Лоренц теория хаоса: Эдвард лоуренс теория хаоса читать. Chaos Theory (Теория хаоса) (Lorenz Poincaré). Отличие распределения Мандельбротта от нормального распределения

Эдвард лоуренс теория хаоса читать. Chaos Theory (Теория хаоса) (Lorenz Poincaré). Отличие распределения Мандельбротта от нормального распределения

Теория хаоса! Научный прорыв хаоса!

Теория хаоса!

Теория хаоса! Научный прорыв хаоса!

Теория хаоса — это метод научных исследований и математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем, подверженных при определённых условиях явлению, известному как хаос (динамический хаос, детерминированный хаос).

Поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является детерминированной. Для акцентирования особого характера изучаемого в рамках этой теории явления, обычно принято использовать название: теория динамического хаоса.

Примеров подобных систем достаточно много.

Например: галактический каннибализм, атмосфера земли, турбулентные потоки в атмосфере.

Примеры, в живой природе: биологические популяции, общество как система коммуникаций и его подсистемы: экономические, политические и другие социальные системы.

Их изучение, наряду с аналитическим исследованием имеющихся рекуррентных соотношений, обычно сопровождается математическим моделированием.

Теория хаоса! История!

Теория хаоса гласит, что сложные системы чрезвычайно зависимы от первоначальных условий, и небольшие, зачастую случайные, изменения в окружающей среде могут привести к непредсказуемым последствиям.

Математические системы с хаотическим поведением являются детерминированными, то есть подчиняются некоторому строгому закону, и, в каком-то смысле, то же являются упорядоченными. Такое использование слова «хаос» существенно отличается от его обычного значения. Существует также такая область физики, как теория квантового хаоса, изучающая недетерминированные системы, подчиняющиеся законам квантовой механики.

Теория хаоса! История!

Первым исследователем хаоса и хаотичных систем был Анри Пуанкаре. В 1880-х, при изучении поведения системы с тремя телами, взаимодействующими гравитационно, он заметил, что могут быть непериодические орбиты, которые постоянно и не удаляются и не приближаются к конкретной точке.

В 1898 Жак Адамар издал влиятельную работу о хаотическом движении свободной частицы, скользящей без трения по поверхности постоянной отрицательной кривизны. В своей работе «бильярд Адамара» он доказал, что все траектории непостоянны и частицы в них отклоняются друг от друга с положительной экспонентой Ляпунова.

Несмотря на попытки понять хаос, присущий многим природным явлениям и системам, в первой половине двадцатого столетия, теория хаоса как таковая начала формироваться только с середины столетия.

Тогда для некоторых учёных стало очевидно, что преобладающая в то время линейная теория просто не может объяснить некоторые наблюдаемые эксперименты подобно логистическому отображению. Чтобы заранее исключить неточности при изучении, например простые «помехи», в теории хаоса считали полноценной составляющей изучаемой системы.

Основным катализатором для развития теории хаоса стало изобретение электронно-вычислительных машин. Большая часть математики в теории хаоса выполняет повторную итерацию простых математических формул, которые делать вручную весьма трудоёмко. Электронно-вычислительные машины делали такие повторные вычисления достаточно быстро, тогда как рисунки и изображения позволяли визуализировать эти системы.

Одним из пионеров в теории хаоса был Эдвард Лоренц, интерес которого к хаосу появился случайно, когда он в 1961 году проводил работы по предсказанию погоды.

Погодное Моделирование Лоренц выполнял на простом цифровом компьютере McBee LGP-30. Когда он захотел увидеть всю последовательность данных, тогда, чтобы сэкономить время, он запустил моделирование с середины процесса. Хотя это можно было сделать введя данные с распечатки, которые он вычислил в прошлый раз. К его удивлению погода, которую машина начала предсказывать, полностью отличалась от погоды, рассчитанной прежде.

Лоренц обратился к компьютерной распечатке. Компьютер работал с точностью до 6 цифр, но распечатка округлила переменные до 3 цифр, например значение 0.506127 было напечатано как 0.506. Это несущественное отличие не должно было иметь фактически никакого эффекта.

Однако Лоренц обнаружил, что малейшие изменения в первоначальных условиях вызывают большие изменения в результате. Открытию дали имя Лоренца и оно доказало, что Метеорология не может точно предсказать погоду на период более недели.

Годом ранее, Бенуа Мандельброт нашёл повторяющиеся образцы в каждой группе данных о ценах на хлопок. Он изучал теорию информации и заключил, что Структура помех подобна набору Регента: в любом масштабе пропорция периодов с помехами к периодам без них была константа — значит ошибки неизбежны и должны быть запланированы. Мандельброт описал два явления: «эффект Ноя», который возникает, когда происходят внезапные прерывистые изменения, например, изменение цен после плохих новостей, и «эффект Иосифа» в котором значения постоянны некоторое время, но все же внезапно изменяются впоследствии. В 1967 он издал работу «Какой длины побережье Великобритании? Статистические данные подобностей и различий в измерениях» доказывая, что данные о длине береговой линии изменяются в зависимости от масштаба измерительного прибора.

Бенуа Мандельброт утверждал, что клубок бечевки кажется точкой, если его рассматривать издалека (0-мерное пространство), он же будет клубком или шаром, если его рассматривать достаточно близко (3-мерное пространство) или может выглядеть замкнутой кривой линией сверху (1-мерное пространство). Он доказал, что данные измерения объекта всегда относительны и зависят от точки наблюдения.

Объект, изображения которого являются постоянными в различных масштабах («самоподобие») является фракталом (например кривая Коха или «снежинка»). В 1975 году Бенуа Мандельброт опубликовал работу «Фрактальная геометрия природы», которая стала классической теорией хаоса. Некоторые биологические системы, такие как система кровообращения и бронхиальная система, подходят под описание фрактальной модели.

Советский физик Лев Ландау разработал Ландау-Хопф теорию турбулентности. Позже, Дэвид Руелл и Флорис Тейкнс предсказали, вопреки Ландау, что турбулентность в жидкости могла развиться через странный аттрактор, то есть основную концепцию теории хаоса.

Теория хаоса! История!

27 ноября 1961 Й. Уэда, будучи аспирантом в лаборатории Киотского университета, заметил некую закономерность и назвал её «случайные явления превращений», когда экспериментировал с аналоговыми вычислительными машинами. Тем не менее его руководитель не согласился тогда с его выводами и не позволил ему представить свои выводы общественности аж до до 1970 года.

В декабре 1977 года Нью-Йоркская академия наук организовала первый симпозиум о теории хаоса, который посетили Дэвид Руелл, Роберт Мей, Джеймс А. Иорк, Роберт Шоу, Й. Даян Фермер, Норман Пакард и метеоролог Эдвард Лоренц.

В следующем году, 1978 году, Митчелл Фейгенбаум издал статью «Количественная универсальность для нелинейных преобразований», где он описал логистические отображения. Митчелл Фейгенбаум применил рекурсивную геометрию к изучению естественных форм, таких как береговые линии. Особенность его работы в том, что он установил универсальность в хаосе и применял теорию хаоса ко многим явлениям.

В 1979 году Альберт Дж. Либчейбр на симпозиуме в Осине, представил свои экспериментальные наблюдения каскада раздвоения, который ведет к хаосу. Его наградили премией Вольфа в физике совместно с Митчеллом Дж. Фейгенбаумом «за блестящую экспериментальную демонстрацию переходов к хаосу в динамических системах».

В 1986 году, Нью-Йоркская Академия Наук вместе с национальным Институтом Мозга и центром Военно-морских исследований организовали первую важную конференцию по хаосу в биологии и медицине. Там Бернардо Уберман продемонстрировал математическую модель глаза и нарушений его подвижности среди шизофреников.

Это привело дало толчок к широкому применению теории хаоса в физиологии и в медицине в 1980-х годах, например в изучении патологии сердечных циклов.

В 1987 году Пер Бак, Чао Тан и Курт Висенфелд напечатали статью, где впервые описали систему самодостаточности (СС), которая является одним из природных механизмов. Многие исследования тогда были сконцентрированы вокруг крупномасштабных естественных или социальных систем.

Концепция системы самодостаточности (СС) стала сильным претендентом на объяснение множества естественных явлений, включая землетрясения, солнечные всплески, колебания в экономических системах, формирование ландшафта, лесные пожары, оползни, эпидемии и биологическую эволюцию.

Учитывая нестабильное и безмасштабное распределение случаев возникновения, странно, что некоторые исследователи предложили рассмотреть как пример системы самодостаточности (СС) возникновение войн. Эти «прикладные» исследования включали в себя две попытки моделирования: разработка новых моделей и приспособление существующих к данной естественной системе.

В том же 1987 году Джеймс Глеик издал работу «Хаос: создание новой науки», которая стала бестселлером и представила широкой публике общие принципы теории хаоса и её хронологию.

Теория хаоса! История!

Теория хаоса прогрессивно развивалась как межпредметная и университетская дисциплина, главным образом под названием «анализ нелинейных систем».

Опираясь на концепцию Томаса Куна о парадигме сдвига, много «учёных-хаотиков» (так они сами назвали себя) утверждали, что эта новая теория и есть пример сдвига.

Теория хаоса! История!

Теория хаоса! Анализ нелинейных систем!

Доступность для ученых более мощных компьютеров расширила возможности изучения сложных нелинейных систем, и расширила возможности практического применения теории хаоса.

Теория хаоса! История!

К наиболее известным исследователям нелинейных систем и систем с хаотичными характеристиками принято причислять: французского физика и философа Анри Пуанкаре, который доказал теорему о возвращении, советских математиков А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда, немецкого математика Ю. К. Мозера. В результате их усилий была создана теория хаоса, которую часто называют КАМ (теория Колмогорова — Арнольда — Мозера).

Теория хаоса КАМ вводит понятие аттракторов (в том числе, странных аттракторов как притягивающих канторовых структур), устойчивых орбит системы, так называемых КАМ-торов.

Хаос! Теория хаоса. Теория анализа нелинейных систем.

Хаос! Научное понимание научного хаоса!

В бытовом контексте слово «хаос» означает «абсолютный беспорядок».

Сразу отметим, что в теории хаоса прилагательное хаотичный определяется более точно. Хотя общепринятого универсального математического определения хаоса нет, обычно используемое определение «хаос» говорит, что динамическая система, которая классифицируется как хаотическая, должна иметь следующие свойства:

Она должна быть чувствительна к начальным условиям;

Она должна иметь свойство топологического смешивания;

Её периодические орбиты должны быть всюду плотными.

Более точные математические условия возникновения хаоса выглядят так:

Система, которую ученые относят к системе «хаоса» должна иметь нелинейные характеристики, быть глобально устойчивой, но иметь хотя бы одну неустойчивую точку равновесия колебательного типа, при этом размерность системы должна быть не менее 1,5.

Линейные системы никогда не бывают хаотическими. Для того, чтобы динамическая система была хаотичной, она должна быть нелинейной. По теореме Пуанкаре-Бендиксона (Poincar-Bendixson), непрерывная динамическая система на плоскости не может быть хаотической. Среди непрерывных систем хаотическое поведение имеют только неплоские пространственные системы (обязательно наличие не менее трёх измерений или неевклидова геометрия).

Однако дискретная динамическая система на какой-то стадии может проявить хаотическое поведение даже в одномерном или двумерном пространстве.

Хаос! Научное понимание хаоса!

Чувствительность к начальным условиям. Что означает чувствительность к начальным условиям?

Чувствительность к начальным условиям в системе «хаоса» означает, что все точки, первоначально близко приближенные между собой, в будущем имеют значительно отличающиеся траектории. Таким образом, произвольно небольшое изменение текущей траектории может привести к значительному изменению в её будущем поведении. Доказано, что последние два свойства фактически подразумевают чувствительность к первоначальным условиям (альтернативное, более слабое определение хаоса использует только первые два свойства из вышеупомянутого списка).

Чувствительность к начальным условиям более известна как «Эффект бабочки».

Данный термин «эффект бабочки» получил распространение после появления статьи «Предсказание: Взмах крыльев бабочки в Бразилии вызовет торнадо в штате Техас», которую Эдвард Лоренц в 1972 году вручил американской «Ассоциации для продвижения науки» в Вашингтоне.

Взмах крыльев бабочки символизирует мелкие изменения в первоначальном состоянии системы, которые вызывают цепочку событий, ведущих к крупномасштабным изменениям. Если бы бабочка не хлопала крыльями, то траектория системы была бы совсем другой, что в принципе доказывает определённую линейность системы. Но мелкие изменения в первоначальном состоянии системы могут и не вызывать цепочку событий.

Хаос! Научное понимание хаоса!

Топологическое смешивание. Что означает термин топологическое смешивание?

Топологическое смешивание в динамике хаоса означат такую схему расширения системы, когда одна её область в какой-то стадии расширения накладывается на любую другую область. Математическое понятие «смешивание», как пример хаотической системы, соответствует смешиванию разноцветных красок или жидкостей.

Хаос! Научное понимание хаоса!

Чувствительность хаотичной системы. Тонкости понимания.

В популярных работах чувствительность хаотичной системы к первоначальным условиям часто путается с самим хаосом. Грань очень тонкая, поскольку зависит от выбора показателей измерения и определения расстояний в конкретной стадии системы.

Например, наблюдаем простую динамическую систему, которая неоднократно удваивает первоначальные значения. Такая система имеет чувствительную зависимость от первоначальных условий везде, так как любые две соседние точки в первоначальной стадии впоследствии случайным образом будут на значительном расстоянии друг от друга. Однако её поведение тривиально, поскольку все точки кроме нуля имеют тенденцию к бесконечности, и это не топологическое смешивание. В определении хаоса внимание обычно ограничивается только закрытыми системами, в которых расширение и чувствительность к первоначальным условиям объединяются со смешиванием.

Даже для закрытых систем, чувствительность к первоначальным условиям не идентична с хаосом в смысле изложенном выше.

Хаос! Научное понимание хаоса!

Аттракторы.

Аттрактор — это некоторое множество состояний (точнее — точек фазового пространства) динамической системы, к которому она стремится с течением времени. Наиболее простыми вариантами аттрактора являются притягивающая неподвижная точка (к примеру, в задаче о маятнике с трением) и периодическая траектория (пример — самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), однако бывают и значительно более сложные примеры. Некоторые динамические системы являются хаотичными всегда, но в большинстве случаев хаотичное поведение наблюдается только в тех случаях, когда параметры динамической системы принадлежат к некоторому специальному подпространству.

Наиболее интересны случаи хаотичного поведения, когда большой набор первоначальных условий приводит к изменению на орбитах аттрактора. Простой способ продемонстрировать хаотический аттрактор — это начать с точки в районе притяжения аттрактора и затем составить график его последующей орбиты.

Из-за состояния топологической транзитивности, это похоже на отображения картины полного конечного аттрактора. Например, в системе описывающей маятник — пространство двумерное и состоит из данных о положении и скорости. Можно составить график положений маятника и его скорости. Положение маятника в покое будет точкой, а один период колебаний будет выглядеть на графике как простая замкнутая кривая. График в форме замкнутой кривой называют орбитой. Маятник имеет бесконечное количество таких орбит, формируя по виду совокупность вложенных эллипсов.

Хаос! Научное понимание хаоса!

Странные аттракторы.

Большинство типов движения описывается простыми аттракторами, являющимися ограниченными циклами.

Хаотическое движение описывается странными аттракторами, которые очень сложны и имеют много параметров.

Например, простая трехмерная система погоды описывается известным аттрактором Лоренца (Lorenz) — одной из самых известных диаграмм хаотических систем, не только потому, что она была одной из первых, но и потому, что она одна из самых сложных.

Некоторые дискретные динамические системы названы системами Жулиа по происхождению. И странные аттракторы и системы Жулиа имеют типичную рекурсивную, фрактальную структуру.

Теорема Пуанкаре-Бендиксона доказывает, что странный аттрактор может возникнуть в непрерывной динамической системе, только если она имеет три или больше измерений. Однако это ограничение не работает для дискретных динамических систем.

Дискретные двух- и даже одномерные системы могут иметь странные аттракторы. Движение трёх или большего количества тел, испытывающих гравитационное притяжение при некоторых начальных условиях может оказаться хаотическим движением.

Хаос! Научное понимание хаоса!

Простые хаотические системы.

Хаотическими могут быть и простые системы без дифференциальных уравнений. Примером может быть логистическое отображение, которое описывает изменение количества населения с течением времени. Логистическое отображение является полиномиальным отображением второй степени и часто приводится в качестве типичного примера того, как хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных динамических уравнений. Ещё один пример — это модель Рикера, которая также описывает динамику населения.

Показать хаос для соответствующих значений параметра может даже одномерное отображение, но для дифференциального уравнения требуется три или больше измерений. Теорема Пуанкаре — Бендиксона утверждает, что двумерное дифференциальное уравнение имеет очень стабильное поведение. Zhang и Heidel доказали, что трехмерные квадратичные системы только с тремя или четырьмя переменными не могут демонстрировать хаотическое поведение. Причина в том, что решения таких систем являются асимптотическими по отношению к двумерным плоскостям, и поэтому представляют собой стабильные решения.

Хаос! Научное понимание хаоса!

Математическая теория.

Теорема Шарковского — это основа доказательства Ли и Йорке (Li and Yorke) (1975) о том, что одномерная система с регулярным тройным периодом цикла может отобразить регулярные циклы любой другой длины так же, как и полностью хаотических орбит.

Ученые математики изобрели много дополнительных способов для описания и исследования хаотических систем на основе количественных показателей. Сюда входят: рекурсивное измерение аттрактора, экспоненты Ляпунова, графики рекуррентного соотношения, отображение Пуанкаре, диаграммы удвоения и оператор сдвига.

Хаос! Научное понимание хаоса!

Научное понимание хаотичных систем помогает решать сложные современные задачи в изучении окружающего нас мира.

Это относится к прогнозам погоды, землетресений, извержений вулканов, космическим явлениям, межпланетным полетам, и другим сложным процессам.

Теория хаоса продолжает быть очень активной областью научных изысканий, привлекая к своим исследованиям много разных дисциплин.

Можно отметить, что и теория хаоса позволила добиться новых достижений в области таких наук, как: математика, пространственная геометрия, топология, физика, биология, метеорология, астрофизика, теория информации, космология, социология, конфликтология и другие.

Теория хаоса! Научный прорыв хаоса! Научное понимание хаоса! Анализ нелинейных систем! Теория хаоса — это область нелинейных исследований!

Введение

1. Возникновение и история теории хаоса

2. Порядок и беспорядок

3. Прикладной хаос

4. Основные принципы хаоса (аттракторы и фракталы)

5. Детерминированный хаос и информационные технологии

6. Хаоса в других науках

7. Последствия хаоса

1.Начиная с рубежа 1980-х — 1990-х годов в дискуссиях историков-методологов появилось новое направление, связанное с «наукой о сложном» (complexity sciences). Так принято называть новую междисциплинарную область исследований, в центре внимания которой находятся проблемы исследования систем с нелинейной динамикой, неустойчивым поведением, эффектами самоорганизации, наличием хаотических режимов. Единая наука о поведении сложных систем, самоорганизации в Германии названа синергетикой (Г. Хакен), во франкоязычных странах — теорией диссипативных структур (И. Пригожин), в США — теорией динамического хаоса (М. Фейгенбаум). В отечественной литературе принят преимущественно первый термин, наиболее краткий и емкий.

ТЕОРИЯ ХАОСА — раздел математики, изучающий кажущееся случайным или очень сложное поведение детерминированных динамических систем. Динамическая система – это такая система, состояние которой меняется во времени в соответствии с фиксированными математическими правилами; последние обычно задаются уравнениями, связывающими будущее состояние системы с текущим. Такая система детерминирована, если эти правила не включают явным образом элемента случайности.

История теории хаоса . Первые элементы теории хаоса появились еще в XIX веке, однако подлинное научное развитие эта теория получила во второй половине XX века, вместе с работами Эдварда Лоренца из Массачусетского технологического института и франко-американского математика Бенуа Б. Мандельброта. Эдвард Лоренц в свое время рассматривал, в чем возникает трудность при прогнозировании погоды. До работы Лоренца в мире науки господствовало два мнения относительно возможности точного прогнозирования погоды на бесконечно длительный срок.

Первый подход сформулировал еще в 1776 году французский математик Пьер Симон Лаплас. Лаплас заявил, что «…если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами во Вселенной, то он сможет установить соответствующее положение, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в прошлом или в будущем». Этот его подход был очень похож на известные слова Архимеда: «Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир».

Таким образом, Лаплас и его сторонники говорили, что для точного прогнозирования погоды необходимо только собрать больше информации обо всех частицах во Вселенной, их местоположении, скорости, массе, направлении движения, ускорении и т.п. Лаплас думал, чем больше человек будет знать, тем точнее будет его прогноз относительно будущего.

Второй подход к возможности прогнозирования погоды раньше всех наиболее четко сформулировал другой французский математик, Жюль Анри Пуанкаре. В 1903 году он сказал: » Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно.

Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам требуется, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так; может случиться, что малые различия в начальных условиях вызовут очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем.

Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая».

В этих словах Пуанкаре мы находим постулат теории хаоса о зависимости от начальных условий. Последующее развитие науки, особенно квантовой механики, опровергло детерминизм Лапласа. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг открыл и сформулировал принцип неопределенности. Этот принцип объясняет, почему некоторые случайные явления не подчиняются лапласовому детерминизму.

Гейзенберг показал принцип неопределенности на примере радиоактивного распада ядра. Так, из-за очень малых размеров ядра невозможно знать все процессы, происходящие внутри него. Поэтому, сколько бы информации мы не собирали о ядре, точно предсказать, когда это ядро распадется невозможно.

В 1926–1927 голландский инженер Б. Ван-дер-Пол сконструировал электронную схему, соответствующую математической модели сердечных сокращений. Он обнаружил, что при определенных условиях возникающие в схеме колебания были не периодическими, как при нормальном сердцебиении, а нерегулярными. Его работа получила серьезное математическое обоснование в годы Второй мировой войны, когда Дж.Литтлвуд и М.Картрайт исследовали принципы радиолокации.

В 1950 Дж.фон Нейман предположил, что неустойчивость погоды может в один прекрасный день обернуться благом, поскольку неустойчивость означает, что желаемый эффект может быть

В начале 1960-х годов американский математик С.Смейл попытался построить исчерпывающую классификацию типичных разновидностей поведения динамических систем. Поначалу он предполагал, что можно обойтись различными комбинациями периодических движений, но вскоре понял, что возможно значительно более сложное поведение. В частности, он подробнее исследовал открытое Пуанкаре сложное движение в ограниченной задаче трех тел, упростив геометрию и получив при этом систему, известную ныне как «подкова Смейла». Он доказал, что такая система, несмотря на ее детерминированность, проявляет некоторые черты случайного поведения. Другие примеры подобных явлений были разработаны американской и российской школами в теории динамических систем, причем особенно важным оказался вклад В.И.Арнольда. Так начала возникать общая теория хаоса.

