Разное

Математика конгруэнтность: Что такое конгруэнтность, чем она отличается от равенства, и где ошибка в Конституции США? / Хабр

ОпубликованоАвторalexxlab

КОНГРУЭНТНОСТЬ

Главная \ Математическая энциклопедия \ КО-Н — КОНС

< КОМПОНЕНТА КОНГРУЭНЦИЯ >

— отношение эквивалентности на множестве геометрич. фигур (отрезков, углов и т. д.). Оно вводится либо аксиоматически (см. «Гильберта система аксиом»), либо на основе какой-либо группы преобразований, чаще всего движений. Так, в евклидовой геометрии (и вообще в геометрии пространств постоянной кривизны) две фигуры наз. конгруэнтным и, или равными, если одна из них движением может быть переведена в другую.

М. И. Войцеховский.

Еще в энциклопедиях

Малый академический словарь
(конгруэнтность)

Математическая энциклопедия
(КОНГРУЭНТНОСТЬ)

Энциклопедия элементарной математики. Основания геометрии
(25)

Энциклопедия элементарной математики. Основания геометрии
(24)

Энциклопедия элементарной математики. Основания геометрии
(162)

Энциклопедический словарь Т-ва «Бр. А. и И. Гранат и К°»
(416)

Большой орфографический словарь русского языка: 106 000 слов
(371)

Энциклопедия элементарной математики. Основания геометрии
(152)

Энциклопедия элементарной математики. Основания геометрии
(153)

Немецко-русский и русско-немецкий философский словарь
(105)

Глобальная экономика
(323)

Глобальная экономика
(873)

Энциклопедия элементарной математики
(40)

Энциклопедия элементарной математики Книги 2 и 3. Тригонометрия, аналитическая геометрия, стереометрия
(319)

Немецко-русский и русско-немецкий философский словарь
(230)

Словарь терминов по начертательной геометрии и инженерной графике
(155)

Энциклопедия элементарной математики Книги 2 и 3. Тригонометрия, аналитическая геометрия, стереометрия
(315)

Энциклопедия элементарной математики Книги 2 и 3. Тригонометрия, аналитическая геометрия, стереометрия
(316)

Энциклопедия глубинной психологии. Том четвертый. Карл Густав Юнг и Альфред Адлер
(507)

Энциклопедия элементарной математики
(560)

Страница не найдена — ПриМат

По данному адресу ничего не найдено. Попробуйте воспользоваться поиском.

Искать:

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Денис Стехун (8), Валентин Малявко (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Александр Базан (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Олег Шпинарев (7), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2),

3.

1: Введение в сравнения — Mathematics LibreTexts
  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    8831
    • Виссам Раджи
    • Американский университет Бейрута

    Как мы упоминали во введении, теория сравнений была разработана Гауссом в начале девятнадцатого века.

    Пусть \(m\) — натуральное число. Мы говорим, что \(a\) конгруэнтно \(b\) по модулю \(m\), если \(m \mid (a-b)\), где \(a\) и \(b\) — целые числа, т. е. если \(a=b+km\), где \(k\in \mathbb{Z}\).

    Если \(a\) конгруэнтно \(b\) по модулю \(m\), мы пишем \(a\equiv b(mod\ m)\).

    \(19\экв 5 (мод\7)\). Точно так же \(2k+1 \equiv 1 (mod\ 2)\), что означает, что каждое нечетное число сравнимо с 1 по модулю 2.

    Есть много общих свойств между уравнениями и сравнениями. Некоторые свойства перечислены в следующей теореме.

    Теорема: свойства сравнений

    Пусть \(a, b, c\) и \(d\) обозначают целые числа. Пусть \(m\) — целые положительные числа. Тогда:

