так глуп».

Его история началась в 1955 году, когда была опубликована «Теория конгруэнтности» американских психологов Осгуда и Танненбаума. Основной ее тезис заключался в том, что для того, чтобы побороть когнитивный диссонанс (конфликт идей и представлений в сознании индивида), человек одновременно изменяет свое отношение к двум противоречивым источникам информации.

Например, у вас есть приятель N, к которому вы прекрасно относитесь и считаете его умным и хорошим человеком. И тут он хвалит какое-то явление, которое вам совершенно не нравится — например, новый законопроект. Это создает противоречие: вы привыкли позитивно оценивать суждения N, но его позиция перестала совпадать с вашей. Чтобы восстановить гармонию, можно решить, что а) N дурак и вы в нем разочаровались б) N умный, а вашу позицию надо пересмотреть в) N в чем-то ошибается, но и ваша позиция не так уж правильна. Последний вариант — лучший способ гармонично восстановить баланс оценок, который авторы теории и назвали конгруэнтностью.

Этот пример работает и в обратную сторону — допустим, вам неприятен какой-то человек и вдруг случайно обнаруживается, что он сходит с ума по вашему любимому художнику или высоко оценивает ваши достижения. И вроде он уже не так неприятен, не правда ли? Эту закономерность сформулировал еще в XVII веке писатель Франсуа де Ларошфуко: «Стоит дураку нас похвалить, как он уже не кажется так глуп».

Другой американский психолог Карл Роджерс разработал теорию личности, в которой понятие конгруэнтности имеет совсем иной смысл, чем в социальной психологии. Для него «конгруэнтность»— «термин, который мы используем для обозначения точного соответствия нашего опыта (переживания) и его осознания».

И снова приведем пример. Представим себе, что вы выясняете отношения с близким человеком и чувствуете явное раздражение и гнев, который вы неспособны скрыть. Но поскольку стать субъективным и «потерять лицо», поддаваясь эмоциям, означает проявить слабость, вы не хотите признавать свою злость и продолжаете верить в то, что всего лишь логично отстаиваете свою точку зрения. В такой момент вы неконгруэнтны — вы потеряли соответствие переживания, его осознания и выражения.

Занятно, что из психологии конгруэнтность перекочевала в НЛП, а оттуда — в теории пикаперов. Разработчики планов покорения женщин уверены, что конгруэнтность — необходимое качество для уверенного в себе альфа-самца.

Или, допустим, вы мечтали получить на день рождения самокат, а друзья неожиданно вручают вам набор для покера. Вы не хотите расстраивать друзей и, кисло улыбаясь, благодарите за замечательный подарок. В данном случае вы понимаете, что чувствуете, но не можете это выразить — неконгруэнтность налицо.

И тут возникает серьезное противоречие между этикой и психологией. Роджерс считал, что конгруэнтность — залог внутренней гармонии личности: человек ничего в себе не подавляет, ни в чем себя не обманывает, а значит, становится самим собой и лучше понимает свои желания. С другой стороны, если мы начнем выражать все, что думаем и ощущаем, мы доставим много дискомфорта окружающим и наверняка нарушим ряд светских условностей. И точку баланса тут каждый выбирает сам.

Занятно, что из психологии конгруэнтность перекочевала в НЛП, а оттуда — в теории пикаперов. Разработчики планов покорения женщин уверены, что конгруэнтность — необходимое качество для уверенного в себе альфа-самца. Но, в отличие от теории Роджерса просто быть собой тут все-таки недостаточно для счастья.

« Если вы слабак, и неинтересная серая мышь, то вы можете быть суперконгруэнтным, демонстрируя кто вы есть, но вы не будете клевым» — говорится в одном из пикаперских руководств. — Если вы клевый, но не конгруэнтный — значит вы слишком стараетесь (пытаетесь быть тем, кем в действительности вы не являетесь). Снова мимо. Для того, что бы вас считали привлекательным, вы должны обладать обеими характеристиками». Надо отдать должное автору — определенная логика в этом есть.

Как говорить

---

Неправильно: «Почему ты на меня кричишь? Что за неконгруэнтная реакция?». Правильно: «неадекватная»

Правильно: «Тебе надо стремиться к конгруэнтности и признавать свои настоящие чувства»

Правильно: «Эти два силуэта конгруэнтны — один является зеркальным отражением другого»

Варламова Дарья

• 69 591

Конгруэнтность — Психологос

Конгруэнтность — согласованность и соразмерность элементов, образующих некоторое целое. В практической психологии, конгруэнтность — согласованность тех или иных элементов жизни человека, в первую очередь соответствие внешнего выражения внутреннему содержанию.