То, что чувствительность к начальным данным ведет к хаосу, понял — и тоже в 1963 году — американский метеоролог Эдвард Лоренц . Он задался вопросом: почему стремительное совершенствование компьютеров не привело к воплощению в жизнь мечты метеорологов — достоверному среднесрочному (на 2-3 недели вперед) прогнозу погоды? Эдвард Лоренц предложил простейшую модель, описывающую конвекцию воздуха (она играет важную роль в динамике атмосферы), просчитал ее на компьютере и не побоялся всерьез отнестись к полученному результату. Этот результат — динамический хаос- есть непериодическое движение в детерминированных системах (то есть в таких, где будущее однозначно определяется прошлым), имеющее конечный горизонт прогноза.

С точки зрения математики можно считать, что любая динамическая система, что бы она ни моделировала, описывает движение точки в пространстве, называемом фазовым. Важнейшая характеристика этого пространства — его размерность, или, попросту говоря, количество чисел, которые необходимо задать для определения состояния системы. С математической и компьютерной точек зрения не так уж и важно, что это за числа — количество рысей и зайцев на определенной территории, переменные, описывающие солнечную активность или кардиограмму, или процент избирателей, до сих пор поддерживающих президента. Если считать, что точка, двигаясь в фазовом пространстве, оставляет за собой след, то динамическому хаосу будет соответствовать клубок траекторий. Здесь размерность фазового пространства всего 3. Замечательно, что такие удивительные объекты существуют даже в трехмерном пространстве.

2. Порядок и беспорядок

Теория хаоса является достаточно общей, чтобы охватить широкий круг явлений нашего мира и при этом будоражит воображение читателей. Ведь оказалось, что порядок возникает именно из хаоса, а не откуда-нибудь еще! С другой стороны, в современных научных представлениях о хаосе есть много моментов, требующих пристального внимания и углубленного изучения. Пожалуй, вопросов тут больше, чем ответов.

Порядок и беспорядок

Из соображений, которые, возможно, станут ясны ниже, вначале мы обратимся к двум исключительно важным понятиям современной науки: «порядок» и «беспорядок». Обычно нам кажется, что здесь все с самого начала ясно и понятно, но на самом деле это далеко не так. И понятие хаоса, в известной мере, становится интересным и важным именно потому, что только порядком и беспорядком нам тут не обойтись.

Прежде всего – что такое порядок и что такое беспорядок? В каком отношении они находятся друг с другом? И как отличить одно от другого? Вопросы эти, оказывается, отнюдь не тривиальны, в чем мы скоро убедимся.

В повседневной жизни принято полагать, что беспорядок – это отсутствие порядка. Такие понятия встречаются довольно часто, например «холод». Мы употребляем его на каждом шагу и понимаем, что имеется в виду. Более того, мы даже «измеряем» его с помощью термометра. И, тем не менее, холода как такового не существует. Существует тепло, а холод на самом деле является его недостатком. Но мы говорим «холод» так, как будто бы он был чем-то реальным (или, как говорят философы, субстанциальным).

А вот с понятием «беспорядок» все, в известном смысле, обстоит наоборот. Мы используем это слово как обозначение отсутствия чего-то (порядка), что именно и существует само по себе. Но возникает вопрос: а так ли это?

Поясним суть дела на конкретном примере, для чего представим себе письменный стол некоего профессора. Глядя на него, мы, вероятно, решим что все, что находится на нем, свалено в беспорядочную кучу. Однако сам профессор, не глядя, протягивая руку, безошибочно находит нужный ему предмет. И напротив, если уборщица разложит все аккуратными стопками, то профессор не сможет работать так же, как не смогла готовить бабушка в романе Рэя Брэдбери «Вино из одуванчиков» после генеральной уборки, устроенной на кухне тетей.

Может быть, следует признать, что то, что мы привыкли называть беспорядком отнюдь не является отсутствием того, что обычно называют порядком? Впрочем, есть и другой путь: оставить за словом «беспорядок» его привычное значение, и ввести в оборот другой термин для обозначения того, что мы часто, не задумываясь, также называем беспорядком, хотя в действительности имеем в виду нечто совершенно иное.

Вам может показаться, что теория Хаоса весьма далека от фондового рынка и трейдинга в в частности. И действительно, каким боком один из разделов математики, в котором рассматриваются сложные динамические системы нелинейного характера, может относиться к миру трейденга? А вот и может!

Особенность нелинейных систем заключается в том, что их поведение находится в прямой зависимости от начальных условий. Но даже конкретные модели не позволяют предугадать их дальнейшего поведения.

На планете существует множество примеров подобных систем — турбулентность, атмосфера, биологические популяции и прочее.

Но, несмотря на свою непредсказуемость, динамические системы строго подчиняются одному закону и при желании могут быть смоделированы. К примеру, на фондовом рынке трейдеры и инвесторы также сталкиваются с кривыми, которые поддаются анализу.

Немного истории

Теория Хаоса нашла свое применение еще в 19 веке, но это были лишь первые шаги. Более серьезно изучением данной теории занялись Эдвард Лоренс и Бенуа Мандельброт, но произошло это уже позже – во второй половине 20-го века. При этом Лоуренс в своей теории пытался спрогнозировать погоду. И ему удалось вывести основную причину ее хаотичного поведения – различные начальные условия.

Основные инструменты

К основным инструментам теории Хаоса можно отнести фракталы и аттракторы. В чем суть каждого из них? Аттрактор – это то, к чему притягивается система, куда пытается прийти в конечном итоге. Его величина чаще всего является статистической мерой хаоса в целом. В свою очередь фрактал представляет собой некую геометрическую фигуру, часть которой постоянно повторяется. К слову, именно исходя из этого, было выведено одно из основных свойств данного инструмента – самоподобие. Но есть и еще одно свойство – дробность, которое становится математическим отображением меры неправильности фрактала.

По своей сути этот инструмент представляет собой противоположность хаоса.

К сожалению, точной математической системы теории Хаоса для изучения рыночных цен не существует. Следовательно, применять теорию Хаоса на практике не стоит торопиться. С другой стороны данное направление является одним из наиболее популярных и достойно внимания.

Хаотичность рынков

Как показывает практика, большинство современных рынков подвержено определенным тенденциям. Что это значит? Если рассматривать кривую на большом временном промежутке, то всегда можно увидеть причину того или иного движения. Но не все так гладко. На рынке всегда присутствует некий элемент непредсказуемости, который может внести какая-либо катастрофа, политические события или же действия инсайдеров. При этом современная теория Хаоса пытается спрогнозировать изменения на рынке с учетом каких-то нейросетевых подходов.

Возможность моделирования систем

Опытные участники прекрасно знают, что функционирует на основании какой-то сложной системы. Это не удивительно, ведь в нем присутствует множество участников (инвесторы, продавцы, спекулянты, покупатели, арбитражеры, хеджеры и так далее), каждый из которых выполняет какие-то свои задачи. При этом некоторые модели описывают данную систему, к примеру, волны Эллиота .

Отличие распределения Мандельбротта от нормального распределения

На практике распределение цены имеет гораздо больший разброс, чем ожидает большинство участников рынка. Мандельброт считал, что колебания цены имеет бесконечную дисперсию. Именно поэтому любые методы анализа являются неэффективными. Им было предложено проводить анализ распределения цены исключительно на основе фрактального анализа , который показал себя с лучшей стороны.

Выводы

Билл Вильяс (автор книги «Торговый хаос») уверен, что характеризующими звеньями хаоса являются системность и случайность. По его мнению, хаос является постоянным, в сравнению с той же стабильностью, которая временна. В свою очередь – это порождение хаоса. По сути, теория Хаоса ставит под сомнение саму основу технического анализа.

По мнению Вильямса, тот участник рынка, который в своем анализе отталкивается только от линейной перспективы, никогда не добьется больших результатов.

Более того, трейдеры проигрывают потому, что полагаются на различные виды анализа, которые зачастую абсолютно бесполезны.

Будьте в курсе всех важных событий United Traders — подписывайтесь на наш

​Введение в теорию хаоса

Что такое теория хаоса?

Теория хаоса это учение о постоянно изменяющихся сложных системах, основанное на математических концепциях, в форме ли рекурсивного процесса или набора дифференциальных уравнений, моделирующих физическую систему (реку́рсия — процесс повторения элементов самоподобным образом).

Неправильные представления о теории хаоса

Широкая общественность обратила внимание на теорию хаоса благодаря таким фильмам, как «Парк юрского периода», и благодаря им же, постоянно увеличивается опасение теории хаоса со стороны общества. Однако, как и в отношении любой вещи, освещаемой средствами массовой информации, в отношении теории хаоса возникло много неправильных представлений.

Наиболее часто встречающееся несоответствие состоит в том, что люди полагают, что теория хаоса — это теория о беспорядке. Ничто не могло бы быть так далеко от истины! Это не опровержение детерминизма и не утверждение о том, что упорядоченные системы невозможны; это не отрицание экспериментальных подтверждений и не заявление о бесполезности сложных систем. Хаос в теории хаоса и есть порядок — и даже не просто порядок, а сущность порядка.

Это правда, что теория хаоса утверждает, что небольшие изменения могут породить огромные последствия. Но одной из центральных концепций в теории является невозможность точного предсказания состояния системы. В общем, задача моделирования общего поведения системы вполне выполнима, даже проста. Таким образом, теория хаоса сосредотачивает усилия не на беспорядке системы — наследственной непредсказуемости системы — а на унаследованном ей порядке — общем в поведении похожих систем.

Таким образом, было бы неправильным сказать, что теория хаоса о беспорядке. Чтобы пояснить это на примере, возьмем аттрактор Лоренца. Он основан на трех дифференциальных уравнениях, трех константах и трех начальных условиях.

Теория хаоса о беспорядке

Аттрактор представляет поведение газа в любое заданное время, и его состояние в определенный момент зависит от его состояния в моменты времени, предшествовавшие данному. Если исходные данные изменить даже на очень маленькие величины, скажем, эти величины малы настолько, что соизмеримы с вкладом отдельных атомов в число Авогадро (что является очень маленьким числом по сравнению со значениями порядка 1024), проверка состояния аттрактора покажет абсолютно другие числа. Это происходит потому, что маленькие различия увеличиваются в результате рекурсии.

Однако, несмотря на это, график аттрактора будет выглядеть достаточно похоже. Обе системы будут иметь абсолютно разные значения в любой заданный момент времени, но график аттрактора останется тем же самым, т. к. он выражает общее поведение системы.

Теория хаоса говорит, что сложные нелинейные системы являются наследственно непредсказуемыми, но, в то же время, теория хаоса утверждает, что способ выражения таких непредсказуемых систем оказывается верным не в точных равенствах, а в представлениях поведения системы — в графиках странных аттракторов или во фракталах. Таким образом, теория хаоса, о которой многие думают как о непредсказуемости, оказывается, в то же время, наукой о предсказуемости даже в наиболее нестабильных системах.

Применение теории хаоса в реальном мире

При появлении новых теорий, все хотят узнать что же в них хорошего. Итак что хорошего в теории хаоса? Первое и самое важное — теория хаоса — это теория. А значит, что большая ее часть используется больше как научная основа, нежели как непосредственно применимое знание. Теория хаоса является очень хорошим средством взглянуть на события, происходящие в мире отлично от более традиционного четко детерминистического взгляда, который доминировал в науке со времен Ньютона. Зрители, которые посмотрели Парк Юрского периода, без сомнения боятся, что теория хаоса может очень сильно повлиять на человеческое восприятие мира, и, в действительности, теория хаоса полезна как средство интерпретации научных данных по-новому. Вместо традиционных X-Y графиков, ученые теперь могут интерпретировать фазово-пространственные диаграммы которые — вместо того, чтобы описывать точное положение какой-либо переменной в определенный момент времени — представляют общее поведение системы. Вместо того, чтобы смотреть на точные равенства, основанные на статистических данных, теперь мы можем взглянуть на динамические системы с поведением похожим по своей природе на статические данные — т.е. системы с похожими аттракторами. Теория хаоса обеспечивает прочный каркас для развития научных знаний.

Однако, согласно вышесказанному не следует, что теория хаоса не имеет приложений в реальной жизни.

Техники теории хаоса использовались для моделирования биологических систем, которые, бесспорно, являются одними из наиболее хаотических систем из всех что можно себе представить. Системы динамических равенств использовались для моделирования всего — от роста популяций и эпидемий до аритмических сердцебиений.

В действительности, почти любая хаотическая система может быть смоделирована — рынок ценных бумаг порождает кривые, которые можно легко анализировать при помощи странных аттракторов в отличие от точных соотношений; процесс падения капель из протекающего водопроводного крана кажется случайным при анализе невооруженным ухом, но если его изобразить как странный аттрактор, открывается сверхъестественный порядок, которого нельзя было бы ожидать от традиционных средств.

Фракталы находятся везде, наиболее заметны в графических программах как например очень успешная серия продуктов Fractal Design Painter. Техники фрактального сжатия данных все еще разрабатываются, но обещают удивительные результаты как например коэффициента сжатия 600:1. Индустрия специальных эффектов в кино, имела бы горазда менее реалистичные элементы ландшафта (облака, скалы и тени) без технологии фрактальной графики.

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

И, конечно, теория хаоса дает людям удивительно интересный способ того, как приобрести интерес к математике, одной из наиболее мало-популярной области познания на сегодняшний день.

Сейчас осуществляется революция, которая может изменить стратегическое мышление. Горько-сладкая правда состоит в том, что эта революция имеет мало общего с «новым мировым порядком», установленным после окончания Холодной войны и успешной операции «Буря в пустыне». Настоящая революция происходит в науке, и ее влияние может изменить как характер войны, так и эталоны стратегического мышления. Наше внимание пока еще заострено на краткосрочной международной реорганизации. Будучи захваченными этим переходным моментом, мы упускаем эпохальное.

Научные достижения толкают нас за пределы ньютоновских концепций в экзотическую теорию хаоса и самоорганизованую критичность. Эти новые направления научных изысканий возникли лишь в течение последних 30 лет. Говоря в двух словах, они утверждают, что структура и стабильность находятся внутри самой видимой беспорядочности и нелинейных процессах. С тех пор, как научные революции в прошлом изменили сущность конфликта, для американских стратегов будет жизненно важным понимать происходящие изменения. С одной стороны это важно с технологической точки зрения: новые принципы производят новые виды вооружений как, например, квантовая теория и теория относительности сопровождали появление ядерного оружия.

Вторая, и более фундаментальная причина необходимости понимания изменений в науке состоит в том, что наше восприятие реальности основывается на научных парадигмах. Мир зачастую представляется нам как место, полное противоречий и беспорядка и мы ищем такие рамки, которые наполнят его смыслом. Эти рамки были полностью установлены физическими науками, подобно тому, как в 18 веке бытовало мнение, что движение небесных тел подобно работе огромного часового механизма. Научные достижения, кроме того, показывают нам новые пути понимания окружающей среды и могут подразумевать инновации по решению политических дилемм. Несмотря на желание стратегического сообщества ухватиться за технологические преимущества, которые можно извлечь из изменений, вполне возможно адаптировать эти достижения для стратегического мышления. Эта статья лишь поверхностно касается технических преимуществ, вместо этого акцентируя внимание на концептуальных аспектах.

Неприятие стратегическим сообществом новых парадигм является данью власти нынешних установок. Специфическая парадигма, которая проникла в современное Западное сознание, лучше всего описана в ньютоновском мировоззрении. Она детерминистская, линейная, связана с взаимодействием объектов и сил, и ориентирована на последовательные изменения. Эта единственная точка зрения на мир повлияла на все сферы человеческой деятельности. Один комментатор очень четко подметил: «другие науки поддерживают механицистское… видение классической физики как четкое описание реальности и моделируют свои теории в соответствии с нею. Всякий раз, когда психологи, социологи или экономисты хотят приблизиться к научности, они естественно обращаются к базовой концепции ньютоновской физики».Как одна из социальных наук, военная наука сталкивается с такими же предпосылками. Будет вполне верным сказать, что эта специфическая дисциплина механики — наука движения и действия сил и тел — захватила наше воображение.

Почему же механицистское мировоззрение настолько сильно блокирует стратегическое мышление? Часть ответа мы найдем в том факте, что военная и политическая науки напрямую развивались как науки 18 и 19 столетий, в соответствии с ростом значения классической физики и математики. Эйнштейн описывает этот дух эпохи так: «великие достижения механики во всех отраслях, ее потрясающий успех в развитии астрономии, применение ее идей к совершенно иным проблемам, нематематическим по своей сути, все это способствовало становлению убеждения в то, что возможно описать все природные феномены в терминах обычных сил между не допускающими каких-либо изменений объектами».

Кроме того, имеются и более реальные причины. Попросту говоря, бой — это механика. Ни для кого не будет удивлением то, что военная стратегия загнана в механицистские рамки. С тех пор как национальная стратегия часто заимствует метафоры сражения — мирная «агрессия», Холодная «война», кампания по строительству государства-нации — опять же, не удивительно, что национальная стратегия отражает это же предубеждение. Политика — это продолжение войны лингвистическими средствами.

Второй причиной столь длительного влияния механики является ее доступность. В предыдущем столетии физика (включая ее подраздел механику) и химия сделали большие шаги по сравнению с другими областями науки. Биология находилась в младенческом состоянии до конца 19 века, а открытия, представляющие теорию относительности Эйнштейна еще были в будущем. Ньютоновская механика, наоборот, прочно утвердилась в конце 17 века.

Наконец, это механицистское мировоззрение было обнадеживающим, так как утверждало, что в мире происходят поочередные изменения. Это давало надежду стратегам на то, что череда событий может быть предугадана, если будут открыты основополагающие принципы и будут известны те варианты, которые могут быть применимы. Поэтому не будет сюрпризом тот факт, что современные военные теоретики прочно и подсознательно следовали механицистской парадигме. На уровне военной стратегии, принимая во внимание Клаузевица , язык книги «О войне» разбивает механицистские основы: трение, массу, центры гравитации и т.д. Или взять Жомини , который потряс основы геометрии поля боя. Или, возьмем современный пример и рассмотрим выдержку из инструкции Пентагона по планированию национальной безопасности: «Окончание Холодной войны может быть описано как монументальный сдвиг тектонических плит, высвобождающий основные силы, которые безвозвратно перестраивают стратегический ландшафт».

С тех пор как это механицистское мировоззрение получило распространение, оно никогда не ослабляло своей хватки. В результате получается застой, связанный с неопределенностью основ наших многих стратегических дилемм. Консерватизм, внутренне присущий истэблишменту национальной безопасности, комбинируется с пониманием необходимости внимательности к основным вопросам войны и мира и унылыми теоретическими новшествами. Революция в стратегии, основанная на механицистском устройстве реальности, имеет твердо фиксированное положение, а провокационные доктрины последнего столетия стали ее ограничивающими догмами.

Но в действительности ли это является проблемой? Конвенциональные войны по общему признанию были во многом утверждены Клаузевицем, Лидделом Гартом и другими людьми этого рода. Так называемая революция в военном деле до 1945 г. была представлена лишь в изменениях механического преимущества. Моторизованная война, например, увеличивала варианты выбора цели для атакующих войск, но все еще подлежала анализу в стиле Клаузевица. ВВС сместили сражение к настоящему третьему измерению, но не устранили саму парадигму. Также повышение разрушительности и точности оружия сохранили классические рамки толкования войны. На национальном стратегическом уровне мы находим их применимыми для определения стратегического «баланса» между Востоком и Западом, а также сохранения и реформирования альянсов, которые имеют аналоги в механицистских рядовых построениях прошлых столетий.

Но из этого мы можем извлечь лишь неприятный комфорт: так как мир становится более сложным, традиционные теории менее способны на объяснения. Разрыв между теорией и реальностью существует на уровнях и национальной и военной стратегии. В военном отношении, количество вооружений и разновидности войн, разработанные в прошлый век, недостаточно подходили к классической стратегии. Новые вооружения разработать относительно легко, но трудно внедрить в рамки доктрины. Биологическое и ядерное оружие являются двумя такими примерами. Конечно, и сам процесс сражения беспорядочен. В армейской доктрине сейчас открыто говорится: «Боевые действия высокой и средней интенсивности хаотичны, интенсивны и очень разрушительны… Операции в основном будут иметь линейный характер».

Аттрактор и бабочка Памяти Эдварда Нортона Лоренца: Наука и техника: Lenta.ru

В 1961 году метеоролог и математик Эдвард Лоренц, скончавшийся 16 апреля 2008 года, ввел в созданную им компьютерную модель погоды данные, округлив их не до шестого, а до третьего знака после запятой. В результате был сформулирован эффект бабочки, открыт один из странных аттракторов, обнаружена непредсказуемость поведения многих детерминированных систем и, в конечном итоге, создана теория хаоса.

Предыстория: демон Лапласа

В 1814 великий французский ученый Пьер-Симон Лаплас создал демона, которому суждено было на много лет стать предметом научных дискуссий. Вымышленный демон знал положение и скорость каждой частицы во Вселенной в каждый момент времени и, владея всеми физическими законами, мог предсказать будущее каждой частицы и описать ее прошлое.

Вопрос: мыслим ли такой демон хотя бы теоретически? Успехи науки Нового времени наводили на мысль, что да: орбиты планет были рассчитаны, появления комет – предсказаны, случайные события – описаны теорией вероятности.

В дальнейшем, однако, демон Лапласа подвергся жесткой критике. После развития квантовой механики и открытия принципа неопределенности Гейзенберга (нельзя точно измерить одновременно скорость и координаты частицы) стало понятно, что квантовые системы демону неподвластны: в них есть принципиальная непредсказуемость.

Впоследствии также отмечалось, что существование демона противоречило бы законам термодинамики, что ему в принципе не хватило бы для знаний и вычислений информационных мощностей, даже используй он все ресурсы Вселенной.

Однако демон не сдал позиции полностью. В самом деле, представим себе полностью детерминированную (предопределенную, лишенную случайности) систему (классическую, без квантовых эффектов). Если мы знаем все законы, управляющие ее поведением (будь они сколь угодно сложны), знаем все необходимые параметры и обладаем необходимыми вычислительными мощностями (то есть под рукой есть демон Лапласа – читай: суперкомпьютер), то уж для такой-то системы мы сможем полностью предсказать поведение?

Есть одна оговорка. Все наши измерения будут содержать какую-нибудь ошибку. Переменные, хранящиеся в памяти компьютера, будут иметь ограниченную точность. То есть придется пользоваться приблизительными данными. Ну и ладно: нам не нужна бесконечная точность, вполне достаточно приблизительных предсказаний. Исходные данные содержат ошибку в пятом знаке? Ошибка предсказания в пятом знаке нас вполне устроит.

Итак, можно ли, например, предсказывать погоду? Хотя бы примерно? Хотя бы на каком-то ограниченном участке, но на более-менее приличный срок?

Три знака после запятой

Эдвард Лоренц с детства увлекался погодой и математикой. Во время Второй мировой войны стал метеорологом ВВС США, после продолжил изучать теоретические основы метеорологии в Массачусетском технологическом институте, а также стал заниматься довольно экзотическим по тем временам делом – пытаться научиться прогнозировать погоду с помощью компьютерных моделей.

Эдвард Лоренц. Фото с сайта Американского физического института.