    1. Если \(a \эквив b(mod \ m)\), то \(b\эквив a (mod \ m)\).
    2. Если \(a\equiv b(mod \ m)\) и \(b\equiv c(mod \ m)\), то \(a\equiv c (mod \ m)\).
    3. Если \(a\equiv b(mod\ m)\), то \(a+c \equiv b+c (mod \ m)\).
    4. Если \(a\эквив b(mod\ m)\), то \(a-c \equiv b-c (mod \ m)\).
    5. Если \(a\equiv b(mod\ m)\), то \(ac \equiv bc (mod \ m)\).
    6. Если \(a\equiv b(mod\ m)\), то \(ac \equiv bc (mod \ mc)\), ибо \(c>0\).
    7. Если \(a\equiv b(mod\ m)\) и \(c \equiv d (mod \ m)\), то \(a+c \equiv (b+d) (mod \ m)\).
    8. Если \(a\equiv b(mod\ m)\) и \(c \equiv d (mod \ m)\), то \(a-c \equiv (b-d) (mod \ m)\).
    9. Если \(a\equiv b(mod\ m)\) и \(c \equiv d (mod \ m)\), то \(ac \equiv bd (mod \ m)\).
    1. Если \(a \equiv b(mod \ m)\), то \(m\mid (a-b)\). Таким образом, существует целое число \(k\) такое, что \(a-b=mk\), отсюда следует \(b-a=m(-k)\) и, следовательно, \(m\mid (b-a)\). Следовательно, \(b\equiv a (mod \ m)\).
    2. Так как \(a\equiv b(mod \ m)\), то \(m\mid (a-b)\). Кроме того, \(b\equiv c(mod\m)\), затем \(m\mid (b-c)\). В результате найдутся два целых числа \(k\) и \(l\) такие, что \(a=b+mk\) и \(b=c+ml\), откуда следует, что \(a=c+ m(k+l)\), что дает \(a=c (mod \ m)\).
    3. Так как \(a\equiv b (mod \ m)\), то \(m \mid (a-b)\). Итак, если мы прибавим и вычтем \(c\), мы получим \[m\mid ((a+c)-(b+c))\] и в результате \[a+c\equiv b+c (mod \ м).\]
    4. Так как \(a\equiv b (mod \ m)\), то \(m \mid (a-b)\) так что мы можем вычесть и добавить \(c\) и мы получим \[m\mid ((a-c) -(b-c))\] и в результате \[a-c\equiv b-c (mod \ m).\]
    5. Если \(a \equiv b(mod \ m)\), то \(m\mid (a-b)\). Таким образом, существует целое число \(k\) такое, что \(a-b=mk\) и, следовательно, \(ac-bc=m(kc)\). Таким образом, \[m\mid (ac-bc)\] и, следовательно, \[ac\equiv bc (mod \ m).\]
    6. Если \(a \equiv b(mod \ m)\), то \(m\mid (a-b)\). Таким образом, существует целое число \(k\) такое, что \(a-b=mk\) и, следовательно, \[ac-bc=mc(k).\] Таким образом, \[mc\mid (ac-bc)\] и, следовательно, \[ac\equiv bc (mod \ mc).\]
    7. Так как \(a\equiv b(mod \ m)\), то \(m\mid (a-b)\). Кроме того, \(c\equiv d(mod\m)\), затем \(m\mid (c-d)\). В результате найдутся два целых числа \(k\) и \(l\) такие, что \(a-b=mk\) и \(c-d=ml\). Обратите внимание, что \[(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d)=m(k+l).\] В результате \[m\mid ((a+c)-( b+d)),\] следовательно, \[a+c\equiv b+d(mod \ m).\]
    8. Если \(a=b+mk\) и \(c=d+ml\), где \(k\) и \(l\) — целые числа, то \[(a-b)-(c-d)=(a-c) -(b-d)=m(k-l).\] В результате \[m\mid ((a-c)-(b-d)),\] следовательно, \[a-c\equiv b-d(mod \ m).\]
    9. Существуют два целых числа \(k\) и \(l\), такие что \(a-b=mk\) и \(c-d=ml\) и, следовательно, \(ca-cb=m(ck)\) и \( bc-bd=m(bl)\). Обратите внимание, что \[(ca-cb)+(bc-bd)=ac-bd=m(kc-lb).\] В результате \[m\mid (ac-bd),\]следовательно, \[ac \эквив бд(мод\м).\]
    1. Потому что \(14\экв 8(мод\ 6)\), то \(8 \экв 14 (мод\ 6)\).
    2. Потому что \(22\экв 10(мод \ 6)\) и \(10 \экв 4(мод \ 6)\). Обратите внимание, что \(22\equiv 4(mod\6)\).
    3. Поскольку \(50\экв 20 (мод\ 15)\), то \(50+5=55\экв 20+5=25(мод\ 15)\).
    4. Поскольку \(50\экв 20 (мод\ 15)\), то \(50-5=45\экв 20-5=15(мод\ 15)\).
    5. Поскольку \(19\экв 16(мод3)\), то \(2(19)=38\экв 2(16)=32(мод \ 3).\)
    6. Поскольку \(19\экв 16(mod3)\), то \(2(19)=38\экв 2(16)=32(мод \ 2(3)=6).\)
    7. Поскольку \(19\экв 3 (мод \ 8)\) и \(17\экв 9(мод \ 8)\), то \(19+17=36\экв 3+9=12(мод \ 8) \).
    8. Поскольку \(19\экв 3 (мод \ 8)\) и \(17\экв 9(мод \ 8)\), то \(19-17=2\экв 3-9=-6(мод \ 8 )\).
    9. Поскольку \(19\экв 3 (mod \ 8)\) и \(17\экв 9(mod \ 8)\), то \(19(17)=323\экв 3(9)=27(mod \ 8)\).