В этом смысле говорят о конгруэнтности (или неконгруэнтности) вербальной или невербальной информации, конгруэнтности его слов и его дел, конгруэнтности его состояния и того, что он показывает окружающим, соответствия его жизненных ценностей и того, как человек живет в реальности.

Конгруэнтность — одно из проявлений аутентичности. «Конгруэнтность — когда ты живешь, говоришь и дышишь в соответствии с твоими ценностями и целями, с тем кто ты есть» — Лидия Маркович Росати. У человека все спокойно внутри, он спокоен внешне — налицо конгруэнтность. У человека не расходятся его слова и дела — это конгруэнтность. Соответствие того, что говорится, и того как говорится — это конгруэнтность.

С другой стороны, внутри у человека мандраж, а внешне он демонстрирует уверенность. Если вы это заметили, это его неконгруэнтность. Или, учитель, объясняющий материал, спрашивает, понял ученик его или нет. Ученик может кивнуть в ответ «Понял», но тон его голоса или выражение глаз может заставить учителя усомниться в этом. Учитель видит неконгруэнтность.

Конгруэнтность — оценочное понятие, это всегда оценка извне и всегда интерпретация. Если вам кажется, что что-то в человеке не соответствует чему-то, вы можете говорить о неконгруэнтности. Хотя, возможно, это просто ваши проекции, интрепретации или просто неосведомленность. Прежде чем уличить другого человека в неконгруэнтности, имеет смысл поискать более позитивные интерпретации того, что вы наблюдаете.

Всякая ли конгруэнтность хороша?

Нет. Если человек имеет низкие ценности и согласованно с этим живет в режиме бардака или расхлябанности — он когруэнтен, но едва ли вы захотите долго быть с этим человеком рядом. Конгруэнтными бывают бандиты, но мало кого это радует.

Конгруэнтность иногда противоречит деловой эффективности. Конгруэнтность как право и необходимость выражать вовне неконтролируемые эмоции, особенно если это неуместно и никому не нужно, идет во вред делу.

Нужно ли, правильно ли во время выступления показывать свои страхи и неуверенность? Практика публичных выступлений говорит — нет, этого делать не следует.

Требование конгруэнтности не всегда соответствует житейским реалиям.

Ситуация: вокруг вас средневековье, вы живете в окружении инквизиции, и при этом ваши ценности отличаются от строго католических. Будет ли разумным и адекватным жить так, будто инквизиции не существует, жить конгруэнтно своим взглядам и ценностям? Едва ли вы осудите Коперника и Галилея, которые ради дела своей жизни иногда были осторожными и не полностью удовлетворяли требованиям конгруэнтности.

Конгруэнтность и развитие личности

Конгруэнтность может и должна быть целью развития личности, но в процессе развития требование конгруэнтности является скорее помехой. Развитие личности — всегда освоение новых форм поведения, не привычных и не характерных для нас прежних, и несоответствие себя прежнего и себя нарождающегося, себя нового — несоответствие естественное.

Человек хмурый учится улыбаться — вначале его улыбка будет неестетственной и натянутой. Это нормально, как этап роста. Важно дойти до уровня, когда ваша улыбка будет не внешней естественной, а станет выражением вашего внутренней радости и доброжелательности к людям.

Развитие начинается с неконгруэнтности, но должно конгруэнтностью завершиться.

3.1 Конгруэнтность

$\def\iff{\mbox{iff}}$

Как и многие концепции, которые мы увидим, конгруэнтность прост, возможно, вам знаком, но чрезвычайно полезным и мощным в изучении теории чисел. Если $n$ — натуральное число, мы говорим, что целые числа $a$ и $b$ равны конгруэнтно по модулю $n$, и писать $a\equiv b\pmod n$, если они имеют одинаковый остаток от деления на $n$. (по остатку из разумеется, имеется в виду уникальное число $r$, определяемое Алгоритм деления.) Это обозначение и многое другое элементарной теории конгруэнтности, обязан знаменитому немецкому математик Карл Фридрих Гаусс, конечно выдающийся математик своего времени и, пожалуй, величайший математик всех времен.

Пример 3.1.1 $\{…,-6,1,8,15,…\}$ конгруэнтны по модулю 7, потому что их остатки при делении на 7 равно 1. $\{…,-4,4,12,20,…\}$ — все конгруэнтны по модулю 8, так как их остатки от деления на 8 равны 4. $\квадрат$

Вот удивительно полезный результат.

Лемма 3.1.2 $a\equiv b\pmod n$ тогда и только тогда, когда $n|(a-b)$.