Lenta. ru

В его распоряжении находилась вычислительная машина Royal McBee. В 1960 году Лоренц создал упрощенную модель погоды. Модель представляла собой набор чисел, описывавший значение нескольких переменных (температуры, атмосферного давления, скорости ветра) в данный момент времени. Лоренц выбрал двенадцать уравнений, описывавших связь между этими переменными. Значение переменных в следующий момент времени зависело от их значения в предыдущий момент и рассчитывалось по этим уравнениям. Таким образом, модель была полностью детерминирована.

Коллеги Лоренца от модели пришли в восторг. Машине скармливались несколько чисел, она начинала выдавать ряды чисел (впоследствии Лоренц научил ее рисовать несложные графики), описывающие погоду в некотором воображаемом мире. Числа не повторялись – они порой почти повторялись, система как будто воспроизводила старое свое состояние, но не полностью, циклов не возникало. Словом, искусственная погода была плохо предсказуема, причем характер этой непредсказуемости (апериодичность) был примерно такой же, какой и у погоды за окном. Студенты и преподаватели заключали пари, пытаясь угадать, каким будет состояние модели в следующий момент.

Зимой 1961 года Лоренц решил подробнее изучить уже построенный машиной график изменения одной из переменных. В качестве начальных данных он ввел значения переменных из середины графика и вышел отдохнуть. Машина должна была бы точно воспроизвести вторую половину графика и продолжить строить его дальше. Однако вернувшись, Лоренц обнаружил совершенно другой график. Если в начале он еще более-менее повторял первый, то к концу не имел с ним ничего общего.

Расхождение двух графиков погоды, берущих начало из одной точки. Распечатка Лоренца 1961 года, воспроизведенная в книге Джеймса Глейка «Хаос: Создание новой науки» (СПб., «Амфора», 2001).

Lenta.ru

Получалось, что модель, из которой полностью устранена случайность, при одних и тех же начальных значениях выдает совершенно разные результаты. Машина не сломалась и считала все правильно, Лоренц не опечатался при вводе данных.

Разгадка нашлась довольно быстро: в памяти машины значения переменных хранились с точностью до шести знаков после запятой (…,506217), а на распечатку выдавалось только три (…,506). Лоренц, разумеется, ввел округленные значения, резонно предположив, что такой точности вполне достаточно.

Оказалось, что нет. «…овалились маленькие костяшки домино… большие костяшки… огромные костяшки, соединенные цепью неисчислимых лет, составляющих Время», – написал в 1952 году в знаменитом рассказе «И грянул гром» Рэй Брэдбери. Примерно это же произошло в модели Лоренца. Система оказалась исключительно чувствительной к малейшим воздействиям на нее.

Эффект бабочки

Это наблюдение, вкупе со многими другими открытиями, привело к подробному изучению детерминированного хаоса – иррегулярного и непредсказуемого поведения детерминистских нелинейных динамических систем (определение Родерика Дженсена из Йельского университета), явно беспорядочного, повторяющегося поведения в простой детерминистской системе, похожей на работающие часы (определение Брюса Стюарта из Брукхевенской национальной лаборатории США).

Откуда в детерминированной системе хаос и непредсказуемость? От сильной чувствительности к начальным условиям. Малейшее воздействие, от которого невозможно избавиться – округление переменной (если это теоретическая модель), ошибка измерения (если это исследование реальной системы) – и система ведет себя совершенно по-другому.

Лоренц приводил наглядный пример: если погода действительно относится к классу настолько чувствительных систем (разумеется, не все системы такие), то взмах крыльев чайки может вызвать заметные изменения погоды. Впоследствии чайка была заменена бабочкой, а в 1972 году появилась работа «Предсказуемость: может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?».

Так родился знаменитый термин «эффект бабочки», отсылавший и к рассказу Брэдбери и, удивительным образом, к следующему открытию Лоренца – странному аттрактору, названному в его честь.

Неожиданная структура

На первый взгляд, открытие относилось скорее к разряду плохих новостей: многие системы, несмотря на кажущуюся детерминированность, ведут себя совершенно непредсказуемо. Однако Лоренц не остановился на достигнутом и стал искать порядок в случайности. Казалось, где-то он должен быть: ведь неслучайно система демонстрировала апериодическое поведение, почти повторяя время от времени уже возникавшее ранее состояние.

Лоренц построил похожую, но более простую модель из трех уравнений с тремя переменными. Модель описывала конвекцию в газе и жидкости, а также поведение несложного механического устройства – водяного колеса Лоренца (см. иллюстрацию). Под напором воды, наполняющей емкости (и вытекающей из них сквозь небольшие отверстия), колесо ведет себя удивительно сложным образом: замедляет вращение, ускоряет его, начинает вращаться в другую сторону, останавливается – в общем, как и положено уважающей себя хаотической системе.

Водяное колесо Лоренца. Изображение с сайта ast.cam.ac.uk. Кликните на картинку, чтобы увидеть ее целиком.

Lenta.ru

Уравнения выглядели следующим образом
dx/dt = s(y — x)
dy/dt = x(r — z) — y
dz/dt = xy — bz
s=10, r=28, b=8/3. Можно брать и другие значения параметров, однако не при всех система будет демонстрировать хаотическое поведение.

Для наглядного отображения поведения системы Лоренц использовал не обычный временной график, а фазовый портрет. Три числа, описывающие состояние системы, обозначали координаты точки в трехмерном пространстве. С каждым шагом на фазовом портрете появлялась новая точка.

Если бы система рано или поздно приходила к полной устойчивости, добавление точек рано или поздно должно было полностью остановиться. Если бы она приходила к периодическим колебаниям, линия из точек образовала бы кольцо. Наконец, если в поведении системы не было бы вообще никаких закономерностей, на фазовом портрете могло бы появиться что угодно.

Результат оказался совершенно неожиданным. Объект, который появился на портрете (см. главную иллюстрацию), располагался в определенных границах, не пересекая их. Он обладал определенной структурой – напоминал два крыла бабочки – но в ее пределах был совершенно неупорядочен. Он не прекращал «развиваться»: ни одна новая точка не совпадала с предыдущей, фазовый портрет можно было строить бесконечно. Переход от одного из крыльев к другому соответствовал началу вращения колеса в другую сторону.

Такие объекты – странные аттракторы – сыграли большую роль во фрактальной геометрии и теории хаоса. «Крылья бабочки» получили название «аттрактор Лоренца».

Эффект бабочки: фазовые портреты для трех моментов времени. Желтая и синяя линия представляют собой траектории, соответствующие начальным наборам данных, в которых значения x отличались на 10^-5. Сначала линии почти совпадают (желтая закрывает с

Lenta.ru

Теория хаоса

Наблюдения Лоренца заставляют пережить два шока. Первый – оказывается, демон Лапласа может быть бессильным даже перед не очень сложной детерминированной системой. Там, где все, казалось бы, предопределено, неожиданно возникает хаос.

Второй шок – в этом хаосе, оказывается, спрятан порядок. Неожиданный, странный, плохо понятный, представляющий собой «тонкую структуру, таящуюся в беспорядочном потоке информации» (Дж. Глейк), но тем более интересный. Аттрактор Лоренца не решает проблемы предсказания, но уже само его существование достойно изучения.

Поисками подобных проявлений порядка в хаосе и занимается сравнительно молодая наука – теория хаоса. Она возникла не мгновенно и не имеет одного создателя. Ее основы были заложены в работах Пуанкаре, Колмогорова, Арнольда, Ляпунова, Ландау, Смэйла, Мандельброта, Фейгенбаума и десятков других талантливых ученых, либо увидевших то, что до них никто не видел, либо сумевших описать то, что увидели другие.

Одним же из ключевых моментов (далеко не сразу, кстати, оцененным по достоинству) в ее возникновении считается день, когда Эдвард Нортон Лоренц, любитель погоды и упорный искатель странного, ввел в свою модель значения переменных, округленные до трех знаков после запятой.

Математические модели хаоса / Хабр

Введение

На Habr уже обсуждалась теория хаоса в статьях [1,2,3]. В этих статьях рассмотрены следующие аспекты теории хаоса: обобщённая схема генератора Чуа; моделирование динамики системы Лоренца; программируемые логическими интегральными схемами аттракторы Лоренца, Ресслера, Рикитаке и Нозе-Гувера.

Однако, техники теории хаоса используются и для моделирования биологических систем, которые, бесспорно, являются одними из наиболее хаотических систем из всех, что можно себе представить. Системы динамических равенств использовались для моделирования всего — от роста популяций и эпидемий, до аритмических сердцебиений [4].

В действительности, почти любая хаотическая система может быть смоделирована — рынок ценных бумаг порождает кривые, которые можно легко анализировать при помощи странных аттракторов, процесс падения капель из протекающего водопроводного крана кажется случайным при анализе невооруженным ухом, но, если его изобразить как странный аттрактор, открывается сверхъестественный порядок, которого нельзя было бы ожидать от традиционных средств.

Целью настоящей статьи является рассмотрение теории хаоса на примере роста численности биологических популяций и удвоения цикла в механических системах с графической визуализацией математических моделей основанной на простых интуитивно понятных программах, написанных на Python.

Статья написана с целью обучения, но позволит, даже не имеющему опыта программирования читателю, используя приведенные программы, самостоятельно решить большинство новых учебных задач по теме моделирования явлений хаоса.

Удвоение периода циклов и хаос на примере роста численности биологических популяций

Начнём с рассмотрения логистического дифференциального уравнения, которое моделирует ограниченный, а не экспоненциальный рост численности биологических популяций:

Именно это уравнение может предсказать экзотические и неожиданные модели поведения некоторых популяций. Действительно, согласно (1) при численность популяции приближается к граничной равной a/b.

Для численного решения логистического дифференциального решения можно использовать самый простой алгоритм, с численным значением шага времени, приняв , тогда решение (1) можно получить путём многократного применения следующего соотношения:

(2)

Представим уравнение (2) в виде логистического уравнения в конечных разностях:

. (3),

где: r=1+ah и s=bh.
Подстановкой в (3) , получим итерационную формулу:

, (4)

Рассчитывая значения, заданные соотношением (3), можно сгенерировать последовательность
максимальных значений численности популяций, которые будет поддерживать среда в заданные моменты времени .

Предполагаем, что существует предельное значение дробей, выражающих часть численности популяций:

, (5).

Будем исследовать, как зависит от параметра роста r в уравнении (4). Для этого на Python напишем программу, которая, начиная с , вычисляет результаты при нескольких сотен итераций (n=200) для r=1,5;2,0;2,5:

Код программы

# -*- coding: utf8 -*-
from numpy import *
print("      n     r=1,5     r=2,0     r=2,5   ")
M=zeros([201,3])
a=[1.5,2.0,2.5]
for j in arange(0,3,1):
       M[0,j]=0.5
for j in arange(0,3,1):
        for i in arange(1,201,1):
                M[i,j]=a[j]*M[i-1,j]*(1-M[i-1,j])
for i in arange(0,201,1):
       if 0<=i<=2:
              print(" {0: 7. 0f}  {1: 7.4f} {2: 7.4f}  {3: 7.4f} "
                    . format(i,M[i,0],M[i,1],M[i,2]))
       elif 2<i<=5:
              print(".")
       elif  197<=i<=200:
              print(" {0: 7.0f}  {1: 7.4f}  {2: 7.4f}  {3: 7.4f} "
                    . format(i,M[i,0],M[i,1],M[i,2]))

Результат работы программы (для сокращения вывода результатов приведены первые три и последние четыре значения):

       n   r=1,5     r=2,0     r=2,5   
       0   0.5000 0.5000   0.5000 
       1   0.3750 0.5000   0.6250 
       2   0.3516 0.5000   0.5859 
.
.
.
     197   0.3333   0.5000   0.6000 
     198   0.3333   0.5000   0.6000 
     199   0.3333   0.5000   0.6000 
     200   0.3333   0.5000   0.6000 

Анализ дискретной модели показывает, что для r=1,5;2,0;2,5 с ростом количества итераций значение

стабилизируется и становится практически равным предельному

, которое определяется соотношением (5). Причём для приведенных значений

r

величина

соответственно равна

.

Увеличим r=3,1;3,25;3,5 и число итераций n=1008, для этого внесём следующие изменения в программу:

Код программы

# -*- coding: utf8 -*-
from numpy import *
print("      n     r=3,1     r=3,25     r=3,5   ")
M=zeros([1008,3])
a= [3.1,3.25,3.5]
for j in arange(0,3,1):
        M[0,j]=0.5
for j in arange(0,3,1):
        for i in arange(1,1008,1):
                M[i,j]=a[j]*M[i-1,j]*(1-M[i-1,j])
for i in arange(0,1008,1):
        if 0<=i<=3:
                print(" {0: 7.0f}  {1: 7.4f} {2: 7.4f}  {3: 7.4f} "
                    . format(i,M[i,0],M[i,1],M[i,2]))
        elif 4<i<=7:
                print(".")
        elif  1000<=i<=1007:
                print(" {0: 7.0f}  {1: 7.4f}  {2: 7.4f}  {3: 7.4f} "
                    . format(i,M[i,0],M[i,1],M[i,2]))

Результат работы программы (для сокращения вывода результатов приведены первые четыре и последние восемь значений):

    n   r=3,1   r=3,25   r=3,5  
    0  0. 5000 0.5000  0.5000 
    1  0.7750 0.8125  0.8750 
    2  0.5406 0.4951  0.3828 
    3  0.7699 0.8124  0.8269 
.
.
.
  1000  0.5580  0.4953  0.5009 
  1001  0.7646  0.8124  0.8750 
  1002  0.5580  0.4953  0.3828 
  1003  0.7646  0.8124  0.8269 
  1004  0.5580  0.4953  0.5009 
  1005  0.7646  0.8124  0.8750 
  1006  0.5580  0.4953  0.3828 
  1007  0.7646  0.8124  0.8269

Как следует из приведенных данных, вместо того, чтобы стабилизироваться возле единственной предельной численности популяции, дробная часть численности популяции колеблется между двумя дробями по мере изменения времени. По сравнению с

r=3,1

, период цикла для

r=3,25

увеличивается вдвое, а для

r=3,5

в четыре раза.

Программа для графического отображения циклов роста популяции

# -*- coding: utf8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import *
M=zeros([1008,3])
a= [3.1,3.25,3.5]
for j in arange(0,3,1):
        M[0,j]=0.5
for j in arange(0,3,1):
        for i in arange(1,1008,1):
                M[i,j]=a[j]*M[i-1,j]*(1-M[i-1,j])
x=arange(987,999,1)
y=M[987:999,0]
y1=M[987:999,1]
y2=M[987:999,2]
plt. title('Удвоение цикла роста популяции для r=3,1;3,25;3,5') 
plt.plot(x,y, label="T=1,ymax=%s,ymin=%s"%(round(max(y),3),round(min(y),3)))
plt.plot(x,y1, label="T=2,ymax=%s,ymin=%s"%(round(max(y1),3),round(min(y1),3)))
plt.plot(x,y2, label="T=4,ymax=%s,ymin=%s"%(round(max(y2),3),round(min(y2),3)))
plt.grid()
plt.legend(loc="best")
plt.ylabel("x(n)")
plt.xlabel("n")
plt.show()

Результат выполнения программы:

Благодаря удвоению периода итерация, стала широко известной. Когда значение скорости роста превосходит r=3,56, удвоение периода ускоряется и уже в точке r=3,57 возникает чрезвычайный хаос. Для отображения наступления хаоса воспользуемся следующей программой:

Код программы

# -*- coding: utf8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import *
print("     n     r=3,57 ")
M=zeros([1041,1])
a= [3.57]
for j in arange(0,1,1):
        M[0,j]=0.5
for j in arange(0,1,1):
        for i in arange(1,1041,1):
                M[i,j]=a[j]*M[i-1,j]*(1-M[i-1,j])
for i in arange(0,1041,1):
        if 1000<=i<=1015:
                print(" {0: 7. 0f} {1: 7.4f}"
          . format(i,M[i,0]))
x=arange(999,1040,1)
y=M[999:1040,0]
plt.title(' Не детерминированный хаос для r=3,57') 
plt.plot(x,y)
plt.grid()
plt.ylabel("x(n)")
plt.xlabel("n")
plt.show()

Результат выполнения программы:

   n      r=3,57 
  1000  0.4751
  1001  0.8903
  1002  0.3487
  1003  0.8108
  1004  0.5477
  1005  0.8844
  1006  0.3650
  1007  0.8275
  1008  0.5096
  1009  0.8922
  1010  0.3434
  1011  0.8050
  1012  0.5604
  1013  0.8795
  1014  0.3784
  1015  0.8397

Напишем программу для визуализации зависимости поведения итераций от параметра роста r. Для каждого значения r в интервале выполняется 1000 итераций для достижения устойчивости. Затем, каждые 250 значений, полученных в результате итераций, наносятся на график по вертикальной оси, образуя точки (r,x):

Код программы

# -*- coding: utf8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import*
N=1000
y=[]
y.append(0. 5)
for r in arange(2.8,4.0,0.0001):  
    for n in arange(1,N,1):       
        y.append(round(r*y[n-1]*(1-y[n-1]),4)) 
    y=y[N-250:N]
    x=[r ]*250
    plt.plot( x,y, color='black', linestyle=' ', marker='.', markersize=1) 
plt.title("Диаграмма ветвления при 2,8<= r<=4,0,0<=x<=1")
plt.xlabel("r")
plt.ylabel("y")
plt.axvline(x=3.01,color='black',linestyle='--')
plt.axvline(x=3.45, color='black',linestyle='--')
plt.axvline(x=3.6,color='black',linestyle='--')
plt.axvline(x=3.7,color='black',linestyle='--')
plt.axvline(x=3.8,color='black',linestyle='--')
plt.axvline(x=3.9,color='black',linestyle='--')
plt.show()

Результат в виде диаграммы:

Полученный график называется “диаграммой ветвления”, которая позволяет определить, чему соответствует данное значение r — циклу или хаосу. Единственное значение численности популяции определяется до значения , затем цикл с периодом 2 до , затем цикл с периодом 4, затем цикл с периодом 8 и далее с быстрым приближением к хаосу.

Следует отметить, что вертикальные области незаполненного пространства на графике- это области r=3,6 и r=3,7, между r=3,7 и r=3,8, между r=3,8 и r=3,9, куда возвращается циклический порядок из предыдущего хаоса.
Для рассмотрения появления цикла с периодом кратным 3 в области внесём изменения в предыдущую программу:

Код программы

# -*- coding: utf8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import*
N=1000
y=[]
y.append(0.5)
for r in arange(3.8,3.9,0.0001):  
    for n in arange(1,N,1):       
        y.append(round(r*y[n-1]*(1-y[n-1]),4)) 
    y=y[N-250:N]
    x=[r ]*250
    plt.plot( x,y, color='black', linestyle=' ', marker='.', markersize=1) 
plt.title("Диаграмма ветвления  при 3,8<= r<=3,9,0<=x<=1")
plt.xlabel("r")
plt.ylabel("y")
plt.axvline(x=3.83,color='black',linestyle='--')
plt.show()

Результат выполнения программы:

Цикл периода 3 появляется в окрестности точки r=3,83, а затем разбивается последовательно на циклы 6,12,24. Существование цикла с периодом 3 подразумевает наличие циклов любого другого конечного периода, а так же хаотических циклов вообще без периода.

Диаграмма ветвления позволяет проследить за развитием системы при плавном изменении параметра. При фиксированном значении параметра за орбитами точек позволяет проследить паутинная диаграмма (диаграмма Ламерея).

Построение паутинной диаграммы позволяет выявить различные эффекты, незаметные на диаграмме ветвления. Напишем программу:

Код программы

# -*- coding: utf8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import *
a=2.7
x1=0.62
def ff(x):
        return a*x*(1-x)
b=a*x1*(1-x1)/x1
def fl(x):
        return b*x
x=0.1
y=0
Y=[]
X=[]
for i in arange(1,30,1):
        X.append(x)
        Y.append(y)
        y=ff(x)
        X.append(x)
        Y.append(y)
        x=y/b
plt.title('Паутинная диаграмма логистической \n функции λx(1-x) при λ = 2.7')
plt.plot(X,Y,'r')
x1=arange(0,1,0.001)
y1=[ff(x) for x in x1]
y2=[fl(x) for x in x1]
plt. plot(x1,y1,'b')
plt.plot(x1,y2,'g')
plt.grid(True)
plt.show()

Диаграмма Ламерея:

Удвоение периода в механических системах

Рассмотрим дифференциальное уравнение, которое моделирует свободные затухающие колебания материальной точки заданной массы на нелинейной пружине, при которых затухание определяется скоростью.

(6)

В уравнении (6) член kx представляет силу линейной пружины, приложенной к материальной точке заданной массы, а член представляет фактическую нелинейность пружины.

Если на систему свободных колебаний (6) действует сила, то перемещение материальной точки массы, к которой приложена эта сила, описывается дифференциальным уравнением Дуффинга для вынужденных колебаний:

(7)

Уравнение (7) для большинства входящих в него параметров решается численным методом. Механическая система для математической модели по уравнению (7) приведена на рисунке:

Особенностью приведенной системы является то, что вместо пружины используется гибкая металлическая нить, которая колеблется в вертикальной плоскости, для которой константа Гука k отрицательна. В этой схеме точки устойчивого равновесия (а) и (с), а точка неустойчивого равновесия (b).

При смещении материальной точки из положения (b), действующая на неё сила является отталкивающей. Если периодическая сила, например, созданная осциллирующим магнитным полем частично гасится сопротивлением воздуха. Тогда, уравнение (7) является приемлемой математической моделью для горизонтального перемещения x(t) материальной точки при следующих областях параметров .

Для исследования поведения такой нелинейной системы примем , тогда дифференциальное уравнение (7) принимает вид:

, (8)

Напишем программу численного интегрирования уравнения (8) при начальных условиях в области и для каждого из следующих значений амплитуды , причем в каждом случае вывести на график решения для плоскостей и :

Код программы

# -*- coding: utf8 -*-
from numpy import *
from scipy. integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
for F in [0.6,0.7,0.75,0.8]:
        def f(y,t):
                y1,y2=y
                return [y2,-y2-y1**3+y1+F*cos(t)]
        t=arange(100,200,0.001)
        y0=[1.0,0.0]
        [y1,y2]=odeint(f, y0, t, full_output=False,rtol=1e-12).T
        if F==0.6:
               plt.subplot(221)
               plt.title('Фазовая плоскость F=0.6,T=2'r'$\pi$')
               plt.plot(y1,y2, color='black', linestyle=' ', marker='.',
                markersize=0.1)
               plt.grid(True)
               plt.subplot(222)
               plt.title('Решение x(t): F=0.6,T=2'r'$\pi$')
               plt.plot(t,y1, color='black', linestyle=' ', marker='.',
                markersize=0.1)              
               plt.grid(True)
        elif F==0.7:
                plt.subplot(223)                
                plt.plot(y1,y2, color='black', linestyle=' ', marker='.',
                markersize=0.1, label='Фазовая плоскость \n F=0.7,T=4'r'$\pi$')
                plt.legend(loc='upper left')
                plt.grid(True)
                plt.subplot(224)
                plt.plot(t,y1, color='black', linestyle=' ', marker='.',
                 markersize=0.1, label='Решение x(t): F=0.7,T=4'r'$\pi$')
                plt.legend(loc='upper left')
                plt.grid(True)
                plt.show()
        if F==0.75:
                plt.subplot(221)
                plt.title('Фазовая плоскость F=0.75,T=8'r'$\pi$')
                plt.plot(y1,y2, color='black', linestyle=' ', marker='.',
                 markersize=0.1)               
                plt.grid(True)
                plt.subplot(222)
                plt.title('Решение x(t): F=0.75,T=8'r'$\pi$')
                plt.plot(t,y1, color='black', linestyle=' ', marker='.',
                markersize=0.1)               
                plt.grid(True)
        elif F==0.8:
                plt.subplot(223)
                plt.plot(y1,y2, color='black', linestyle=' ', marker='.',
                 markersize=0.1, label='Фазовая плоскость\n F=0.8,Хаос')
                plt.legend(loc='upper left')
                plt.grid(True)
                plt.subplot(224)
                plt.plot(t,y1, color='black', linestyle=' ', marker='.',
                 markersize=0.1, label='Решение x(t): F=0.8,Хаос')
                plt.legend(loc='upper left')
                plt.grid(True)
                plt.show()         

Графики как результат работы программы

Этот переход от удвоения периода к хаосу показывает общий характер поведения нелинейной механической системы в ответ на изменение соответствующего физического параметра, например: . Такие явления не происходят в линейных механических системах.

Аттрактор Лоренца

Подстановка в уравнение Дуффинга для вынужденных колебаний (7) приводят к двумерной нелинейной системе дифференциальных уравнений, что и было приведено в предыдущем листинге. Трёхмерную нелинейную систему дифференциальных уравнений применительно к задачам метеорологии рассматривал Э.Н. Лоренц:

(9)

Решение системы (9) лучше рассматривать в проекции на одну из трёх плоскостей. Напишем программу численного интегрирования при значениях параметров b=\frac{8}{3},s=10,r=28 и начальных условиях x(0)=-8, y(0)=8, z(0)=27:

Код программы

# -*- coding: utf8 -*-
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
s,r,b=10,28,8/3
def f(y, t):
 y1, y2, y3 = y
 return [s*(y2-y1),
 -y2+(r-y3)*y1,
 -b*y3+y1*y2]
t = np.linspace(0,20,2001)
y0 = [-8, 8, 27]
[y1,y2,y3]=odeint(f, y0, t, full_output=False).T
plt.plot(y1,y3, color='black', linestyle=' ', marker='.',
markersize=2)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('z')
plt.grid(True)
plt.title("Проекция траектории Лоренца на плоскость xz")
plt.show()

Результат работы программы:

Рассматривая изображение на графике во времени, можно предположить, что точка P(x(t), y{t), z(t)) совершает случайное число колебаний то справа, то с слева. Для метеорологического приложения системы Лоренца, после случайного числа ясных дней, следует случайное число дождливых дней.

Рассмотрим программу для отображения аттрактора Лоренца в плоскости xyz для мало различающихся начальных условий:

Код программы

# -*- coding: utf8 -*-
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
#Создаем функцию правой части системы уравнений.
s,r,b=10,25,3
def f(y, t):
 y1, y2, y3 = y
 return [s*(y2-y1),
 -y2+(r-y3)*y1,
-b*y3+y1*y2]
#Решаем систему ОДУ и строим ее фазовую траекторию
t = np.linspace(0,20,2001)
y0 = [1, -1, 10]
[y1,y2,y3]=odeint(f, y0, t, full_output=False).T
fig = plt.figure(facecolor='white') 
ax=Axes3D(fig)
ax.plot(y1,y2,y3,linewidth=2)
plt.xlabel('y1')
plt.ylabel('y2')
plt.title("Начальные условия: y0 = [1, -1, 10]")
y0 = [1.0001, -1, 10]
[y1,y2,y3]=odeint(f, y0, t, full_output=False).T
fig = plt.figure(facecolor='white') 
ax=Axes3D(fig)
ax.plot(y1,y2,y3,linewidth=2)
plt.xlabel('y1')
plt.ylabel('y2')
plt.title("Начальные условия: y0 = [1.0001, -1, 10]")
plt.show()

Результаты работы программы показаны на следующих графиках:

Из приведенных графиков следует, что изменение начального условия для с 1,0 до 1,0001 резко меняет характер изменения аттрактора Лоренца.

Система Росслера

Это очень интенсивно изучаемая нелинейная трехмерная система:

(10)

Напишем программу для численного интегрирования системы (10) для следующих параметров a=0,39, b=2, c=4 при начальных условиях x(0)=0, y(0)=0, z(0)=0:

Код программы

# -*- coding: utf8 -*-
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
a,b,c=0.398,2.0,4.0
def f(y, t):
 y1, y2, y3 = y
 return [(-y2-y3),
 y1+a*y2,
 b+y3*(y1-c)]
t = np.linspace(0,50,5001)
y0 = [0,0, 0]
[y1,y2,y3]=odeint(f, y0, t, full_output=False).T
plt.plot(y1,y2, color='black', linestyle=' ', marker='.',
markersize=2)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid(True)
plt.title("Проекция ленты Ройсслера на плоскость xy")
plt.show()

Результат работы программы:

В плоскости лента Росслера выглядит как петля, но в пространстве она оказывается перекручена подобно ленте Мебиуса.

Выводы

Для демонстрации явлений хаоса приведены простые и интуитивно понятные программы на высокоуровневом языке программирования Python, которые легко модернизировать под новые проекты по данной теме. Статья имеет учебно-методическую направленность и может быть использована в процессе обучения.

Ссылки

1. Немного о хаосе и о том, как его сотворить
2. Критический взгляд на аттрактор Лоренца
3. Генераторы хаоса на ПЛИС
4. Дифференциальные уравнения и краевые задачи: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB. 3-е издание.: Пер. с англ. — М.: ООО «И.Д. Вильяме», 2008. — 1104 с.: ил. — Парал. тит. англ.

Теория хаоса. Или как я почувствовал себя Эдвардом Лоренцом.

Какой основной постулат теории хаоса? Какое первоочередное свойство имеет динамическая система, классифицируемая как хаотическая?

Она категорически чувствительна к начальным условиям.

На картинках обычно это представляют так:

Как нам рассказывают различные источники, непосредственно столкнулся с этим  американский ученый Эдвард Лоренц, основоположник теории хаоса.
Вот что об этом пишет Джеймс Глейк в книге «Chaos: Making a New Science»:

Если кратко, суть в следующем: было осуществлено моделирование погодного процесса. До какого-то момента он был рассчитан, а далее с целью экономии времени его было решено смоделировать посредством вычислительной машины. Туда были заложены стартовые цифры, и Лоренц отправился пить кофе. Вернувшись, он был чрезвычайно удивлен, ибо смоделированное не совпадало с тем, что уже было рассчитано. В итоге оказалось, что в одном случае использовалось округление до 6-го знака, а в другом до 3-го: 0,506127 против 0,506. Результат мы можем наблюдать на картинке выше.

История довольно известная. Оттого было весьма интересно и даже несколько лестно испытать это на себе совершенно случайно.

В настоящее время занимаемся одним индикатором под названием TrendMeasurer indicator или TMi. Он дает представление о возможном завершении сильного направленного движения. Сидим воскресным вечером и сравниваем с программистом поведение двух соседних версий. Кривые должны по итогу совпадать. А я вижу следующую картину:

Очевидное расхождение. После 21 итерации разница по «управляемому» параметру практически в два раза.
Голову сломали. Везде все одинаковое.

Программист пишет:


Уже на всякий случай рекомендую проверить числа в каком-то дальнем порядке… и…

Расхождение на 12-м знаке на второй итерации дало двойную разницу через 20 шагов. Поразительно!

Для чего пишу? На заметку интересующимся и практикующем. Непонятные с виду проблемы могут заключаться вот в таких казалось бы незначительных вещах.

А картинка прям как у Лоренца. Правильной дорогой идем, товарищи!

Заходите к нам в группу (@StockGamblers) —www.teleg.run/stockgamblers

Будем рады.

Также, если кому интересно, идет совершенно бесплатная текстовая трансляция ряда наших индикаторов на инструментах ФОРТС #RI #BR #Si — www.teleg.run/SGgroup_indicators

А на этом пока все.

¡Adiós!

«теория хаоса эдварда лоуренса. Теория хаоса Эдвард лоуренс теория хаоса читать онлайн

Изучение комплексных и динамических систем для выявления закономерностей порядка (нехаоса) из очевидных хаотичных явлений. Объяснение Chaos Theory (Теория хаоса) Lorenz («60) и Poincaré. (ca 1900)

Что такое Chaos Theory (Теория хаоса) ? Описание

Методом Chaos Theory (Теория хаоса) от Lorenz и Poincaré будет методика можно использовать для систем изучать сложных и динамических для того чтобы показать закономерности порядка (нехаоса) из по-видимому хаотичных поведений.

«Chaos Theory (Теория хаоса) — Качественное изучение неустойчивого апериодического поведения в детерминистических нелинейных динамичных системах» (Kellert, 1993, P. 2). Апериодическое поведение наблюдается, когда нет ни одной переменной, описывающей состояние системы, которое испытывает регулярное повторение значений. Неустойчивое апериодическое поведение очень сложно: оно никогда не повторяется и проявляет эффект любого небольшого возмущения.

Согласно сегодняшней математической теории хаотичная система характеризуется «чувствительностью к начальным условиям». Другими словами, для того чтобы предсказать будущее состояние системы с определенностью, вам необходимо знать начальные условия с огромной точностью, в виду того что ошибки увеличиваются быстро из-за даже самой небольшой неточности.

Поэтому погоду настолько трудно прогнозировать. Теория также применялась к экономическим циклам, динамике животных популяций, в движении текучей среды, области планетарных орбит, электрического тока в полупроводниках, медицинских состояний (например, эпилептический припадок) и моделировании гонки вооружений.

Во 1960-х Edward Lorenz, метеоролог из MIT, работал над проектом по имитации закономерностей погоды на компьютере. Он случайно столкнулся с Эффектом бабочки (butterfly effect) после того, как отклонения в вычислениях на тысячные доли в значительной степени меняли процесс имитации. Эффект бабочки показывает, как изменения небольшого маштаба могут оказывать влияние на вещи большого масштаба. Это классический пример хаоса, где небольшие изменения могут повлечь большие изменения. Бабочка, хлопая своими крыльями в Гон Конге, может изменить закономерности торнадо в Техасе.

Chaos Theory (Теория хаоса) рассматривает организации/бизнес группы как сложные, динамические, нелинейные, созидательные и далекие от состояния равновесия системы. Их будущие результаты нельзя предсказать на основе прошлых и текущих событий и действий. В состоянии хаоса, организации одновременно ведут себя непредсказуемо (хаотично) и систематично (упорядоченно).

Происхождение Теории хаоса. История

Ilya Prigogine, лауреат Нобелевской премии, показал, что сложные структуры могут происходить от более простых. Это как порядок исходящий из хаоса. Henry Adams ранее описал данное явление цитатой «Chaos often breeds life, when order breeds habit». Однако Henri Poincaré был настоящим «отцом-основателем теории хаоса» . Планета Нептун была открыта в 1846 и была предсказана на основе наблюдений отклонений в орбите Урана. Король Норвегии Oscar II был готов дать награду любому, кто бы смог доказать или опровергнуть то, что солнечная система устойчива. Poincaré предложил свое решение, но когда его друг нашел ошибку в его вычислениях, награду отобрали до тех пор, пока он не смог придумать новое решение. Poincaré пришел к выводу, что решения не было. Даже законы Isaac Newton не помогали в решении этой огромной проблемы. Poincaré пытался найти порядок в системе, где его не было. Теория хаоса была сформулирована в 1960-х. Значительная и более практическая работа была проделана Edward Lorenz в 1960-х. Название хаос было придуманно Jim Yorke, ученым в области прикладной математики в университете Maryland (Ruelle, 1991).

Вычисление Chaos Theory (Теория хаоса)? Формула

В применении Теории хаоса, одиночная переменная x (n) = x (t0 + nt) с начальным временем, t0, и временем задержки, t, обеспечивает n-мерное пространство, или фазовое пространство, которое представляет собой все многомерное пространство состояния системы; может потребоваться до 4 измерений для того, чтобы представить фазовое пространство хаотичной системы. Таким образом, в течение длительного периода времени, анализируемая система выработает закономерности в рамках нелинейного временного ряда, что можно использовать для предсказания будущих состояний (Solomatine et al, 2001).

Применение Теории хаоса. Формы применения

Принципы Теории хаоса были успешно использованы для описания и объяснения разнообразных естественных и искусственных явлений. Such as:

Предсказание эпилептических припадков. Предсказание финансовых рынков. Моделирование систем производства. Прогнозы погоды. Создание фракталов. Сгенерированные компьютером изображения с использованием принципов Chaos Theory (Теория хаоса) . (См. на этой странице.)

В условиях, когда Бизнес работает в неустойчивой, сложной и непредсказуемой среде, принципы Теории хаоса могут быть весьма ценны. Области применения могут включать:

Бизнес стратегия/Корпоративная стратегия. Сложный процесс принятия решений. Социальные науки. Организационное поведение и организационное изменение. Сравните: Causal Model of Organizational Performance and Change (Причинно-следственная модель организационной деятельности и изменения) Поведение на фондовой биржи, инвестирование.

Стадии в Теории хаоса. Процесс

Для того, чтобы контролировать хаос, необходимо контролировать систему или процесс хаоса. Для контролирования системы, необходимы:

Цель, задача, которые система должна достигнуть и выполнить. Для системы с предсказуемым поведением (детерминистическим) это может быть определенное состояние системы. Система способная достигать цель или выполнять поставленные задачи. Некоторое способы оказания влияния на поведение системы. Включают Параметры контроля/control inputs (решения, правила принятия решений или начальные состояния).

Преимущества Теории хаоса. Преимущества

Теория хаоса имеет широкое применение в современном науке и технике. Коммуникация и менеджмент могут стать свидетелями смещения парадигмы, как и некоторые другие области бизнеса. Исследования и изучение этой области в академической среде могут быть весьма полезны для бизнеса и финансового мира.

Ограничения Теории хаоса. Недостатки

Ограничения применения Теории хаоса связаны, главным образом, с выбором вводных параметров. Методы, выбранные для вычисления этих параметров зависят от динамики, лежащей в основе данных и вида анализа, которая в большинстве случаев очень сложна и не всегда точна.

Непросто найти непосредственное и прямое применение теории хаоса в деловой среде, однако определенно стоит применять анализ деловой среды с использованием знаний о хаосе.

Предположения Теории хаоса). Условия

Небольшие действия приводят к достаточно большим последствиям, создавая хаотичную атмосферу.

Книга «ЗА ПРЕДЕЛАМИ МОЗГА» подводит итог тридцатилетним исследованиям автора в области трансперсональной психологии и терапии. В ходе изучения необычных состояний сознания Станислав Гроф приходит к выводу о значительном пробеле в современных научных теориях сознания и психики, которые не учитывают важность добиографических (пренатальных и перинатальных) и трансперсональных (надличностных) уровней. он предлагает новую расширенную картографию психики, включающую в себя современные психологические и древние мистические описания. Автор…

Око духа: Интегральное видение для слегка… Кен Уилбер

Кена Уилбера сегодня считают одним из влиятельнейших представителей трансперсональной психологии, возникшей около 30 лет назад. Его интегральный подход предпринимает попытку согласованного объединения практически всех областей знания от физики и биологии, теории систем и теории хаоса, искусства, поэзии и эстетики, до всех значительных школ и направлений антропологии, психологии и психотерапии, великих духовно-религиозных традиций Востока и Запада. Развитое Уилбером интеллектуально-духовное видение предлагает новые возможности для соотнесения…

Хаос. Создание новой науки Джеймс Глейк

В 1970-х годах ученые начинают изучать хаотические проявления в окружающем нас мире: формирование облаков, турбулентность в морских течениях, колебания численности популяций растений и животных… Исследователи ищут связи между различными картинами беспорядочного в природе. Десять лет спустя понятие «хаос» дало название стремительно расширяющейся дисциплине, которая перевернула всю современную науку. Возник особый язык, появились новые понятия: фрактал, бифуркация, аттрактор… История науки о хаосе — не только история новых теорий и неожиданных…

Хаос и порядок. Прыжок в безумие Стивен Дональдсон

Стивен Дональдсон продолжает рассказ о жизни на затерянных в пространстве станциях, о геологах, пиратах и полицейских, о пустоте Глубокого Космоса, ломающего человеческую психику и не знающего милосердия. После выполнения секретной миссии по уничтожению пиратских верфей на планетоиде Малый Танатос звездолет «Труба» пытается уйти от преследования. На борту – Морн Хайленд и ее сын Дейвис, киборг Энгус Термопайл и капитан Ник Саккорсо – старые враги, объединившиеся в отчаянной попытке выжить. Незыблемы законы Галактики, но непредсказуемы…

Творчество как точная наука. Теория решения… Генрих Альтов

Творчество изобретателей издавна связано с представлениями об «озарении», случайных находках и прирожденных способностях. Однако современная научно-техническая революция вовлекла в техническое творчество миллионы людей и остро поставила проблему повышения эффективности творческого мышления. Появилась теория решения изобретательских задач, которой и посвящена эта книга. Автор, знакомый многим читателям по книгам «Основы изобретательства», «Алгоритм изобретения» и другим, рассказывает о новой технологии творчества, ее возникновении,…

Проклятие Эдварда Мунка Ольга Тарасевич

С картинами норвежского художника Эдварда Мунка всегда происходили непонятные истории. Несколько лет назад шедевры экспрессиониста исчезли из музея в Осло, а недавно были обнаружены при загадочных обстоятельствах… В Москве таинственный преступник зверски убивает женщин. Возле тел с множественными ножевыми ранениями следователь Владимир Седов находит репродукции Эдварда Мунка. Журналистка и писательница Лика Вронская пытается помочь своему приятелю Седову, однако люди, способные содействовать расследованию, погибают один за другим.…

Приключения одной теории Тур Хейердал

Почти на шестьдесят языков переведена замечательная книга Тура Хейердала «Путешествие на Кон-Тики», со страниц которой в каждый дом входит одна из интереснейших проблем истории человечества. На написанные для массового читателя научно-художественные книги Хейердала неизбежно ограничены рамками жанра. Между тем у замечательного подвига во имя науки есть свое продолжение. Исследования Тура Хейердала выходят далеко за рамки того, о чем мы знаем по изданным книгам. Новая книга Тура Хейердала восполняет этот пробел. Это сборник его статей и…

Мера хаоса Дмитрий Казаков

Это мир давней и безнадежной войны с Хаосом, мир, где маги играют бесконечные игры чужими жизнями, кровь льется потоками, а выжить еще труднее, чем сохранить в себе доброту и благородство. Хорст Вихор, бродячий мастеровой, попав в безвыходную ситуацию, становится фигурой в руках могущественного колдуна. Безжалостный хозяин ведет игру, не обращая внимания на то, что его фишка может испытывать боль, страх и отвращение к тому, что ей приходится делать. В беспрерывных странствиях Хорст попадает туда, где до него не был никто из людей, оказывается в…

Пришельцы из Будущего: Теория и практика… Брюс Голдберг

В своей книге д-р Брюс Голдберг исследует возможность путешествия во времени и рассматривает теории и факты, доказывающие, что путешествия во времени — повседневное явление! Люди из нашего будущего возвращаются назад в качестве путешественников во времени. Как доказывает Голдберг, их-то мы ошибочно и принимаем за «инопланетян». Он объясняет, каким образом эти путешественники во времени используют, вместо космических кораблей или машин времени, гиперпространственный механизм.

Церковная песня [Гимн Хаоса] Роберт Сальваторе

Зловещий Замок Тринити, оплот мрачной секты, поклоняющейся злому божеству, получил в свое распоряжение страшное оружие, с помощью которого намеревается погрузить земли Забытых Королевств в хаос. Первый удар решено нанести по древней сокровищнице знаний и центру просвещения – Библиотеке Назиданий, которая стала родным домом для юного Кэддерли, жизнерадостного и любознательного жреца Денира. Именно ему предстоит встать на защиту цитадели мудрости и сразиться с могущественным некромантом. Впервые выходящий на русском языке «Гимн Хаоса» Роберта…

Почему экономическая наука должна стать… Внутренний СССР

Настоящая записка имеет целью пояснение причин, вследствие которых экономический раздел Концепции общественной безопасности (далее КОБ) в принципе невозможно адекватно интерпретировать через понятийный и терминологический аппарат школ экономической науки, сложившихся в толпо-«элитарной» культуре. Это необходимо пояснить, чтобы помочь заинтересованным в том лицам преодолеть недоразумения, обусловленные качественно разными подходами к описанию хозяйственной деятельности общества в экономической теории КОБ с одной стороны, и с другой…

Удивительное путешествие кролика Эдварда Кейт ДиКамилло

Однажды бабушка Пелегрина подарила внучке Абилин удивительного игрушечного кролика по имени Эдвард Тюлейн. Его сделали из тончайшего фарфора, у него был целый гардероб изысканных шелковых костюмчиков и даже золотые часы на цепочке. Абилин обожала своего кролика, целовала его, наряжала и каждое утро заводила его часики. А кролик никого, кроме себя, не любил. Как-то Абилин вместе с родителями отправилась в морское путешествие, и кролик Эдвард, упав за борт, оказался на самом дне океана. Старый рыбак выловил его и принес жене. Потом кролик попадал…

Всеобщая теория всего Михаил Веллер

Теория сия представляется истинной тем, что в нее вполне укладывается, ей соответствует и ею объясняется все сущее. Поиски смысла жизни предполагают, что и жизнь человека, и всего человечества не есть нечто ограниченное собственными рамками, конечное, целесообразное внутри себя без внешней цели и функции. А есть лишь часть большего, всеобщего, где человек и все человечество имеет задачу, функцию, роль, назначение в масштабах всего сущего – бытия. Вот вам рассмотрение вопроса в полном охвате. Жизнь это, конечно, никому не облегчит. И не изменит.…

Двор Хаоса Роджер Желязны

Противостояние Хаоса и Амбера достигло своей высшей точки. Оберон вернулся, и Камень Правосудия отошел к своему законному владельцу. Лабиринт должен быть восстановлен, но если Оберон не справится с этой задачей, Амбер и окружающие его Тени погибнут. И тогда за дело должен будет взяться Корвин…

О чем умолчал ваш учебник: Правда и вымысел… Д. Кузнецов

В большинстве современных учебников биологии эволюционная теория обычно представлена как единственно правильное, научное объяснение происхождения жизни на Земле во всем многообразии ее форм. В данной работе сделана попытка познакомить читателей с научными доказательствами, которые противоречат теории эволюции. В брошюре приведены многочисленные высказывания ученых-эволюционистов, указывающие на слабые места и ошибки в эволюционной теории. Брошюра рассчитана на специалистов-биологов, а также на читателей, интересующихся проблемой возникновения…

Роман с Хаосом Андрей Мартьянов

«Роман с Хаосом» начинается как классическая научная фантастика — со сверхмощных компьютеров и космических станций на другом конце Вселенной. Однако вскоре череда невероятных событий переносит героев, а с ними и читателя, в удивительный мир наизнанку, где с эльфами соседствуют тамплиеры, а с вампирами — наемники Тридцатилетней войны. В пародийно-юмористической форме в романе осмеиваются привычные литературные штампы и сюжетные ходы — и все это на фоне самых захватывающих приключений.

Карта Хаоса Дмитрий Емец

Хаос не имеет ни границ, ни очертаний. Он огромен и вечно меняется. Там, где вчера была дорога, сегодня можно ее не искать. Именно туда Генеральный страж света Троил послал специальный отряд златокрылых, чтобы освободить незаконно захваченные эйдосы. Но светлые не смогут вернуться без карты Хаоса. Только она способна указать дорогу назад. А для этого Эссиорху, Дафне и Корнелию нужно найти девушку, которая случайно стала обладательницей этого темного артефакта. Правда, ее ищут не только они. Новая хранительница карты Хаоса — дочь Арея…

Второе издание заново переработанное и дополненное. Составлено применительно к лекциям, читанным автором в центральных государственных питомниках. С 34 иллюстрациями, схемами и чертежами. Внимание читателя к быстро разошедшемуся первому изданию моей книги и та масса писем, которую я получаю до сих пор, указывает на заинтересованность читателя к научно-обоснованным методам дрессировки и на чрезвычайную бедность нашей специальной литературы по данному вопросу. Впервые, стремясь к созданию теоретических обоснований к дрессировке, мы, не имея…

Введение

1. Возникновение и история теории хаоса

2. Порядок и беспорядок

3. Прикладной хаос

4. Основные принципы хаоса (аттракторы и фракталы)

5. Детерминированный хаос и информационные технологии

6. Хаоса в других науках

7. Последствия хаоса

1.Начиная с рубежа 1980-х — 1990-х годов в дискуссиях историков-методологов появилось новое направление, связанное с «наукой о сложном» (complexity sciences). Так принято называть новую междисциплинарную область исследований, в центре внимания которой находятся проблемы исследования систем с нелинейной динамикой, неустойчивым поведением, эффектами самоорганизации, наличием хаотических режимов. Единая наука о поведении сложных систем, самоорганизации в Германии названа синергетикой (Г. Хакен), во франкоязычных странах — теорией диссипативных структур (И. Пригожин), в США — теорией динамического хаоса (М. Фейгенбаум). В отечественной литературе принят преимущественно первый термин, наиболее краткий и емкий.

ТЕОРИЯ ХАОСА — раздел математики, изучающий кажущееся случайным или очень сложное поведение детерминированных динамических систем. Динамическая система – это такая система, состояние которой меняется во времени в соответствии с фиксированными математическими правилами; последние обычно задаются уравнениями, связывающими будущее состояние системы с текущим. Такая система детерминирована, если эти правила не включают явным образом элемента случайности.

История теории хаоса . Первые элементы теории хаоса появились еще в XIX веке, однако подлинное научное развитие эта теория получила во второй половине XX века, вместе с работами Эдварда Лоренца из Массачусетского технологического института и франко-американского математика Бенуа Б. Мандельброта. Эдвард Лоренц в свое время рассматривал, в чем возникает трудность при прогнозировании погоды. До работы Лоренца в мире науки господствовало два мнения относительно возможности точного прогнозирования погоды на бесконечно длительный срок.

Первый подход сформулировал еще в 1776 году французский математик Пьер Симон Лаплас. Лаплас заявил, что «…если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами во Вселенной, то он сможет установить соответствующее положение, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в прошлом или в будущем». Этот его подход был очень похож на известные слова Архимеда: «Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир».

Таким образом, Лаплас и его сторонники говорили, что для точного прогнозирования погоды необходимо только собрать больше информации обо всех частицах во Вселенной, их местоположении, скорости, массе, направлении движения, ускорении и т.п. Лаплас думал, чем больше человек будет знать, тем точнее будет его прогноз относительно будущего.

Второй подход к возможности прогнозирования погоды раньше всех наиболее четко сформулировал другой французский математик, Жюль Анри Пуанкаре. В 1903 году он сказал: » Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно.

Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам требуется, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так; может случиться, что малые различия в начальных условиях вызовут очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем.

Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая».

В этих словах Пуанкаре мы находим постулат теории хаоса о зависимости от начальных условий. Последующее развитие науки, особенно квантовой механики, опровергло детерминизм Лапласа. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг открыл и сформулировал принцип неопределенности. Этот принцип объясняет, почему некоторые случайные явления не подчиняются лапласовому детерминизму.

Гейзенберг показал принцип неопределенности на примере радиоактивного распада ядра. Так, из-за очень малых размеров ядра невозможно знать все процессы, происходящие внутри него. Поэтому, сколько бы информации мы не собирали о ядре, точно предсказать, когда это ядро распадется невозможно.

В 1926–1927 голландский инженер Б.Ван-дер-Пол сконструировал электронную схему, соответствующую математической модели сердечных сокращений. Он обнаружил, что при определенных условиях возникающие в схеме колебания были не периодическими, как при нормальном сердцебиении, а нерегулярными. Его работа получила серьезное математическое обоснование в годы Второй мировой войны, когда Дж.Литтлвуд и М.Картрайт исследовали принципы радиолокации.

В 1950 Дж.фон Нейман предположил, что неустойчивость погоды может в один прекрасный день обернуться благом, поскольку неустойчивость означает, что желаемый эффект может быть

В начале 1960-х годов американский математик С.Смейл попытался построить исчерпывающую классификацию типичных разновидностей поведения динамических систем. Поначалу он предполагал, что можно обойтись различными комбинациями периодических движений, но вскоре понял, что возможно значительно более сложное поведение. В частности, он подробнее исследовал открытое Пуанкаре сложное движение в ограниченной задаче трех тел, упростив геометрию и получив при этом систему, известную ныне как «подкова Смейла». Он доказал, что такая система, несмотря на ее детерминированность, проявляет некоторые черты случайного поведения. Другие примеры подобных явлений были разработаны американской и российской школами в теории динамических систем, причем особенно важным оказался вклад В.И.Арнольда. Так начала возникать общая теория хаоса.

То, что чувствительность к начальным данным ведет к хаосу, понял — и тоже в 1963 году — американский метеоролог Эдвард Лоренц . Он задался вопросом: почему стремительное совершенствование компьютеров не привело к воплощению в жизнь мечты метеорологов — достоверному среднесрочному (на 2-3 недели вперед) прогнозу погоды? Эдвард Лоренц предложил простейшую модель, описывающую конвекцию воздуха (она играет важную роль в динамике атмосферы), просчитал ее на компьютере и не побоялся всерьез отнестись к полученному результату. Этот результат — динамический хаос- есть непериодическое движение в детерминированных системах (то есть в таких, где будущее однозначно определяется прошлым), имеющее конечный горизонт прогноза.

С точки зрения математики можно считать, что любая динамическая система, что бы она ни моделировала, описывает движение точки в пространстве, называемом фазовым. Важнейшая характеристика этого пространства — его размерность, или, попросту говоря, количество чисел, которые необходимо задать для определения состояния системы. С математической и компьютерной точек зрения не так уж и важно, что это за числа — количество рысей и зайцев на определенной территории, переменные, описывающие солнечную активность или кардиограмму, или процент избирателей, до сих пор поддерживающих президента. Если считать, что точка, двигаясь в фазовом пространстве, оставляет за собой след, то динамическому хаосу будет соответствовать клубок траекторий. Здесь размерность фазового пространства всего 3. Замечательно, что такие удивительные объекты существуют даже в трехмерном пространстве.

2. Порядок и беспорядок

Теория хаоса является достаточно общей, чтобы охватить широкий круг явлений нашего мира и при этом будоражит воображение читателей. Ведь оказалось, что порядок возникает именно из хаоса, а не откуда-нибудь еще! С другой стороны, в современных научных представлениях о хаосе есть много моментов, требующих пристального внимания и углубленного изучения. Пожалуй, вопросов тут больше, чем ответов.

Порядок и беспорядок

Из соображений, которые, возможно, станут ясны ниже, вначале мы обратимся к двум исключительно важным понятиям современной науки: «порядок» и «беспорядок». Обычно нам кажется, что здесь все с самого начала ясно и понятно, но на самом деле это далеко не так. И понятие хаоса, в известной мере, становится интересным и важным именно потому, что только порядком и беспорядком нам тут не обойтись.

Прежде всего – что такое порядок и что такое беспорядок? В каком отношении они находятся друг с другом? И как отличить одно от другого? Вопросы эти, оказывается, отнюдь не тривиальны, в чем мы скоро убедимся.

В повседневной жизни принято полагать, что беспорядок – это отсутствие порядка. Такие понятия встречаются довольно часто, например «холод». Мы употребляем его на каждом шагу и понимаем, что имеется в виду. Более того, мы даже «измеряем» его с помощью термометра. И, тем не менее, холода как такового не существует. Существует тепло, а холод на самом деле является его недостатком. Но мы говорим «холод» так, как будто бы он был чем-то реальным (или, как говорят философы, субстанциальным).

А вот с понятием «беспорядок» все, в известном смысле, обстоит наоборот. Мы используем это слово как обозначение отсутствия чего-то (порядка), что именно и существует само по себе. Но возникает вопрос: а так ли это?

Поясним суть дела на конкретном примере, для чего представим себе письменный стол некоего профессора. Глядя на него, мы, вероятно, решим что все, что находится на нем, свалено в беспорядочную кучу. Однако сам профессор, не глядя, протягивая руку, безошибочно находит нужный ему предмет. И напротив, если уборщица разложит все аккуратными стопками, то профессор не сможет работать так же, как не смогла готовить бабушка в романе Рэя Брэдбери «Вино из одуванчиков» после генеральной уборки, устроенной на кухне тетей.

Может быть, следует признать, что то, что мы привыкли называть беспорядком отнюдь не является отсутствием того, что обычно называют порядком? Впрочем, есть и другой путь: оставить за словом «беспорядок» его привычное значение, и ввести в оборот другой термин для обозначения того, что мы часто, не задумываясь, также называем беспорядком, хотя в действительности имеем в виду нечто совершенно иное.

​Введение в теорию хаоса

Что такое теория хаоса?

Теория хаоса это учение о постоянно изменяющихся сложных системах, основанное на математических концепциях, в форме ли рекурсивного процесса или набора дифференциальных уравнений, моделирующих физическую систему (реку́рсия — процесс повторения элементов самоподобным образом).

Неправильные представления о теории хаоса

Широкая общественность обратила внимание на теорию хаоса благодаря таким фильмам, как «Парк юрского периода», и благодаря им же, постоянно увеличивается опасение теории хаоса со стороны общества. Однако, как и в отношении любой вещи, освещаемой средствами массовой информации, в отношении теории хаоса возникло много неправильных представлений.

Наиболее часто встречающееся несоответствие состоит в том, что люди полагают, что теория хаоса — это теория о беспорядке. Ничто не могло бы быть так далеко от истины! Это не опровержение детерминизма и не утверждение о том, что упорядоченные системы невозможны; это не отрицание экспериментальных подтверждений и не заявление о бесполезности сложных систем. Хаос в теории хаоса и есть порядок — и даже не просто порядок, а сущность порядка.

Это правда, что теория хаоса утверждает, что небольшие изменения могут породить огромные последствия. Но одной из центральных концепций в теории является невозможность точного предсказания состояния системы. В общем, задача моделирования общего поведения системы вполне выполнима, даже проста. Таким образом, теория хаоса сосредотачивает усилия не на беспорядке системы — наследственной непредсказуемости системы — а на унаследованном ей порядке — общем в поведении похожих систем.

Таким образом, было бы неправильным сказать, что теория хаоса о беспорядке. Чтобы пояснить это на примере, возьмем аттрактор Лоренца. Он основан на трех дифференциальных уравнениях, трех константах и трех начальных условиях.

Теория хаоса о беспорядке

Аттрактор представляет поведение газа в любое заданное время, и его состояние в определенный момент зависит от его состояния в моменты времени, предшествовавшие данному. Если исходные данные изменить даже на очень маленькие величины, скажем, эти величины малы настолько, что соизмеримы с вкладом отдельных атомов в число Авогадро (что является очень маленьким числом по сравнению со значениями порядка 1024), проверка состояния аттрактора покажет абсолютно другие числа. Это происходит потому, что маленькие различия увеличиваются в результате рекурсии.

Однако, несмотря на это, график аттрактора будет выглядеть достаточно похоже. Обе системы будут иметь абсолютно разные значения в любой заданный момент времени, но график аттрактора останется тем же самым, т.к. он выражает общее поведение системы.

Теория хаоса говорит, что сложные нелинейные системы являются наследственно непредсказуемыми, но, в то же время, теория хаоса утверждает, что способ выражения таких непредсказуемых систем оказывается верным не в точных равенствах, а в представлениях поведения системы — в графиках странных аттракторов или во фракталах. Таким образом, теория хаоса, о которой многие думают как о непредсказуемости, оказывается, в то же время, наукой о предсказуемости даже в наиболее нестабильных системах.

Применение теории хаоса в реальном мире

При появлении новых теорий, все хотят узнать что же в них хорошего. Итак что хорошего в теории хаоса? Первое и самое важное — теория хаоса — это теория. А значит, что большая ее часть используется больше как научная основа, нежели как непосредственно применимое знание. Теория хаоса является очень хорошим средством взглянуть на события, происходящие в мире отлично от более традиционного четко детерминистического взгляда, который доминировал в науке со времен Ньютона. Зрители, которые посмотрели Парк Юрского периода, без сомнения боятся, что теория хаоса может очень сильно повлиять на человеческое восприятие мира, и, в действительности, теория хаоса полезна как средство интерпретации научных данных по-новому. Вместо традиционных X-Y графиков, ученые теперь могут интерпретировать фазово-пространственные диаграммы которые — вместо того, чтобы описывать точное положение какой-либо переменной в определенный момент времени — представляют общее поведение системы. Вместо того, чтобы смотреть на точные равенства, основанные на статистических данных, теперь мы можем взглянуть на динамические системы с поведением похожим по своей природе на статические данные — т.е. системы с похожими аттракторами. Теория хаоса обеспечивает прочный каркас для развития научных знаний.

Однако, согласно вышесказанному не следует, что теория хаоса не имеет приложений в реальной жизни.

Техники теории хаоса использовались для моделирования биологических систем, которые, бесспорно, являются одними из наиболее хаотических систем из всех что можно себе представить. Системы динамических равенств использовались для моделирования всего — от роста популяций и эпидемий до аритмических сердцебиений.

В действительности, почти любая хаотическая система может быть смоделирована — рынок ценных бумаг порождает кривые, которые можно легко анализировать при помощи странных аттракторов в отличие от точных соотношений; процесс падения капель из протекающего водопроводного крана кажется случайным при анализе невооруженным ухом, но если его изобразить как странный аттрактор, открывается сверхъестественный порядок, которого нельзя было бы ожидать от традиционных средств.

Фракталы находятся везде, наиболее заметны в графических программах как например очень успешная серия продуктов Fractal Design Painter. Техники фрактального сжатия данных все еще разрабатываются, но обещают удивительные результаты как например коэффициента сжатия 600:1. Индустрия специальных эффектов в кино, имела бы горазда менее реалистичные элементы ландшафта (облака, скалы и тени) без технологии фрактальной графики.

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

И, конечно, теория хаоса дает людям удивительно интересный способ того, как приобрести интерес к математике, одной из наиболее мало-популярной области познания на сегодняшний день.

— 177.38 Кб

1.Краткая биография…………………………… …………………………………………3

2.Теория хаоса………………………………………… …………………………………..4

2.1.Основные сведения………………………………………………………… ……….6

2.2.Понятие хаоса………………………………………………………………… ……..6

2.3.Чувствительность к начальным условиям………………………………………….7

2.4 Топологическое смешивание…………………………………………………… ….7

2.5. Тонкости определения………………………………………………… ……….…..8

3. Аттракторы…………………………………………… …………………………………9

4. Странные аттракторы…………………………………………………… …………….10

5. Простые хаотические системы……………………………………………………….. 11

• 6. Математическая теория……………………………………………………………. ….12
• 7. Хронология…………………………………………… ………………………………..13
• 8. Применение…………………………………………… ……………………………….15

9. Список литературы………………………………… …………………………….…….17

Краткая биография.

Эдвард Нортон Лоренц (23.05.1917-16.04.2008)- американский математик и метеоролог, один из основоположников Теории Хаоса, автор Эффекта бабочки, Аттрактора Лоренца.

Эдвард Нортон Лоренц родился в г. Вест-Хартфорд (шт. Коннектикут, США) в 1917 г., учился математике в Гарварде и метеорологии в знаменитом Массачусетском технологическом институте (МИТ), где в 1943 г. получил степень доктора наук. Во время Второй мировой войны служил в качестве метеоролога в ВВС США, после войны в течение долгих лет работал на кафедре метеорологии МИТ, которую и возглавил в 1977 году.

С 1946 года работал в Массачусетском технологическом институте, профессор. Является членом Американской академии гуманитарных и естественных наук, Американского метеорологического общества и Национальной академии наук США. Иностранный член по Отделению океанологии, физики атмосферы и географии(геофизическая гидродинамика) АН СССР (с 1991- РАН) с 27 декабря 1988 г.

В 2004 награжден Большой золотой медалью имени М.В. Ломоносова

“Еще мальчиком я любил проделывать разные штуки с цифрами, кроме того, меня завораживали погодные явления”, — вспоминал Лоренц. Подобные наклонности позволили ученому сделать важнейшее открытие. После многолетних исследований он пришел к выводу: небольшие изменения, происходящие в атмосфере или аналогичных ей моделях, могут приводить к обширным и неожиданным последствиям.

В 1972 г. профессор опубликовал научную статью, заглавие которой стало нарицательным. Она называлась “О возможности предсказаний: может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?”. Эта формулировка отлично иллюстрирует суть возникшей из работ Лоренца теории хаоса, которая сейчас играет важную роль едва ли не во всех областях современной науки — от математики до биологии.

В 1975 г. Лоренца избрали членом Академии наук США, его заслуги были отмечены многочисленными наградами. В 1983 г. он и его коллега Генри Стоммел вместе получили Премию Кроуфорда в размере $50 тыс. от Шведской королевской академии наук. Таким образом скандинавы отмечают достижения ученых, специальности которых не позволяют претендовать на Нобелевскую премию.

Эдвард Лоренц являлся иностранным членом Российской академии наук. Оставив руководство кафедрой в Массачусетском институте, он преподавал в различных вузах Европы и Америки. Эдвард также не оставлял свои научные изыскания, и, по словам семьи, занимался метеорологией буквально до последних дней жизни.

“Показав, что сложные системы со множеством причинно-следственных связей имеют порог предсказуемости, Эд забил последний гвоздь в гроб вселенной Декарта и произвел то, что многие называют третьей научной революцией XX в. после теории относительности и квантовой физики, — сказал Керри Эмануэль, профессор метеорологии в МИТ. — Он также был безупречным джентльменом, его интеллигентность, честность и скромность показали важный пример будущим поколениям ученых”.

Теория хаоса — математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем, подверженных при определённых условиях явлению, известному как хаос. Поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является детерминированной.

Примерами подобных систем являются атмосфера, турбулентн ые потоки, биологические популяции, общество как система коммуникаций и его подсистемы: экономические, политические и другие социальные системы. Их изучение, наряду с аналитическим исследованием имеющихся рекуррентных соотношений, обычно сопровождается математическим моделированием, эффект Коновала — распределение частот выпадения положительных результатов, или принятия правильных решений.

Теория хаоса — область исследований, связывающая математику и физику.

Теория хаоса изучает порядок хаотической системы, которая выглядит случайной, беспорядочной. При этом теория хаоса помогает построить модель такой системы, не ставя задачу точного предсказания поведения хаотической системы в будущем. Первые элементы теории хаоса появились еще в XIX веке, однако подлинное научное развитие эта теория получила во второй половине XX века, вместе с работами Эдварда Лоренца (Edward Lorenz) из Массачусетского технологического института и франко-американского математика Бенуа Б. Мандельброта (Benoit B. Mandelbrot). Эдвард Лоренц в свое время (начало 60-х годов XX века, работа опубликована в 1963 году) рассматривал, в чем возникает трудность при прогнозировании погоды. До работы Лоренца в мире науки господствовало два мнения относительно возможности точного прогнозирования погоды на бесконечно длительный срок. Первый подход сформулировал еще в 1776 году французский математик Пьер Симон Лаплас. Лаплас заявил, что «…если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами во Вселенной, то он сможет установить соответствующее положение, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в прошлом или в будущем». Этот его подход был очень похож на известные слова Архимеда: «Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир». Таким образом, Лаплас и его сторонники говорили, что для точного прогнозирования погоды необходимо только собрать больше информации обо всех частицах во Вселенной, их местоположении, скорости, массе, направлении движения, ускорении и т.п. Лаплас думал, чем больше человек будет знать, тем точнее будет его прогноз относительно будущего. Второй подход к возможности прогнозирования погоды раньше всех наиболее четко сформулировал другой французский математик, Жюль Анри Пуанкаре. В 1903 году он сказал: «Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно. Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам требуется, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так; может случиться, что малые различия в начальных условиях вызовут очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая». В этих словах Пуанкаре мы находим постулат теории хаоса о зависимости от начальных условий. Последующее развитие науки, особенно квантовой механики, опровергло детерминизм Лапласа. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг открыл и сформулировал принцип неопределенности. Этот принцип объясняет, почему некоторые случайные явления не подчиняются лапласовому детерминизму. Гейзенберг показал принцип неопределенности на примере радиоактивного распада ядра. Так, из-за очень малых размеров ядра невозможно знать все процессы, происходящие внутри него. Поэтому, сколько бы информации мы не собирали о ядре, точно предсказать, когда это ядро распадется невозможно. Какими же инструментами располагает теория хаоса. В первую очередь это аттракторы и фракталы. Аттрактор (от англ. to attract — притягивать) — геометрическая структура, характеризующая поведение в фазовом пространстве по прошествии длительного времени. Здесь возникает необходимость определить понятие фазового пространства. Итак, фазовое пространство — это абстрактное пространство, координатами которого являются степени свободы системы. Например, у движения маятника две степени свободы. Это движение полностью определено начальной скоростью маятника и положением. Если движению маятника не оказывается сопротивления, то фазовым пространством будет замкнутая кривая. В реальности на Земле на движение маятника влияет сила трения. В этом случае фазовым пространством будет спираль. По простому, аттрактор — это то, к чему стремится прийти система, к чему она притягивается. — Самым простым типом аттрактора является точка. Такой аттрактор характерен для маятника при наличии трения. Независимо от начальной скорости и положения, такой маятник всегда придет в состояние покоя, т.е. в точку. — Следующим типом аттрактора является предельный цикл, который имеет вид замкнутой кривой линии. Примером такого аттрактора является маятник, на который не влияет сила трения. Еще одним примером предельного цикла является биение сердца. Частота биения может снижаться и возрастать, однако она всегда стремится к своему аттрактору, своей замкнутой кривой. — Третий тип аттрактора — тор. Несмотря на сложность поведения хаотических аттракторов, иногда называемых странными аттракторами, знание фазового пространства позволяет представить поведение системы в геометрической форме и соответственно предсказывать его. И хотя нахождение системы в конкретный момент времени в конкретной точке фазового пространства практически невозможно, область нахождения объекта и его стремление к аттрактору предсказуемы. Первым хаотическим аттрактором стал аттрактора Лоренца. Аттрактор Лоренца рассчитан на основе всего трех степеней свободы — три обыкновенных дифференциальных уравнения, три константы и три начальных условия. Однако, несмотря на свою простоту, система Лоренца ведет себя псевдослучайным (хаотическим) образом. Смоделировав свою систему на компьютере, Лоренц выявил причину ее хаотического поведения — разницу в начальных условиях. Даже микроскопическое отклонение двух систем в самом начале в процессе эволюции приводило к экспоненциальному накоплению ошибок и соответственно их стохастическому расхождению.

Основные сведенья

Теория хаоса гласит, что сложные системы чрезвычайно зависимы от первоначальных условий и небольшие изменения в окружающей среде ведут к непредсказуемым последствиям.

Математические системы с хаотическим поведением являются детерминированными, то есть подчиняются некоторому строгому закону и, в каком-то смысле, являются упорядоченными. Такое использование слова «хаос» отличается от его обычного значения.

Существует также такая область физики, как теория квантового хаоса, изучающая недетерминированные системы, подчиняющиеся законам квантовой механики.

Пионерами теории считаются французский физик и философ Ан ри Пуанкаре (доказал теорему о возвращении), советские математики А. Н. Колмогоров и В. И. Арнольд и немецкий математик Ю. К. Мозер, построившие теорию хаоса, называемую КАМ (теория Колмогорова — Арнольда — Мозера). Теория вводит понятие аттракторов (в том числе, странных аттракторов как притягивающих канторовых структур), устойчивых орбит системы (т. н. КАМ-торов).

Понятие хаоса

Основная статья: Динамический хаос

Пример чувствительности системы к первоначальным условиям, где x → 4 x (1 — x) и y → x + y, если x y

В бытовом контексте слово «хаос» означает «быть в состоянии беспорядка». В теории хаоса прилагательное хаотический опр еделено более точно. Хотя общепринятого универсального математического определения хаоса нет, обычно используемое определение говорит, что динамическая система, которая классифицируется как хаотическая, должна иметь следующие свойства:

1. она должна быть чувствительна к начальным условиям
2. она должна иметь свойство топологического смешивания
3. её периодические орбиты должны быть всюду плотными.

Более точные математические условия возникновения хаоса выглядят так:

1. Система должна иметь нелинейные характеристики, быть глобально устойчивой, но иметь хотя бы одну неустойчивую точку равновесия колебательного типа, при этом размерность системы должна быть не менее 1,5 (т.е. порядок дифференциального уравнения не менее 3-го).

Линейные системы никогда не бывают хаотическими. Для того, чтобы динамическая система была хаотической, она должна быть нелинейной. По теореме Пуанкаре-Бендиксона (Poincaré- Bendixson), непрерывная динамическая система на плоскости не может быть хаотической. Среди непрерывных систем хаотическое поведение имеют только неплоские пространственные системы (обязательно наличие не менее трёхизмерений или неевклидова геометрия). Однако дискретная динамическая система на какой-то стадии может проявить хаотическое поведение даже в одномерном или двумерном пространстве.

Чувствительность к начальным условиям.

Чувствительность к начальным условиям в такой системе означает, что все точки, первоначально близко приближенные между собой, в будущем имеют значительно отличающиеся траектории. Таким образом, произвольно небольшое изменение текущей траектории может привести к значительному изменению в её будущем поведении. Доказано, что последние два свойства фактически подразумевают чувствительность к первоначальным условиям (альтернативное, более слабое определение хаоса использует только первые два свойства из вышеупомянутого списка).

Чувствительность к начальным условиям более известна как «Эффект бабочки». Термин возник в связи со статьёй «Предсказание: Взмах крыльев бабочки в Бразилии вызовет торнадо в штате Техас», которую Эдвард Лоренц в 1972 году вручил американской «Ассоциации для продвижения науки» в Вашингтоне. Взмах крыльев бабочки символизирует мелкие изменения в первоначальном состоянии системы, которые вызывают цепочку событий, ведущих к крупномасштабным изменениям. Если бы бабочка не хлопала крыльями, то траектория системы была бы совсем другой, что в принципе доказывает определённую линейность системы. Но мелкие изменения в первоначальном состоянии системы могут и не вызывать цепочку событий.

Топологическое смешивание.

Топологическое смешивание в динамике хаоса означает такую схему расширения системы, что одна её область в какой-то стадии расширения накладывается на любую другую область. Математическое понятие «смешивание», как пример хаотической системы, соответствует смешиванию разноцветных красок или жидкости.

Тонкости определения.

Пример топологического смешивания, где x → 4 x (1 — x) и y → x + y, если x + y

В популярных работах чувствительность к первоначальным условиям часто путается с самим хаосом. Грань очень тонкая, поскольку зависит от выбора показателей измерения и определения расстояний в конкретной стадии системы. Например, рассмотрим простую динамическую систему, которая неоднократно удваивает первоначальные значения. Такая система имеет чувствительную зависимость от первоначальных условий везде, так как любые две соседние точки в первоначальной стадии впоследствии случайным образом будут на значительном расстоянии друг от друга. Однако её поведение тривиально, поскольку все точки кроме нуля имеют тенденцию к бесконечности, и это не топологическое смешивание. В определении хаоса внимание обычно ограничивается только закрытыми системами, в которых расширение и чувствительность к первоначальным условиям объединяются со смешиванием.

Даже для закрытых систем, чувствительность к первоначальным условиям не идентична с хаосом в смысле изложенном выше. Например, рассмотрим тор (геометрическая фигура, поверхность вращения окружности вокруг оси лежащей в плоскости этой окружности — имеет форму бублика), заданный парой углов (x, y) со значениями от нуля до 2π. Отображение любой точки (x, y) определяется как (2x, y+a), где значение a/2π является иррациональным. Удвоение первой координаты в отображении указывает на чувствительность к первоначальным условиям. Однако, из-за иррационального изменения во второй координате, нет никаких периодических орбит — следовательно отображение не является хаотическим согласно вышеупомянутому определению.

Аттракторы.

График аттрактора Лоренца для значений r = 28, σ = 10, b = 8/3

Аттра́ктор (англ. attract — привлекать, притягивать) — множество состояний (точнее — точек фазового пространства) динамической системы, к которому она стремится с течением времени. Наиболее простыми вариантами аттрактора являются притягивающая неподвижная точка (к примеру, в задаче о маятнике с трением) и периодическая траектория (пример — самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), однако бывают и значительно более сложные примеры. Некоторые динамические системы являются хаотическими всегда, но в большинстве случаев хаотическое поведение наблюдается только в тех случаях, когда параметры динамической системы принадлежат к некоторому специальному подпространству.

Наиболее интересны случаи хаотического поведения, когда большой набор первоначальных условий приводит к изменению на орбитахаттракто ра. Простой способ продемонстрировать хаотический аттрактор — это начать с точки в районе притяжения аттрактора и затем составитьграфик его последующей орбиты. Из-за состояния топологической транзитивности, это похоже на отображения картины полного конечного аттрактора. Например, в системе описывающей маятник — простран ство двумерное и состоит из данных о положении и скорости. Можно составить график положений маятника и его скорости. Положение маятника в покое будет точкой, а один период колебаний будет выглядеть на графике как простая замкнутая кривая. График в форме замкнутой кривой называют орбитой. Маятник имеет бесконечное количество таких орбит, формируя по виду совокупность вложенных эллипсов.

Странные аттракторы.

Аттрактор Лоренца как диаграмма хаотической системы. Эти два графика демонстрируют чувствительную зависимость от первоначальных условий в пределах занятого аттрактором региона

Описание работы

Эдвард Нортон Лоренц (23.05.1917-16.04.2008)- американский математик и метеоролог, один из основоположников Теории Хаоса, автор Эффекта бабочки, Аттрактора Лоренца.
Эдвард Нортон Лоренц родился в г. Вест-Хартфорд (шт. Коннектикут, США) в 1917 г., учился математике в Гарварде и метеорологии в знаменитом Массачусетском технологическом институте (МИТ), где в 1943 г. получил степень доктора наук. Во время Второй мировой войны служил в качестве метеоролога в ВВС США, после войны в течение долгих лет работал на кафедре метеорологии МИТ, которую и возглавил в 1977 году.

Содержание

1.Краткая биография………………………………………………………………………3
2.Теория хаоса……………………………………………………………………………..4
2.1.Основные сведения………………………………………………………………….6
2.2.Понятие хаоса………………………………………………………………………..6
2.3.Чувствительность к начальным условиям………………………………………….7
2.4 Топологическое смешивание……………………………………………………….7
2.5. Тонкости определения………………………………………………………….…..8
3. Аттракторы………………………………………………………………………………9
4. Странные аттракторы………………………………………………………………….10
5. Простые хаотические системы………………………………………………………..11
6. Математическая теория…………………………………………………………….….12
7. Хронология……………………………………………………………………………..13
8. Применение…………………………………………………………………………….15
9. Список литературы……………………………………………………………….…….17

Теория хаоса — Викизнание… Это Вам НЕ Википедия!

Теория хаоса в последнее время является одним из самых модных подходов к исследованию рынка. К сожалению, точного математического определения понятия хаос пока не существует. Сейчас зачастую хаос определяют как крайнюю непредсказуемость постоянного нелинейного и нерегулярного сложного движения, возникающую в динамической системе. Согласно теории хаоса, если вы говорите о хаотичном движении цены, то вы должны иметь ввиду не случайное движение цены, а другое, особенно упорядоченное движение. Если динамика рынка хаотична, то она не случайна, хотя и по-прежнему непредсказуема. Непредсказуемость хаоса объясняется в основном существенной зависимостью от начальных условий. Применительно к невозможности делать долгосрочные прогнозы погоды существенную зависимость от начальных условий иногда называют «эффектом бабочки». «Эффект бабочки» указывает на существование вероятности того, что взмах крыла бабочки в Бразилии приведет к появлению торнадо в Техасе. Один из главных выводов теории хаоса, таким образом, заключается в следующем – будущее предсказать невозможно, так как всегда будут ошибки измерения, порожденные в том числе незнанием всех факторов и условий. То же самое по-простому – малые изменения и/или ошибки могут порождать большие последствия.

Еще одним из основных свойств хаоса является экспоненциальное накопление ошибки. Согласно квантовой механике начальные условия всегда неопределенны, а согласно теории хаоса – эти неопределенности будут быстро прирастать и превысят допустимые пределы предсказуемости. Второй вывод теории хаоса – достоверность прогнозов со временем быстро падает. Данный вывод является существенным ограничением для применимости фундаментального анализа, оперирующего, как правило, именно долгосрочными категориями.

Первые элементы теории хаоса появились еще в XIX веке, однако подлинное научное развитие эта теория получила во второй половине XX века, вместе с работами Эдварда Лоренца (Edward Lorenz) из Массачусетского технологического института и франко-американского математика Бенуа Б. Мандельброта (Benoit B. Mandelbrot). Эдвард Лоренц в свое время (начало 60-х годов XX века, работа опубликована в 1963 году) рассматривал, в чем возникает трудность при прогнозировании погоды. До работы Лоренца в мире науки господствовало два мнения относительно возможности точного прогнозирования погоды на бесконечно длительный срок. Первый подход сформулировал еще в 1776 году французский математик Пьер Симон Лаплас. Лаплас заявил, что «…если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами во Вселенной, то он сможет установить соответствующее положение, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в прошлом или в будущем». Таким образом, Лаплас и его сторонники говорили, что для точного прогнозирования погоды необходимо только собрать больше информации обо всех частицах во Вселенной, их местоположении, скорости, массе, направлении движения, ускорении и т.п. Второй подход к возможности прогнозирования погоды раньше всех наиболее четко сформулировал другой французский математик, Жюль Анри Пуанкаре. В 1903 году он сказал: «Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно. Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам требуется, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так; может случиться, что малые различия в начальных условиях вызовут очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая».В этих словах Пуанкаре мы находим постулат теории хаоса о зависимости от начальных условий.

Последующее развитие науки, особенно квантовой механики, опровергло детерминизм Лапласа. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг открыл и сформулировал принцип неопределенности. Этот принцип объясняет, почему некоторые случайные явления не подчиняются лапласовому детерминизму. Гейзенберг показал принцип неопределенности на примере радиоактивного распада ядра. Так, из-за очень малых размеров ядра невозможно знать все процессы, происходящие внутри него. Поэтому, сколько бы информации мы не собирали о ядре, точно предсказать, когда это ядро распадется невозможно. Какими же инструментами располагает теория хаоса. В первую очередь это аттракторы и фракталы. Аттрактор (от англ. to attract – притягивать) – геометрическая структура, характеризующая поведение в фазовом пространстве по прошествии длительного времени. Здесь возникает необходимость определить понятие фазового пространства. Итак, фазовое пространство – это абстрактное пространство, координатами которого являются степени свободы системы. Например, у движения маятника две степени свободы. Это движение полностью определено начальной скоростью маятника и положением. Если движению маятника не оказывается сопротивления, то фазовым пространством будет замкнутая кривая. В реальности на движение маятника влияет сила трения. В этом случае фазовым пространством будет спираль. Самым простым типом аттрактора является точка. Такой аттрактор характерен для маятника при наличии трения. Независимо от начальной скорости и положения, такой маятник всегда придет в состояние покоя, т.е. в точку. Следующим типом аттрактора является предельный цикл, который имеет вид замкнутой кривой линии. Примером такого аттрактора является маятник, на который не влияет сила трения. Еще одним примером предельного цикла является биение сердца. Частота биения может снижаться и возрастать, однако она всегда стремится к своему аттрактору, своей замкнутой кривой. Третий тип аттрактора – тор. На рисунке 1. тор показан в верхнем правом углу.

Рисунок 1. Основные типы аттракторов. Вверху показаны три предсказуемых, простых аттрактора. Внизу три хаотических аттрактора

Несмотря на сложность поведения хаотических аттракторов, иногда называемых странными аттракторами, знание фазового пространства позволяет представить поведение системы в геометрической форме и соответственно предсказывать его. И хотя нахождение системы в конкретный момент времени в конкретной точке фазового пространства практически невозможно, область нахождения объекта и его стремление к аттрактору предсказуемы. Первым хаотическим аттрактором стал аттрактора Лоренца. На рисунке 1. он показан в левом нижнем углу.

Рисунок 2. Хаотический аттрактор Лоренца

Аттрактор Лоренца рассчитан на основе всего трех степеней свободы — три обыкновенных дифференциальных уравнения, три константы и три начальных условия. Однако, несмотря на свою простоту, система Лоренца ведет себя псевдослучайным (хаотическим) образом. Смоделировав свою систему на компьютере, Лоренц выявил причину ее хаотического поведения – разницу в начальных условиях. Даже микроскопическое отклонение двух систем в самом начале в процессе эволюции приводило к экспоненциальному накоплению ошибок и соответственно их стохастическому расхождению. Вместе с тем, любой аттрактор имеет граничные размеры, поэтому экспоненциальная расходимость двух траекторий разных систем не может продолжаться бесконечно. Рано или поздно орбиты вновь сойдутся и пройдут рядом друг с другом или даже совпадут, хотя последнее очень маловероятно. При схождении траектории сближаются и начинает проявляться эффект близорукости – возрастает неопределенность крупномасштабной информации. При расхождении траекторий наоборот, они расходятся и проявляется эффект дальнозоркости, когда возрастает неопределенность мелкомасштабной информации. В результате постоянной сходимости-расходимости хаотичного аттрактора неопределенность стремительно нарастает, что с каждым моментом времени лишает нас возможности делать точные прогнозы.

Здесь же необходимо отметить, что скорость схождения-расхождения является мерой хаоса, т.е. численным выражением того, насколько система хаотична. Другой статистической мерой хаоса служит размерность аттрактора. Таким образом, можно отметить, что основным свойством хаотических аттракторов является сходимость-расходимость траекторий разных систем, которые случайным образом постепенно и бесконечно перемешиваются Здесь проявляется пересечение фрактальной геометрии и теории хаоса. И, хотя одним из инструментов теории хаоса является фрактальная геометрия, фрактал – это противоположность хаоса. Главное различие между хаосом и фракталом заключается в том, что первый является динамическим явлением, а фрактал статическим. Под динамическим свойством хаоса понимается непостоянное и непериодическое изменение траекторий. Фрактал – это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова, отсюда проявляется одно из свойств фрактала – самоподобие. Другое свойство фрактала — дробность. Дробность фрактала является математическим отражением меры неправильности фрактала. Фактически все, что кажется случайным и неправильным может быть фракталом, например, облака, деревья, изгибы рек, биения сердца, популяции и миграции животных или языки пламени.

Рисунок 3. Фрактал «ковер Серпинского»

Хаотический аттрактор является фракталом. Как бы мы не изменяли размер аттрактора, он всегда останется пропорционально одинаковым. В техническом анализе типичным примером фрактала являются волны Эллиота, где также работает принцип самоподобия. Дополнительная идея, заложенная во фрактальности, заключается в нецелых измерениях.

Так, в природе вряд ли найдется идеальный шар или куб, следовательно, 3-мерное измерение этого реального шара или куба невозможно и для описания таких объектов должны существовать другие измерения. Скомкайте, например, лист бумаги в комок. С точки зрения классической евклидовой геометрии новообразованный объект будет являться трехмерным шаром. Однако в действительности это по-прежнему всего лишь двумерный лист бумаги, пусть и скомканный в подобие шара. Отсюда можно предположить, что новый объект будет иметь измерение больше 2-х, но меньше 3-х. Это плохо укладывается в евклидовую геометрию, но хорошо может быть описано с помощью фрактальной геометрии, которая будет утверждать, что новый объект будет находиться во фрактальном измерении, приблизительно равном 2.5, т.е. иметь фрактальную размерность около 2.5. Различают детерминистские фракталы, примером которых является ковер Серпинского, и сложные фракталы. При построении первых не нужны формулы или уравнения. Достаточно взять лист бумаги и провести несколько итераций над какой-нибудь фигурой. Сложным фракталам присуща бесконечная сложность, хотя и генерируются простой формулой. Классическим примером сложного фрактала является множество Мандельброта, получаемое из простой формулы , где Z и C – комплексные числа и а – положительное число. На рисунке 4. мы видим фрактал 2-й степени, где а = 2.

Рисунок 4. Множество Мандельброта

К хаосу системы могут переходить разными путями. Среди последних выделяют бифуркации, которые изучает теория бифуркаций. Бифуркация (от лат. bifurcus — раздвоенный) представляет собой процесс качественного перехода от состояния равновесия к хаосу через последовательное очень малое изменение (например, удвоение Фейгенбаума при бифуркации удвоения) периодических точек. Обязательно необходимо отметить, что происходит качественное изменение свойств системы, т.н. катастрофический скачок. Момент скачка (раздвоения при бифуркации удвоения) происходит в точке бифуркации. Хаос может возникнуть через бифуркацию, что показал Митчел Фейгенбаум (Feigenbaum). При создании собственной теории о фракталах Фейгенбаум, в основном, анализировал логистическое уравнение , где С — внешний параметр, откуда вывел, что при некоторых ограничениях во всех подобных уравнениях происходит переход от равновесного состояния к хаосу. Ниже рассмотрен классический биологический пример этого уравнения. Например, изолированно живет популяция особей нормированной численностью . Через год появляется потомство численностью . Рост популяции описывается первым членом правой части уравнения , где коэффициент С определяет скорость роста и является определяющим параметром. Убыль животных (за счет перенаселенности, недостатка пищи и т.п.) определяется вторым, нелинейным членом . Результатом расчетов являются следующие выводы: — при С < 1 популяция с ростом n вымирает; — в области 1 < С < 3 численность популяции приближается к постоянному значению , что является областью стационарных, фиксированных решений. При значении C = 3 точка бифуркации становится отталкивающей фиксированной точкой. С этого момента функция уже никогда не сходится к одной точке. До этого точка была притягивающая фиксированная; — в диапазоне 3 < С < 3.57 начинают появляться бифуркации и разветвление каждой кривой на две. Здесь функция (численность популяции) колеблется между двумя значениями, лежащими на этих ветвях. Сначала популяция резко возрастает, на следующий год возникает перенаселенность и через год численность снова уменьшается; — при C > 3.57 происходит перекрывание областей различных решений (они как бы закрашиваются) и поведение системы становится хаотическим. Отсюда вывод — заключительным состоянием эволюционирующих физических систем является состояние динамического хаоса. Зависимость численности популяции от параметра С приведена на следующем рисунке.

Динамические переменные принимают значения, которые сильно зависят от начальных условий. При проведенных на компьютере расчетах даже для очень близких начальных значений С итоговые значения могут резко отличаться. Более того, расчеты становятся некорректными, так как начинают зависеть от случайных процессов в самом компьютере (скачки напряжения и т.п.). Таким образом, состояние системы в момент бифуркации является крайне неустойчивым и бесконечно малое воздействие может привести к выбору дальнейшего пути движения, а это, как мы уже знаем, является главным признаком хаотической системы (существенная зависимость от начальных условий). Фейгенбаум установил универсальные закономерности перехода к динамическому хаосу при удвоении периода, которые были экспериментально подтверждены для широкого класса механических, гидродинамических, химических и других систем. Результатом исследований Фейгенбаум стало т.н. «дерево Фейгенбаума».

Рисунок 5. Дерево Фейгенбаума (расчет на основе немного измененной логистической формулы)

Как мы знаем из определения, бифуркации возникают при переходе системы от состояния видимой стабильности и равновесия к хаосу. Примерами таких переходов являются дым, вода и многие другие самые обычные природные явления. Так, поднимающийся вверх дым сначала выглядит как упорядоченный столб. Однако через некоторое время он начинает претерпевать изменения, которые сначала кажутся упорядоченными, однако затем становятся хаотически непредсказуемыми. Фактически первый переход от стабильности к некоторой форме видимой упорядоченности, но уже изменчивости, происходит в первой точке бифуркации. Далее количество бифуркаций увеличивается, достигая огромных величин. С каждой бифуркацией функция турбулентности дыма приближается к хаосу. С помощью теории бифуркаций можно предсказать характер движения, возникающего при переходе системы в качественно иное состояние, а также область существования системы и оценить ее устойчивость.

К сожалению, само существование теории хаоса трудно совместимо с классической наукой. Обычно научные идеи проверяются на основании предсказаний и их сверки с реальными результатами. Однако, как мы уже знаем, хаос непредсказуем, когда изучаешь хаотическую систему, то можно прогнозировать только модель ее поведения. Поэтому с помощью хаоса не только нельзя построить точный прогноз, но и, соответственно, проверить его. Однако это не должно говорить о неверности теории хаоса, подтвержденной как в математических расчетах, так и в жизни. На сейчас еще не существует математически точного аппарата применения теории хаоса для исследования рыночных цен, поэтому спешить с применением знаний о хаосе нельзя. Вместе с тем, это действительно самое перспективное современное направление математики с точки зрения прикладных исследований финансовых рынков.

теория хаоса в быту — Рамблер/новости

Иллюстрация: Erika Iris www.flickr.com

В термодинамике существует такой парадокс: если взять сосуд с газом, отделенным перегородкой от другой части сосуда с вакуумом, а потом перегородку убрать, то однажды все частицы газа снова окажутся в той же области, где были в начале. Это утверждение кажется практически невозможным, ведь в нем даже ничего не говорится про объем сосуда. А если в этом газе миллиарды частиц? Парадокс в том, что в нем ничего не говорится о времени. Да, газ действительно вернется в начальную половину сосуда, но это может произойти и через десять, и через сто лет, а более точные оценки времени, в зависимости от размера сосуда, могут даже превышать возраст Вселенной.

Этот парадокс – прямое следствие теоремы о возвращении математика и физика Анри Пуанкаре. В упрощенной формулировке эта теорема говорит о том, что любая система вернется в окрестность своего начального состояния. Теорема о возвращении – один из первых ростков теории хаоса. Теория хаоса мультидисциплинарна. Ее можно представить как дерево с множеством корней, и все они – области знания, из которых зародилась новая наука.

Анри Пуанкаре

Эффект бабочки и детерминизм Лапласа

Следующим значимым шагом в становлении теории хаоса (после теоремы о возвращении) были исследования Лоренца, в результате которых он открыл широко известный «эффект бабочки». В середине XX века Эдвард Лоренц занимался метеорологией и пытался составить модель земной атмосферы. В то время физики считали метеорологию прикладной и бесперспективной наукой: делать прогнозы по таблицам на несколько дней можно было научить кого угодно. Но Лоренцу просто нравилось составлять различные модели, да и появившиеся компьютеры, которые также никто не принимал всерьез, значительно в этом помогали. Именно Лоренц в конце концов поставил точку в теории детерминизма. Но как философская теория детерминизма связана с наукой? Чтобы в этом разобраться, перенесемся на несколько веков назад.

Во времена Лапласа значительная часть ученых придерживалась принципов абсолютного детерминизма – это согласовывалось с имеющимися знаниями о мире и обещало в обозримом будущем объяснить все физические законы. Отчасти успех детерминизма был продиктован огромными успехами ньютоновской механики, позволившей за одно столетие совершить огромный скачок в науке. Основным принципом ньютоновской механики являлось описание всех физических процессов набором дифференциальных уравнений. То есть, зная набор уравнений и некие дополнительные данные, называемые начальными условиями, можно было предсказать параметры системы в любой другой момент времени. Именно по этим принципам и сейчас рассчитываются орбиты планет, спутников и космических аппаратов. Лаплас возвел принципы ньютоновской механики в абсолют: он предположил существование демонов Лапласа. Суть такого демона в простом утверждении: зная начальные условия для всех частиц во Вселенной, он может предсказать параметры этих частиц в любой следующий промежуток времени. Очевидно, что если такой демон существует, то из этого напрямую следует предопределенность любого действия во Вселенной.

В начале XX века теорию детерминизма пошатнуло появление квантовой механики, в особенности открытие принципа неопределенности Гейзенберга – он говорит о том, что невозможно одновременно точно измерить координату и импульс частицы. Но окончательно добил теорию детерминизма именно «эффект бабочки» Лоренца. Когда в 60-х годах он составлял модели для предсказания погоды, все расчеты показывали, что модель действительно хорошо описывает реальные явления в атмосфере, но при этом через некоторое время симуляция начинала все сильнее отличаться от реальности. Однажды Лоренц округлил последний знак одного из начальных условий уравнений и через несколько часов увидел другую картину атмосферы, которая абсолютно не совпадала с реальностью, – малейшая ошибка в начальных условиях привела к совсем другому решению уравнений и к совершенно другому развитию событий. Именно этот эффект в дальнейшем и назовут «эффектом бабочки» – взмах крыльев бабочки в одном конце земного шара может привести к образованию урагана в другом.

Когда Лоренц понял, чем вызвано странное развитие его модели, он сразу догадался, почему его модель в итоге всегда расходилась с реальной атмосферой. Дело в том, что в компьютере было ограничение на размер знаков числа после запятой, – а начальные условия для уравнений нужно было определять с гораздо большей точностью, чем позволял компьютер. Кажется, что это условие можно обойти на современных компьютерах, но здесь вновь появляется принцип неопределенности Гейзенберга: даже если программе можно будет задать параметры с нужной точностью, мы не сможем измерить их с требуемой правильностью. На практике же из-за «эффекта бабочки» невозможен долгосрочный прогноз погоды.

Предсказание будущего и аттракторы

Среди остальных областей науки теория хаоса отличается удивительно красивыми и наглядными результатами – это геометрические фракталы, аттракторы или турбулентность. Аттракторы заслуживают отдельного внимания. Сам по себе аттрактор с физической точки зрения – это всего лишь схема динамики некой системы в интересующих нас координатах. Например, простейший аттрактор может показывать изменение скорости и координаты тела. А в более общем случае может описывать любые параметры – от силы тока в цепи до количества волков в стае. Рецепт построения аттрактора тоже достаточно прост. Нужно взять систему дифференциальных уравнений, описывающих изменение системы во времени, получить решение этой системы и построить график, причем переменная времени из этого решения исключается.

С теорией хаоса наиболее тесно связаны странные аттракторы – аттракторы с фрактальной структурой, описывающие системы с хаотическим поведением. Один из самых известных странных аттракторов открыл тот же Эдвард Лоренц. Интересная особенность аттрактора Лоренца в том, что он охватывает целый ряд физических явлений. Например, с его помощью можно описать конвекцию (перемешивание) воды в плоском слое и работу простейшего лазера.

Пожалуй, самые неожиданные области применения теории хаоса – экология и биология. При помощи методов, используемых при построении аттракторов, ученые смогли визуализировать аттрактор для модели эпидемии кори.

Здесь может возникнуть вопрос – а зачем вообще это нужно? Как было сказано, аттрактор показывает динамику развития системы. Значит, если у нас есть модель системы или ее аттрактор, то мы можем найти на аттракторе наиболее подходящую текущему состоянию точку. И, зная ее, можем определить следующую точку, то есть следующее состояние системы. Говоря более простым языком, мы фактически получаем предсказание будущего!

Конечно, зачастую это предсказание не совсем точное, но даже это уже большой успех. И вполне очевидно, что такие предсказания нужны во всех областях науки. Например, один из ученых, разработавших метод предсказания популяции планктона, – Джордж Сугихара на некоторое время занялся исследованиями в финансовой области, и теперь его разработки применяются в автоматизированной торговле акциями.

Теория хаоса и радиофизика

Не только математика и биология привели к образованию теории хаоса – множество задач пришло в эту науку и из различных областей физики, от гидродинамики до радиофизики. В 1927 году голландский физик Балтазар ван дер Пол начал исследовать осциллятор (генератор), позже названный его именем, – пример нелинейной системы с автоколебаниями. Автоколебания – это вид колебаний с трением, в котором колебания поддерживаются за счет постоянного подвода энергии. Простейший пример таких колебаний – маятник на часах: колебания в нем должны остановиться за счет действия силы тяжести, но маятник продолжает движение за счет подвода энергии (например, за счет постепенного опускания гири). Нелинейность в генераторе Ван дер Поля возникает из-за того, что затухание колебаний в нем происходит не линейно, а с коэффициентом, в котором есть переменная уравнения.

При исследовании генератора Балтазар ван дер Пол обнаружил, что при периодическом внешнем воздействии наблюдаются области частот с шумами, находящиеся рядом с собственными частотами, что является проявлением хаоса! Также при работе осциллятора возникают предельные циклы – стационарное состояние системы.

Тогда же, в конце 20-х годов, советский физик Александр Андронов установил, что вообще все периодические автоколебания в математическом смысле являются предельными циклами. Благодаря этим открытиям возникла нелинейная теория колебаний – наука, исследующая «сложные» колебания и значительно пересекающаяся с теорией хаоса. И, как во многих других примерах, исследования Ван дер Поля пригодились не только в физике, но и перетекли в биологию – на основе полученных им уравнений создана одна из моделей нейрона (модель ФитцХью–Нагумо).

Фазовый портрет осциллятора Ван дер Поля. Красная линия – предельный цикл

Практическое применение теории хаоса

Все эти дисциплины: математика, гидродинамика, радиофизика, биология и многие другие – привели к образованию теории хаоса как отдельной науки. И сейчас она находит все больше применений в различных задачах, порой очень необычных. Например, на основе теории хаоса строится клиодинамика – междисциплинарная наука, которая занимается математическим моделированием исторических процессов. Основная цель этой науки – понять процессы развития человечества: возвышение и падение цивилизаций и государств, динамику населения и распространение религий.

, один из основателей клиодинамики, Петр Турчин, составил модель, определяющую промежуток времени между двумя последующими кризисами в государстве. В теории такие модели могут предсказать дальнейшее развитие истории! И хотя сейчас перспективы клиодинамики с точки зрения многих ученых весьма сомнительны, кто знает, во что в дальнейшем может перерасти эта наука? Может, в ближайшем будущем мы сможем предсказывать развитие всего человечества на годы или даже на века вперед, как это было у Азимова в «Основании».

В качестве другого примера можно привести моделирование лесных пожаров. Один из подходов к этой задаче состоит в создании клеточной модели леса, где каждому дереву соответствует отдельная клетка, а вероятность пожара зависит от наличия рядом горящих деревьев и некоторых дополнительных факторов – это можно представить как некий морской бой, в котором при попадании могут загораться стоящие рядом корабли.

Теория хаоса стала большой междисциплинарной наукой. Более того, именно в теории хаоса ученые впервые перешли к рассмотрению сложных систем, а не их простейших составляющих, чем зачастую ограничивались раньше. Главным же стимулом для развития этой науки стало появление очень похожих задач в абсолютно разных областях. А фактором, обусловившим развитие теории хаоса, стало широкое распространение компьютеров – без них большая часть расчетов была бы невозможна.

Но, пожалуй, самое важное следствие теории хаоса – расширение междисциплинарных исследований. Много проблем в биологии и экологии было решено с помощью новых математических моделей, и наоборот – некоторые математические модели (например, нейронные сети) были вдохновлены биологическими объектами. И теперь в мире все больше ученых занимаются не математикой или физикой, а чем-то средним между многими областями наук. И зачастую такой подход помогает решить задачи, долгое время считавшиеся сложными, а то и нерешаемыми.

Аттрактор Лоренца: портрет хаоса — как работает теория хаоса

Компьютерная модель Лоренца преобразовала сложное поведение атмосферы Земли в 12 уравнений — чрезмерное упрощение, если оно когда-либо существовало. Но ученому из Массачусетского технологического института нужно было что-то еще более простое, если бы он надеялся лучше рассмотреть дразнящие эффекты, которые он заметил в смоделированной погоде. Он сузил свою задачу до одного атмосферного условия, известного как , конвекция подвижной жидкости . Конвекция происходит в больших масштабах, когда солнце нагревает воздух у поверхности Земли быстрее, чем воздух выше в атмосфере или над водоемами.В результате такого неравномерного нагрева более теплый и легкий воздух поднимается вверх по мере того, как опускается более прохладный и тяжелый воздух. Это, в свою очередь, создает большие круглые «рулоны» воздуха.

Конвекция может возникать и в меньших масштабах — в чашках горячего кофе, в кастрюлях с подогреваемой водой или в прямоугольных металлических ящиках, обогреваемых снизу. Лоренц представил этот последний мелкомасштабный пример катящейся конвекции и приступил к выводу простейших уравнений, возможных для описания этого явления. Он придумал систему из трех нелинейных уравнений:

1. dx / dt = σ (yx)
2. dy / dt = ρx — y — xz
3. dz / dt = xy — βz

, где σ (сигма) представляет собой отношение вязкости жидкости к теплопроводности, ρ (rho) представляет собой разницу температур между верхом и низом системы, а β (бета) представляет собой отношение ширины коробки к высоте коробки.Кроме того, есть три изменяющиеся во времени переменные: x, который равен конвективному потоку; y, что равно горизонтальному распределению температуры; и z, который равен вертикальному распределению температуры.

Уравнения с тремя переменными казались простыми для решения. Лоренц выбрал начальные значения — σ = 10, ρ = 28 и β = 8/3 — и скормил их своему компьютеру, который начал вычислять, как переменные будут меняться с течением времени. Чтобы визуализировать данные, он использовал каждый вывод с тремя числами как координаты в трехмерном пространстве.Компьютер нарисовал чудесную кривую с двумя перекрывающимися спиралями, напоминающую крылья бабочки или маску совы. Линия, образующая кривую, никогда не пересекалась сама с собой и никогда не возвращалась назад по своему собственному пути. Вместо этого он вращался бесконечно, иногда проводя время на одном крыле, прежде чем переключиться на другую сторону. Это была картина хаоса, и хотя она показывала случайность и непредсказуемость, она также демонстрировала странный порядок.

Ученые теперь называют загадочную картину аттрактором Лоренца .Аттрактор описывает состояние, в которое динамическая система переходит через достаточно долгое время. Системы, которые никогда не достигают этого равновесия, такие как крылья бабочки Лоренца, известны как странных аттракторов . С тех пор были обнаружены дополнительные странные аттракторы, соответствующие другим системам уравнений, которые приводят к возникновению хаотических систем. Аттрактор Рёсслера создает граф, напоминающий оболочку наутилуса. Аттрактор Энон производит инопланетный бумеранг.

Как только Лоренц опубликовал результаты своей работы в 1963 году, научное сообщество обратило на это внимание.Образы его странного аттрактора начинают появляться повсюду, и люди с большим волнением говорили об этом развивающемся рубеже науки, где правил индетерминизм, а не детерминизм. И все же слово хаос еще не появилось как ярлык для этой новой области исследования. Это мог бы сказать ученый-математик из Университета Мэриленда.

Эдвард Лоренц и эффект бабочки

Эдвард Нортон Лоренц (1917-2008)

23 мая 1917 года родился американский математик, метеоролог и пионер теории хаоса Эдвард Нортон Лоренц .Он наиболее известен тем, что указал на «эффект бабочки», согласно которому теория хаоса предсказывает, что «слегка отличающиеся начальные состояния могут развиваться в существенно разные состояния». В своей статье 1963 года в Журнале атмосферных наук он процитировал взмах крыльев чайки, поскольку изменение состояния атмосферы даже таким тривиальным образом может привести к огромным изменениям в погодных условиях.

«Кажется, математикам не составляет труда создавать новые концепции быстрее, чем старые становятся понятными, и, несомненно, всегда будет много сложных проблем, которые нужно решить.тем не менее, я считал, что некоторые из нерешенных метеорологических проблем являются более фундаментальными, и был уверен, что могу внести свой вклад в некоторые из их решений ».
— Эдвард Лоренц (1991) «Ученый по выбору». Выступление по случаю вручения Киотской премии

Эдвард Лоренц — Ранние годы

Эдвард Лоренц родился в Западном Хартфорде, штат Коннектикут. После получения дипломов по математике в Дартмутском колледже и Гарвардском университете Лоренц обратился к прогнозированию погоды в 1942 году вместе с Университетом им.S. Army Air Corps, где он применял свои математические навыки для прогнозирования погоды, и вскоре он планировал продолжить изучение метеорологии. [2] После Второй мировой войны он решил стать исследователем в Массачусетском технологическом институте, где получил степень магистра (1943 г.) и доктора метеорологии (1948 г.) после защиты диссертации Метод применения гидродинамических и термодинамических уравнений к моделям атмосферы. . Лоренц всю свою карьеру проработал в Массачусетском технологическом институте, в 1954 г. был назначен доцентом, затем стал доцентом, а в 1962 г. стал профессором метеорологии.Он занимал должность заведующего кафедрой с 1977 по 1981 год, ушел на пенсию в 1987 году, когда он получил звание почетного профессора [2].

Нелинейные статистические модели для метеорологии

В 1950-х годах Лоренц скептически относился к уместности линейных статистических моделей в метеорологии, поскольку большинство атмосферных явлений, участвующих в прогнозировании погоды, являются нелинейными. Его работа над этой темой увенчалась публикацией его статьи 1963 года «Детерминированный непериодический поток » в журнале «Атмосферные науки», а вместе с ней и основания теории хаоса.Он построил погодную модель, показывающую, что почти любые две близлежащие начальные точки, указывающие на текущую погоду, будут быстро расходиться по траекториям и довольно часто оказываются в разных «долях», которые соответствуют тихой или штормовой погоде. Он объяснил это явление, которое делает невозможным долгосрочное прогнозирование погоды, общественности как «эффект бабочки »: в Китае бабочка машет крыльями, что несколько дней спустя приводит к непредсказуемым изменениям погоды в США [1]. В теории хаоса эффект бабочки — это чувствительная зависимость от начальных условий, в которой небольшое изменение одного состояния детерминированной нелинейной системы может привести к большим различиям в более позднем состоянии.

Эффект бабочки

Лоренц обнаружил эффект случайно. Однажды в 1961 году он захотел повторить одно из своих погодных симуляций, используя простую компьютерную модель в течение более длительного времени, но вместо того, чтобы повторять всю симуляцию, он начал второй прогон посередине, вводя числа из первого прогона. первоначальные условия. Компьютерная программа была такой же, поэтому погодные условия во втором заезде должны были точно соответствовать погодным условиям первого. Вместо этого две погодные траектории быстро разошлись на совершенно разных путях просто потому, что Лоренц допустил небольшую ошибку округления с его входными данными менее 0.1 процент — он ввел начальное условие 0,506 из распечатки вместо ввода значения 0,506127 с полной точностью, что полностью изменило конечный результат. Вскоре Лоренц понял, что это означает, что точный прогноз погоды — не что иное, как фантазия. [3] Эффект бабочки представляет собой очевидную проблему для предсказания, поскольку начальные условия для системы, такие как погода, никогда не могут быть известны с полной точностью.

График странного аттрактора Лоренца для значений ρ = 28, σ = 10, β = 8/3.

Теория хаоса и аттрактор Лоренца

Эдвард Лоренц был не первым, кто обнаружил хаос. [2] Теория хаоса и чувствительная зависимость от начальных условий были описаны в литературе в частном случае задачи трех тел Анри Пуанкаре в 1890 году, который позже предположил, что такие явления могут быть обычным явлением, например, в метеорологии [4]. Однако открытие Пуанкаре не привело ни к какому значительному развитию. Статья Лоренца 1963 года, как и работа Пуанкаре 80 лет назад, оказала относительно небольшое влияние сразу после выхода в свет.Тем не менее, он стал одной из самых цитируемых газет всех времен. Система уравнений и аттракторы, описываемые этой системой уравнений, теперь называются уравнениями Лоренца и аттракторами Лоренца , соответственно. Было бы справедливо сказать, что Эдвард Лоренц начал научную революцию с этой статьей, которую он и многие другие разработали в последующие годы. В 1972 году он обратился к Американской ассоциации развития науки с докладом под названием Предсказуемость: вызывает ли взмах крыльев бабочки в Бразилии торнадо в Техасе? Включив суть теории хаоса в название своего выступления, Лоренцу удалось привлечь внимание публики, и вскоре термин «эффект бабочки» стал популярным термином для обозначения хаоса.

Награды

Эдвард Лоренц, избранный членом Национальной академии наук в 1975 году, получил множество наград, наград и почетных степеней. В 1983 году он и бывший профессор Массачусетского технологического института Генри М. Стоммел были совместно удостоены премии Крафорда в размере 50 000 долларов США от Шведской королевской академии наук, премии, учрежденной для признания областей, не имеющих права на получение Нобелевских премий. Эдвард Лоренц умер 16 апреля 2008 года в Кембридже, штат Массачусетс, в возрасте 90 лет.

В поиске академических видео yovisto вы можете узнать больше о работе Эдварда Лоренца из лекции доктора Ф.Брюс Стюарт из Системного курса Института Росса 2013/2014 по аттрактору Лоренца.

Ссылки и дополнительная литература:

• [1] Эдвард Лоренц, американский метеоролог и математик, в Britannica Online
• [2] О’Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф., «Эдвард Нортон Лоренц», архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
• [3] Кеннет Чанг: Эдвард Н. Лоренц, метеоролог и основоположник теории хаоса, умер в возрасте 90 лет, The New York Times, 17 апреля 2008 г.
• [4] Анри Пуанкаре — последний универсалист математики, блог SciHi, 29 апреля 2014 г.
• [5] Эдвард Нортон Лоренц в Викиданных
• [6] Некролог, Daily Telegraph , 18 апреля 2008 г.
• [7] Палмер Т. Н. (2009). «Эдвард Нортон Лоренц. 23 мая 1917 г. — 16 апреля 2008 г. ». Биографические воспоминания членов Королевского общества . 55 : 139–155.
• [8] Эдвард Лоренц, отец теории хаоса и эффекта бабочки, умирает на 90 ″. Обсуждение технических специалистов Массачусетского технологического института . 2008-04-30.
• [9] Хронология теоретиков хаоса, через DBpedia и Wikidata

Теория хаоса — обзор

1 Введение: предположение стабильности неустойчиво…

Нелинейная динамика, включая теорию сложных систем, теорию хаоса, синергетику, диссипативные структуры, фрактальную геометрию и теорию катастроф, — это молодая и увлекательная область науки. исследование, охватывающее многие установленные дисциплины (см. [Mainzer, 1996]).Однако это ставит сложные проблемы как для научной методологии, так и для философии науки. Ставятся под сомнение методологические предпосылки, а также метафизические допущения, например, предсказуемость, воспроизводимость, проверяемость, объяснимость, а также закономерность (детерминизм / причинность). Общим знаменателем всех этих проблем является нестабильность — это главный тезис данной статьи.

С момента появления нелинейной динамики и ее продвижения в области физики в 1960-х годах — в сочетании с методологическими разработками в компьютерных технологиях и способностью компьютера численно обрабатывать нелинейность — стало еще одним свидетельством существования и преобладания нестабильных и сложных явлений в мире. возник физический мир.Нелинейные системы, даже с несколькими степенями свободы, могут проявлять статическую, динамическую и структурную нестабильность. Хотя нестабильности ставят под сомнение неявные метафизико-методологические убеждения и устоявшиеся базовые предпосылки математической науки, сегодня они не рассматриваются просто негативно. Напротив, нестабильность высоко ценится — мы находим позитивизацию нестабильности : нестабильности составляют номологическое ядро ​​самоорганизации, формирования паттернов, процессов роста, фазовых переходов, а также стрелу времени (ср.[Шмидт, 2008а]). Без нестабильности нет сложности и изменений. Явления, порожденные глубинной нестабильностью в природе, технологиях и обществе, очевидны; мы можем наблюдать эти явления с помощью наших органов чувств. Фактически, нестабильность является корнем многих бытовых явлений в нашей повседневной жизни — например, начало капания из-под крана или замерзание воды на лед в холодильнике. Нестабильность следует рассматривать как эмпирический факт нашего жизненного мира и за его пределами, а не только как условную условность.