    Теперь мы представим теорему, которая покажет одно различие между уравнениями и сравнениями. В уравнениях, если мы разделим обе части уравнения на ненулевое число, будет выполнено равенство. В то время как в соответствиях, это не обязательно верно. Другими словами, деление обеих частей сравнения на одно и то же целое число не сохраняет сравнение.

    1. Если \(a,b,c\) и \(m\) являются целыми числами такими, что \(m>0\), \(d=(m,c)\) и \(ac\equiv bc(mod \ m)\), затем \(a\equiv b (mod \ m/d)\).
    2. Если \((m,c)=1\), то \(a=b(mod \ m)\), если \(ac\equiv bc(mod \ m)\).

    Часть 2 следует непосредственно из части 1. Для части 1, если \(ac\equiv bc(mod \ m)\), то \[m\mid (ac-bc)=c(a-b).\] Отсюда имеем существует \(k\) такое, что \(c(a-b)=mk\). Разделив обе части на \(d\), мы получим \((c/d)(a-b)=k(m/d)\). Так как \((m/d,c/d)=1\), то \(m/d \mid (a-b)\). Отсюда \(a\equiv b (mod \ m/d)\).

    \(38 \экв 10 (мод\7)\). Поскольку \((2,7)=1\), то \(19\эквив 5 (mod \ 7). \)

    Следующая теорема объединяет несколько сравнений двух чисел с разными модулями.

    Если \[a\equiv b(mod \ m_1), a\equiv b(mod \ m_2),…,a\equiv b(mod \ m_t)\], где \(a,b,m_1,m_2, …,m_t\) являются целыми числами и \(m_1,m_2,…,m_t\) положительны, тогда \[a\equiv b(mod \\langle m_1,m_2,…m_t\rangle)\ ]

    Так как \(a\equiv b (mod \ m_i)\) для всех \(1\leq i\leq t\). Таким образом, \(m_i \mid (a-b)\). В результате \[\langle m_1,m_2,…,m_t\rangle \mid (a-b)\] (докажите это в качестве упражнения). Таким образом, \[a\equiv b(mod \\langle m_1,m_2,…m_t\rangle).\] 9nb_i(mod\m)\)

  • Для которого \(n\) выполняется выражение \(1+2+…+(n-1)\equiv 0(mod \ n)\).

    • Доктор Виссам Раджи, доктор философии, из Американского университета в Бейруте. Его работа была выбрана фондом Saylor Foundation Open Textbook Challenge для публичного выпуска в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution ( CC BY ).

    Эта страница под названием 3.1: Introduction to Congruences распространяется под лицензией CC BY и была создана, изменена и/или курирована Виссамом Раджи.

    1. Наверх
      • Была ли эта статья полезной?
      1. Тип изделия
        Раздел или Страница
        Автор
        Виссам Раджи
        Лицензия
        СС BY
        Показать страницу TOC
        нет
      2. Теги
          На этой странице нет тегов.

      2.1: Заявление о конгруэнтности — Mathematics LibreTexts

      1. Последнее обновление
      2. Сохранить как PDF
    3. Идентификатор страницы
      34124
      • Генри Африк
      • CUNY Технологический колледж Нью-Йорка через Технологический колледж Нью-Йорка в CUNY Академические работы

      Два треугольника называются конгруэнтными, если один из них можно наложить на другой так, чтобы они совпали (подошли друг к другу). Это означает, что конгруэнтные треугольники являются точными копиями друг друга, и когда их совмещают, совпадающие стороны и углы, называемые соответствующими сторонами и углами, равны.