Доказательство. Разобьем доказательство на две части:

(только если) Если $a\equiv b\pmod n$, то существуют целые числа $q$, $q’$ и $r$, где $a=qn+r$ и $b=q’n+r$. Так $a-b=(qn+r)-(q’n+r)=(q-q’)n$, что означает $n|a-b$.

(if) Предположим, что $n|a-b$, поэтому существует $x$ с $a-b=xn$, то есть $a=b+xn$. Предположим, что $r$ — остаток от деления $n$ в $b$; нам нужно показать, что $r$ также является остатком на деление $n$ на $a$. Поскольку $b=qn+r$, имеем $a=b+xn=qn+r+xn=(q+x)n+r$. Таким образом, когда $n$ делится на $a$, остаток равен $r$ по желанию.$\qed$

Если значение $n$ ясно из контекста, мы часто пишем просто $а\экв б$.

Конгруэнтность целых чисел имеет много общих свойств с равенством; мы перечисляем несколько здесь.

Теорема 3.1.3 Сравнение по модулю $n$ удовлетворяет следующему:

1. $a\equiv a$ для любого $a$;

2. Из $a\equiv b$ следует $b\equiv a$;

3. Из $a\equiv b$ и $b\equiv c$ следует $a\equiv c$;

4. $a\equiv 0$ тогда и только тогда, когда $n|a$;

5. $a\equiv b$ и $c\equiv d$ влекут $a+c \equiv b+d$;

6. $a\equiv b$ и $c\equiv d$ влекут $a-c \equiv b-d$;

7. $a\equiv b$ и $c\equiv d$ влекут $ac \equiv bd$; 9j $. Убедитесь, что вы заметили, как часто мы использовали лемма 3.1.2.$\qed$

Части 5–8 можно обобщить, сказав, что в любом выражении включая $+,-,\cdot$ и положительные целые показатели (т. е. любые «полиномиальный»), если отдельные термины заменить на другие члены, конгруэнтные им по модулю $n$, в результате выражение соответствует оригиналу.

Пример 3.1.4. Любой совершенный квадрат имеет вид $4x$ или $4x+1$, то есть если вы разделите $4$ на полный квадрат, остаток никогда не бывает $2$ или $3$: предположим, что $k^2$ — некоторый совершенный квадрат. 2\экв 1$, поэтому он никогда не конгруэнтен $2$ или $3$. $\квадрат$

Пример 3.1.5 Найдите все целые числа $x$ такие, что $3x-5$ делится на $11$. Помещать в несколько более привычных терминах, мы пытаются решить конгруэнтность $3x\equiv 5\pmod {{11}}$ для $x$, как бы мы ни пытались решить уравнение для неизвестного. Предположим, что $3x\equiv 5$ и посмотрим, что это говорит нам о $x$. Так как $4\cdot 3=12\экв 1$, $$ 3x\equiv 5 \подразумевается 4\cdot 3 x\equiv 4\cdot 5\подразумевается 12x\экв 20 \подразумевает х\экв 9. $$ Итак, если $3x\equiv 5$, то $x\equiv 9$ или $x\in\{…, -13, -2, 9, 20, …\}$. Мы также хотим знать, что на самом деле все эти значения являются решениями, то есть если $x\equiv 9$, то $3x\equiv 5$. Это легкий. (Верно?) $\квадрат$

Пример 3.1.6 Вы, вероятно, знакомы со старым правилом («отбрасывание девяток»), согласно которому целое число делится на 9, если и только если сумма его цифр делится на 9. Вот доказательство. Предположим, что $x$ — некоторое положительное целое число, и когда мы записываем его в десятичной форме форма выглядит как $d_kd_{k-1}… d_1d_0$ (где каждый $d_i$ находится между 0 и 9i=1\pmod 9$ за каждый $я$. Это означает, что $$ х\эквив d_k+d_{k-1}+… +d_1+d_0 \pmod 9. $$ На самом деле это доказывает больше, чем нам нужно. Он говорит, что целое число и сумма его цифр конгруэнтна по модулю 9. В частности, одно конгруэнтно 0 (то есть делится на 9) тогда и только тогда, когда другое. $\квадрат$

Карл Фридрих Гаусс. Гаусс (1777–1855) был вундеркинд и, возможно, величайший математик всех времен (если такие рейтинги что-то значат; конечно, он был бы почти в всеобщий список пяти лучших математиков по таланту, достижения и влияние). Пожалуй, самая известная история о Гаусс рассказывает о своей победе над рутинной работой. Как рассказывает Карл Бойер История: «Однажды, чтобы занять класс, учительница учащиеся складывают все числа от одного до ста, инструкции, что каждый должен положить свой планшет на стол, как только он выполнил задание. Почти сразу же Карл положил планшет на стол, говоря: «Вот он!» учитель посмотрел на него пренебрежительно в то время как другие работали усердно. m p_1p_2\cdots p_r$, для любого $m\ge 0$ и различных 9п}+1$ для некоторого $n$. К сожалению, неизвестно, существуют ли бесконечное число простых чисел Ферма.)

Гаусс опубликовал относительно немного своих работ, но с 1796 по 1814 гг. вел небольшой дневник, всего девятнадцать страниц, содержащий 146 кратких заявления. Этот дневник оставался неизвестным до 1898 года. во многом широта его гения и его приоритет во многих открытия. Снова цитируя Бойера: «Неопубликованные меморандумы Гаусса висела, как дамоклов меч, над математикой первой половины девятнадцатого века. Когда произошло важное новое событие объявлено другими, часто оказывалось, что Гаусс идею ранее, но разрешил ей остаться неопубликованной».

Диапазон вклада Гаусса поистине ошеломляющий, в том числе некоторые глубокие и все еще стандартные результаты, такие как Quadratic Reciprocity Теорема и Основная теорема алгебры . Он посвятил большую часть своей дальнейшей жизни посвятил астрономии и статистике и сделал значительный вклад во многие другие области. Его зовут прилагается ко многим математическим объектам, методам и теоремам; студенты физики лучше всего его знают как тезку стандартной единицы магнитного поля. интенсивность, гаусс .

Информация здесь взята из История математики , автор Карл Бойер, Нью-Йорк: John Wiley & Sons, 1968.

Пример 3.1.1 Для заданных значений $n$ и $a$ найдите число $b\in \{0,1,… , n-1\}$, для которых $a\equiv b\pmod n.$

а) $n=7$, $a=30$

б) $n=9$, $a=69$

в) $n=2$, $a=123{,}472{,}461$

г) $n=6$, $a=-60$

д) $n=11$, $a=-63$

е) $n=17$, $a=-38$

Пример 3.1.2 Если $a=nq+r$, то не обязательно, что $r$ остаток от деления $a$ на $n$; например, $20=6\cdot2+8$, но 8$, конечно, не остаток, когда мы делим 20$ на 6$. В лемме 3.1.2 мы показал, что $a=(q+x)n+r$, и сделал вывод, что остаток на деление $a$ на $n$ равно $r$. Объясните, почему этот вывод оправдан.

Пример 3.1.3 Докажите части (5) и (7) в теорема 3. 1.3. (Для части 7 вы можете докажите $ac\equiv bc\equiv bd$.)

Пример 3.1.4 Докажите часть (8) из части (7) в теорема 3.1.3 по индукции.

Пример 3.1.5 Какие цифры могут стоять на месте единиц правильного квадрата?

Пример 3.1.6 Докажите, что $x\equiv 9 \pmod{11}$ тогда и только тогда, когда $3x\equiv 5\pmod{11}$.

Пример 3.1.7 Найдите все $x$ такие, что $7x+3$ делится на $9$.

Пример 3.1.8 Предположим, что $n$ и $m$ — натуральные числа. Покажи то $$ ma\equiv mb \pmod {{mn}}\quad\iff\quad a\equiv b\pmod n. $$ (См. упражнение 5 раздела 2.2.) 93-x$ делится на $6$.

Пример 3.1.11 Найдите правило, похожее на пример 3.1.6, который определяет, когда трехзначный число делится на 7, и докажите, что оно работает.

Пример 3.1.12 Найдите остаток от деления 111111110888888895 на 9.

Отношения конгруэнтности и модульная арифметика

письменный 26 апреля 2021 г. в maths

Если вы вернетесь к сообщению в блоге об отношениях, вы, возможно, вспомните концепцию, называемую классами эквивалентности. Это следствие того, что у нас есть отношение эквивалентности множества, и они разбивают множество на взаимоисключающие подмножества.

Очень важным отношением эквивалентности является отношение конгруэнтности. Это отношение определяется тем, что \(a\) связано с \(b\) тогда и только тогда, когда \(a — b\) кратно \(m\), где \(m\) — некоторое натуральное число. Более формально, \(a \mathrel{R} b \iff m \mid (a — b)\). Вы можете скорее думать о \(b\) как о том, что нам нужно вычесть из \(a\), чтобы сделать его делимым на \(m\), или, другими словами, \(b\) — это остаток, если мы разделить \(a\) на \(m\). Мы выражаем это отношение как \(a \equiv b (\mathrm{mod} \textrm{m})\), что означает, что \(a\) и \(b\) конгруэнтны по модулю \(m\). (Когда они не конгруэнтны по модулю \(m\), мы выражаем это как \(a \not\equiv b\). ) Например, \(9\equiv 1 (\mathrm{mod} \textrm{ 4})\), потому что \(4 \mid (9 — 1) = 8\).

Особенностью отношений конгруэнтности является то, что они делят все множество целых чисел на классы эквивалентности, называемые классами конгруэнтности по модулю \(m\). Это записывается как \(\mathbb{Z}_m\). Для любого отношения конгруэнтности на \(\mathbb{Z}\) существует \(m\) классов конгруэнтности по модулю \(m\), каждый из которых совпадает со всеми возможными значениями \(b\), когда \(a \) делится на \(m\). Например, для \(\mathbb{Z}_4\) у нас есть четыре класса конгруэнтности:

$$ \begin{выровнено} [0]_4 &= \{\vdots, -8, -4, 0, 4, 8, \vdots\} \\ [1]_4 &= \{\vdots, -7, -3, 1, 5, 9, \vdots\} \\ [2]_4 &= \{\vdots, -6, -2, 2, 6, 10, \vdots\} \\ [3]_4 &= \{\vdots, -5, -1, 3, 7, 11, \vdots\} \end{выровнено} $$

Вы можете видеть, что все целые числа в \([0]_4\) имеют остаток 0 при делении на 4, а те в \([1]_4\) имеют остаток 1 при делении на 4 и так далее. Для любого \(m\) классы конгруэнтности будут находиться в диапазоне от \([0]_m\) до \([m — 1]_m\). Как обсуждалось в сообщении блога об отношениях, все члены класса конгруэнтности по модулю \(m\) считаются эквивалентными, поэтому \([1]_4\) также можно назвать \([-7]_4\) или \( [9]_4\). Однако имена классов даются на основе наименьшего положительного целого числа (включая 0). Также стоит повторить, что когда значения конгруэнтны по модулю \(m\), они принадлежат одному и тому же классу конгруэнтности по модулю \(m\). В приведенном выше примере мы заявили, что \(9 \equiv 1 (\mathrm{mod} \textrm{ 4})\), и вы можете видеть, что они действительно принадлежат одному и тому же классу конгруэнтности \([1]_4\) .

Наше первое доказательство

Давайте применим эти факты для решения нашего первого доказательства. Допустим, нас просят показать, что \(n \equiv 7 (\mathrm{mod} \textrm{ 12})\) подразумевает \(n \equiv 3 (\mathrm{mod} \textrm{ 4})\), а также проверить, верно ли обратное. Мы можем начать с нашего определения сравнения целых чисел, которое состоит в том, что если \(n \equiv 7 (\mathrm{mod} \textrm{12})\), то \(12 \mid (n — 7)\) , и оттуда используйте определение делимости, чтобы показать, что отсюда следует, что \(n — 7 = 12a\) для некоторого \(a \in \mathbb{Z}\). Теперь, определяя \(n \equiv 3 (\mathrm{mod} \textrm{ 4})\) таким же образом, мы получаем \(n — 3 = 4b\), для некоторого \(b \in \mathbb{ Z}\). Итак, теперь мы хотим алгебраически манипулировать \(n — 7 = 12a\), чтобы получить его в виде \(n — 3 = 4b\):

$$ \begin{выровнено} п — 7&=12а\ п &= 12а + 7\ &=12а+4+3\ &= 4(3а + 1) + 3 \\ п — 3 &= 4 (3а + 1) \end{выровнено} $$

Если мы переопределим \(b = 3a + 1\), то получим \(n — 3 = 4b\), что и требовалось. Затем мы возвращаемся к этому, чтобы получить \(4 \mid (n — 3)\), а затем, наконец, \(n \equiv 3 (\mathrm{mod} \textrm{4})\). Итак, \(n \equiv 7 (\mathrm{mod} \textrm{ 12})\) действительно подразумевает \(n \equiv 3 (\mathrm{mod} \textrm{4})\).

Теперь перейдем к рассмотрению обратного. Самый простой способ сделать это — проверить, каковы некоторые члены класса конгруэнтности \([3]_4\), которые включают \(\{\ldots, -5, -1, 3, 7, 11, \ldots\ }\). Если мы возьмем любое из этих значений \(n\) и подставим его в \(12 \mid (n — 7)\), то это будет неверно (например, \(12 \mid (11 — 7)\) является ложным).

No related posts.