Таким образом, представляется необходимым пересмотр традиционных методологических и метафизических допущений о стабильности. (a) В прошлом стабильность считалась само собой разумеющимся как неявное a priori условие для квалификации математической модели как физически релевантной или адекватной. Стабильность казалась ключевым элементом, лежащим в основе любой физической методологии: она рассматривалась как единственная возможность гарантировать применение методов приближения, а также иметь дело с эмпирическими и экспериментальными неопределенностями.(б) Помимо методологии, лежащее в основе метафизическое убеждение пронизывало всю историю физики, определяя фокус интереса и выбирая объекты, которые считались достойными исследования. Обрамление и концептуализация природы как «природы», поскольку она стабильна, неизменна во времени и симметрична (метафизика), действительно были успешной стратегией для продвижения конкретных физических знаний (методология). Интересно видеть, что метафизические убеждения и методологические соображения переплетаются; Как будет показано в этой статье, нет четкой границы между метафизикой и методологией.

На протяжении всей истории метафизика стабильности всегда играла важную роль в науке, начиная с древних времен с концепции стабильности космоса Платона. В наше время метафизику устойчивости можно найти в трудах выдающихся физиков, таких как Ньютон и Эйнштейн. Например, в своей работе Opticks Ньютон не доверял своим собственным нелинейным уравнениям для систем из трех и n тел, которые потенциально могут иметь нестабильные решения [Newton, 1730]. Он требовал частого сверхъестественного вмешательства Бога, чтобы стабилизировать солнечную систему.В том же ключе Эйнштейн ввел ad hoc — без каких-либо эмпирических доказательств или физического обоснования — космологическую постоянную в рамках общей теории относительности, чтобы гарантировать статичный и стабильный космос, «космос Эйнштейна» [Einstein, 1917]. Оба примера, от Ньютона и Эйнштейна, иллюстрируют эти метафизические убеждения — , что такое природа! — могут быть невероятно сильными, даже если они противоречат тому, что известно о природе в то время.

Сегодня, однако, ex post и благодаря развитию нелинейной динамики мы можем определить «догму стабильности», которая определила выбор (или построение) как объектов, так и моделей / теорий в физике.«Мы поставим под сомнение общепринятое мнение о том, что стабильность является важным свойством моделей физических систем. […] Логика, которая поддерживает догму стабильности , неисправна ». [Гукенхаймер и Холмс, 1983, стр. 259]: предположение о стабильности само по себе нестабильно! Хотя история открытия нестабильностей восходит к физикам, таким как Ньютон, Лаплас, Стокс, Максвелл, Пуанкаре и Дюгем, физические объекты воспринимались (и часто остаются) с точки зрения стабильности — даже пионерами нестабильности.На протяжении всей истории точных наук нестабильность не признавалась научным сообществом. Ситуация изменилась с 1960-х годов, когда физика начала расширять свой методологический горизонт, в том числе избавляясь от ограничения методологии требованиями стабильности. Потребность в продвижении физической методологии возникла потому, что нестабильность оказалась очень фундаментальной в природе, технологиях и даже в социальных процессах. Чтобы справиться с нестабильностями, физики за последние 30 лет успешно заменили традиционную количественную, метрически ориентированную догму устойчивости более слабыми, более качественными топологическими характеристиками.Многие модели (теории, законы) в нелинейной динамике нестабильны, «и мы уверены, что эти […] являются реалистичными моделями […] соответствующих физических систем» [Guckenheimer and Holmes, 1983, p. 259].

Нелинейная динамика показывает, что нестабильность не является второстепенным явлением: нестабильность широко присутствует во всем нашем мире. Обнаружение и признание нестабильности побуждает как к пересмотру метафизических взглядов, лежащих в основе догмы стабильности , , так и к пересмотру методологических предпосылок.План этой статьи выглядит следующим образом: В разделе 2 я охарактеризовал нестабильность и различаю три вида нестабильности. В разделе 3 я сосредотачиваюсь на методологических проблемах и проблемах, вызванных нестабильностью; будут обсуждаться ограничения классических и современных наук. В разделе 4 я показываю, как современной физике удается, по крайней мере до некоторой степени, справляться с нестабильностями.

Нестабильность не может рассматриваться как исключение в стабильном мире. Скорее наоборот: нестабильность является источником сложности, формирования паттернов и самоорганизации.Вот почему нестабильность не только проявляется в негативном свете; возникает позитивное понимание, которое показывает сложные будущие перспективы и перспективы для быстро развивающейся области нелинейной динамики — и за ее пределами: для всех математических наук.

Его компьютерная загадка привела к теории хаоса

Эдвард Н. Лоренц, метеоролог из Массачусетского технологического института, чьи усилия по использованию компьютеров для повышения точности прогнозов погоды непреднамеренно привели к открытию теории хаоса и продемонстрировали, что точные долгосрочные прогнозы невозможны. умер от рака в среду в своем доме в Кембридже, штат Массачусетс.Ему было 90.

Лоренц был, пожалуй, наиболее известен благодаря названию статьи 1972 года «Предсказуемость: вызывает ли взмах крыльев бабочки в Бразилии торнадо в Техасе?» В запоминающемся названии кратко изложена суть теории хаоса: очень маленькие изменения в системе могут иметь очень большие и неожиданные последствия.

Хотя теория хаоса первоначально применялась для прогнозирования погоды, впоследствии она нашла свое применение в широком спектре научных и ненаучных приложений, включая геометрию снежинок и предсказуемость того, какие фильмы станут блокбастерами.

Его работа «глубоко повлияла на широкий круг фундаментальных наук и вызвала одно из самых драматических изменений во взглядах человечества на природу со времен сэра Исаака Ньютона», — написал комитет, присудивший ему Киотскую премию 1991 года за фундаментальные науки в области естественных наук. науки о Земле и планетах.

Показав, что предсказуемость многих систем ограничена, Лоренц «вбил последний гвоздь в гроб картезианской вселенной и спровоцировал то, что некоторые называют третьей научной революцией 20-го века, последовав за теорией относительности и теории относительности. квантовая физика », — сказал атмосферный ученый Керри Эмануэль из Массачусетского технологического института.

Лоренц был также «идеальным джентльменом и своим умом, честностью и скромностью установил очень высокие стандарты для своего и последующих поколений», — добавил он.

Один из драматических выводов его работы состоит в том, что невозможно предсказать погоду более чем на три недели вперед с любой степенью уверенности.

Корни теории хаоса восходят, по крайней мере, к концу 19 века, когда французский физик Анри Пуанкаре, к своему огорчению, обнаружил, что невозможно рассчитать стабильность небесной системы, содержащей более двух тел — по крайней мере, с использованием доступных методов. в то время.

Это было шоком, потому что законы тяготения и движения Ньютона обещают порядок и предсказуемость, и Пуанкаре пришел к выводу, что должны быть другие уравнения, которые устранят проблему. Однако в отсутствие компьютеров никто не мог проверить этот тезис.

В 1961 году молодой доцент кафедры метеорологии Массачусетского технологического института использовал примитивный компьютер Royal McBee LPG-30 для изучения простых моделей атмосферы, основанных на серии из 12 дифференциальных уравнений.

После одного запуска он решил, что хочет изучить конец расчета более глубоко.

Вместо повторного выполнения всего расчета он выбрал точку в середине расчета и ввел ранее рассчитанные значения для этой точки.

Затем он ушел на кофе-брейк, чтобы избежать непрерывного шума из машины.

Когда он вернулся, он, к своему удивлению, обнаружил, что рассчитанные погодные условия сильно отличаются от тех, которые были получены при первом вычислении.Определив, что Royal McBee не просто взорвал вакуумную лампу, он начал более внимательно изучать сам расчет.

В конечном итоге он пришел к выводу, что первоначальные расчеты проводились до шести значащих цифр.

Однако для экономии места в распечатке, которую он использовал, каждое значение округлялось только до трех разрядов.

Этой незначительной разницы, менее 1% от исходных значений, было достаточно, чтобы направить систему в совершенно ином направлении.

Лоренц разработал математику и сообщил о своих выводах в Journal of Atmospheric Sciences в статье 1963 года под названием «Детерминированный непериодический поток».

Однако первая статья не была услышана, и он не привлек к себе особого внимания до его выступления «бабочка» в 1972 году на собрании Американской ассоциации. для развития науки.

Позже Лоренц сказал, что планировал использовать чайку в качестве иллюстрации, но коллега из Массачусетского технологического института предположил, что бабочка будет иметь большее влияние.Он выбрал Бразилию из-за ее аллитерационной ценности.

Согласно онлайн-базе данных Web of Science, оригинальная статья Лоренца к настоящему времени получила по меньшей мере 4000 уникальных цитирований последующих авторов, что сделало ее одной из самых цитируемых статей всех времен.

Эдвард Нортон Лоренц родился 23 мая 1917 года в Западном Хартфорде, штат Коннектикут. Он получил степень бакалавра математики в Дартмутском колледже в 1938 году и степень магистра математики в Гарварде в 1940 году. синоптик U.S. Army Air Corps, получил степень магистра метеорологии в Массачусетском технологическом институте в 1943 году.

После войны он продолжил учебу и получил докторскую степень в 1948 году.

Всю свою карьеру он проработал в Массачусетском технологическом институте.

Помимо Киотской премии, он также получил премию Крафорда Королевской академии наук Швеции в 1983 году, учрежденную в честь областей, не имеющих права на получение Нобелевской премии.

Лоренц был активным путешественником и лыжником по пересеченной местности и всегда посещал горные тропы рядом с каждым научным собранием, которое он посещал.По словам членов его семьи, за две недели до смерти он отправился в поход.

Его жена, Джейн Логан Лоренц, умерла в 2001 году.

У Лоренца остались дочери Нэнси из Рослиндейла, Массачусетс, и Шерил Лоренц из Юджина, штат Орегон; и сын Эдуард Грассский, Франция.

—

[email protected]

Знакомство с Хаосом

Теория хаоса — это исследование того, как системы, которые следуют простым, понятным, детерминированным законам, могут проявлять очень сложное и, казалось бы, случайное долгосрочное поведение.Классический пример этого — погода. Все отдельные молекулы воздуха подчиняются основным законам физики, но глобальные погодные условия далеко не просты.

Отличительной чертой хаотических систем является чувствительная зависимость от начальных условий. Это означает, что если две копии системы отличаются лишь на очень небольшую величину, то по прошествии относительно короткого периода времени эти две системы будут расходиться и сильно отличаться друг от друга. «Эффект бабочки» является примером этого, ссылаясь на идею о том, что взмах крыльев бабочки в Африке может вызвать каскад событий, кульминацией которых станет торнадо в Техасе.Эта чувствительная зависимость от начальных условий также гарантирует, что прогноз погоды не будет точным более чем на несколько дней вперед.

Хаос также можно увидеть в таких разнообразных системах, как электрические цепи, колеблющиеся химические реакции и гидродинамика, а также планетарные тела, вращающиеся вокруг друг друга. Тем не менее, многие системы реального мира, такие как погода, содержат слишком много частиц, чтобы их можно было точно проанализировать с помощью компьютеров, но большая часть существенного поведения, которое делает эти системы хаотическими, также может быть обнаружена в гораздо более простых системах, которые гораздо легче анализировать с помощью карандаша и бумаги. и смоделирован с помощью компьютеров.Исследователи изучают эти более простые системы в надежде, что они прольют свет на более сложные явления реального мира.

В 1960-х Эдвард Лоренц, метеоролог, экспериментировал с примитивными компьютерными симуляциями. Его программа использовала двенадцать рекурсивных уравнений для моделирования элементарных аспектов погоды; он вводил несколько переменных в свою программу каждый раз, когда запускал ее, и наблюдал, чтобы увидеть, какие типы погодных условий будут генерировать такие начальные условия. Он мог распечатать графики колебаний температуры или других условий.

Однажды Лоренц попытался воссоздать интересную погодную картину, которую он видел ранее, повторно введя значения, которые компьютер ранее рассчитал и сообщил. Однако, когда он снова запустил программу, его результаты отличались от первоначального. Лоренц подозревал ошибку, но после проверки двух графиков, однако, он осознал свою «ошибку»: на своей предыдущей компьютерной распечатке, той, которую он использовал для ввода начальных условий в компьютер для второго пробного запуска, цифры были напечатаны. с тремя значащими цифрами.В программе все значения были рассчитаны до шести значащих цифр. Лоренц предполагал, что разница, составляющая всего одну часть из тысячи, не будет иметь значения. Однако из-за рекурсивного характера уравнений небольшие ошибки сначала вызовут крошечные ошибки, которые затем немного повлияют на результирующий следующий расчет, что еще больше повлияет на результат следующего прогона. Конечный результат длинной цепочки рекурсивных вычислений приведет к погодным условиям, полностью отличным от ожидаемых значений.

Фактически можно построить дальнейшее упрощение и без того упрощенной модели Лоренца. Представьте себе водяное колесо с восемью ведрами, равномерно расположенными по его краю. Ковши установлены на вертлюгах, как сиденья на колесах обозрения, так что ковши всегда открываются вверх. Внизу каждого ведра есть небольшое отверстие. Затем вся система водяного колеса монтируется под водостоком.

Начните поток воды из водяного смерча.На малых скоростях вода будет стекать в верхнее ведро и сразу же вытечь через отверстие в дне. Ничего не произошло. Действительно скучно. Однако немного увеличьте поток, и водяное колесо начнет вращаться, так как ведра наполняются быстрее, чем могут опорожняться. Более тяжелые ведра, содержащие больше воды, выпускают воду по мере опускания, а когда вода уходит, теперь легкие ведра поднимаются с другой стороны, чтобы в конечном итоге наполняться. Система находится в устойчивом состоянии; колесо будет, как водяное колесо, установленное на ручье и зацепленное за точильный камень, будет продолжать вращаться с довольно постоянной скоростью.

Но даже этот простой демонстрирует хаотическое движение. Увеличьте поток воды, и будут происходить странные вещи. Водяное колесо будет вращаться в одном направлении, как и раньше, а затем внезапно дергается и вращается в другом направлении. Условия наполнения и опорожнения ковшей больше не будут настолько синхронными, чтобы облегчить простое вращение; Хаос захватил власть.

Реальная реализация водяного колеса Лоренца от Гордона МакДонаф:

Предполагается, что водяное колесо представляет собой сильно упрощенную модель вращения воздуха в колонне.Контакт с землей нагревает воздух, и он поднимается вверх. Воздух, находящийся выше в атмосфере, медленно охлаждается, уплотняется и опускается. Эти два тела воздуха должны обойти друг друга и, скользя друг по другу, вызывают вращение. Водяное колесо — это перевернутая модель этого процесса. Вода в каждом ведре означает тепло в этом воздушном кармане. Ведро набирает воду, когда воздух находится близко к земле (верхняя часть колеса), и все ведра постоянно, но медленно, теряют воду, что соответствует потере тепла воздухом из-за излучения.Чем горячее воздух, тем сильнее он выталкивается вверх, что соответствует более сильному опусканию ведер с большим количеством воды.

Компьютерное моделирование водяного колеса Лоренца, написанное Гораном Влаховичем.

Скриншот программы Горана Влаховича:

Существует также java-апплет, созданный Фрицем Гассманном, имитирующий водяное колесо, которое можно найти здесь.

Водяное колесо может проявлять четыре различных типа поведения:

• Может перестать вращаться
• Может постоянно вращаться в одном направлении
• Может периодически вращаться вперед и назад
• Он может вращаться хаотично, без легкого распознавания узора или повторения

Мероприятие — Прогноз по водяному колесу

Какое из этих четырех долгосрочных режимов поведения водяного колеса будет зависеть от параметров системы.В компьютерной программе вы можете изменить механическое трение и поток патрубка вверху. Попытайтесь увидеть, какие значения параметров вызывают какое поведение. Вы также можете отобразить, какие области параметров что делают. Есть ли на схеме какие-то закономерности? Можете ли вы предсказать, что произойдет с определенными значениями параметров, прежде чем запускать моделирование?

Работа Эдварда Н. Лоренца на Vimeo

Почему мы можем предсказать солнечное затмение на столетия вперед, но мы можем предсказать погоду только за неделю или две? Может ли мелкомасштабное движение, такое как взмах крыла бабочки, влиять на крупные системы, такие как ураганы? В 1960-х годах метеоролог из Массачусетского технологического института, изучающий эти вопросы с помощью первых цифровых компьютеров, сделал открытие, которое изменило наше понимание не только погоды, но и почти всего в нашей Вселенной.Его работа предполагает, что существуют определенные системы, которые мы, возможно, никогда не сможем предсказать, не потому, что они слишком сложны, а потому, что «хаос» встроен в лежащую в их основе математику. Спустя годы эта идея вошла в массовую культуру как «эффект бабочки».

Это первый фильм об Эдварде Н. Лоренсе и его роли в Теории Хаоса, снятый при участии ученых, которые работали вместе с ним. С их помощью мы ближе познакомимся с тем, что на самом деле означает «эффект бабочки» в контексте работы Лоренца, и почему он должен заставить всех нас переосмыслить наше понимание нашей Вселенной.

Официальный отбор: фестиваль американского документального кино, кинофестиваль Филипа К. Дика, Academia Film Oulomouc, фестиваль Raw Science Film, онлайн-фестиваль документального кино Lift-Off Global Network, Sci-On! Кинофестиваль, Кинофестиваль LabMeCrazy, Китайская международная конференция продюсеров науки и образования.

Написал, продюсировал и отредактировал
Джош Касторф

Рассказал
Уильям Маршалл Клайн

Музыка
Роб Джарет

Интервью, видео
Джош Касторф и Нил Браун

Звуковые эффекты и микширование от
Бен Темплтон

Опрошенных:

Проф.Керри Эмануэль
Сесил и Ида Грин, профессор атмосферных наук
Департамент Земли, атмосферы и планет Массачусетского технологического института

Проф. Дэниел Ротман
Профессор геофизики
Департамент Земли, атмосферы и планет Массачусетского технологического института

Особых отснятых материалов:

Оррери ручной работы
Предоставлено Кеном Кондалом (zeamon.com)

Butterfly Flow
Предоставлено профессором Хайбо Донгом (Вирджиния)
и доктором Ченгю Ли (Вилланова У.)

Восстановленный Royal McBee LGP-30
Предоставлено Кори Хейстеркампом (radar58.com / LGP30)

LGP-30 Teletype Lorenz Data Set
Предоставлено William McKenna (MIT)

Модель атмосферы с траекториями воздушных шаров
Предоставлено доктором Лодовицей Иллари и доктором Гленном Флиерлом (Массачусетский технологический институт)

Аттракторы Лоренца
Сделано с обработкой (processing.org)

Двойной маятник
Предоставлено профессором Джеком Уисдомом (Массачусетский технологический институт)

Модель солнечной системы
, созданная с помощью Universe Sandbox (universesandbox.com)

Эд Лоренц в Массачусетском технологическом институте 2004
Предоставлено Мерри Кастон

Дополнительные кадры и изображения Предоставлено:
Библиотека Конгресса
НАСА
NOAA
Семья Лоренца
Музей Массачусетского технологического института
Фонд Инамори
Проф.Howard Bluestein
Hal Bergstrand
J. Oishi, B. Brown, K. Burns, S. Clark, G Vasil, D. Lecoanet
через APS Gallery of Fluid Motion
Rubens Machado, Smootheye,
GreenShortz DIY, Helmut Satzger, Scott R , footageonline
через Youtube

Особые благодарности:
Анжела Эллис
Лорен Хинкель
Фейт Чжан
Кристин Маглио
Дариус Колаццо
Проф. Брайан Эванс
Доктор Аманда Бош
Доктор Мэг Розенбург
Доктор Элизабет Кавикки
Ариэль Вайнберг
Эллен Гилле
Нираджа Лилле
Нираджа Лилле
Лоренц
Др.Ричард Д. Розен
Проф. Паола Маланотте-Риццоли
Проф. Алан Робок (Рутгерский университет)
Д-р Ребекка Э. Морсс (NCAR)
Проф. Дейл Р. Дурран (Вашингтон)
Проф. Тим Палмер (Вашингтон) Оксфорд)
Проф. Джагадиш Шукла (Джордж Мейсон У.)

Частично стало возможным благодаря:

Проф. Джон Маршалл
Сесил и Ида Грин Профессор океанографии
Департамент наук о Земле, атмосфере и планетах Массачусетского технологического института

Проф. Дэниел Ротман и проф. Керри Эмануэль
Со-директора, Центр Лоренца
Департамент Земли, атмосферы и планет Массачусетского технологического института

© 2018 Джош Касторф
Все права защищены

Эдвард Лоренц, отец теории хаоса, умер по адресу 90

ВАШИНГТОН (Рейтер) — Эдвард Лоренц, отец теории хаоса, который показал, как небольшие действия могут привести к серьезным изменениям в том, что стал известен как «эффект бабочки», умер от рака в среду в возрасте 90 лет, сообщил Массачусетский технологический институт.

Эдвард Лоренц на недатированной фотографии, любезно предоставленной Массачусетским технологическим институтом. Лоренц, отец теории хаоса, который показал, как небольшие действия могут привести к серьезным изменениям в так называемом «эффекте бабочки», умер от рака в среду в возрасте 90 лет, сообщил Массачусетский технологический институт. REUTERS / MIT News Office / Раздаточный материал

Лоренц, метеоролог, в 1960-х годах выяснил, что небольшие различия в динамической системе, такой как атмосфера, могут вызвать огромные изменения. В 1972 году он представил исследование под названием «Предсказуемость: вызывает ли взмах крыльев бабочки в Бразилии торнадо в Техасе?»

Родился в 1917 году в Западном Хартфорде, Коннектикут, Лоренц получил дипломы по математике в Дартмутском колледже в 1938 году, в Гарвардском университете в 1940 году и степени по метеорологии в Массачусетском технологическом институте в 1943 и 1948 годах.

Во время Второй мировой войны он работал прогнозистом погоды в авиакорпусе армии США и решил изучать метеорологию.

«В детстве мне всегда было интересно делать что-то с числами, а также меня восхищали перемены погоды», — написал Лоренц в автобиографии.

«Показав, что определенные детерминированные системы имеют формальные пределы предсказуемости, Лоренц забил последний гвоздь в гроб картезианской вселенной и спровоцировал то, что некоторые называют третьей научной революцией 20-го века, вслед за теорией относительности и квантовой физикой. — сказал Керри Эмануэль, профессор атмосферных наук Массачусетского технологического института.

«Он также был идеальным джентльменом и благодаря своему интеллекту, порядочности и смирению установил очень высокие стандарты для своего и последующих поколений», — добавил Эмануэль в заявлении.

В 1991 году Лоренц получил Киотскую премию за фундаментальные науки в области наук о Земле и планетах.

Комитет по присуждению премии заявил, что Лоренц «сделал свое самое смелое научное достижение, открыв« детерминированный хаос », принцип, который глубоко повлиял на широкий круг фундаментальных наук и привел к одному из самых драматических изменений в взглядах человечества на природу со времен сэра Исаака Ньютона.