      На рисунке \(\PageIndex{1}\) \(\треугольник ABC\) равен \(\треугольник DEF\). Символом соответствия является \(\cong\), и мы пишем \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\). \(\угол A\) соответствует \(\угол D\), \(\угол B\) соответствует \(\угол E\), а \(\угол C\) соответствует \(\угол F\ ). Сторона \(AB\) соответствует \(DE, BC\), соответствует \(EF\), а \(AC\) соответствует \(DF\).

      Рисунок \(\PageIndex{1}\): \(\треугольник ABC\) равен \(\треугольник DEF\).

      В этой книге оператор конгруэнтности \(\треугольник ABC \cong \triangle DEF\) всегда будет записываться так, чтобы соответствующие вершины отображались в одном и том же порядке. Для треугольников на рисунке \(\PageIndex{1}\) мы могли бы также пишите \(\triangle BAC \cong \triangle EDF\) или \(\triangle ACB \cong \triangle DFE\), но никогда, например, \(\triangle ABC \cong \triangle EDF\) или \(\triangle ACB \ конг \треугольник DEF\). (Имейте в виду, что не все учебники следуют этой практике. Многие авторы будут писать буквы без учета порядка. Если это так, то мы не можем сказать, какие части соответствуют утверждению о конгруэнтности)

      Следовательно, мы всегда можем сказать, какие части соответствуют, просто исходя из конгруэнтности. Например, учитывая, что \(\треугольник ABC \cong \треугольник DEF\), сторона \(AB\) соответствует стороне \(DE\), поскольку каждая состоит из первых двух букв, \(AC\) соответствует DF, потому что каждый состоит из первой и последней букв, \(BC\) соответствует \(EF\), потому что каждый состоит из двух последних букв.

      Пример \(\PageIndex{1}\)

      Если \(\triangle PQR \cong \triangle STR\)

      1. перечислить соответствующие углы и стороны;
      2. найти \(x\) и \(y\).

      Решение

      (1)

      \(\begin{array} {rcll} {\underline{\triangle PQR}} & \ & {\underline{\triangle STR}} & {} \\ {\angle P} & = & {\angle S} & {\text{(первая буква каждого треугольника в утверждении сравнения)}} \\ {\angle Q} & = & {\angle T} & {\text{ (вторая буква)}} \\ {\angle PRQ} & = & {\angle SRT} & {\text{(третья буква. Мы не пишем «}\angle R = \angle R \text{«, так как} } \\ {} & & {} & {\text{каждый}\угол R \text{различен)}} \\ {PQ} & = & {ST} & {\text{(первые две буквы)}} \\ {PR} & = & {SR} & {\text{(первая и последняя буквы)}} \\ {QR} & = & {TR} & {\text{(последние две буквы)}} \end{ массив}\) 9{\circ})} \end{array}\)

      Следовательно

      Ответ: \(\треугольник ACD \cong \треугольник BCD\).

      Пример \(\PageIndex{3}\)

      Предполагая, что \(\треугольник I \cong \треугольник II\), напишите оператор сравнения для \(\треугольник I\) и \(\треугольник II\):

      Решение

      Углы, отмеченные одинаково, считаются равными.

      \(\begin{массив} {rcll} {\underline{\triangle I}} & \ & {\underline{\triangle II}} & {} \\ {\angle A} & = & {\angle B } & {(\text{оба отмечены одной чертой})} \\ {\угол ACD} & = & {\угол BCD} & {(\text{оба отмечены двумя штрихами})} \\ {\угол ADC } & = & {\angle BDC} & {(\text{оба отмечены тремя штрихами})} \end{массив}\)

      Отношения такие же, как в примере \(\PageIndex{2}\).

      Ответ : \(\треугольник ACD \cong \треугольник BCD\).

      1 — 4. Для каждой пары равных треугольников

      (1) укажите соответствующие стороны и углы;

      (2) найти \(x\) и \(y\).

      1. \(\треугольник ABC \cong \треугольник DEF\).

      2. \(\треугольник PQR \cong \треугольник STU\).

      No related posts.

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *